Systèmes Hyperstatiques : Définition et Méthodes de Résolution

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Systèmes Hyperstatiques
1. Définition
Soit un système matériel S, soumis a l’action d’un système de forces extérieures F1, F2,…. Fn
appliquées aux points A1, A2,……. An.
Les actions extérieures peuvent être :
 Des actions à distance
 Des actions de contact
Certaines sont connues (ce sont les données du problème), d’autre sont inconnues.
Généralement, il s’agit d’actions exercées dans les liaisons mécaniques avec l’environnement.
L’étude de l’équilibre statique d’un tel système conduit à écrire le torseur associé aux
actions extérieures, calculé en un point O quelconque, est nul :
/
0
Fex S O
T
1
1
0
0
n
i
i
n
i i
i
F
OA F
Les deux équations vectorielles, projetées sur une base, donnent en général six
équations scalaires. Si le problème étudié est plan, le nombre de ces équations se réduit à
trois.
En conséquence, l’étude de l’équilibre d’un système matériel revient à déterminer la
solution d’un système d’équations linéaires, comportant un certain nombre d’inconnues de
liaison.
Soit « r » le nombre d’équation, « ns » le nombre d’inconnues, trois cas peuvent se
présenter :

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 ns < r : le système d’équations ne peut admettre de solution : l’équilibre du système
est impossible. Dans ce cas, on appelle degré de liberté du système le nombre m =
r -ns.
 ns = r : le système d’équation a en général une solution unique. Le système étudié
est en équilibre isostatique : il est possible de calculer les inconnues de liaison par
la seule étude de l’équilibre.
 ns > r : le système d’équations n’a pas de solution : centaines inconnues de liaison,
voire toutes, ne peuvent pas être déterminées. On dit que le système matériel
considéré est en équilibre hyperstatique, et on appelle ordre d’hyperstaticité le
nombre : h = ns - r.
2. Poutres hyperstatique
Dans ce chapitre on va étudier uniquement les poutres, nous limiterons notre étude à celle
des poutres hyperstatique.
2.1 Exemples de poutres hyperstatiques
2.1.1 Exemple 1
Poutre avec deux liaisons pivot d’axe z en A et B.
ns = 5 + 5 = 10
r = 6
h = 10- 6 = 4 poutre en équilibre hyperstatique d’ordre 4.
2.1.2 Exemple 2
Y
X
Z
A B
Y
X
Z
A B

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Poutre encastrée en A est appuies simple en B :
ns = 6+1 = 7
h = 7- 6 = 1 poutre en équilibre hyperstatique d’ordre 1.
2.1.3 Exemple 3
Poutre encastrée en A, liaison linéaire annulaire en B :
ns = 6+2 = 8
h = 8- 6 = 2 poutre en équilibre hyperstatique d’ordre 2.
2.1.4 Exemple 4
Poutre encastrée en A et en B :
ns = 6+6 = 12
h = 12- 6 = 6 poutre en équilibre hyperstatique d’ordre 6.
Y
X
Z
A B
Y
X
Z
A B

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2.2 Cas particuliers
Dans certains cas particuliers, l’application directe de la définition d’un système
hyperstatique ne conduit pas au résultat escompté. Considérons par exemple le cas d’une
poutre liée aux deux extrémités par l’intermédiaire de deux rotules.
Chaque liaison introduit trois inconnues : les torseurs associés aux actions exercées par les
liaisons en A et B en la forme :
( , , ) ( , , )
0 0
0 0
0 0
A B
A A B B
A B
A x y z A x y z
X X
T Y T Y
Z Z
Le nombre des inconnues statiques est donc : ns = 3+3 = 6, en peut conclure directement que
le système est isostatique.
En fait, dans ce cas, l’équilibre ne peut être traduit par 6 équations scalaires. L’étude de
l’équilibre statique nous conduit à écrire les équations suivantes :
0
0
0
. 0
. 0
A B
A B
A B
B
B
X X
Y Y
Z Z
l Z
l Y
2.3 Conclusion
Nous avons à résoudre un système de 5 équations à 6 inconnues : le système est
hyperstatique d’ordre 1. Donc il faut faire l’étude statique pour déterminer le nombre des
équations scalaires avons de conclure sur l’hyperstaticité du système étudié.
Y
X
Z A B
l

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3. Méthodes de résolution
Un système, ou une poutre est dite hyperstatique chaque fois que les actions de contact
exercées par les liaisons ne sont pas calculables à partir des équations du principe
fondamental de la statique. Les actions ne pourront être déterminées qu’après écriture
d’autres équations obtenues à partir des déformations du système. Trois méthodes peuvent
être utilisées : méthode de la symétrie, méthode par intégration et méthode par
superposition méthode énergétique méthode par éléments finis…
4. Méthode de la symétrie du problème
Cette méthode permet d’obtenir des équations complémentaires. Nous dirons qu’un système
est symétrique lorsqu’il vérifie deux conditions :
 symétrie géométrique du système matériel,
 symétrie physique du système de forces appliqué.
Ces deux symétries doivent être par rapport à la même droite ou au même plan.
4.1 Application 1 : Poutre encastrée aux deux extrémités
Considérons une poutre encastrée aux deux extrémités, soumise à une charge ponctuelle dans
sa section médiane.
Le problème et plan : la géométrie du système est parfaitement coplanaire au système. Par
conséquent, chaque encastrement introduit deux inconnues de liaison.
L’ordre d’hyperstaticité : h = 4 - 2= 2
Y
X
A B
l/2