espace vect

ECOLE NATIONALE POLYTECHNIQUE CONSTANTINE
ALGEBRE 2
Exercices solutionnés
Exercice 1: Etudier le sous ensemble V=f(x; y; z)2R3jz(x2+y2) = 0g
de R3:
Solution:
On a ce qui suit: (x; y; z)2V() z(x2+y2) = 0 ,(z= 0) ou
(x2+y2= 0) ,(z= 0) ou (x=y= 0):
Ainsi pour x; y; z 2Ron a bien (x; y; 0) 2V: et (0;0; z)2V:cependant
leur somme (x; y; 0)+(0;0; z) = (x; y; z)n’appartient pas à VCe qui traduit
la non stabilité de la somme dans V: On conclut que Vn’est pas un sous
espace vectoriel de R3:
Exercice 2: 1- Montrer que U=f(x; y; z)2R3jx+yz=x+y+z= 0g
est un sous espace vectoriel de R3:Donner la dimension de U:
Solution
Certes, (x; y; z)2U,x+yz= 0
x+y+z= 0 ,y=xet z= 0 ,
(x; y; z) = (x; x; 0) = x(1;1;0):On déduit alors que le vecteur non nul
(1;1;0) est un système génerateur et libre de U; par conséquent la dimen-
sion de Uest un.
Exercice 3: Trouver une condition necessaire et su¢ sante a…n que
(x; y; z)2lf(1;0;2); (2;3;1)g:
Solution
.On a ce qui suit (x; y; z) = (1;0;2) + (2;3;1) ,8
<
:
x=+ 2
y= 3
z= 2+
,
=y
3;  =x2 3yet z=2x y:Ainsi
lf(1;0;2); (2;3;1)g  (x; y; z)2R3jz=2x y
1

. On veri…e aisément que f(x; y; z)2R3jz=2x ygest un sous espace
vectoriel de R3qui pour base le système (1;0;2);(0;1;1) car ce système
est libre (veri…er) et (x; y; 2xy) = x(1;0;2) + y(0;1;1) autrement dit
generateur de f(x; y; z)2R3jz=2x yg
Le vecteur (0;1;1) pour =y
3=1 3et =x2 3y=2 3sat-
isfait (0;1;1) = 2
3(1;0;2) + 1 3(2;3;1):autrement dit (1;0;2); (0;1;1)
2lf(1;0;2); (2;3;1)get donc
(x; y; z)2R3jz=2x ylf(1;0;2); (2;3;1)g
En somme f(x; y; z)2R3jz=2x yg=lf(1;0;2); (2;3;1)gce qui traduit
qu’un vecteur (x; y; z)de R3est un vecteur de lf(1;0;2); (2;3;1)gsi et seule-
ment si z= 2xy:
Exercice 4:
1- Montrer que les polynomes formels 1; X; :::; Xnsont libres dans Rn[X].
En déduire la dimension du Respace vectoriel Rn[X]:
2-Le système de vecteurs w1= 52X+X2;w2=3X+2X2; w3= 3+X
est il une base de R2[X]:Le système w1= 5 2X+X2;w2=3X+ 2X2;
w3= 3 + X; w4=3 + 4X+X2est il genérateur de R2[X]est il libre. Quel
vecteur peut s’exprimer en fonction des autres.
Solution
1- Soient 0; 1; :::; n2Ret considérons 01+2X+:::+nXn= 0 ce
qui fournit 0(1;0; :::)+1(0;1;0; :::)+:::+n(0;0;0; :::; 1;0; :::) = (0;0; :::)
d’où (0; 1; :::; n;0; :::) = (0;0; :::)on conclut 0=1=::: =n= 0:
Si P2Rn[X]donc deg Pndonc P= (a0; a1; :::; ak;0; :::)avec kn:
Ce qui exprime que tout polynome P(X) = a0+a1X+::: +akXkave kn:
Ainsi tout polynome de Rn[X]s’exprime sous la somme générale P(X) =
a0+a1X+::: +anXn(pour les polynomes de degrés kstrictement inférieurs
ànil su¢ t prendre tous les scalaires nuls au dela de l’indice k).
On concult que le système de vecteurs 1; X; X2; :::; Xn: est une base de
Rn[X]:Ainsi dimRRn[X] = n+ 1:
2- Pour que w1= 5 2X+X2;w2=3X+ 2X2; w3= 3 + Xsoit une
base de R2[X]il su¢ t que ce systeme soit libre.
Le polynome w2n’est pas une combinaison linéaire de w1: il n’existe
pas de scalaire 2Ravec w2=w1(véri…er) Etudions l’équation w3=
2

w1+w2qui fournit le système :
8
<
:
5= 3
23= 1
+ 2= 0
le système 23= 1
+ 2= 0
admet la solution unique =2et = 1 qui ne satisfait pas l’éqaution
5= 3. On conclut que le système w1; w2; w3est libre donc une base de
R2[X]lequel vér…e dimRR2[X] = 3:
Le système w1; w2; w3; w4est un sur systeme du systeme w1; w2; w3donc
c’est un système generateur de R2[X]et ainsi le vecteur w4est une combi-
naison linéaire de w1; w2; w3:
Exercice 5:
1- Montrer que les vecteurs w1= (1;1;1); w2= (1;2;0) et w3= (2;1;1)
forment une base de R3:
2- Donner les coordonnées du vecteurs u= (4;2;2) dans la base canon-
ique.
2- Evaluer la somme w1+w2+w3:Donner les corrdonnées de udans la
base B= (w1; w2; w3):
3- Existe il un scalaire k2Rtel que les vecteurs (3;0;2);(2;1;0),(1; k; 1)
soient un système lié de R3:
4- Prolonger le système de vecteurs (3;0;2);(2;1;0) a une base de R3:
Solution:
1-En e¤et l’équation (0;0;0) = (1;1;1) + (1;2;0) + (2;1;1) conduit
au système:
8
<
:
++ 2= 0
+ 2= 0
+= 0
En soustrayant les deux premières equations on a 3= 0 qui fournit
= 0 lequel substitué à la troisième équation assume = 0 et en…n par
substitution dans une deux deux premières égalités con…rme que = 0:
Ainsi le système est libre donc une base de R3.
3

