Telechargé par Freddy Tchatchouang

exercices de math sup

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Sujet 1
EXERCICE 1 : (n Pts.)
1 / Soit E un ensemble dont le cardinal est un entier naturel n supérieur ou égal à 2.
Déterminer le nombre de parties de E comprenant au moins deux éléments.
2 / Paul possède une collection de quatre pièces de 5 Frs, trois pièces de 1O Frs, deux pièces
de 25 Frs, trois pièces de 50 Frs, trois pièces de 100 Frs.
a) Il prélève de sa collection cinq pièces, toutes de valeur différentes.Combien peut-il
former de tas de deux pièces au moins avec cinq pièces ?
b) Il s’amuse ensuite à placer côte à côte, sur une même rangée ses 15 pièces. En
admettant qu’on ne peut distinguer des pièces de valeur, calculer le nombre de
dispositions possibles de ces pièces.
3 / Paul verse toute sa collection de pièces dans une urne et procède à des tirages avec
a) Il effectue 5 tirages successifs ; calculer la probabilité pour qu’il obtienne fois
exactement une pièce de 50 Frs
b) Il effectue n tirages successifs. Calculer la probabilité pn pour qu’il obtienne au
moins une fois une pièce de 50 Frs.
c) Déterminer le nombre minimum n0 de tirages qu’il doit faire pour que pno soit au
moins égale à 0,8.
NB : ln2 désignant le logarithme décimal de 2, on prendra ln2 = 0,30103.
EXERCICE 2 :
(5 Pts.)
C désigne l’ensemble des nombres complexes, et P un plan affine euclidien orienté, associé à
 
c, muni d’un repère orthonormé direct (o, u , v )
1) On considère les points A, B, C de P, d’affixe respectives : 2i 3 , 6  2i 3 ,
3
3
i
. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S définie par : S
2
2
(A) = A et S (B) = C.
2)
n est un entier naturel différent de zéro. Soit fn l’application de P dans P qui, au point
M d’affixe z, associe le point Mn d’affixe zn, tel que : zn  n z  2i 3(1  n ) avec
i

i 3
a)
montrer que S = f1
b) on suppose : z  2i 3
Pour quelles valeurs de n,
zn  2i 3
est-il réel ? Que peut-on dire dans ce cas des points A,
z  2i 3
M, et Mn ?
Quelle est alors la nature de fn ?
Problème : 10 pts
Le problème comporte trois parties A, B, C.
Partie A :
Soit F une fonction numérique dérivable sur un intervalle [a, b] avec a inférieur
à b; on suppose sa dérivé f’ continue sur [a, b] et qu’il existe un réel strictement positif k tel
que : pour tout x de [a, b] : f ' ( x)  k
montrer qu’alors f (b)  f (a)  k (b  a) .
1)
Partie B :
Dans cette partie, f est la fonction définie sur 0, par f ( x )  x ²  2  2 ln x .
1)
étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2) a) montrer que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions dont l’une x0
appartient à l’intervalle 1,2 .
b) en déduire que x0 = 2  2 ln x0 .
3) Après avoir étudier les branches infinies de la courbe de f, tracer cette
 
courbe dans le plan rapporte à un repère orthonormé (o, i , j ) (unité de
longueur sur les axes 2 cm)
Partie C :
g est la fonction définie sur : ]1   [ par g(x)= 2  2 ln x
1)
a) Montrer que pour tout x de 1, , g ( x )  2
b) Montrer que pour tout x de 1,,0  g ' ( x ) 
2
2
c) Calculer g (xo) en fonction de x0, x0 étant la solution de 2) a).
n
 2
 réelle définie par : U 0  2 et
2) Soit (Un) la suite r U n  x0  

2


U n1  2  2 ln U n
a) Montrer que pour tout entier naturel n, U n  2
b) Etablir pour tout entier naturel n les inégalités :
2
U n1  x0 
U n  x0
2
n
 2
 (On pourra utiliser la partie A)
U n  x0  

2


c) En déduire que la suite (Un) est convergente et donner sa limite
D’après bac
Sujet 2 :
Exercice 1 :
On donne les fonctions f et g de R dans R telles que :
f ( x)  e 2 x cos 3x ,
g ( x)  e 2 x sin 3x
1)
calculer pour tout réel x f’(x) et g’(x) où f’ et g’ désignent respectivement les
dérivées premières de f et g
2)
a) Exprimer f’ et g’ en fonction de f et g
b) En déduire l’expression de f puis celle de g en fonction de f’ et g’.
Justifier l’existence et calculer les intégrales :
3)
I =


6
0
f ( x )dx
et
J=


6
0
g ( x )dx .
EXERCICE 2 :
 
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (o, u , v ) . On considère
les points A, B et C d’affixes respectives 1  i ,  1 3i et 3  i . On désigne par I, J et K les
milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].
1)
faire la figure. Déterminer les affixes des points I, J et K.
pour quelles valeurs du nombre réel  les ponts A, B et C affectés
respectivement des cœfficients   2 , 1 et   1 admettent-ils de
barycentre G .
Démontrer que G lorsqu’il existe, appartient à la droite (IJ).
on suppose maintenant que   0 .
2)
3)
Déterminer GO.
a)
b)
c)
Démontrer que l’ensemble des points M du plan tel que
2 MA2  MB 2  MC 2  32 est un cercle (C), dont on précisera le centre
et le rayon.
Tracer (C) sur la figure initiale. Par quelles points de la figure passe ce
cercle ? justifier les réponses données.
PROBLÈME
La représentation graphique ci-dessous est celle de la courbe ( ℒ) d’une fonction f définie et
1
dérivable sur R. On précise de plus que le point A(0, ) appartient à (ℒ) (l’unité de longueur
2
sur les axes égale à 2 cm).
J
A
O
I
Partie A :
2) En utilisant la représentation graphique de f et les informations données ci- dessus :
a) dresser le tableau de variation de f.
b) en déduire que f est une bijection de R vers l’intervalle] 0,1[.
3) on désigne par f 1 la bijection réciproque de f.
a) Dresser le tableau de variation de f 1 .
b) Tracer la courbe f 1 dans un repère orthonormé (on prendra deux centimètres
comme unité de longueur sur les axes).
a
4) On suppose qu’il existe un nombre réel a tel que pour tout x de R, f ( x ) 
1 ex
a) Calculer a.
ex
b) En déduire que pour tout x de R, f ( x )  1 
.
1 ex
c) Soit  un nombre réel strictement positif et (D) le domaine du plan délimité par
la droite d’équation x   , l’axe des abscisses l’axe des ordonnées et la courbe (ℒ)
de f. Évaluer en centimètres carrés l’aire de (D) en fonction de  . Calculer la
limite de cette aire lorsque  tend vers l’infini.
Partie B :
Dans cette partie on suppose f ( x ) 
1
.
1 ex
1
On considère la suite (Un) définie par U o   f (t )dt et pour tout n différent de 0.
0
1
U n   f (t )e dt
nt
0
1) Calculer U1 puis Un +Un+1 en fonction de n ; En déduire U2 et U3.
2) Démontrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0, 1].
a) e ( n1) x  e nx
1
1
 f ( x) 
b)
4
2
3) Déduire des questions précédentes le sens de variation et un encadrement de la suite (Un).
4) Calculer la limite de (Un).
Sujet 3
Exercice I Les parties A et B sont indépendantes
A/ Soit a un entier naturel et X un nombre qui s’écrit 1335 dans la base a.
1) Donnez son écriture dans la base (a+1)
2) Déterminez a en sachant que ce nombre écrit dans la base dix, est inférieur ou égal à 500
B/ On considère l’entier naturel N = 19831984
Déterminez le reste de la division euclidienne de N par l’entier naturel n dans chacun des cas
suivants :
a) n = 661
b) n = 13
Exercice II
5 Pts
 
