Décomposition en produit de facteur premiers

DE C O M P O S ITION EN P R ODUIT DE F A C TEU R S P R E M IE R S
1°) D i v i s eur s d'un en ti er na t ure l .
15 = 3 x 5
15 = 1 x 15 1, 3, 5, 15 s on t l e s d i v i s eur s de 15.
7 n'e s t pa s un d i v i s eur de 15 car 15
7 n'e
s t pa s un en ti er.
Déf : S o it a e t b deux en ti er s na t ure l s avec b ≠ 0.
On d it que b e s t un d i v i s eur de a s ' il ex i s t e un en ti er na t ure l q t e l que a = b x q (c'e s t -à-d i re que a
b e
s t en ti er).
ex l e s d i v i s eur s de 24 s on t 1 e t 24 car 24 = 1 x 24
2 e t 12 car 24 = 2 x 12
3 e t 8 car 24 = 3 x 8
4 e t 6 car 24 = 4 x 6
on arrê t e l à car à par ti r de 24 ( < 5) on re t rouve l e s m ê m e s d i v i s eur s .
on écr i ra l 'en s e m b l e de s d i v i s eur s de 24 D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
2°) No m bre s pre m i er s .
Déf : Un no m bre en ti er na t ure l e s t un no m bre pre m i er s ' il n'ad m e t que 2 d i v i s eur s , 1 e t l u i m ê m e.
ex 11 e s t pre m i er
14 n'e s t pa s pre m i er car 2 e s t un d i v i s eur de 14
1 n'e s t pa s pre m i er car il n'a qu'un d i v i s eur : 1.
L'en s e m b l e de s no m bre s pre m i er s e s t {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97……}.
3°) Déco m po s iti on en produ it de fac t eur s pre m i er s .
12
=
2 x 6
=
2 x (2 x 3)
=
2 x 2 x 3
=
2 ² x 3.
2 e t 3 s on t pre m i er s , on ne peu t pa s déco m po s er p l u s .
42 = 2 x 3 x 7.
Th : t ou t en ti er na t ure l non pre m i er s e déco m po s e en un produ it de fac t eur s pre m i er s , ce tt e déco m po s iti on e s t un i que.
ex déco m po s er 150 e t 45 en produ it s de fac t eur s pre m i er s .
150 2 45 3
75 3 15 3
25 5 5 5
5 5 1 45 = 3 ² x 5
1 150 = 2 x 3 x 5 ²
M é t hode :
On d i v i s e l e no m bre donné par l e pre m i er de s e s d i v i s eur s
On reco mm ence avec l e quo ti en t ob t enu j u s qu'à ce que l e quo ti en t s o it éga l à 1.
P our ê t re s ûr de ne r i en oub li er, il fau t e ss ayer l e s d i v i s i on s par l e s no m bre s pre m i er s dan s l 'ordre cro i ss an t .
re m arque : 122 2 on e ss a i e de d i v i s er 61 par 2, 3, 5, 7 e t on arrê t e l à car 61 < 8.
61 61 61 n'e s t pa s d i v i s i b l e par 2 car 61 n'e s t pa s pa i r.
1 61 n'e s t pa s d i v i s i b l e par 3 car 6 + 1 = 7 n'e s t pa s d i v i s i b l e par 3.
61 n'e s t pa s d i v i s i b l e par 5 car s on écr it ure déc i m a l e ne s e t er m i ne pa s par 0 ou 5.
4°) P G C D de deux no m bre s .
On veu t s i m p li f i er d i rec t e m en t 900
135
: on do it d i v i s er 900 e t 135 par l e m ê m e no m bre en ti er na t ure l , l e p l u s grand po ss i b l e,
c
e
n
o
m
b
r
e
s
'
a
p
p
e
l
l
e
l
e
p
g
c
d
(
p
l
u
s
g
r
a
n
d
c
o
m
m
u
n
d
i
v
i
s
e
u
r
)
d
e
9
0
0
e
t
1
3
5
.

