LYCEE PILOTE NABEUL ✫✫✫✫ SECTION : 3ème Science expérimentale SERIE DE REVISION N°1 ✫✫✫✫ PROF : Mr BEN RHIM SAMI Chapitre 1 : Continuité MATHEMATIQUE Date : 16/10/2014 EXERCICE N°1 : 1°) Soit f ( x ) 3x 6 . a) Peut-on parler de la continuité de f en 1 et en 2 ? b) Montrer que pour tous réels a et b, on a a b ab 2°) Soit g( x ) 2x 5 . a) Peut-on parler de la continuité de g en –2 et en –3 ? 2x 4 b) Montrer que 2x 5 1 . 2x 5 1 c) Montrer que f ( x ) f (1) 3 x 1 . c) En déduire que d) Montrer alors que f est continue en 1. e) Montrer de même que f est continue en 2. d) Montrer alors que g est continue en –2. 2x 5 1 2 x 2 . EXERCICE N°2 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i , j) . Cf est la représentation graphique d’une fonction f Dans chacun des cas suivants, préciser si f est définie en 1, si f est continue en 1, si f est continue à gauche en 1, si f est continue à droite en 1. 1 EXERCICE N°3 : f x x 1 si x 0 si 0 x 3 Soit la fonction définie par f x 2x 4 si x 3 f x x 1 1°) Tracer la courbe représentative de f dans b) Justifier que la fonction f est continue sur un repère (O , i , j ) 0, 3 2°) a) Justifier que la fonction f est continue sur c) Justifier que la fonction f est continue sur , 0 3, EXERCICE N°4 : 3°) Justifier à l’aide du graphique, que la fonction f n’est pas continue sur IR. si x 0 x 2 Soit f : x x si 0 x 1 x 1 si x 1 On désigne par c la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O , i , j ) 2 1°) Tracer c. 2°) f est-elle continue en 0 ? 3°) f est-elle continue à gauche en 1 ? 4°) f est-elle continue à droite en 1 ? 5°) Sur quelle partie de IR, f est-elle continue ? 6°) Dresser le tableau de variation de f . 7°) Déterminer, l'image par f de chacun des 1 intervalles : ,0 ; 0, ;1, 2 EXERCICE N°5 : Dans le plan muni d’un un repère (O , i , j ) , on a représenté la fonction f définie par : f x x 3 3x 1°) Justifier, graphiquement, que l’équation f x 3 admet une solution unique x0 dans IR et en donner un encadrement à 103 près. 2°) Déterminer les abscisses des points d’intersection de (C) et la droite ': y 2 EXERCICE N°6 : 1 On considère la fonction f définie par : x 2x 2 si x , 1 si 1, I- 1°) Déterminer l’ensemble de définition de f. 2°) Tracer la courbe représentative de f dans un repère (O , i , j ) . 3°) a) Justifier le continuité de la fonction f sur ; 1 et sur 1; . b) Vérifier, à l’aide du graphique, que la fonction f n’est pas continue sur IR. 4°) Pour chacune des équations suivantes, déterminer, à l’aide du graphique, le nombre de solutions de l’équation : f ( x ) 0 ; f ( x ) 0 et f ( x ) 2 . II- 1°) Quelles sont les images par f des intervalles : I 3; 2 , J 2;1 et K 1; . 1 2°) Déterminer l’ensemble des antécédents par f des réels de l’intervalle ,1 . 2 EXERCICE N°7 : Soit la fonction f : x x x ² 2x 2 x 1°) a) Déterminer l’ensemble de définition D f de b) Montrer que f est bornée sur 4; 2 f. b) Montrer que pour tout x D f ; 4°) a) Calculer f(2) et f(3). x 2 1 2 x 2°) Montrer que f est continue sur son ensemble de définition D f dans [2, 3] une solution puis déterminer une f (x) 3 3°) a) Étudier les variations de f sur D f . b) En déduire que l’équation f(x) = 0 admet valeur approchée de à 101 près. EXERCICE N°8 : I- Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x ) 2x 3 x 1 . 1°) Montrer que f est strictement décroissante sur IR. 2°) Quelles sont les images par f des intervalles : 1;3 ; J 2;5 ; et K 1;1 . 3°) a) Montrer que l’équation : f ( x ) 0 admet une solution dans l’intervalle 0;1 . b) Donner une valeur approchée par défaut à 0,1 prés de . II- Soit g la fonction définie sur IR par : g( x ) x 2 x 5 . 1°) Déterminer l’ensemble de définition de g. 2°) Etudier la continuité de g sur son ensemble de définition. 3°) a) Montrer que l’équation : g( x ) 0 admet une solution dans l’intervalle 1;2 b) Donner une valeur approchée par défaut à 0,1 prés de . III- On considére la fonction h définie par : f ( x ) si x ; 4 h( x ) g( x ) si x 4; 1°) Déterminer l’ensemble de définition de h. 2°) Etudier la continuité de h sur son ensemble de définition. EXERCICE N°9 : 1°) f est une fonction impaire définie sur [−3,3] par : 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]0,3] { 𝑓(0) = 0 a) Compléter le traçage de Cf. b) Etudier graphiquement la continuité de f en 0. c) Donner un majorant et un minorant de f. 2°) On donne une fonction g paire définie par : 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,3]. a) Déterminer l’ensemble de définition de g noté Dg et tracer Cg sur le même repère avec une autre couleur. b) Etudier graphiquement les variations de g. c) Donner l’expression de g(x) si 𝑥 ∈ [−3,0]. d) Utiliser Cg pour déterminer g([1,2]) et g(]1,3]) e) Montrer que l’équation g(x)=0 admet une seule solution 𝛼 dans [2,3] et donner un encadrement de cette solution à 10–1 prés. 3°) On considère la fonction h définie sur IR par ℎ(𝑥 ) = −𝑥 2 + 2𝑥 + 1. a) Pour quelle valeur de x la fonction h présente un maximum ? quelle est la valeur de cette maximum ? b) Tracer la représentation graphique de h sur le même repère. c) Donner un encadrement d’amplitude 1 de la solution 𝛽 de l’équation h(x)=g(x). 4°) Soit la fonction 𝑘 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 2𝑥 + 2. a) Etudier la continuité de la fonction k sur [0,1]. b) Donner un encadrement de 𝛽 à 10-1 prés. 4