Soit P un plan affine euclidien rapporter à un repère orthonormé (o, i , j ) .
A tout point M de P, de coordonnées (x, y), on associe son affixe Z ; Z = X +iY, dans C.
1) on considère l’application f de P dans P qui au point M d’affixe Z associe le point M’
d’affixe Z’ tel que :
2Z’ = (1 + i 3 ). Z + 4 – 4i 3
Où Z désigne le complexe conjugué de Z.
Déterminer la nature de f et donner ses caractéristiques géométriques.
Soit (C) la courbe de P d’équation y² + 3 xy-4 3 y – 6 = 0
a) Montrer que le point I ( 04 ) est le centre de symétrie de (c)
b) Quelle est l’image de (C) par f ? En déduire la nature de (C). on précisera les éléments qui
la caractérisent.
PROBLÈME
ex
ex 1
1)Etudiez la variation de f. Tracez sa courbe représentative ℭ dans un plan affine euclidienne,
 
P rapporté au repère orthonormé (o, i , j )
2)Soit F, la primitive de f qui s’annule au point +1. Déterminez F. Calculez  , réel, tel que
F (  ) = ln 2. Précisez une valeur décimale approchée de  à 10- 4 près.
A - Soit f la fonction définie par : f ( x ) 
B - Soit une fonction définie par : g ( x )  ln( e x  1) .
1) Etudier la variation de g.
2) Soit ℑ, la courbe représentative de g dans un plan affine euclidien P’, rapporté au repère
 
orthonormé (o' , i ' , j ' ) . Démontrez que la droite d’équation y = x est asymptote à ℑ. Tracez
ℑ.

Précisez, en particulier, le point commun de ℑ et de l’axe (o' , i ' ) .
3) Démontrer que g admet une fonction réciproque, g-1. Exprimer g-1(x). Construire ℑ’ courbe
 
représentative de g-1 d ans le repère (o' , i ' , j ' ) .
4) Déterminez lim [ln( e x  1)  ln( e x  1)] .
x
Déterminez E, ensemble des n entiers naturels tels que :
ln( e n  1)  ln( e n  1)  1
10
C - Dans un repère orthonormé d’un plan affine euclidien P’’, un point M mobile a pour
coordonnées :
x = et – 1, y = ln (et – 1) ;
t1
2
Déterminez une équation cartésienne de la trajectoire de M. Précisez dans quel sens cette
trajectoire est décrite
SUJET 4:
EXERCICE 1 :
.
.
.
.
.
.
1)
Calculer les carrées des éléments : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 de Z 11Z .
En déduire le nombre de solutions de l’équation suivante : x²  a dans Z 11Z , suivant les
valeurs de a élément de Z 11Z .
.
.
2)
Soit l’équation : x ²  2 px  q  0 où p et q sont des éléments de Z 11Z .
Montrer que cette équation admet deux solutions distinctes ou confondues dans Z 11Z si et
seulement si p² - q appartiennent à un sous ensemble A de Z 11Z que l’on déterminera.
.
3)
.
.
Résoudre dans Z 11Z l’équation : x 4  10 x ²  2  0
EXERCICE 2 :
I
3i
4
soit f l’application de C dans lui-même qui à tout nombre complexe z associe :
f ( z )  uz  (1  i )(1  u ) . Montrer que f est bijective, et déterminer le complexe w tel que :
f ( w)  w.
Soit I, M et M’ les points du plan complexe ayant pour affixe w, z et f (z) respectivement. On
 
suppose M différent de I. Donner une mesure de l’angle ( IM , IM ' ) , et calculer la distance IM'
en fonction de la distance IM. On note F l'application qui à M associe M'. Préciser la nature de
F et ses éléments caractéristiques.
Soit A0 le point d'affixe Z0 = -1 + 2i. On définit pour tout entier naturel n, Z n+1 = f(Zn). on
note An, le point d'affixe Zn dans le plan complexe. Calculer, en fonction de n, la distance IAn.
quelle est la limite de cette distance quand n tend vers   .
Soit D, une droite du plan, F un point dont la distance à D est égale à 2,25 (Unité : 1 cm) et 
la droite passant par F et perpendiculaire à D.
MF
 0,8 . H étant la projection
a) Déterminez l'ensemble (E) des points M du plan tel que :
MH
orthogonale de M . Donnez la nature de (E). précisez les directrices, les foyers et les
B
sommets A et A' situés sur  . Représenter (E) sur un dessin.
1) déterminer un module et un argument du nombre complexe : U 
2)
3)
4)
5)
b) Déterminez l'équation cartésienne de (E) dans un repère orthonormé formé par  et la
médiatrice du segment [AA'].
PROBLÈME
Partie A
On considère la fonction numérique g définie sur]0;   ] par g ( x )  1  x  3x ln x .
1) Etudier les limites de g aux bornes de son domaine de définition. (Introduire au besoin le
changement de variable X = 1 .
x
2) Etudier les variations de g et dresser on tableau de variation.
3) Montrer que dans l'intervalle [1; 2], l'équation g(x) = 0 admet une solution unique  . Montrer
que  est compris entre 1,69 et 1,70
Partie B
On considère la fonction f définie sur]0;   [par f ( x ) 
ln x
.
(1  x )3
1- a) Montrer que pour tout x supérieur ou égal à 1, 0  f ( x ) 
ln x
et en déduire les limites
x3
de f aux bornes de son ensemble de définitions.
b) Quelles sont les asymptotes à la courbe représentative de f ?
2- Déterminez la fonction dérivée f' de f et montrer que f'(x) a le signe de g(x) sur]0;   [.
1
3- Dresser le tableau de variation de f. on montrera que le maximum de f =
où 
3 (1   ) 2
est la valeur introduite en Partie A.
(BACCALAURÉAT D 2003)
Exercice 1
Dans cet exercice, z désigne un nombre complexe quelconque et (P) le plan complexe muni d'un
 
repère orthonormé 0, e1 , e2 
a) Développer, réduire, et ordonner par rapport aux puissances décroissantes de z
l'expression ( z  2)( z 2  6 z  34) .
b) Soit (E) l'équation: z 3  4 z ²  22 z  68  0 .Démonter que (E) admet un entier comme
solution.
c) Résoudre E dans l'ensemble C des nombres complexes.
2) A, B, et C désignent trois points de (P) d'affixe respectives -2; 3+5i et 3-5i. la droite (BC)
coupe l'axe des abscisses en K.
a) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse
b) R désigne la rotation du plan telle que R (K)=K et R (B)=A. préciser la mesure principale
de l'angle R
Exercice 2:
Un restaurant propose à ses clients le tableau suivant appelé menu du jour
Catégorie
Description
Entrée
5 entrée au choix du client, 2 à 600 F chacune et 3 à 1200F chacune
Plat du jour
4 "plats du jours" au choix du client : 1 à 1500F, 2 à 2000F chacun et 1 à 2500F
dessert
3 desserts au choix du client; 2à 500 F un à 1000F
Madame IKS se rend dans ce restaurant et commande un menu en choisissant au hasard une entrée
un plat du jour et un dessert. Calculer la probabilité de chacun des évènements A, B, et C suivants
:
a) A "le menu de madame IKS" coûte 3100F
b) B "le menu de madame IKS" coûte au plus 4000F
c) C " le menu de madame IKS" coûte au moins 3500F
PROBLÈME
Dans tout ce problème on note :
− f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur R par : f ( x)  ( x  2)e x  x ;
− (C), la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (o, i, j ) (Unité de
longueur sur les axes = 1 cm).
− g, la fonction numérique de la variable réelle x définie sur R par : g ( x)  ( x  1)e x  1 .
Le problème comporte trois parties liées A, B et C
Partie A
1) Calculer les limites de g en   et en   .
2) Calculer la dérivée de g et dresser le tableau de variation de g.
3) En déduire le signe de g(x) sur R
Partie B
1- a) Calculer la limite de f en  
b) Démontrez que la droite (D) d'équation y = x est asymptote à la courbe (C) en   . Etudier
la position de (C) par rapport à (D).
2- a) Calculer la limite de f en  
b) Calculer la limite quand x tend vers   du rapport
f ( x)
; Interpréter graphiquement ce
x
résultat
3- Calculer la dérivée de f et en déduire le tableau de variation de f.
4- a) Démontrer que (C) coupe l'axe des abscisses en un unique point d'abscisse  .
b) Calculer les valeurs exactes, puis les troncatures à trois décimales de f (1,68) et f (1,7). En
déduire une valeur approchée de  à 10-2 près par défaut.
5- Tracer (C).
Partie C
t désigne un nombre réel négatif.
0
1) A l'aide d'une intégration par parties, calculer  ( x  2)e xdx .
t
2) Calculer en cm² l'aire A (t) de la partie du plan limitée par les droites d'équation x = t, x = 0, y
= x et la courbe (C).
3) Calculer la limite en   de A (t).
4) On considère les équations différentielles suivantes :
(E) : y" - 2y' + y = x - 2;
(E') : y" - 2y' + y = 0
a) Trouver une fonction affine h qui soit solution de (E)
b) Soit g, une fonction au moins deux fois dérivables ; démontrer que g est solution de (E) si
et seulement si g - h est solution de (E')
c) Résoudre (E').
d) En déduire les solutions de (E) et vérifier que la fonction f de la Partie A est une solution de
(E).
Baccalauréat"D" 2002
EXERCICE 1:
1
3
2
2
) et z2  3(

