AL KHWARIZMI : un des fondateurs de l`algèbre

AL KHWARIZMI : un des fondateurs de l’algèbre.
Vous avez sans nul doute entendu parlé de la ville de Bagdad, capitale de l’Irak.
Tigre
Moins d'un siècle après la mort de Mahomet (+632), et la chute d'Alexandrie (+640), les tribus nomades
d'Arabie unifiée par le prophète, s'étendent sur un territoire qui va de l'Inde à l'Espagne. Les Arabes
transfèrent l'Ecole d'Alexandrie à Bagdad où une grande vie intellectuelle se développe.
• Les grandes traductions commencent. Les Byzantins surtout, traduisent tous les écrits hérités des grecs
en arabe. Ceux-ci seront ensuite traduits en latin et atteindront l'occident.
• Les Arabes adoptent le système de numération des indiens vers 750.
• Le mathématicien perse KHWARIZMI Mohammed Ibn musa AL ( Khiva 788 - Bagdad 850) est le
premier à véritablement donner un algorithme (mot qui vient d'une latinisation de son nom) de résolution
des équations de degré 2
• Ils développent l'étude de la résolution d'équations (ABU-KAMIL vers 800, OMAR KHAYYAM..)
• Les Arabes développent aussi la trigonométrie.
KHWARIZMI Mohammed Ibn musa AL ( Khiva 788 - Bagdad 850), Perse.
Originaire de la région du Kharezm dans l'Ouest de l'Ouzbékistan actuel, AL KHWARIZMI
Mohammed Ibn musa est mathématicien et astronome (c'est courant à l'époque). Il vit à Bagdad à
l'époque de sa splendeur.
Il s'inspire des traductions des écrits grecs et des mathématiques indiennes.Ne considérant pas les négatifs
comme des nombres, il propose plusieurs modèles de résolution selon la forme de l'équation.
Ses méthodes sont purement algébriques mais, influencé par les Grecs, il complète toujours ses
démonstrations d'une preuve géométrique.
Son ouvrage, kitab al jabr w'al muqabalah (livre de la remise en place et de la simplification) donne son
nom à l'algèbre et présente sa méthode de résolution des équations.
Elle consiste en :
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khawarizmi s’attache à s’en débarrasser au plus
vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
- al hatt (2x = 8 devient x = 4) qui peut être considérée comme une réduction.
Division de chaque terme par un même nombre.
Al Khwarizmi distinguera suivant les signes des termes six cas différents d’équations de degrés 1 et 2. S’il
s’impose cette distinction, c’est parce qu’il n’accepte pas les solutions négatives. Il ne donne que des
solutions positives, que nous compléterons, quand cela est nécessaire, par des solutions négatives.
Les six cas différents d’équations de degré 1 et 2 d’ AL KHWARIZMI
1) ax2 = bx
2) ax2 = c
3) bx = c
4) ax2 + bx = c
5) ax2 + c = bx
6) bx + c = ax2
Exemple de résolution d’une équation par AL KHWARIZMI :
Comment résoudre l’équation x2 + 10x = 39 ?
Al-Kawarizmi complète le carré
Au coté x d’un carré , il rajouta de
part et d’autre une longueur de 5/2
. Le total de sa surface devient
x2 + 4(5/2)x = x2+10x et d’après
l’équation = 39
.
En rajoutant à cette surface les 4
surfaces des petits carrés des coins
(5/2)(5/2)=25/4, il obtint:
39+4(25/4)=64 = (8)(8). Or, le coté
du grand carré est:
x+2(5/2)=8, d’où x= 3.
Utiliser cette méthode pour trouver la solution positive des équations suivantes :
x2+12x=45
; x2+2x=8
; x2+20x=21.
Méthode moderne
Les équations de référence :
•
L’équation ax+b=0 admet une unique solution, le nombre
Exemple :
•
L’équation x2=k, où k∈
∈Y admet :
Exemples :
•
Une équation produit (ax+b)(cx+d)=0 se ramène à une équation du premier degré en
utilisant la règle suivante :
Exemple :
•
N
Une équation quotient du type =0 se résout de la façon suivante :
D
-étape 1
On détermine si une ou plusieurs valeurs de x annulent le dénominateur, ces valeurs seront interdites.
-étape 2
On applique la règle suivante : un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
Exemples :
Exercice
Résoudre les équations suivantes :
1) 4x+5=0
2) -3x+7=0 3)5x-1=5x+2
4) x2=25 5) x2=7
4)4x2=9 5) (2x+3)(-5x+2)=0 6) (-4x+1)(5x-4)(2x+3)=0
4x-3
2x+5
8x+1
=0 8)
=0 9)
=0
7)
7x+2
2x-3
x2+1