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Systèmes-des-poutres-Hyperstatiques

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: Systèmes hyperstatiques
Systèmes Hyperstatiques
1. Définition
Soit un système matériel S, soumis a l’action d’un système de forces extérieures F1, F2,…. Fn
appliquées aux points A1, A2,……. An.
Les actions extérieures peuvent être :


Des actions à distance
Des actions de contact
Certaines sont connues (ce sont les données du problème), d’autre sont inconnues.
Généralement, il s’agit d’actions exercées dans les liaisons mécaniques avec l’environnement.
L’étude de l’équilibre statique d’un tel système conduit à écrire le torseur associé aux
actions extérieures, calculé en un point O quelconque, est nul :
T   0
Fex / S O
n 
 

F
  i 0

i 1
 n   
 OA  F  0
i
i

i 1
Les deux équations vectorielles, projetées sur une base, donnent en général six
équations scalaires. Si le problème étudié est plan, le nombre de ces équations se réduit à
trois.
En conséquence, l’étude de l’équilibre d’un système matériel revient à déterminer la
solution d’un système d’équations linéaires, comportant un certain nombre d’inconnues de
liaison.
Soit « r » le nombre d’équation, « ns » le nombre d’inconnues, trois cas peuvent se
présenter :
21
: Systèmes hyperstatiques



ns < r : le système d’équations ne peut admettre de solution : l’équilibre du système
est impossible. Dans ce cas, on appelle degré de liberté du système le nombre m =
r -ns.
ns = r : le système d’équation a en général une solution unique. Le système étudié
est en équilibre isostatique : il est possible de calculer les inconnues de liaison par
la seule étude de l’équilibre.
ns > r : le système d’équations n’a pas de solution : centaines inconnues de liaison,
voire toutes, ne peuvent pas être déterminées. On dit que le système matériel
considéré est en équilibre hyperstatique, et on appelle ordre d’hyperstaticité le
nombre : h = ns - r.
2. Poutres hyperstatique
Dans ce chapitre on va étudier uniquement les poutres, nous limiterons notre étude à celle
des poutres hyperstatique.
2.1 Exemples de poutres hyperstatiques
2.1.1 Exemple 1
Y
A
B
Z
X
Poutre avec deux liaisons pivot d’axe z en A et B.
ns = 5 + 5 = 10
r=6
h = 10- 6 = 4 poutre en équilibre hyperstatique d’ordre 4.
2.1.2 Exemple 2
Y
A
B
Z
X
22
: Systèmes hyperstatiques
Poutre encastrée en A est appuies simple en B :
ns = 6+1 = 7
h = 7- 6 = 1 poutre en équilibre hyperstatique d’ordre 1.
2.1.3 Exemple 3
Y
A
B
Z
X
Poutre encastrée en A, liaison linéaire annulaire en B :
ns = 6+2 = 8
h = 8- 6 = 2 poutre en équilibre hyperstatique d’ordre 2.
2.1.4 Exemple 4
Y
B
A
Z
X
Poutre encastrée en A et en B :
ns = 6+6 = 12
h = 12- 6 = 6 poutre en équilibre hyperstatique d’ordre 6.
23
: Systèmes hyperstatiques
2.2 Cas particuliers
Dans certains cas particuliers, l’application directe de la définition d’un système
hyperstatique ne conduit pas au résultat escompté. Considérons par exemple le cas d’une
poutre liée aux deux extrémités par l’intermédiaire de deux rotules.
Y
Z
A
B
X
l
Chaque liaison introduit trois inconnues : les torseurs associés aux actions exercées par les
liaisons en A et B en la forme :
X A
TA    YA
Z
A A
0

