Série1

Ministère de L’Enseignement Supérieur
et de la Recherche Scienti…que
UCPOLYTECH
Mathématiques 1
Série 1
Année : IN G_GEM 1
Exercice 1 :
0
1
1
6 8 4
On considère la matrice A = @ 0 7 3 11A
22 17 1 8
1. Déterminer le format de A?
2. Donner la valeur de chacun des éléments a14 ; a23 ; a33
Exercice 2 :
Distinguer parmi les matrices suivantes celles carrées, nulles, identités, diagonales
et triangulaires :
0
1
0
1
0
1
1 0 0 0
0 0
1 0 0
B
C
0 0
0 1 0 0C
@
A
A =
; B = @0 0A ; C = B
@0 0 1 0A ; D = 0 3 0 ; E =
0 1
0 0
0 0 0
0 0 0 1
1
0
3 0 0 0
B2 1 0 0 C
0 2
C
;F =B
@1 0 0 0 A
0 0
0
1 3
1
Exercice 3 :
0
1
@
Soit A = 3
4
1
0
1
1. Calculer M = 2A
1
0
2
1 3
A
@
1 ;B=
2 2
3
1 1
1
1
0 A et C = A
1
B
B et N = 3B + 5A.
2. Sans calculer le produit matricielle A
c32 .
3. Le produit matricielle M
B ; déterminer les coe¢ cients c13 et
N est-il commutatif.
1
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UCPOLYTECH
Exercice 4 :
0
1
0
1
1 3
2 0
On considère les matrices A; B et C dé…nis par A = @ 4 2A ; B = @ 2 1A
0 7
8 1
0
1
4 6
@
14 7 A
et C =
24 17
Trouver deux réels x et y tels que xA + yB = C:
Exercice 5 :
Calculer a; b; c et d tels que
Exercice 6 :
1 3
2 8
a b
c d
= I2
0
1
a2 ab ac
Soit a; b et c trois réels, M = @ab b2 bc A et N = I3
ac bc c2
M
1. Calculer M 2 en fonction a; b; c et M ?
2. On suppose que a2 + b2 + c2 = 1 ; Calculer M N ; N M et N 2 ?
Exercice 7 :
Executer les produits
dire pourquoi.
0
1
2 5
2 5
a. @3 6A
4 6
4 7
0
0
1
@
1 4 5
2 4
c.
3 5
Exercice 8 :
suivants lorsque c’est possible. Lorsque c’est impossible,
0
1
6
2A
3
2
2 5
@
3
b.
4 6
4
0
1
2 5 0
@
d. 3 6 3A
4 1 2
Dans chacun des cas, calculer les produits A
présente t-il ?
a. A =
6
3
12
6
et B =
12 6
6 3
2
1
5
6A
7
0
1
1
1
@2 0 A
3 5
B et B
A : Quelle particularité
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b. A =
2
1
4
2
et B =
0
0
UCPOLYTECH
2
1
Exercice 9 :
On considère la matrice A =
A2 =
x 1
2 3
où x est un réel. Déterminer x pour que
6 1
:
2 11
Exercice 10 :
0
1
0 0 1
Soient les matrices N = @0 0 1A A = I3 + N et I3 la matrice identité.
0 0 0
1. Démontrer que N est nilpotente et déterminer son degré de nilpotence ?
2. Démontrer que N et I3 commutent ?
3. En déduire alors, An ?
Exercice 11 :
Indiquer
et
0 la nature de
1 chaque matrice : symétrique
0
1 0
5
0 4
0 2
1
2A ; E =
D=@ 0
;D=@ 4 0
2 4
5
2 0
2 5
Exercice 12 :
antisymétrique
:
1
2
5A
0
Donner la matriceA telle que pour tout 1 i 3 et 1 j
3, les termes aij
sont donnés par aij = 2i j : En déduire sa transposée et sa trace ?
3