Topologie : Propositions et lemmes dans les espaces normés

Topologie
MP - Mathématiques
November 2019
2 Propositions et Lemmes
Proposition 2.1
§Toute suite convergente d’éléments d’un espace vectoriel normé Eest
bornée.
§Soient uPEN, `1, `2PE. Si uÑ`1et uÑ`2, alors `1“`2
Proposition 2.2 Soit Eun espace vectoriel normé.
1. Toute suite constante de valeur `PEconverge vers `.
2. Si une suite converge vers `PE, alors sa norme converge vers ||`||.
3. L’ensemble CpN, Eqdes suites convergentes est un sous-espace vectoriel
de CpN, Eqet l’application lim :CpN, Eq ÝÑ Eest linéaire.
Proposition 2.3 Soit Eun e.v.n ; soient punqet pvnqdeux suites d’éléments
de Eet pnqune suite de réels positifs, telles que
@nPN,||un´vn|| ď net lim
nÑ`8n“0
Alors si uconverge vers `PE, alors vconverge aussi vers `.
Proposition 2.4 Soit E“śiPIEiun produit fini d’espaces vectoriels nor-
més, muni de la norme produit. Une suite ud’éléments de E, où pour tout
n, un“ pupiq
nqiPI, converge vers `“ p`piqqiPIsi et seulement si pour tout iPI,
la suite des iemes composantes ui“ pupiq
nqconverge vers la ieme composante lpiq
de `dans Ei.
Lemme 2.1 Parties infinies de Net fonctions extractrices
1. Soit AĂN.Aest infinie si et seulement si An’est pas majorée.
2. Si ϕPNNest strictement croissante, @nPN, ϕpnq ě n.
1

3. Si AĂNest infini, il existe une unique fonction ϕPNNstrictement
croissante telle que ϕpNq “ A(dite énumération croissante de A.
Proposition 2.5 Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers
la même limite.
Proposition 2.6 Valeurs d’adhérence des suites extraites
§Toute valeur d’adhérence d’une sous-suite de uest une valeur d’adhérence
de u
§Si `PEest une valeur d’adhérence de toute sous-suite de u, alors ucon-
verge vers `
Proposition 2.7 Soit aPE
1. Eest un voisinage de a;Hn’est pas un voisinage de a.
2. Soient V, W ĂE. Si VĂVpaqet VĂW, alors WĂVpaq
3. L’intersection d’une famille finie de voisinages de aest un voisinage de a
Proposition 2.8 Séparation de Hausdorff : Soient a, a1deux points de E.
Si a‰a1, alors il existe deux voisinages respectifs de aet a1dans Ed’union
disjointe (i.e d’intersection vide)
Proposition 2.9 Soit Aune partie Eet soit xPE. « xn’est pas adhérent à
A» équivaut à :
E´APVpxq
Proposition 2.10 Adhérence et distance à une partie
Soient Aune partie non vide de E. Alors
@xPE, x PAðñ dpx, Aq “ 0
Proposition 2.11 Intérieur, adhérence et frontière
Soit Aune partie de E. Tout point intérieur de Aappartient à A, et tout point
de Aest adhérent à A; l’adhérence de Aest la réunion de l’intérieur et de la
frontière de A:
˝
AĂAĂA A “˝ AY BA
Proposition 2.12 Intérieur et adhérence d’une boule
Soit Bune boule (ouverte ou fermée) de centre aPEet rayon rą0.
§L’intérieur de Best la boule ouverte de centre aet rayon r.
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§L’adhérence de Best la boule fermée de centre aet rayon r.
§La frontière de Best la sphère de centre aet rayon r.
Proposition 2.13 Soient Ωune partie de Eet aPΩ. Les voisinages de a
relatifs à Ωsont les "traces" sur Ωdes voisinages de a(dans E) de E, c’est-
à-dire : une partie VPΩest un voisinage de arelatif à Ωsi et seulement s’il
existe un voisinage ˜ Vde a(dans E) tel que V“˜ VXΩ. On note
VΩpaq“t˜ VXΩ : ˜ VPVEpaqu
Proposition 2.13 Soient Ωune partie de Eet aPΩ. Les ouvert (resp. les
fermés) relatifs à Ωsont les "traces" sur Ωdes ouverts (resp. fermés) de E,
c’est-à-dire : une partie APΩest un ouvert (resp. fermé) relatif à Ωsi et
seulement s’il existe un ouvert (resp. un fermé) ˜ Ade Etel que A“˜ AXΩ
Proposition 2.14 Si Fest un sous-espace vectoriel d’un e.v.n E, les ouverts
(resp. fermés, voisinages) relatifs à Fsont les ouverts (resp. fermés, voisinages)
par rapport à a norme induite sur Fpar celle de E
Proposition 2.15 Soient Ωune partie de Eet aPEun point adhérent à
Ω.
1. Ωest un voisinage de arelatif à Ω;Hn’est pas un voisinage de arelatif
àΩ
2. Soient V, W ĂΩ. Si VĂVΩpaqet VĂW, alors WPVΩpaq
3. L’intersection d’une famille finie de voisinages de arelatifs à Ωest un
voisinage de arelatif à Ω
Proposition 2.16 Soient u“ punqnPNune suite d’éléments de Eet `PE.
On a
lim
nÑ`8un“lðñ @VPVplq,Dn0PN@nPN,pněn0ùñ unPVq
Ceci est aussi équivalent à dire que :
@VPVplq, u´1pVq P VNp`8q
Proposition 2.16 La relation de domination de norme est un pré-ordre (réflex-
ive et transitive) sur l’ensemble Ndes normes sur E. La relation d’équivalence
de normes et une relation d’équivalence sur N.
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