0
0 ( x , y , z )
XB
TB    YB
Z
A B
0

0
0 ( x , y , z )
Le nombre des inconnues statiques est donc : ns = 3+3 = 6, en peut conclure directement que
le système est isostatique.
En fait, dans ce cas, l’équilibre ne peut être traduit par 6 équations scalaires. L’étude de
l’équilibre statique nous conduit à écrire les équations suivantes :
XA  XB  0
YA  YB  0
Z A  ZB  0
 l.Z B  0
l.YB  0
2.3 Conclusion
Nous avons à résoudre un système de 5 équations à 6 inconnues : le système est
hyperstatique d’ordre 1. Donc il faut faire l’étude statique pour déterminer le nombre des
équations scalaires avons de conclure sur l’hyperstaticité du système étudié.
24
: Systèmes hyperstatiques
3. Méthodes de résolution
Un système, ou une poutre est dite hyperstatique chaque fois que les actions de contact
exercées par les liaisons ne sont pas calculables à partir des équations du principe
fondamental de la statique. Les actions ne pourront être déterminées qu’après écriture
d’autres équations obtenues à partir des déformations du système. Trois méthodes peuvent
être utilisées : méthode de la symétrie, méthode par intégration et méthode par
superposition méthode énergétique méthode par éléments finis…
4. Méthode de la symétrie du problème
Cette méthode permet d’obtenir des équations complémentaires. Nous dirons qu’un système
est symétrique lorsqu’il vérifie deux conditions :


symétrie géométrique du système matériel,
symétrie physique du système de forces appliqué.
Ces deux symétries doivent être par rapport à la même droite ou au même plan.
4.1 Application 1 : Poutre encastrée aux deux extrémités
Considérons une poutre encastrée aux deux extrémités, soumise à une charge ponctuelle dans
sa section médiane.
Y
B
A
X
l/2
Le problème et plan : la géométrie du système est parfaitement coplanaire au système. Par
conséquent, chaque encastrement introduit deux inconnues de liaison.
L’ordre d’hyperstaticité : h = 4 - 2= 2
25
: Systèmes hyperstatiques
Les équations que le système permet d’écrire sont :
RA  RB  F  0
(1)
M A  M B  l.RB  F .l / 2  0
(2)
La symétrie physique et géométrique du système permet d’obtenir deux équations
complémentaires :
RA  RB
(3)
MA  MB
(4)
Les équations (1) et (3) donne : RA  RB  F / 2
L’équation (2) donne alors : M A  M B  0
Remarquons que cette opération incluse l’équation (4) : la symétrie n’a permis d’obtenir
qu’une seul équation complémentaire.
L’exemple précédent montre qu’il faut être très prudent lors de l’utilisation de la symétrie d’un
système pour obtenir des équations complémentaires.
4.2 Application 2 : Poutre reposant sur trois appuis ponctuels
Considérons la poutre continue reposant simplement sur trois appuis ponctuels, et soumise
aux charges extérieures.
A
C
B
l/2
l/2
l
l
L’ordre d’hyperstaticité : h = 4 - 2= 2
26
: Systèmes hyperstatiques
Si on isole la poutre et qu’on écrit qu’elle est en équilibre, on aboutit aux équations suivantes :
RA  RB  RC  2.F  0
(1)
l
3.l
 F .  RB .l  F .  RC .2.l  0
2
2
(2)
Le système est symétrique par rapport au plan médian de la poutre, nous pouvons écrire :
RA  RC
(3)
L’élimination de RC dans les équations (1) et (2) donne :
(1)
donne
2.RA  RB  2.F  0
(2)
donne
2.RA .l  RB .l  2.F .l  0
Nous obtenons finalement une seule équation : la symétrie du problème a fourni une équation
que la symétrie avait déjà utilisée.
4.3 Conclusion
Il convient donc d’être extrêmement attentif lors de la recherche des équations
complémentaires par la symétrie du système.
5. Méthode des paramètres initiaux (méthode par intégration)
C’est une étude directe de la déformation des poutres du système. Les déformations
sont exprimées en fonction de certains efforts de liaison inconnus, pris comme paramètres.
Les équations complémentaires sont obtenues par l’écriture de conditions géométriques
imposées par la configuration du système mécanique : il doit y avoir compatibilité des
déformations des éléments du système, et respect des conditions aux limites (raccordement
des poutres avec le bâti indéformable).
27
: Systèmes hyperstatiques
5.1 Application : Poutre encastrée aux deux extrémités
Reprenons l’exemple de la poutre encastrée aux deux extrémités.
Y
B
C
A
X
l/2
L’étude statique de l’équilibre conduit aux équations :
RA  RB  F  0
(1)
M A  M B  l.RB  F .l / 2  0
(2)
La symétrie physique et géométrique du système permet d’obtenir deux équations
complémentaires :
RA  RB
(3)
MA  MB
(4)
Les équations (1) et (3) donne : RA  RB  F / 2
L’équation (2) donne alors : M A  M B  0
est déjà contenue dans l’équation (4)
Donc M A et M B reste indéterminé et le système est hyperstatique d’ordre 1.
Nous avons ainsi abaissé l’ordre d’hyperstaticité à 1. Il reste à obtenir une équation
supplémentaire.
Nous allons faire l’étude de la déformée pour l’obtenir.

