exercices de math sup

Sujet 1
EXERCICE 1 : (n Pts.)
1 / Soit E un ensemble dont le cardinal est un entier naturel n supérieur ou égal à 2.
Déterminer le nombre de parties de E comprenant au moins deux éléments.
2 / Paul possède une collection de quatre pièces de 5 Frs, trois pièces de 1O Frs, deux pièces
de 25 Frs, trois pièces de 50 Frs, trois pièces de 100 Frs.
a) Il prélève de sa collection cinq pièces, toutes de valeur différentes.Combien peut-il
former de tas de deux pièces au moins avec cinq pièces ?
b) Il s’amuse ensuite à placer côte à côte, sur une même rangée ses 15 pièces. En
admettant qu’on ne peut distinguer des pièces de valeur, calculer le nombre de
dispositions possibles de ces pièces.
3 / Paul verse toute sa collection de pièces dans une urne et procède à des tirages avec
a) Il effectue 5 tirages successifs ; calculer la probabilité pour qu’il obtienne fois
exactement une pièce de 50 Frs
b) Il effectue n tirages successifs. Calculer la probabilité pn pour qu’il obtienne au
moins une fois une pièce de 50 Frs.
c) Déterminer le nombre minimum n0 de tirages qu’il doit faire pour que pno soit au
moins égale à 0,8.
NB : ln2 désignant le logarithme décimal de 2, on prendra ln2 = 0,30103.
EXERCICE 2 : (5 Pts.)
C désigne l’ensemble des nombres complexes, et P un plan affine euclidien orienté, associé à
c, muni d’un repère orthonormé direct
),,( vuo 
1) On considère les points A, B, C de P, d’affixe respectives :
,32i
326 i
,
2
3
2
3i
. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S définie par : S
(A) = A et S (B) = C.
2) n est un entier naturel différent de zéro. Soit fn l’application de P dans P qui, au point
M d’affixe z, associe le point Mn d’affixe zn, tel que :
)1(32 nn
nizz
avec
3
ii
a) montrer que S = f1
b) on suppose :
32iz 
Pour quelles valeurs de n,
32 32 iz izn
est-il réel ? Que peut-on dire dans ce cas des points A,
M, et Mn ?
Quelle est alors la nature de fn ?
Problème : 10 pts
Le problème comporte trois parties A, B, C.
Partie A :

Soit F une fonction numérique dérivable sur un intervalle [a, b] avec a inférieur
à b; on suppose sa dérivé f’ continue sur [a, b] et qu’il existe un réel strictement positif k tel
que : pour tout x de [a, b] :
kxf )('
1) montrer qu’alors
)()()( abkafbf 
.
Partie B :
Dans cette partie, f est la fonction définie sur
,0
par
xxxf ln22²)( 
.
1) étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2) a) montrer que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions dont l’une x0
appartient à l’intervalle
2,1
.
b) en déduire que x0 =
0
ln22 x
.
3) Après avoir étudier les branches infinies de la courbe de f, tracer cette
courbe dans le plan rapporte à un repère orthonormé
),,( jio 
(unité de
longueur sur les axes 2 cm)
Partie C :
g est la fonction définie sur : ]1
[ par g(x)=
xln22
1) a) Montrer que pour tout x de
,1
,
2)( xg
b) Montrer que pour tout x de
2
2
)('0,,1  xg
c) Calculer g (xo) en fonction de x0, x0 étant la solution de 2) a).
2) Soit (Un) la suite r
n
nxU 
 2
2
0
réelle définie par :
2
0U
et
nn UU ln22 1
a) Montrer que pour tout entier naturel n,
2
n
U
b) Etablir pour tout entier naturel n les inégalités :
001 2
2xUxU nn 
n
nxU 
 2
2
0
(On pourra utiliser la partie A)
c) En déduire que la suite (Un) est convergente et donner sa limite
D’après bac
Sujet 2 :
Exercice 1 :
On donne les fonctions f et g de R dans R telles que :
xexf x3cos)( 2
,
xexg x3sin)( 2
1) calculer pour tout réel x f’(x) et g’(x) où f’ et g’ désignent respectivement les
dérivées premières de f et g
2) a) Exprimer f’ et g’ en fonction de f et g

b) En déduire l’expression de f puis celle de g en fonction de f’ et g’.
3) Justifier l’existence et calculer les intégrales :
I =
dxxf
6
0)(
et J =
6
0)(
dxxg
.
EXERCICE 2 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
),,( vuo 
. On considère
les points A, B et C d’affixes respectives
i1
,
i31
et
i3
. On désigne par I, J et K les
milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].
1) faire la figure. Déterminer les affixes des points I, J et K.
2) pour quelles valeurs du nombre réel
les ponts A, B et C affectés
respectivement des cœfficients
2
, 1 et
1
admettent-ils de
barycentre
G
.
Démontrer que
G
lorsqu’il existe, appartient à la droite (IJ).
3) on suppose maintenant que
0
.
a) Déterminer GO.
b) Démontrer que l’ensemble des points M du plan tel que
322222  MCMBMA
est un cercle (C), dont on précisera le centre
et le rayon.
c) Tracer (C) sur la figure initiale. Par quelles points de la figure passe ce
cercle ? justifier les réponses données.
PROBLÈME
La représentation graphique ci-dessous est celle de la courbe ( ℒ) d’une fonction f définie et
dérivable sur R. On précise de plus que le point
)
2
1
,0(A
appartient à (ℒ) (l’unité de longueur
sur les axes égale à 2 cm).

OI
JA

Partie A :
2) En utilisant la représentation graphique de f et les informations données ci- dessus :
a) dresser le tableau de variation de f.
b) en déduire que f est une bijection de R vers l’intervalle] 0,1[.
3) on désigne par
1
f
la bijection réciproque de f.
a) Dresser le tableau de variation de
1
f
.
b) Tracer la courbe
1
f
dans un repère orthonormé (on prendra deux centimètres
comme unité de longueur sur les axes).
4) On suppose qu’il existe un nombre réel a tel que pour tout x de R,
x
e
a
xf  1 )(
a) Calculer a.
b) En déduire que pour tout x de R,
x
x
e
e
xf   1 1)(
.
c) Soit un nombre réel strictement positif et (D) le domaine du plan délimité par
la droite d’équation
x
, l’axe des abscisses l’axe des ordonnées et la courbe (ℒ)
de f. Évaluer en centimètres carrés l’aire de (D) en fonction de . Calculer la
limite de cette aire lorsque tend vers l’infini.
Partie B :
Dans cette partie on suppose
x
e
xf  11 )(
.
On considère la suite (Un) définie par
1
0)( dttfUo
et pour tout n différent de 0.
1
0)( dtetfU nt
n
1) Calculer U1 puis Un +Un+1 en fonction de n ; En déduire U2 et U3.
2) Démontrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0, 1].
a)
nxxn ee  )1(
b)
2
1
)(
4
1 xf
3) Déduire des questions précédentes le sens de variation et un encadrement de la suite (Un).
4) Calculer la limite de (Un).