Décomposition en produit de facteurs premiers

DECOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS
1°) Diviseurs d'un entier naturel.
15 = 3 x 5
15 = 1 x 15 1, 3, 5, 15 sont les diviseurs de 15.
7 n'est pas un diviseur de 15 car 15
7 n'est pas un entier.
Déf : Soit a et b deux entiers naturels avec b ≠ 0.
On dit que b est un diviseur de a s'il existe un entier naturel q tel que a = b x q (c'est-à-dire que a
b est entier).
ex les diviseurs de 24 sont 1 et 24 car 24 = 1 x 24
2 et 12 car 24 = 2 x 12
3 et 8 car 24 = 3 x 8
4 et 6 car 24 = 4 x 6
on arrête là car à partir de 24 (< 5) on retrouve les mêmes diviseurs.
on écrira l'ensemble des diviseurs de 24 D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
2°) Nombres premiers.
Déf : Un nombre entier naturel est un nombre premier s'il n'admet que 2 diviseurs, 1 et lui même.
ex 11 est premier
14 n'est pas premier car 2 est un diviseur de 14
1 n'est pas premier car il n'a qu'un diviseur : 1.
L'ensemble des nombres premiers est {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97……}.
3°) Décomposition en produit de facteurs premiers.
12 = 2 x 6 = 2 x (2 x 3) = 2 x 2 x 3 = 2 ² x 3.
2 et 3 sont premiers, on ne peut pas décomposer plus.
42 = 2 x 3 x 7.
Th : tout entier naturel non premier se décompose en un produit de facteurs premiers, cette décomposition est unique.
ex décomposer 150 et 45 en produits de facteurs premiers.
150 2 45 3
75 3 15 3
25 5 5 5
5 5 1 45 = 3 ² x 5
1 150 = 2 x 3 x 5 ²
Méthode :
On divise le nombre donné par le premier de ses diviseurs
On recommence avec le quotient obtenu jusqu'à ce que le quotient soit égal à 1.
Pour être sûr de ne rien oublier, il faut essayer les divisions par les nombres premiers dans l'ordre croissant.
remarque : 122 2 on essaie de diviser 61 par 2, 3, 5, 7 et on arrête là car 61 < 8.
61 61 61 n'est pas divisible par 2 car 61 n'est pas pair.
1 61 n'est pas divisible par 3 car 6 + 1 = 7 n'est pas divisible par 3.
61 n'est pas divisible par 5 car son écriture décimale ne se termine pas par 0 ou 5.
4°) P G C D de deux nombres.
On veut simplifier directement 900
135 : on doit diviser 900 et 135 par le même nombre entier naturel, le plus grand possible,
ce nombre s'appelle le p g c d (plus grand commun diviseur ) de 900 et 135.

1 ère méthode vue en troisième : algorithme d'Euclide
on divise 900 par 135 0n divise 135 par 90 on divise 90 par 45 on arrête là car le reste vaut 0
900 135 135 90 90 45
90 6 45 1 0 2
PGCD(900, 135) = 45
900
135 = 900 : 45 135 :45 = 20 3
2ème méthode : en utilisant les décompositions.
900 = 9 x 100 = 9 x 10 ² = 3 ² x (2 x 5) ² = 2 ² x 3 ² x 5 ²
ou 900 2 135 3
450 2 45 3
225 3 15 3
75 3 5 5
25 5 1
5 5
1 900 = 2 ² x 3 ² x 5 ² 135 = 3 3 x 5
900
135 = 2 ² x 3 ² x 5 ² 3 3 x 5 = 2 ² x 5 2 – 1 3 2 - 1 = 2 ² x 5 3 = 20 3 .
on a divisé 900 et 135 par leur pgcd 45 qui vaut 3 ² x 5, on a pris les facteurs en commun avec leur plus petit exposant.
5°) Exercice de décomposition.
On veut décomposer 48 x 90 en produit de facteurs premiers sans calculer 48 x 90
48 2 90 2
24 2 45 3 48 = 2 4 x 3
12 2 15 3 90 = 2 x 3 ² x 5
6 2 5 5 donc 48 x 90 = (2 4 x 3) x (2 x 3 ² x 5 ) = 2 4 x 3 x 2 x 3 ² x 5
3 3 1 48 x 90 = 2 5 x 3 3 x 5
1
Simplifier l'écriture de 48 48 = 2 4 x 3 = 2 4 x 3 = 2 ² x 3 = 4 3 .
calculer le p g c d de 48 et 90 le facteur 2 est commun dans 48 il a l'exposant 4
dans 90 il a l'exposant 1
on prend le plus petit exposant donc 2 1
le facteur 3 est commun dans 48 il a l'exposant 1
dans 90 il a l'exposant 2
on prend le plus petit exposant donc 3 1
donc p g c d(48 ; 90) = 2 x 3 = 6.
problème : on répartit en paquets un lot de 48 crayons bleus et un lot de 90 crayons rouges de façon que tous les crayons
d'un paquet soient de la même couleur et que tous les paquets contiennent le même nombre de crayons. Calculer le
nombre maximum de crayons par paquet.
le nombre de crayons doit être un diviseur commun à 48 et 90, c'est donc au maximum le pgcd : 6.
il y aura 8 paquets de crayons bleus et 15 paquets de crayons rouges.
simplifier 48
90 on peut simplifier par 6 seulement, donc 48 90 = 8 15 .
calculer 5
48 + 7 90
5
48 + 7 90 = 5 2 4 x 3 + 7 2 x 3 ² x 5 = 5 2 x 2 x 2 x 2 x 3 + 7 2 x 3 x 3 x 5
on prendra 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 comme dénominateur commun
car 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = (2 4 x 3) x 3 x 5 = 48 x 15 = 720
et 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = (2 x 3 ² x 5) x 2 x 2 x 2 = 90 x 8 = 720
donc 5
48 + 7 90 = 5 x 15 48 x 15 + 7 x 8 90 x 8 = 75 720 + 56 720 = 131 720