L’expression du moment de flexion à l’abscisse x en [AC] :
M fAC  M A  F
x
2
28
: Systèmes hyperstatiques

L’équation de la déformée à l’abscisse x en [AC] :
''
  M fAC
EIy AC
x
MA
2
x2
F
 M A .x  C1
(C1 une constante )
4
x3
x2
 F  M A .  C1.x  C2
(C2 une constante )
12
2
''
EIy AC
F
'
EIy AC
EIy AC
Y

B
C
A
Les conditions limites à l’encastrement en A permettent de déterminer les constantes
C1 et C2.
 Pour x = 0, y AC = 0, ce qui donne C2 = 0.
 La pente de la tangente en A est nulle : x = 0, y AC = 0, ce qui donne C1 = 0.
 De plus, au centre de la poutre, pour x = l/2, la pente de la tangente en C est nulle :
'
EIy AC
0
F  L2 
L
(5)
   M A.
4 2 
2
L’équation (5) est l’équation supplémentaire qui donne :
MA 
F .L
8
D’où
MB  
F .L
8
6. La méthode de superposition des effets des forces
Au lieu de faire une étude directe de la déformation du système étudié, on le décompose
en système isostatique. On étudie les déformations de ces systèmes, et on impose des
conditions géométriques de façon que la superposition des systèmes isostatiques soit
équivalente au système hyperstatique du départ.
29
: Systèmes hyperstatiques
6.1 Application : Poutre encastrée à une extrémité appuyée simplement à l’autre, soumise
à une charge concentrée.
Y
b
A
C
X
Z
B
a
(a+b = l)
L’étude statique de ce système nous donne :
RA  RB  F  0
M A  a.F  l.RB  0
On a deux équations à trois inconnues : systèmes hyperstatique d’ordre 1.
Décomposons le système hyperstatique en deux systèmes isostatiques simples connus :
Système 1
Système 2
Y
Y
b
A
C
X
A
B
X
B
a
l
Etude du système isostatique 1
C
a
B
l
30
: Systèmes hyperstatiques
L’étude statique donne :
RA1  F
M A1  a.F
Moment de flexion x ≤ a
M11  F .  a  x 
Etude de la déformée
E.I . y11   F .  a  x   F .x  a.F
x2
 a.F .x  C1
2
x3
x2
E.I . y11  F .  a.F .  C1.x  C2
6
2
E.I . y11  F .
Les conditions limites à l’encastrement en A permettent de déterminer les
constantes C1 et C2.
Pour x = 0, y11 = 0, ce qui donne C2 = 0.
La pente de la tangente en A est nulle : x = 0, y11 = 0, ce qui donne C1 = 0, alors :
F .x 2  x  3.a 
E.I . y11 
6
Moment de flexion a ≤ x ≤ l
M 12  0
Etude de la déformée
E.I . y12  0
E.I . y12  C3
E.I . y12  C3 .x  C4
Les conditions de continuités en C permettent de déterminer les constantes C3 et C4.
y11  x  a   y12  x  a 
donne
 F .a 2
C3 
2
y11  x  a   y12  x  a 
donne
F .a 3
C4 
6
31
: Systèmes hyperstatiques
D’où
F .a 2  a  3x.
6
E.I . y12 
Etude du système isostatique 2
B
l
L’étude statique donne :
RA2   RB
M A2  l.RB
Moment de flexion
M 2   RB  l  x 
Etude de la déformée donne : (même démarche que système isostatique1)
E.I . y2 
 RB .x 2  x  3.l 
6
Pour le système réel, superposition des deux systèmes isostatiques 1 et 2, il faut donc :
 y12  y2  xl  0
(Déplacement nul au point B)
Soit :
 RB .l 2  2.l  F .a 2  a  3.l 