2- La base canonique de R3est (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1) et on a : u=
(1;1;2) = 1(1;0;0)+(1)(0;1;0)+2(0;0;1) ainsi le coordonnées de udans
la base canonique sont :1;1;2:
D’autre part: w1+w2+w3= (1;1;1) + (1;2;0) + (2;1;1) = (1 + 1 +
2;1+21;1 + 0 + 1) = (4;2;2):On déduit de l’égalité que u=w1+w2+w3
donc les coordonnées de udans cette base sont: 1;1;1:
3- Le vecteur (3;0;2) est libre et (2;1;0) n’est pas une combinanison
linéaire de (3;0;2) car il n’existe pas de scalaire 2Rsatisfaisant: (3;0;2) =
(2;1;0).Ainsi (3;0;2);(2;1;0),(1; k; 1) est lié si et seulement si l’équation ils
existent ;  2Rtels que : (1; k; 1) = (3;0;2) + (2;1;0):On a ainsi :
8
<
:
3+ 2= 1
=k
2= 1
D’où en substituant =1
2et =1 4:la seconde équation impose k=1 4:
On conclut que pour k=1
4le système est lié.
4- Le système (3;0;2);(2;1;0) est libre car (2;1;0) n’est pas une com-
binaison linéaire de (3;0;2) pour le prolonger à une base de R3il su¢ t
de lui a¤ecter un troisième vecteur a…n d’obtenir un sytème libre. De la
question précédente pour k6=1
4constate que on l’équation (1; k; 1) =
(3;0;2) + (2;1;0) autrement dit pour tout k2R 1
4le système de
vecteurs est libre. Ainsi, (3;0;2);(2;1;0);(1; k; 1) à une base de R3pour tout
k2R 1
4:
Exercice 6:
1- Montrer que le systeme G:u1= (2;1;0); u2= (1;1;2); u3=
(0;3;4) est un système lié.donner la dimension de l(G):
2- Montrer que la somme l(u1) + l(u2)est directe. est elle supplémentaire
dans R3.
Solution
1- Le vecteur u2ne peut pas etre une combinaison linéaire de u1(executer
les calculs) considérons alors l’équation u3=u1+u2qui o¤re le systeme:
8
<
:
2+= 0
= 3
2=4
4

ainsi les deux dernières equations informent que: =2et = 1 qui
satisfont la première equation. On conclut que u1= (2;1;0); u2= (1;1;2);
u3= (0;3;4) est un système lié puisque u1= (2;1;0); u2= (1;1;2);
u3= (0;3;4) engendre l(G)est que Gest un sur sytème du système u1=
(2;1;0); u2= (1;1;2) donc u1; u2engendre l(G)ils sont en plus libres donc
ils constituent une base de l(G)dont la dimension est donc égale à deux.
L’équation (0;0;0) = (2;1;0) + (1;1;2) conduit à:
8
<
:
2+= 0
= 0
2= 0
qui admet pour solution unique == 0:On conclut que la somme l(u1) +
l(u2) = l(u1)l(u2):
Leur somme n’est pas supplémentaire dans R3car dimRR36= dimRl(G):
Exercice 7:
1- Montrer que U=f(x; y; z)2R3jx=y=zget V=f(x; y; z)2R3jx= 0g
sont deux sous espace vectoriel de R3. et donner les dimensions de Uet V:
2- Sont ils supplémentaire de R3:
Solution
1-a) On U=f(x; y; z)2R3jx=y=zg=f(x; x; x)2R3jx2Rg:On
véri…e alors aisément la stabilité de la somme et de la loi externe sur U: (à
faire...).
De meme: V=f(x; y; z)2R3jx= 0g=f(0; y; z)2R3jy; z 2Rg:On
veri…e sans peine la stabiloté de la somme et de la loi externe sur V:(à faire...).
b) u2U,u= (x; x; x)tel que x2R,u=x(1;1;1) tel que x2R:On
conclut que (1;1;1) est un système générateur de Uqui plus est ce dernier
est non nul ainsi libre et donc est une base de Uqui est dés lors de dimension
un.
v2V() v= (0; y; z)où y; z 2R,v= (0; y; 0) + (0;0; z) =
y(0;1;0) + z(0;0;1) où y; z 2R:On déduit que le système (0;1;0);(0;0;1)
est générateur de V. En…n, l’equation (0;0;0) = x(0;1;0)+y(0;0;1) conduit
àx=y= 0:Ainsi (0;1;0);(0;0;1) est une base de Vqui est donc de
dimension deux.
2- Le système (1;1;1);(0;1;0);(0;0;1) est un système libre: l’equation
(1;1;1) + (0;1;0) + (0;0;1) = (0;0;0) est équivalente au système trivial
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