Décomposition en produit de facteurs premiers

DECOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS
1°) Diviseurs d'un entier naturel.
15 = 3 x 5
15 = 1 x 15
1, 3, 5, 15 sont les diviseurs de 15.
15
7 n'est pas un diviseur de 15 car n'est pas un entier.
7
Déf : Soit a et b deux entiers naturels avec b ≠ 0.
On dit que b est un diviseur de a s'il existe un entier naturel q tel que a = b x q (c'est-à-dire que
a
est entier).
b
ex les diviseurs de 24 sont
1 et 24 car 24 = 1 x 24
2 et 12 car 24 = 2 x 12
3 et 8
car 24 = 3 x 8
4 et 6
car 24 = 4 x 6
on arrête là car à partir de 24 (< 5) on retrouve les mêmes diviseurs.
on écrira l'ensemble des diviseurs de 24
D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
2°) Nombres premiers.
Déf : Un nombre entier naturel est un nombre premier s'il n'admet que 2 diviseurs, 1 et lui même.
ex 11 est premier
14 n'est pas premier car 2 est un diviseur de 14
1 n'est pas premier car il n'a qu'un diviseur : 1.
L'ensemble des nombres premiers est {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97……}.
3°) Décomposition en produit de facteurs premiers.
12 = 2 x 6 = 2 x (2 x 3) = 2 x 2 x 3 = 2 ² x 3.
2 et 3 sont premiers, on ne peut pas décomposer plus.
42 = 2 x 3 x 7.
Th : tout entier naturel non premier se décompose en un produit de facteurs premiers, cette décomposition est unique.
ex
décomposer 150 et 45 en produits de facteurs premiers.
150
75
25
5
1
2
3
5
5
45
15
5
1
3
3
5
45 = 3 ² x 5
150 = 2 x 3 x 5 ²
Méthode :
On divise le nombre donné par le premier de ses diviseurs
On recommence avec le quotient obtenu jusqu'à ce que le quotient soit égal à 1.
Pour être sûr de ne rien oublier, il faut essayer les divisions par les nombres premiers dans l'ordre croissant.
remarque :
122
61
1
2
61
on essaie de diviser 61 par 2, 3, 5, 7 et on arrête là car 61 < 8.
61 n'est pas divisible par 2 car 61 n'est pas pair.
61 n'est pas divisible par 3 car 6 + 1 = 7 n'est pas divisible par 3.
61 n'est pas divisible par 5 car son écriture décimale ne se termine pas par 0 ou 5.
4°) P G C D de deux nombres.
900
: on doit diviser 900 et 135 par le même nombre entier naturel, le plus grand possible,
135
ce nombre s'appelle le p g c d (plus grand commun diviseur ) de 900 et 135.
On veut simplifier directement
1 ère méthode vue en troisième : algorithme d'Euclide
on divise 900 par 135
0n divise 135 par 90 on divise 90 par 45
900
135
135
90
90
45
90
6
45
1
0
2
PGCD(900, 135) = 45
900 900 : 45 20
=
=
135 135 :45 3
2ème méthode : en utilisant les décompositions.
900 = 9 x 100 = 9 x 10 ² = 3 ² x (2 x 5) ² = 2 ² x 3 ² x 5 ²
ou
900
2
135
450
2
45
225
3
15
75
3
5
25
5
1
5
5
1
900 = 2 ² x 3 ² x 5 ²
on arrête là car le reste vaut 0
3
3
3
5
135 = 3 3 x 5
900 2 ² x 3 ² x 5 ²
2 ² x 5 2–1
2 ² x 5 20
=
=
=
= .
3
2-1
135
3 x5
3
3
3
on a divisé 900 et 135 par leur pgcd 45 qui vaut 3 ² x 5, on a pris les facteurs en commun avec leur plus petit exposant.
5°) Exercice de décomposition.
On veut décomposer 48 x 90 en produit de facteurs premiers sans calculer 48 x 90
48
2
90
2
24
2
45
3
48 = 2 4 x 3
12
2
15
3
90 = 2 x 3 ² x 5
6
2
5
5
donc 48 x 90 = (2 4 x 3) x (2 x 3 ² x 5 ) = 2 4 x 3 x 2 x 3 ² x 5
3
3
1
48 x 90 = 2 5 x 3 3 x 5
1
Simplifier l'écriture de
48
48 = 2 4 x 3 = 2 4 x 3 = 2 ² x 3 = 4 3 .
calculer le p g c d de 48 et 90
le facteur 2 est commun
dans 48 il a l'exposant 4
dans 90 il a l'exposant 1
le facteur 3 est commun
dans 48 il a l'exposant 1
dans 90 il a l'exposant 2
on prend le plus petit exposant donc 2 1
on prend le plus petit exposant donc 3 1
donc p g c d(48 ; 90) = 2 x 3 = 6.
problème : on répartit en paquets un lot de 48 crayons bleus et un lot de 90 crayons rouges de façon que tous les crayons
d'un paquet soient de la même couleur et que tous les paquets contiennent le même nombre de crayons. Calculer le
nombre maximum de crayons par paquet.
le nombre de crayons doit être un diviseur commun à 48 et 90, c'est donc au maximum le pgcd : 6.
il y aura 8 paquets de crayons bleus et 15 paquets de crayons rouges.
48
48 8
on peut simplifier par 6 seulement, donc
= .
90
90 15
5
7
calculer
+
48 90
5
7
5
7
5
7
+ =
+
=
+
48 90 2 4 x 3 2 x 3 ² x 5 2 x 2 x 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 x 5
on prendra 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 comme dénominateur commun
car
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = (2 4 x 3) x 3 x 5 = 48 x 15 = 720
et
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = (2 x 3 ² x 5) x 2 x 2 x 2 = 90 x 8 = 720
simplifier
donc
5
7
5 x 15
7x8
75
56 131
+ =
+
=
+
=
48 90 48 x 15 90 x 8 720 720 720