i)
On considère les nombres complexes z1  3(   i
2
2
2
2
1) -a) Mettre sous forme trigonométrique les trois nombres complexes z1, z2 et Z=
z1
z2
-b) démontrer que pour tout n de N z12n est réel
z
2) -a) donner la forme algébrique de 1
z2
5
5
-b) En déduire les valeurs exactes de cos
et sin
12
12
2) On considère l'équation dans R d'inconnue t: ( 6  2 ) cos t  ( 6  2 ) sin t  2 2 .
Résoudre cet équation dans]   ,  ]
EXERCICE 2:
Le tableau ci-dessous donne la répartition de 35 élèves d'une classe de terminale D selon leurs ages
en années
ages
17 18 19 20
Nombres d'élèves
3
12 18
2
1) Représenter la série statistique ainsi obtenue par un diagramme circulaire.
2) Calculer la moyenne des ages des élèves de la clase (on arrondira le résultat à l'unité la plus
proche)
3) On représente le nom de chacun des élèves par un numéro de 1 à 35. on inscrit les 35
numéros sur des jetons indiscernables au toucher que l'on met dans un sac. Soit X la
variable aléatoire réelle qui associe à chaque triplet e jeton tirs le nombre d'élèves âgés de
19 ans.
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Calculer l'espérance mathématique ainsi que l'écart type de X
Problème
Le problème comporte trois parties obligatoires A, B et C, elles sont dépendantes.
x²  7
On considère la fonction f de la variable réelle on nulle X telles que, f ( x ) 
.
2x
On note (C), la courbe représentative de f dans un repère orthonormé du plan on prendra 1 cm
comme unité de longueur sur les axes)
Partie A: Etude des variations de f et tracé de (C)
1)-a) Vérifier que la fonction f est impaire
b) Dresser le tableau de variation de f dans l'intervalle ]0,   [.
2)-a) Vérifier que (C) admet une asymptote verticale et une asymptote oblique que l'on
notera ( ) .
-b) préciser, pour tout x de]0,   [, la position de (C) par rapport à ( )
3) Tracer (C) après avoir précise son centre de symétrie.
Partie B: Calcul d'aire
Soit  un réel tel que 0<   1 . On note (D) la partie du plan limitée par les droites d'équation x =
 , x = 1, la droite ( ) et la courbe (C).On note aussi a  l'aire de (D) en cm² et en fonction de 
1-a)
Calculer la valeur exacte de a  .
b)
Déterminer la limite de a  lorsque  tend vers 0 à droite.
7
2- On note 0 la valeur de  telle que l'on ait a  .
2
a) Calculer 0 .
b) Sachant que 2,718<e<2,719, en déduire une valeur approchée de 0 et en indiquer la
précision.
PARTIE C: Etude d'une suite convergente liée à la fonction f.

u0 3
un 1  f ( un )
Dans cette partie, on considère la suite (Un) définie par :
1-a) Utiliser (C) pour représenter les trois premiers termes de (Un).
b)faire une conjecture sur le sens d variation de (Un).
2- les démonstrations de cette question se feront par récurrence sur n, on pourra utiliser les propriétés de
la fonction f.
a) Démontrer que la suite (Un) est à termes positifs.
b) Démontrer que la suite (Un) est minorée par 7 .
Démontrer la conjecture de (1-b).
3-Determiner la limite de (Un) en précisant votre démarche.
Baccalauréat "D" 2000.
Exercice1
 
Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormé O;U ;V , on considère les points A, B et C
d'affixes respectives 1, z et z².
1- Déterminer z pour que O soit le barycentre des points (A; 4), (B;-2), et (C;1).(le
point B a une ordonnée strictement positive).
2- Z ayant la valeur trouvé precedement déterminer l'ensemble des points M du
plan tels que : 4AM² -2BM² +CM² = k. où k est un réel donné;( discuter suivant
les valeurs de k).
3- On considère F l'application de P dans P qui à tout point M d'affixe z= x +i y
associe l point M' d'affixe z' = (1+i 3 ) z.
Déterminer les images par F des points d'affixe 1 et (1 + i 3 ).
Quelle est la nature de F ? Donner ses éléments caractéristiques.


Exercice 2 :
1-Soit n un entier naturel calculer I  nn  1x  1e x dx
2- On appelle (Un) la suite définie. Par U n  n  3e  n1  n  2e  n
a) Etudier la convergence de (Un).
b) on pose : Sn= U0 +U1 + … +Un
Calculer S2
°
Exprimer Sn en fonction de n
°
°
Calculer la limite de Sn quand n tend vers l'infini.
4- Loïs part du Cameroun avec une somme de 6 75000 FCFA. Elle doit visiter n
pays d'afrique.Sachant que le taux d'échange est de 15% à chaque frontière et
que tous les frais de séjour sont pris en charge par ses amis dans chaque pays.
a) Combien lui reste-il au troisième voyage?
b) Combien de pays doit- elle visiter pour qu'au retour dans son pays il lui reste au moins
200.000 FCFA?
PROBLÈME
A) une urne contient n boules noires et une boule blanche indiscernable au toucher. Un jeu consiste
à tirer de cette urne une boule, de noter sa couleur et de remettre la boule tirer dans l'urne. Cette
épreuve s'effectue deux fois. Si après le tirage on obtient deux boules noires on gagne 1 F;si
après le tirage on obtient deux boules blanches on gagne 10 F, si on obtient deux boules de
couleurs différentes on perd 3.5 F.
Soit X la variable aléatoire qui au résultat associe le gain.
1- Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2- Calculer l'espérance Mathématique E(X).
B) Soit f la fonction numérique d'une variable réelle définie par : f ( x ) 
x ²  7 x  10
x  1²
1- Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2- Tracer soigneusement la courbe représentative (C) de f dans un plan rapporté au repère


 
orthogonal O; i ; j (unité sur les axes i  2cm et j  1cm )


