Cours EDO C Besse

Résolution numérique des Équations
Différentielles Ordinaires
L3 Mapi3
Christophe Besse

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First printing, November 2016

Table des matières
1Interpolation polynomiale ................................................5
1.1 Interpolation de Lagrange 5
1.2 Étude de l’erreur d’interpolation et stabilité 6
1.3 Calcul pratique du polynôme d’interpolation de Lagrange 9
1.3.1 Différencesdivisées ........................................................10
1.3.2 AlgorithmedeHorner ...................................................... 11
1.4 Exercices 12
2Intégration numérique ..................................................15
2.1 Formules de quadrature et leur ordre 15
2.2 Étude de l’erreur 19
2.3 Formules d’ordre supérieur 23
2.4 Polynômes orthogonaux de Legendre 24
2.5 Formule de quadrature de Gauss 24
2.6 Exercices 25
3EDO - Introduction ......................................................27
4La méthode d’Euler .....................................................35
4.1 Exemples 35
4.2 Le cas général 37
4.3 Analyse de la méthode 38
4.4 Le schéma d’Euler implicite 44
4.4.1 Consistance.............................................................. 44
4.4.2 Stabilité ................................................................. 44
4.4.3 Convergence ............................................................45

4.5 Étude générale de l’erreur des méthodes à un pas 45
4.6 Les méthodes de prédicteur-correcteur 47
4.7 Exercices 49
5Les méthodes multi-pas .................................................55
5.1 Introduction 55
5.1.1 Larègledestrapèzes ...................................................... 56
5.1.2 Méthode de Adams-Bashforth à 2 étapes AB(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Les méthodes à deux pas 56
5.2.1 Consistance.............................................................. 57
5.2.2 Construction ............................................................. 57
5.3 Méthodes à kétapes 58
5.4 Convergence et (zéro)-stabilité 59
5.5 Familles classiques 60
5.5.1 Adams-Bashforth1883 ...................................................... 60
5.5.2 FamilleAdams-Moulton1926................................................. 61
5.5.3 MéthodesdeNyström1925.................................................. 61
5.5.4 Milne-Simpson1926 ........................................................ 61
5.5.5 Backward Differentiation Formulas (BDF) 1952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6 Exercices 61
6Stabilité ................................................................65
6.1 Stabilité absolue - motivations 65
6.2 Stabilité absolue 67
6.3 Méthode de localisation de la frontière 70
6.4 A-stabilité 71
6.5 Extension aux systèmes d’EDO 71
6.6 Exercices 74
7Les méthodes de Runge-Kutta ...........................................77
7.1 Description de la méthode 77
7.2 Consistance 79
7.2.1 MéthodesRKàuneétape .................................................. 79
7.2.2 MéthodesRKàdeuxétapes.................................................80
7.2.3 MéthodesRKàtroisétapes.................................................. 81
7.2.4 MéthodesRKàquatreétapes ............................................... 81
7.2.5 Méthodesimplicites........................................................ 81
7.3 Stabilité absolue 82
7.4 Méthodes implicites 83
7.5 Exercices 85
Bibliographie ...........................................................87
Livres 87
Index ..................................................................89

1. Interpolation polynomiale
On dispose d’une série de couples de points ( xi, fi ), i∈ { 0 ,··· , n} . Le but de l’interpolation est de
contruire un polynôme p qui prenne les valeurs fi aux points xi . Si on suppose que les valeurs fi sont
issues de l’évaluation d’une fonction fen xi, nous tenterons de quantifier l’erreur |f(t)−p(t)|.
x1x2x3x4x5
On ne présente ici que l’interpolation de Lagrange. Il en existe d’autres comme par exemple l’interpolation
de Hermite qui outre les valeurs fis’interesse également aux valeurs de la dérivée en xi.
Notations
— On note Pn l’ensemble des polynômes d’une variable (réelle ou complexe) de degré ≤n . Pn est un
espace vectoriel de dimension n+ 1
— Soit [a, b]∈R. On note C0([a, b]) l’ensemble des fonctions continues sur [a, b]et
kfk∞= sup
x∈[a,b]|f(x)|
— On note Cm([a, b]) l’ensemble des fonctions de classe Cmsur [a, b].
1.1 Interpolation de Lagrange
On considère n + 1 points distincts, pas nécessairement ordonnés ( x0, x1,··· , xn )de [ a, b ]et on
considère une fonction f∈C0([a, b]). Nous souhaitons répondre à la question
Existe-t-il un polynôme p∈Pntel que p(xi) = f(xi),0≤i≤n?