Topologie de R Exercice 3. Exercice 6. un+1 − un > 0 Exercice 7. un

#170
Topologie de R
Khôlles - Classes prépa
Exercice 1.
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
Partie à un seul point d'accumulation
Soit A une partie bornée de R ayant un seul point d'accumulation, a.
1) Montrer que A est dénombrable.
2) On numérote les éléments de A d'une manière quelconque : A = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}.
Montrer que xn − n → ∞− > a.
Exercice 2. (sin(n))
est dense dans
[−1, 1]
Soit a ∈ R \ Q et A = {ma + n tq m ∈ Z, n ∈ N}. Montrer que A est dense dans R.
Application : Montrer que tout réel de [−1, 1] est valeur d'adhérence de la suite (sin n).
Exercice 3.
√
m−
√
n
√
√
Montrer que l'ensemble A = { m − n tq m, n ∈ N} est dense dans R.
Exercice 4.
Unités quadratiques
Exercice 5.
Olympiades 1991
√
√
Soit A = {n + p 2 tq n, p ∈ N, n + p 2 > 0, n2 − 2p2 = 1}. Montrer que A est un sous-groupe
discret de R+∗ .
Soit a > 1. Montrer qu'il existe une suite réelle bornée, (xn ), telle que : ∀ i 6= j, |xi − xj | ≥
1
.
|i − j|a
Exercice 6. un+1 − un > 0
Soit (un ) une suite réelle bornée telle que un+1 − un − n → ∞− > 0. Montrer que l'ensemble des
valeurs d'adhérence de (un ) est un intervalle.
Exercice 7. un+1 − un > 0
f.
Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] continue, u0 ∈ [0, 1] et (un ) la suite des itérées de f en u0 .
On suppose que un+1 − un − n → ∞− > 0. Montrer que la suite (un ) converge vers un point xe de
Exercice 8. exp(iun )
Soit (un ) une suite réelle telle que la suite (exp(iun )) converge et la suite (|un+1 − un |) est majorée
par α < π . Montrer que (un ) converge.
Exercice 9. exp(iun )
Soit (un ) une suite réelle telle que un+1 − un − n → ∞− > 0 et un − n → ∞− > +∞. Démontrer que
la suite (exp(iun )) est dense dans U.
Exercice 10. exp(iun )
u
Soit (xn ) une suite réelle bornée et u > 0, v > 0. On suppose que ∈/ Q et que les suites (eiuxn ) et
v
(eivxn ) convergent. Montrer que la suite (xn ) converge.
Exercice 11. un+p ≤ un + up
Soit (un ) une suite réelle positive telle que : ∀ n, p ∈ N, un+p ≤ un + up . Montrer que la suite
est convergente.
14 septembre 2015
1
u n
n
Thierry Sageaux
Topologie de R
Exercice 12. Fonctions périodiques (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP∗ 2003)
1) Déterminer toutes les fonctions f : R −→ R continues, périodiques
2) Déterminer les fonctions f : R2 −→ R2 continues telles que :
de périodes 1 et
pour tout X ∈ R2 , f (X) = f (X + (1, 0)) = f (X + (0, 1)) = f (AX) où A =
2
1
0
√
2.
1
.
1
Thierry Sageaux
Topologie de R
Solutions des exercices
Exercice 1.
1) A\]a −
1
n, a
+ n1 [ est ni.
Exercice 3.
√
√
Soient x < y : Il existe a ∈ N tel que √
n ≥ a√
⇒ n + 1 − n < y − x.
Il existe b ∈ N tel que a − b <√x. √
Alors il existe c ≥ a tel que x < c − b < y .
Exercice
√ 4.
√
n + p 2 > 1 ⇒ n > 0, p > 0, donc A∩]1, +∞[ admet un plus petit élément : 3 + 2 2.
Exercice 5.
1
1
On construit un ensemble de type Cantor dont les trous ont pour longueur 1, a , a , . . ., et on répartit
2 4
les xk de part et d'autre des trous en fonction de l'écriture décimale de k (0 → à gauche, 1 → à droite).
Exercice 7.
L'ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle constitué de points xes de f ⇒ la suite (un ) a
une seule valeur d'adhérence.
Exercice 11.
u
Soit ` = lim inf n et ε > 0. Il existe p tel que (` − ε)p ≤ up ≤ (` + ε)p.
n
Alors pour n ∈ N et 0 ≤ k < p : uk + (` − ε)np ≤ unp+k ≤ uk + (` + ε)np.
Exercice 12.
1) Il est supposé
connu (et à savoir démontrer) le fait suivant : si G est un sous-groupe de R, alors
G
est monogène, soit G = R. Dans le cas de la question, le groupe G des périodes de f contient
√
√
1 et 2 donc n'est pas monogène car 2 ∈
/ Q (la démonstration a été demandée à l'élève). De plus G
est fermé par continuité de f , d'où f est constante.
2) D'après la première question, pour tout y ∈ R \ Q l'application x 7−→ f (x, y) est constante et il en
va de même si y ∈ Q par continuité de f . Donc f est de la forme (x, y) 7−→ g(y) où g est 1-périodique.
Réciproquement, toute fonction f de cette forme convient.
soit
3
Thierry Sageaux