3- Utiliser la courbe représentative (C)
lesquelles
a) le jeu de la partie A est équitable.
b) Le jeu est avantageux.
de la fonction f pour donner les valeurs de n pour
x
4- Soit F la fonction numérique d'une variable réelle définie par : F ( x)   f (t )dt; x  0
0
a) justifier l'existence de F.
b) démontrer qu'il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x différent de -1
b
c
f ( x)  a 

x  1 x  1²
en déduire l'expression de F(x) et calculer F(0)
c) Calculer l'aire du domaine du plan limité
CORRIGES
SUJET 1
Exercice 1 :
1/ Soit N le nombre de partie de E comprenant au moins deux éléments. Le nombre de partie
comprenant 0 élément est 1 le nombre de parties comprenant 1 élément est n. Le nombre total de
parties est 2 n .
N = 2n  n  1
2-a) Soit N’ le nombre de tas cherché. On déduit du résultat précédent que :
N’ = 25  5  1  26
b) le nombre N " de dispositions possibles de ces pièces est tel que:
N" =
15!
 126.126.000
4!3!2!3!3!
4
1
1  4
3-a) Pa = C15 .  .   0.0064
5  5
b) Soit P'n la probabilité d' obtenir exactement zéro pièce de 50 F au cours de n tirages.
n
4
n
P'n=    0.8 .
5
Pn  1  P'n  1  0.8
n
c) Pn  0.8  1  0.8  0.8
n
 0.2  0.8
 ln 0.2  n ln 0.8
 n  7.212
n
On en déduit que n0 = 8
Exercice 2 :
1/
la similitude directe S est définie par M ( Z )  M ' ( Z ' ) tel que Z' = a Z + b où (a ; b)  C *  C. (S
3i

 ( 6 2 i 3 ) a  b  2
  2 i 3 .a  b  2 i 3


(A) = A et S (B) = C)
On trouve
1 i 3
a=
;
4
b=
3
 3  3i 3
2
Le rapport de S est k = a 
1
2
 3
1

; sin  
; d'où   
2
2
3
A est le centre de la similitude car S (A) = A
i
2/ fn : M ( z )  M n ( zn ) tel que zn  n z  2i 3.(1  n ) avec  
i 3
i
i 

a) Z1 
Z  2i 31 

i 3
 i 3
Soit  une mesure de l'angle de S: cos  
Z1 
1 i 3
3  3i 3
Z
4
2
Donc M  P, S ( M )  f1 ( M ) et f1 = S.
Z n  2i 3
 n
Z  2i 3
b) pour Z  2i 3 , on a :
.
1




1 
Or    cos  i sin  et n     cos n  sin n 
2
3
3
3
3
2 
n
n  R  sin n

3
0




Dans ce cas, il existe un réel x tel que Zn  2i 3  x Z  2i 3 soit AM n  x. AM
D’où A, M et Mn sont alignés. Fn est l'homothétie de centre A et de rapport
n
PROBLÈME :
Partie A:
F est dérivable sur [a; b], a < b. f' est continue sur [a; b]
k  R* / x  a; b, f ' x   k  k  R* / x  a; b,k  f ' ( x)  k
D' après la condition d'existence de l'intégrale d'une fonction F sur un intervalle [a; b], si f' est
continue sur [a; b] alors F est intégrable sur [a;b] d'où :
b
b
b
a
a
a
 k  f ' ( x)  k    kdx   f ' ( x)dx   kdx
 k b  a   f (b)  f (a)  k b  a 
 f (b)  f (a)  k (b  a) car k b  a   0
Partie B :
;   R
f : x0
x ²  2 2 ln x
1/ ÉTUDE DES VARIATION DE f
D
f
 0;
2
ln x 

lim f ( x )  ; lim f ( x )  lim x  x   2
  
x


x
x
x 0
x 



F est continue et dérivable sur 0; , car c'est une somme de fonctions continues et
2x ²  1
dérivables sur cet intervalle. x  0;, f ' ( x ) 
x
( x  0; Et f ' (x) = 0)  x  1. f (1)  1.
Tableau de variation de f
x
0

1
-
f ' (x)
+


f(x)
-1
2-a) Montrons que l'équation f (x) = 0 admet deux solutions dont l'une x0  1;2.
 f Est continue -dans] 0 ; 1 ]

f ( x )  
lim
x 0
 
 f (1)  1 Et -1 < 0
Donc x1  0;1 / f ( x1 )  0
 f est continue dans [ 1 ; 2 ]

 f (1)  1 Et -1 < 0
 f ( 2)  2  2 ln 2 Et 2 - 2 ln 2 > 0

Puisque f (1). f (2) < 0, x0  1.2 / f ( x0 )  0
En conclusion, l'équation f (x) = 0 admet dans R deux solutions x0 et x1 telles que 0< x1<1 et
1< x0 <2
b ) f (x0) = 0
x0  1;2
 x0 ²  2  2 ln x0  0
 x0  2  2 ln x0
3 ) Etude des branches infinies de la courbe de f.
lim f ( x )   . La courbe de f admet l'axe Y' Y comme asymptote "verticale".
x 0

f ( x)
2
ln x 

 lim  x   2
  
x 
x  
x
x
x 

On en déduit que la courbe de f admet pour x tendant vers   , une branche parabolique de
direction Y' Y.
lim
Tableau des valeurs de f
x
½
1
3/2
2
3
f (x)
-0,36
-1
-0,56
0,61
4,80
Courbe de f

j
x1
Partie C :

i
x0
g : 1;  R
x  2  2 ln x
1 - a) Montrons que x  1;, g ( x ) 
Soit x  1;.
Alors 1  x
0  lnx
0  2lnx
2  2 + 2lnx
2  2  2 ln x
Donc g ( x ) 
2
2 , x  1;
c) Montrons que x  1;,0  g ' ( x ) 
x  1;, g ' ( x ) 
2
2
1
1

x.g ( x )
x 2  2 ln x
Or x  1;, x.g ( x )  g ( x )  2
1
1
D'où 0 

x.g ( x )
2
Conclusion x  1;,0  g ' ( x ) 
2
2
d) Calcul de g (x0)
g ( x0 ) 
2  2 ln x0 ; Or d'après 2-b), x0 
g(x0) = x0
(Un) est définie par : U0 =
2 et Un+1 =
2  2 ln U n
2  2 ln x0 Donc
a) Montrons que : n  N ,U n  2 .
Raisonnons par récurrence.
Uo  2 (trivial puisque U0 =
2 ) Soit k  N .U k 1 
2  2 ln U k  g (U k )
U k  2  U k  1;  g (U k )  2 (D'après 1-a)
Uk 
2
2  2 ln U k 
2
 U k 1  2
Nous avons prouvé que :
U 0  2

k  N ,U K  2  U k 1  2
Conclusion n  N ,U n  2
b) Soit n  N . Démontrons que :
2
U n 1  x0 
U n  x0
2
n
 2

U n  x0  
 2 


Posons   inf U n , x0  et   supU n ; xo . g est dérivable sur  ;   et g ' est continue sur
 ;   . D' autre part, x   ;  , g ' ( x) 
2
(c'est une conséquence de la question
2
2
   on en
C/1/b) En appliquant le résultat de la partie A, on a : g (  )  g ( ) 
2
2
U n  x0
déduit que : g (U n )  g ( x0 ) 
2
(Puisqu'il s'agit des valeurs absolues, peu importe si   U n ou   x0 d' où
U n 1  x0 
2
U n  x0 , n  N
2
Car g (Un) = Un+1 et g (x0) = x0
La relation ci - dessus encadrée permet d'écrire les n égalités suivantes :
2
U 1  x0 
U 0  x0
2
2
U 2  x0 
U 1  x0
2



2
U n 1  x0 
U n  2  x0
2
2
U n  x0 
U n 1  x0
2
En multipliant membre à membre cette série d'inégalité dont tous les termes sont positifs, on
2 n
obtient après simplification : U n  x0  (
) U 0  x0 le fait que U0 et x0 sont les éléments
2
 2

n  N , U n  x0  

 2 
de] 1 ; 2 [permet d'écrire : U 0  x0  1 en définitive,
n
c) Montrons que (Un) converge et déterminons sa limite.
n
n
 2
 2
  U 0  x0  

D'après la question précédente, n  N ,

 2  autrement dit :
2




n
n
 2
 2
  U n  x0  

n  N , x0  

 2  Or
 2 


n
n
n


 2
 2 
 2 
  0; lim  x0  

   x0 .
 x0  
lim 
 2    x0 ; xlim
 
x   2 
x 

2





 

 