0
6
6
Qui donne :
F .a 2  3.l  a 
RB 
2.l 3
Il est alors aisé d’en déduire que :
32
: Systèmes hyperstatiques
F .a 2  3.l  a 
F
RA  RA1  RA2   F 
 3  a 3  3.a 2 .l  2.l 3 
3
2.l
2.l
RA 
F
a3  3.a 2 .l  2.l 3 
3 
2.l
M A  M A1  M A2   F .a 
MA 
F .a 2  3.l  a 
F
 3  a 3  3.a 2 .l  2.a.l 2 
2
2.l
2.l
F
a 3  3.a 2 .l  2.a.l 2 
3 
2.l
6.2 Application : Poutre encastrée en deux extrémités
La figure suivante représente une poutre horizontale de Longueur L, encastrée à ses deux
extrimités en A et B. Elle supporte une charge concentrée F en son milieu C. Le repére
( , ⃗, ⃗, ⃗) est tel que ( , ⃗) est porté par la ligne moyenne de la poutre.
1
⃗
⃗
A
B
C
0
2
⃗
2
L’étude statique de l’équilibre conduit aux équations :
YA  YB  F  0
(1)
N A  N B  l.YB  F .l / 2  0
(2)
La symétrie physique et géométrique du système permet d’obtenir deux équations
complémentaires :
YA  YB
(3)
N A  NB
(4)
Les équations (1) et (3) donne : YA  YB  F / 2
33
: Systèmes hyperstatiques
L’équation (2) donne alors : N A  N B  0
est déjà contenue dans l’équation (4)
Donc N A et N B reste indéterminé et le système est hyperstatique d’ordre 1.
Nous avons ainsi abaissé l’ordre d’hyperstaticité à 1. Il reste à obtenir une équation
supplémentaire en utilisant la méthode de superposition.
Pour cela ce systéme hyperstatique sera décomposé en trois systèmes isostatiques :
Système 1 :
La flèche au point B : ( ) =
.
Système 2 :
La flèche au point B : ( ) =
.
Système 3 :
La flèche au point B : ( ) =
.
34
: Systèmes hyperstatiques
La superposition des trois systèmes isostatiques nous permet d’écrire :
y1 ( B)  y2 ( B)  y3 ( B)  0
YB L3 N B L2 5 FL3


0
3EI
2 EI 48 EI
FL N B 5FL


0
6
2
48
 FL
NB 
8
6.3 Application : Poutre sur trois appuis soumise à une charge répartie.
On considère une poutre sur trois appuis de section constante de diamètre d, soumise
à une charge répartie q [N/m].
Y
q
X
A
C
B
L /2
L
On désire résoudre le probléme en utilisant la méthode de superposition. Pour cela ce
systéme hyperstatique sera décomposé en deux configurations isostatique :
Systèmes 1 :
Y
A
q
X
C
On donne Fleche en x = L/2 :
5 qL4
y( x  L / 2)  
384 EIGz
35
: Systèmes hyperstatiques
Systèmes 2 :
Y
X
A
RB
C
L /2
On donne Fleche en x = L/2 :
y ( x  L / 2) 
RB L3
48 EI Gz
En appliquant le PFS nous obtenons les équations suivants :
RA  RB  RC  qL  0
RB
qL
 RC 
0
2
2
On a un problème symètrique :
RA  RB
La superposition des systèmes nous donne :
RB L3
5 qL4

0
48 EI Gz 384 EI Gz
RB 5qL

0
48 384
5qL
5qL
RB 
 RA 
8
8
Donc
RC 
qL 5qL

2
16
36
: Systèmes hyperstatiques
7. Méthode énergétique
C’est une étude de la déformation des poutres par la détermination de l’énergie
linéique élastique et l’application du théorème de Castigliano . Les déformations sont
exprimées en fonction de certains efforts de liaison inconnus, pris comme paramètres. Les
équations complémentaires sont obtenues par l’écriture de théorème de Castigliano imposées
par la configuration du système mécanique étudier.
7.1 Energie élastique linéique dans une poutre

 
Soit une poutre plane de plan moyen ( x , y ) de ligne moyenne ( x ) et de section (S) l’énergie
élastique linéique dans la section d’abscisse (x) est :
w x 
M 2fz
Ty2
N2