1 ère m é t hode vue en t ro i s i è m e : a l gor it h m e d'Euc li de
on d i v i s e 900 par 135 0n d i v i s e 135 par 90 on d i v i s e 90 par 45 on arrê t e l à car l e re s t e vau t 0
900 135 135 90 90 45
90 6 45 1 0 2
P G C D(900, 135) = 45
900
135
= 900
: 45
135 : 45
= 20
3
2è
m e
m é t hode : en u tili s an t l e s déco m po s iti on s .
900 = 9 x 100 = 9 x 10 ² = 3 ² x (2 x 5) ² = 2 ² x 3 ² x 5 ²
ou 900 2 135 3
450 2 45 3
225 3 15 3
75 3 5 5
25 5 1
5 5
1 900 = 2 ² x 3 ² x 5 ² 135 = 3 3 x 5
900
135
= 2 ² x 3 ² x 5 ²
3 3 x 5
= 2 ² x 5 2 – 1
3 2 - 1
= 2 ² x 5
3
= 20
3 .
on a d i v i s é 900 e t 135 par l eur pgcd 45 qu i vau t 3 ² x 5, on a pr i s l e s fac t eur s en co mm un avec l eur p l u s pe tit expo s an t .
5°) Exerc i ce de déco m po s iti on.
On veu t déco m po s er 48 x 90 en produ it de fac t eur s pre m i er s s an s ca l cu l er 48 x 90
48 2 90 2
24 2 45 3 48 = 2 4 x 3
12 2 15 3 90 = 2 x 3 ² x 5
6 2 5 5 donc 48 x 90 = (2 4 x 3) x (2 x 3 ² x 5 ) = 2 4 x 3 x 2 x 3 ² x 5
3 3 1 48 x 90 = 2 5 x 3 3 x 5
1
Si m p li f i er l 'écr it ure de 48 48 = 2 4 x 3 = 2 4 x 3 = 2 ² x 3 = 4 3 .
ca l cu l er l e p g c d de 48 e t 90 l e fac t eur 2 e s t co mm un dan s 48 il a l 'expo s an t 4
dan s 90 il a l 'expo s an t 1
on prend l e p l u s pe tit expo s an t donc 2 1
l e fac t eur 3 e s t co mm un dan s 48 il a l 'expo s an t 1
dan s 90 il a l 'expo s an t 2
on prend l e p l u s pe tit expo s an t donc 3 1
donc p g c d(48 ; 90) = 2 x 3 = 6.
prob l è m e : on répar tit en paque t s un l o t de 48 crayon s b l eu s e t un l o t de 90 crayon s rouge s de façon que t ou s l e s crayon s
d'un paque t s o i en t de l a m ê m e cou l eur e t que t ou s l e s paque t s con ti ennen t l e m ê m e no m bre de crayon s . C a l cu l er l e
no m bre m ax i m u m de crayon s par paque t .
l e no m bre de crayon s do it ê t re un d i v i s eur co mm un à 48 e t 90, c'e s t donc au m ax i m u m l e pgcd : 6.
il y aura 8 paque t s de crayon s b l eu s e t 15 paque t s de crayon s rouge s .
s i m p li f i er 48
90 on peu
t s i m p li f i er par 6 s eu l e m en t , donc 48
90
= 8
15 .
ca l cu l er 5
48
+ 7
90
5
48
+ 7
90
= 5
2 4 x 3
+ 7
2 x 3 ² x 5
= 5
2 x 2 x 2 x 2 x 3
+ 7
2 x 3 x 3 x 5
on prendra 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 co mm e déno m i na t eur co mm un
car 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = (2 4 x 3) x 3 x 5 = 48 x 15 = 720
e t 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = (2 x 3 ² x 5) x 2 x 2 x 2 = 90 x 8 = 720
5
7
5
x
1
5
7
x
8
7
5
5
6
1
3
1