Donc (Un) étant encadré par deux suites ayant même limite x0 converge vers x0
SUJET 2 :
Exercice 1
f ( x)  e 2 x cos 3x
1/
g ( x)  e 2 x sin 3x
f ' ( x )  e 2 x 2 cos 3x  3 sin 3x 
x  R ,
g ' ( x )  e  2 x  2 sin 3x  3 cos 3x 
2/ a) Exprimons f ' et g ' en fonction de f et g .
D' après la question précédente :
f '  2 f  3g
x  R ,
et
g '  3 f  2g
b) les expressions de f et g sont données par la résolution du système suivant :
 f '  2 f  3g

g '  3 f  2g
f 
2
3
f '
g'
13
13
g
et
3
2
f '
g'
13
13
 
3/ I et J existe car f et g continue sur 0;  .
 6
I 



6
0


6
0
f ( x )dx
3 
 2
f ' g ' x dx

13 
 13

3
 2
6
 
f ( x )  g ( x )
13
 13
0
I 
J 



3
2
13

6
0

3e

6
0
g ( x )dx
2 
 3
f ' g ' ( x )dx

13 
 13

2
 3
6
 
f ( x )  g ( x )
13
 13
0
J 

3
 2e
3
13
Exercice 2:
1) A (- 1 - i) B (- 1 - 3 i) C (3 - i)
Figure et affixes des points I, J et K
 
 
A( 11 ) B( 31 ) C ( 31 ) dans le repère 0;U ;V Orthonormé. Dans le repère (o, u , v ) les points I ;
J et K ont pour coordonnées respectives :
x B  xC
1 3

 1
 x1 
2
2

 I (1
1)
y B  yC  3  1  1
y

 1
2
2
xC  x A
31

 1
 xJ 
2
2
 J (11 )

y

y

1

1
C
A

 1
 yJ 
2
2
x A  xB
11

 1
 xK 
2
2
 k (11 )

y

y

1

3
A
B

 1
 yK 
2
2


−4
−3
−2

−j
ı
-4
ı
-3
ı
-2
ı
-1
−ı
ı

ı
2
ı
3
ı
4
ı
5
−-1
−-2
−-3
Y'
Les points I, J et K ont pour affixes respectifs 1 + i , 1 - i et - 1 + i
3- Valeurs de 
Le barycentre G des points A  2 B1 C  1 existe si et seulement si (  + 2) +
(1) + (  + 1)  0 ; c'est-à-dire 2  + 4  0 soit   2 . Donc les points A , B et C affectés
des coefficients respectifs  + 2 , 1 et  + 1 admettent un barycentre G pour   R \  2
Démontrons que pour   2 , G  IJ  .
La droite IJ  a pour équation cartésienne ax + by + c = 0 a, b et c  R .
 J  JK   a  b  c  0
 K  JK   a  b  c  0

2c = 0  c = 0 (par addition membre à membre)
On déduit a = b et l'équation devient a (x + y) = 0 c'est-à-dire x + y = 0 (avec a  0) alors (JK) a
pour équation x + y = 0. G Est barycentre on a :
  2G A  G B    1G C  0
   2G O  OA   G O  OB     1G O  OC 
 2  4G O      2OA  OB    1OC
  2 OA  1 OB    1 OC
 OG 
2  4
2  4
2  4
  2  1  1  1    1 3  

xG 


2  4
2  4
2  4
 2

  2  1  1 3    1  1   
 yG 

2  4
2  4
2  4
 2



xG  y G 

 0  G  JK 
 2
4- On suppose  = 0
a) déterminons G0.
 2
x 0
D'après 2) G0 existe et  0
Donc G0 = o (0 ; 0) (origine du repère)
 y0  0
b) Soit P le plan complexe considérer. Soit E = ({M  P / 2MA² +MB² +MC² =32})
Démontrons que E est un cercle (C)
Soit ; M  P;2 MA ²  MB ²  MC ²  32
 2 MA ²  MB ²  MC ²  4 MO ²  2OA ²  OB ²  OC ²  32
 4 MO ²  32  2OA ²  OB ²  OC ² 
Or , OA ²  2, OB ²  10, OC ²  10
D ' où ,4 MO ²  32  24  8  MO ²  2
Conclusion : E est un cercle (C) de centre O et de rayon 2
c) Traçons (C) (voir figure précédente). (C) passe par les points A, I, J et K car OA² = OI² =
OJ² = 2
Problème
Partie A
1 - a) Tableau de variation de f
x
f ' (x)


−
1
f (x)
0
b) Déduisons que f est une bijection de R vers] 0 ; 1 [
f est définie, continue et strictement décroissante dans R . Donc f est bijective de R vers f
(R)
lim f ( x )  1 et
x 
lim f ( x )  0
x 
2-a) tableau de variation de f 1
lim f ( x )  1  lim f 1 ( x )  
x 
x 1
x 
x 0
lim f ( x )  0  lim f 1 ( x )  
Donc f (R) =] 0 ; 1[.
f
x
1
1
( x ) '
f ( x)
0
1
-
+

b) courbe de
f 1 ( x )
1
2
3-a) calcul de a
a est tel que : x  R, f ( x ) 
 f ( 0) 
a
1
d'après la courbe f(0)=
x
1 e
2
a
a 1
   a 1
0
1 e
2 2
ex
1 ex
1 ex  ex 1 ex
ex
ex
x  R, f ( x ) 



1

1 ex
1 ex 1 ex
1 ex
d) calcul de l'aire A (D) en fonction de 
b) déduisons que x  R, f ( x )  1 
x



 e
ex 

A( D )  2  2 f ( x )dx  4 1 
dx

4
dx

4
x 
0
0 1  e x dx car l ' unité sur les axes est de 2cm
0
0
 1 e 


A( D )  4x 0  4 ln 1  e x  4  4 ln 1  e   ln 2  4  ln 2  4 ln 1  e  .cm²


0


 calcul de la limite de A (D)
lim A( D )  lim 4  ln 2  4 ln 1  e      
 
 
FI 
 e 

levons l ' indéter min ation : A( D )  4 ln 2  4 ln e   ln 1  e    4 ln 2  4 ln 
 
1 e 
 e 
1 

  lim ln 1 
Donc lim A( D )  4 ln 2 cm² .car lim ln 
 ln( 1  0)  0
 
 
 
 



 1 e 
1 e 
Partie B
1
f ( x) 
1 ex
U  1 f (t )dt
 0 0

1
nt
U n  0 f (t )e dt


1) calculons U1 puis Un + Un+1 en fonction de n
t
1
1 e

1 e 
t
t 1

* U 1   f (t )e dt   
dt

ln
1

e
 ln 1  e   ln 2 donc U 1  ln 

0
0
0 1  et 
 2 




1
1
1
1 
t
nt
* U n  U n1    f (t )e nt  f (t )e n1t dt   f (t )e nt 1  e t dt   
1  e e dt
0
0
0 1  et


1
U n  U n1
 e nt 
en  1
  e dt    
0
n
 n 0
1
nt
Soit : U n  U n1 
en  1
n
Déduction de U2 et U3
e 1
1 e 
U1  U 2 
 U 2  e  1  U 1  U 2  e  1  ln 