2 EA 2 EI Gz 2GAy
Avec :
Sollicitations :



N : effort normal

Mfz : moment fléchissant suivant l’axe ( z )

Ty : effort tranchant suivant ( y )
Caractéristiques matérielles :


E : module d’élasticité longitudinal
G : module d’élasticité transversal
Caractéristiques géométriques :


A : aire de la section

IGz : moment d’inertie de la section autour de l’axe ( z )

Ay : section réduite
Le terme en cisaillement est presque toujours négligé, le terme en moment est
souvent prépondérant devant les autres. Dans ce cas, on dit que la structure est à énergie de
flexion dominante :
L’énergie élastique dans la poutre est donc :
We 
2
Ty2 
1  N 2 M fz



 ds
2 x  EA EI Gz GAy 
37
: Systèmes hyperstatiques
Si on néglige les énergies dues à l’effort tranchant et à l’effort normal l’expression de
l’énergie de vient :
We 
2
1  M fz

2 x  EI Gz

 ds

Dans le cas général :
2
2
2
Tz2 M x2 M fy M fz 
1  N 2 Ty
We   





 ds
2 x  EA GAy GAz GI o EI Gy EI Gz 
7.2 Théorème de Castigliano :
Soit une poutre élastique chargée par un ensemble de forces extérieures, en équilibre dans

un repère Galiléen. La dérivée de l’énergie élastique par rapport à l’intensité de l’effort FK est égale

à la projection  K du déplacement du point d’application de FK sur sa droite d’action.
dWe
 K
d FK
On a de même pour un couple : La dérivée de l’énergie élastique par rapport à l’intensité du


couple M K est égale à la projection  K de la rotation du point d’application de M K sur son axe.
dWe
 K
dMK
7.3 Théorème de Ménabréa
Dans un système hyperstatique sur appui rigide, les réactions hyperstatiques dues aux liaisons
surabondantes ne travaillent pas pendant la déformation du système. Les dérivées partielles du
potentiel par rapport aux réactions hyperstatiques Ri sont donc nulles :
dWe
0
d Ri
38
: Systèmes hyperstatiques
7.4 Application :
Reprenons l’exemple de la poutre encastrée à une extrémité appuyée simplement à l’autre,
soumise à une charge concentrée.
Y
b
A
Z
C
X
B
a
(a + b = l)
L’étude statique de ce système nous donne :
RA  RB  F  0
N A  a.F  l.RB  0
On a deux équations à trois inconnues : systèmes hyperstatiques d’ordre 1.
La troisième équation nous allons l’obtenir en appliquant le théorème de Castigliano en B.
dWe
0
d RB
Détermination de l’énergie élastique linéique de la poutre si on néglige les énergies dues à l’effort
tranchant :

Les moments fléchissant dans la poutre :
M f 1  xRA  N A
M f 2  xRA  N A  F  x  a 

Exprimons les moments fléchissant en fonction de RB :
M f 1  x  F  RB   a.F  l.RB  F  x  a   RB  l  x 
M f 2  x  F  RB   a.F  l.RB  F  x  a   RB  l  x 

L’énergie élastique linéique dans la poutre :
2
a
1  M
We     f 1
2  0  EI Gz
l
a
l

 M 2f 2  

1 
2
2
dx

dx

M
dx



a  EIGz   2 EIGz  0 f 1
a M f 2 dx 


 




39
: Systèmes hyperstatiques
Théorème de Ménabréa en B
dWe
0
d RB
a
l
 dM f 1 
 dM f 2  
dWe
1 

   M f 1  
 dx    M f 2  
 dx 
d RB EI Gz  0
 d RB 
 d RB  
a
a
l

1 
2
2

  F  x  a  l  x   RB  l  x  dx   RB  l  x  dx 
EI Gz  0
a





a
a
l

1 
2
2
2

  F   x   l  a  x  al  dx   RB  l  x  dx   RB  l  x  dx 
EI Gz  0
a
0

 l3  
1   a 3 la 2 


R
F 


B
EI Gz   6
2 
 3 
 l3  
1   a 3 la 2 
R


F 

  0
B
EI Gz   6
2 
 3 
 3  a  2 1  a 3 
RB  F       
2 l  2 l  


D’où
RA  F  RB
N A  a.F  l.RB
40
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