1
 2 
U2  U3 
e2  1
e2 1
e2
1 1 e 
 U 3    U 2  U 3   e  ln 

2
2 2
2
2  2 
2) Démontrons que x  0;1
a) e n1 x  e nx
b) 1  f ( x )  1
4
2
et
a) x  0;1 et n N, on a : (n  1) x  nx  e n1 x  e nx car la fonction x  e x est croissante.
b) Soit x  0;1 , on a : 0  x  1  e 0  e x  e1  2  1  e x  1  e  4  2  1  e x  4
1
1
1
 

x
4 1 e
2
1
1
D'où : x  0;1,
 f ( x) 
4
2
3) Sens de variation et encadrement de (Un)
1
* U n1   f (t ).e ( n1)t dt ; Un =
0
1
 f (t )e
0
nt
dt
U n1  U n   f (t )e n1t  e nt dt . or d ' après 2  a ) x  0;1 et n  N
0
Cf
de plus x  R f ( x )  0 car
x ' ox
1
d ' où U n1  U n  o donc
U n 
* un encadrement de
Un
est croissante et à termes
e ( n1) x  e nx  0
positifs on vérifie aisement
que
U n1
0
Un
nt
nt
1e
1
1e
1
1 e nt
e nt
on sait que t  0;1,  f (t )  
 f (t )e nt 

dt   f (t )e nt  
dt
0 4
0
0 2
4
2
4
2
1
1
 e nt 
 e nt 
 

U

n



 4n  0
 2n  0
en  1
en  1

 Un 
4n
2n
4-) calcul de la limite de (Un)
en  1
en  1
lim
  et lim
  donc
x 4n
x 2n
lim U n  
x
SUJET 3
Exercice 1:
A/ a  N ; x  1335
base
a
1) x  1  a 3  3  a 2  3  a  5  a 0  a 3  3a ²  3a  5  (a  1) 3  4 Donc en base (a+1) x s'écrit 1004
4  (a  1)  500
 a  6après résolution du système
2) 
a
a  6 d ' après l ' écriture de 1335 )
B/ N  19831984
a) le reste de la division de N par 661 est 0 car N  19831984 est un multiple de 661
k  N ,198312k  1 13 or 1984  12  165  4
b)
 le reste de la division de
13  9
13
19831984  1983121654  19834
N  19831984 par 13 est 9
Exercice 2:
PP


1 i 3
f :
M ( z)  M ' ( z' ) / z'  (
) z  2  2i 3


2
analytique ment f est définie par :

1
3
2
 x'  x 

2
2

 y'  3 x  1 y  2


2
2
1
3
i
et b  2  2i 3
2
2
est une similitude inverse . a  1 Et l'ensemble des points invariants est la droite (D) d'équation
la
transformation d ' écriture complexe
z '  a z  b avec a 
x  3 y  4  0 ; f est donc la symétrie orthogonale par rapport à D.
2)
(C) : y 2  3xy  4 3 y  6  0
a) En posant x = X + 4 et y = Y, on a :
(C) : Y 2  3 XY  6  0
 
X
Dans le repère ( I , i , j ) , pour tout M Y  P,
[M  (C)]
[M' (-X ; -Y)  (C)].
I est donc centre de symétrie de (C)
 
 x  3 y  2 x ' 4
b) Soit le système : 
 3x  y  2 y '4 3
Sa résolution donne :

1
3
y ' 2
 x  x'
2
2

 y  3 x '  1 y ' 2 3

2
2
En remplaçant x et y dans l'équation de (C) par les expressions trouvées ci-dessus, on trouve une
3
1
2
2
équation cartésienne de l'image de (C) qui est : x'   y '  12 x'18  0 .
2
2
 
3
1
2
Dans le repère ( I , i , j ) , f(C) a pour équation :  X  4  Y 2  12( X  4)  18  0
2
2
3 2 1 2
X² Y²
X  Y  6  0 Ou encore f (C ) :

1  0
2
2
4 12
X² Y²

 1  0 d'excentricité e = 2 , d'axe les
L'image de (C) par f est l'hyperbole d'équation
4 12
droites 1 : X = 0 et  2 : Y = 0.
 
Dans le repère (O, i , j ) , on a 1 : X = 4 et  2 : Y = 0. Le centre de cette hyperbole est I.
Comme f est une isométrie affine et que f(C) est une hyperbole, (C) est aussi une hyperbole de
centre f -1(I), d'excentricité e = 2, d'axe f -1( 1 ) et f -1(  2 ) dont le lecteur pourra forcément
déterminer les équations.
Soit :
PROBLÈME
A / f ( x)  x  1e 2 x  1
1) f est continu et dérivable sur R comme produit de deux fonctions continues et dérivables sur
R. et x  R,
Etude de f '
lim f ' ( x )  1
x 
lim
x 
et
f ' ( x)  2 x.e 2 x  e 2 x  1
lim f ' ( x )  
x  
f ' ( x)
  ; alors la courbe de f ' admet une branche parabolique de direction (y'oy)
x
x  R, f ' ' ( x)  4 x.e 2 x
Tableau de variation de f '
x
f '' (x)


0
−
+

1
f ' (x)
0
Etude de la variation de f
* lim f ( x )   et lim f ( x )   .
x  
x  
f ( x)
1
et lim  f ( x )  x   1 Donc la droite (D) : y  x  1 est asymptote oblique à
x 
x
la courbe de f au voisinage de   .
f ( x)
  ; D'où, la courbe de f admet une branche parabolique de direction (y' o y) au
* lim
x 
x
voisinage de   .
* lim
x 
D'après le tableau de variation de f ' on a+ : f '' (0) = 0 et pour tout x R* : f ' (x) > 0 et f ' (0)= 0
x
f ' (x)


0
+
+

f (x)
-2

2) soit A( ) cette aire
A( )   x  1  f ( x)dx    x  1e 2 x dx .
1
1


En intégrant par partie, on obtient:
1
e 2  3  2  2 
  3  2 x 
A( )  e 2 x .

 
.e u.a.
4  4 
  4  
e2
x 
4
3)-a) f est le produit de deux fonction dérivables sur R
x  R, f ( 2) ( x )  f " ( x )  4 xe2 x  2 21 (2 x  2  2)e 2 x
x  R, f ( n ) ( x)  2n1 (2 x  n  2).e2 x .
lim A( ) 
 
Alors, x  R, f ( n 1) ( x )  f ( n ) ' ( x)  2 n 11 [2 x  (n  1)  2].e 2 x
Donc, x  R, f n ( x )  2 n1[2 x  n  2].e 2 x .
-b) x  R, f n 2  ( x )  f n1 ( x )  f n  ( x )  0
Donc, x  R, 2 n1 e 2 x (8  4  2 ) x  (4  2   )n  2(    )  0
4  2     0
4  2      0
D’où : 


(4  2    )n  2     0
     0
Les triplets répondant à la question sont de la forme: (a, -4a, 4a) ave a  R. en particulier on peut
Prendre (2 ; -4 ; 4)
4) x  R, f ( x)  x  1e 2 x  1
x  R, f ' ( x)  2 x.e 2 x  e 2 x  1
x  R, f ' ' ( x)  4 x.e 2 x
On a donc, x  R, f ''(x) - 4f '(x) + 4f(x) =4x - 8.
En posant g(x) = f ''(x) - 4f '(x) + 4f(x) et h(x) = 4x - 8,
x  R, h ( n ) ( x )  g ( n ) ( x )  0 . C'est dire f (n+2) (x) - 4f (n+1) (x) + f (n) (x) = 0. Ainsi le triplet (1, -4,
4) répond a la question (3/b).
R  R
B)   f : 
 x  f ' ' ( x)  4 f ' ( x)  4 f ( x)  4 x  8
1) la fonction f : x  ( x  1)( e 2 x  1) est dans  ; donc  est non vide.
2) Soit P un polynôme de degrés K.
( P   )  (x  R, P' ' ( x )  4 P' ( x )  4 P( x )  4 x  8) . Or le degrés de P ''- 4P ' + 4P est celui e P.
on en déduit que ( p   )  (degrés de P = 1).
Posons P(x) = ax + b, (a, b)  R*x R. x  R, P '' = 0. P ' = a.
( p   )  [ P" ( x )  4 P' ( x )  4 P( x )  4a  4(ax  b)  4 x  8]
 (4a = 4 et 4b - 4a = - 8)
 (a = 1 et b = -1)
Le seul polynôme élément de  est P: x  x  1.
3) f 0   . : R  R / x  R,  ' ' ( x)  4 ' ( x)  4 ( x)  0
Soit f  E

x  R, f " ( x )  4 f ' ( x )  4 f ( x )  4 x  8
( f  f 0 )" ( x )  4( f  f 0 )' ( x )  4( f  f 0 )( x )   f " ( x )  4 f ' ( x )  4 f ( x )   f 0 " ( x )  4 f 0 ' ( x )  4 f 0 ( x )  ( 4 x  8)  ( 4 x  8)  0
donc ( f  f 0 ) 
F
sup posons que ( f  f 0 )  alors x  R,  f " ( x )  4 f ' ( x )  4 f ( x )   f 0 " ( x )  4 f 0 ' ( x )  4 f 0 ( x )  o
soit
f " ( x)  4 f ' ( x)  4 f ( x)  4 x  8
d ' où, f 
E
4/   P  x  R, ( ²  4  4)ex  o    2
5 / g  P  g est deux fois dérivable.
Or u : x  e 2 x est deux fois dérivable. h est donc deux fois dérivable .
Par ailleurs, x  R, h" ( x )  e 2 x g" ( x )  4 g ' ( x )  4 g ( x )  0(car g F)
Réciproque
Si h est deux fois dérivable et vérifie pour tout x réel, h"(x) = 0, on a :
x  R, ( g" ( x )  4 g ' ( x )  4 g ( x )).e 2 x  0 on en déduit que g"(x) -4g'(x) +4g(x) = 0 et alors
g  F.
F est un espace vectoriel sur R (évident).
On sait que f 0 : x  x  1 et f : x  ( x  1)( e 2 x  1) sont des éléments de E ; donc (f - f0)  F. et
(f - f0) (x) = (x-1) e 2 x . D'après 4 /,  : x  e 2 x est un élément de F . En posant 1  f  f 0 , ( , 1 )
Est libre et générateur de F. En effet, si g  F, alors h est telle que h( x )  g ( x )e 2 x vérifie h"(x) =
0 donc
g ( x)  h( x).e 2 x  (ax  b).e 2 x  a( x  1).e 2 x  (a  b).e 2 x  (a  b). ( x )  a1 ( x). g s'exprime de
manière unique comme combinaison linéaire de ( , 1 ) et alors dim F = 2
6 / f  E  ( f  f 0 )  F  (a, b)  R ² / x  R, ( f  f 0 )( x )  a. ( x )  b.1 ( x )  f ( x )  ( x  1)  ae 2 x  b( x  1)e 2 x
Soit : E  E  F
( f ; g)  g  f
( f , g , h ) E 3 ( f , g )  ( g , h )  ( f , h ).( f 0 , h ) E×F ! f E
Il suffit de prendre f = f0 - h
/ ( f , f 0 )  h
et (f0 - h)  E. Ainsi E est un espace affine associé à F.
Sujet 4 :
Exercice 1:
1) Dans Z 11Z , on a :
.2
.2
.
.
.2
.2
.
.
.2
.2
.
.
0  0 ; 1  1; 2  4; 3  9; 4  5; 5  3
Notons Sa l’ensemble solution de l’équation x² = a dans Z 11Z
. . 
.
S .  0; S .  1;10 S .  S .  S .  S .  S .  
0
1
2
6
8
7
10
 


. .
. .
. .
. .
 
 
 
 
S .  5; 6 S .  2; 9 S .  4; 7  S .  3; 8
3
4
 
  5   9  
.
.
2) Soit x ²  2 px  q  0 cette équation admet deux solutions si et seulement si
' = p² - q est un carré dans Z 11Z la condition est donc
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3) x 4  10 x ²  2  0 posons X = x²l’équation devient : X ²  10 X  2  0 . '  1. X1  6 X 2  4
.
.
. .
X 2  4  x ²  4 S  S .  2, 9
4
 
Exercice 2 :
.
.
X 1  6  x²  6  S
A(-1,0) ; Dm : y= mx +m
1) P (0, m) ; notons K le point de Dm d’abscisse x. K(x ; mx+m)
m²
m
m
a) d (k , p)  d (o, p)  x ² 
x
, ou x  
1  m²
1  m²
1  m²
m
m²
si x 
, alors y 
m
1  m²
1  m²
b)
en remplaçant x et y par les expressions
m
m²
si x  
, alors y  
m
1  m²
1  m²
ci-dessus on montre que : x(x² + y²) + x² - y² = 0
x 1
2)
f ( x)  x
1 x
a) Etude des variations de f
Df = [-1 ;1[
f(-1) = 0 ;
lim f ( x)   f est continue sur [-1 ;1[ , et dérivable sur ]-1 ;1[
x 1

x   1;1,
x
f ' ( x) 
f ' ( x)  0  x1 
1 5
2
-1
f ‘(x)
 x²  x  1
1 x
(1  x)²
1 x
−
1 5
2
1
+
+
0
f(x)
-0.30
et
x2 
1 5
 Df
2
f ( x)
  (C)
1 x

admet une demi tangente parallèle à (y’y) d’abscisse -1. La droite d’équation x = 1 est asymptote à
(C)
b) Au point d’abscisse 0, la tangente à (C) a pour équation y = x comme lim
x  1
(x = 1)
j
-1
O
i
C)
(S) : y²(x-1) + x²(x+1) = 0 pour x  1, (S) = (C)  (C’) où (C’) est la courbe symétrique
de (C) par rapport à l’axe des abscisses.
Problème
1  ln x n
fn =
x
A)
1) Etude de la fonction f1
f1 ( x ) 
1  ln x
x
dérivable sur R*
Df 1  0,. lim f1 ( x )  
et x  R*
x 0

f1 ' ( x )  
ln x
x²
lim f1 ( x )  0 f1 est continue et
x 
x
0
f’1(x)
+
1
−
+
f1(x)
1
-
0
2)
* Montrons que (C1) admet un point d'inflexion
2 ln x  1
3
f1" ( x ) 
. f1" ( x )  0  x  e f ( e ) 
3
x
2 e
d’inflexion à (C).
* Equation de la tangente :
3
1
y
 (x  e)
2 e 2e
* Tracé de (C1)
X
1/e
e
f1(x)
0
2/e
donc
1/e
B)
On suppose, n  2
1-a) Etudions les limites de fn en 0
Si n est pair, lim f n ( x )   si n est impair, lim f n ( x)  
x 
0

x 0
(ln x )n
0
x 
x
b) Démontrons que lim
A' ( e ,
e
3
2 e
3
2 e
) est un point
1
1
n
(ln x ) n
n ln t n
ln t 

lim
 lim (
)  n n  lim
0
x


t


t


x
t
t 

En posant x  t n , on a :
k
n
1
k (ln x ) 
lim f n ( x )   lim Cn
 lim  0

x  
x  
x


x 
x
 k 1
2) Etudions les variations de fn
Df n  R*  0, fn est continue et dérivable sur R* et x  R* , on a :
fn ' ( x) 
1  ln x n1 n  1  ln x  .
1
ou
e
n impair
x²
n pair
x
0 1/e
fn’(x)
−


−
e n 1
+
nn
e n 1
x  e n 1
fn ' ( x)  0  x 
x
fn’(x)
0
e n 1  
1/e
+
−
+
fn(x)
fn(x)
nn
e n 1
0

0
0
0
3-a) Montrons que toutes les courbes (Cn) sont tangentes en un point A et passe par B
n  2  N , f n' (e 1 )  0; f n (e 1 )  0  A( e 1 ,0)  (Cn ) de plus y = 0 est une tangente commune à
toutes les courbes (Cn) en outre n  N \ 0,1, f n (1)  1  B(1,1)  (Cn )
b) * dressons les tableaux de variations de f2 et f3
Tableau de variation de f2(x)
tableau de variation de f3(x)
x
0
f2’(x)

1/e
−
+
e 
−
4/e
f2(x)
x
0
f3’(x)
1/e
+
+
f3(x)
0
(C3) est en
dessous de (C2)
(C3 )  (C2 )
(C3) et (C2) sont tangentes au point A
* Tracé de (C2) et (C3)
27/e²
0
* Position des courbes (C2) et (C3)
0


ln x
1  ln x 2 Le signe de cette différence dépend de celui de ln x
f3 ( x)  f2 ( x) 
x
x
x

0
1
f3(x)-f2(x)
−
+
conclusion
e²  
−
(C3) est au dessus de
(C2)
0
(C 3 )
(C 2 )
(C 2 )
J
B
(C 2 )
(C 3 )
A
O
I
(C 3 )
4) Calculons l'aire An du domaine plan défini par la courbe et les droites
d'équation x = 1/e et x = 1 et déterminons la limite de An
Soit An cette aire.
1
1
An  1
e
 (1  ln x )n 1 
1
16
f n ( x )dx  

.u.a 
cm ² .

n 1
 n  1 1 n  1
lim An  0
n  
e
C)
U  e
V0  4
Soit  0

n  N ,U n 1  f 3 (U n ) n  N ,Vn1  f 3 (Vn )
1-a) Montrons que Un et Vn appartiennent à [e ; e²]
U0  e et e  e, e² Supposons que U n  e, e² 
Un+1 = f3 (Un). f3 est continue et strictement croissante sur [ e , e²] donc
8
27
8 27
et e  
 e²
f3 (Un)   f 3 (e), f 3 (e²); or f 3 (e)  , f 3 (e²) 
e
e²
e e²
D’où U n1  e, e²; ainsi n  N ,U n  e, e² . On démontre de la même façon pour (Vn)
b) Montrons que Un est croissante et Vn est décroissante
U1 – U0 > 0 car e < 8/e. Supposons que Un – Un-1 > 0 comme f3 est strictement croissante sur [e,
e²], on a f3 (Un) – f3 (Un-1) > 0 soit Un+1 – Un > 0 Donc la suite (Un) est croissante. De la même
manière on démontre que (Vn) est décroissante.
c) Montrons que Vn > Un
V0 > U0 car 4 > e. Supposons que Vn > Un. Comme f3 est strictement croissante sur [e, e²], on a f3
(Vn) > f3 (Un), soit Vn+1 > Un+1. Donc n  N Vn > Un.
Donc (Un) est croissante et majorée par V0 et (Vn) est décroissante et minorée par U0 ; ces deux
suites sont par définition convergente vers l et l’ tel que lim U n  l lim Vn  l '
n  
n  
2-a) * montrons que f '3 est strictement décroissante sue [e ; e²]
f3’ est dérivable sur [e, e²] et
x  e, e² , f 3" ( x ) 
2(1  ln x )(ln x 
X
0
e
1 + lnx
2ln²x –5lnx -1
f3 ‘’(x)
5  33
5  33
)(ln x 
)
4
4
x3
5 33
4
1/e
−
+
−
−
+
−
5 33
5 33
1
f 3" ( x )  0  x  , x  e 4 , x  e 4
e
e
e²
e
+
−
+
−
+
−
−
−
−
5 33
4

+
+
+
x  e, e² , f 3" ( x )  0 Et f3’ est strictement décroissante.
* déduisons que pour tout x élément de [e ; e²], 0  f 3' ( x )  4e 2
Puisque f '3 est décroissant sir [e ; e²] alors on a :
4
x  e, e² , f 3' (e²)  f 3' ( x )  f 3' (e) soit 0  f 3' ( x ) 
e²
Vn 1
b) * Démontrons que pour tout entier naturel n Vn  U n  
U n 1
f 3' (t )dt
f3’ étant continue sur [Un-1, Vn-1], on a :
Vn 1

U n 1
f 3 ' (t )dt   f 3 (t )Unn11  f 3 (Vn 1 )  f 3 (U n 1 )  Vn  U n
V
* déduisons que Vn  U n  4e 2  (4  e)
D’après la question 2-a), on a :
n
0  f 3 ' (t )  4e 2 ; t  e, e ² 
Donc
Vn 1
0
Vn 1
f 3 ' (t )dt  
U n 1
2
U n 1
4e 2dt
0  Vn  U n  4e (Vn 1  U n 1 )
on
peut écrire les inégalités
suivantes
2
0  Vn  U n  4e (Vn 1  U n 1 )
0  Vn 1  U n 1  4e 2 (Vn 2  U n 2 )
.... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
0  V1  U1  4e 2 (V0  U 0 )
0  Vn  U n  ( 4e 2 ) n ( 4  e) (en
faisant le
0  lim (Vn  U n )  lim (( 4e 2 ) n ( 4  e))
n  
0  l ' l  0
d ' où, l '  l
n  
produit des inégalités membres à membres)
BACCALAUREAT ‘’ D’’ 2003
Exercice 1
1-a) développement et réduction :
( z  2)( z ²  6 z  34)  z 3  ( 6  2) z ²  (34  12) z  68  z 3  4 z ²  22 z  68
b) Démontrons que (E) admet un entier comme solution
On a :
z 3  4 z ²  22 z  68  0  ( z  2)( z ²  6 z  34)  0  z  2  0 ou z ²  6 z  34  0  z  2  z ²  6 z  34  0
Donc (E) admet -2  Z comme solution.
c) résolution de (E) dans C :
( E )  z  2  z ²  6z  34  0;   100  (10i)², z'  3  5i; z"  3  5i  S   2,3  5i,3  5i
2-a) Nature du triangle ABC
AB  zB  z A  5  5i  5 2  zC  z A  5  5i  AC
Donc le triangle ABC est rectangle
BC  zC  z A   10i  10 et BC 2  AB²  AC ²
isocèle en A
c) Mesure principale de l’angle de R :

K est le milieu de [BC] ; d’où (AK) est la médiatrice de [BC] alors arg( BC , AK ) 
donc la
2

mesure principale de l’angle de R est
2
Exercice 2 :
prix
prob
2600
E P D
6 15 5
2
5
1
4
1/15
2
3
3100
E P D
6 15 1
6 2 5
2 1 1
5 4 3
2 2 2
5 4 3
1/6
3200
E P D
12 15 5
3
5
1
4
1/10
2
3
3600
E P
6 2
6 25
2 2
5 4
2 1
5 4
4/15
D
1
5
1
3
2
3
3700
E P D
12 15 1
12 2 5
3 1 1
5 4 3
3 2 2
5 4 3
1/4
4100
E P D
6 25 1
2
5
a) calcul de la probabilité de A
A : « le menu de madame IKS coûte 3100 » P (A) = 1/6
b) calcul de la probabilité de B
B : « le menu de madame IKS coûte au plus 4000 FCFA »
P(B) = P{(2600)} + P{(3100)} + P{(3200)} + P{(3600)} + P{(3700)}
= 1/15 + 1/6 + 1/10 + 4/15 + 1/4
= 43/60
c) calcul de la probabilité de c
C : « le menu de madame IKS coûte au moins 3500 »
P(C) = P {(3600)} + P {(3700)} + P {(4100)} + P {(4200)} + P {(4700)}
= 4/15 + 1/4 + 1/15 + 1/5 +3
= 2/3
2
4
1/15
1
3
4200
E P D
12 2 1
12 25 5
3 2 1
5 4 3
3 1 2
5 4 3
1/5
4700
E P
12 15
3
5
1
4
3/20
PROBLEME
f ( x)  x  2e x  x
Et
g ( x )  x  1e x  1
Partie A
1) Calcul des limites de g en   et en  
lim g ( x )  1
x  
lim g ( x )  
Et
x  
2) Calcul de g'(x) et tableau de variation de g
x  R : g ' ( x)  xex

x
g’ (x)

0
−
+

1
g (x)
0
3) Déduction du signe de g (x) sur R
D’après le tableau de variation de g, g ( x)  0 x R
Partie B
1- a) Calcul de la limite de f en  
lim f ( x )   car lim ( x  2)e x = 0
x  
x
b) * démontrons que (D) : y = x est asymptote à (C) en  
lim  f ( x)  x  lim x  2e x  0 donc (D) : y = x est asymptote oblique à la courbe (C) en  
x
x


* Etude de la position de (C) par rapport à (D)
f(x) – x = ( x  2)e x

x
2
f (x) - x
−
conclusion
(C) est en dessous de (D)
2- a) Calcul de la limite de f en  
lim f ( x)  lim x  2e x  x  
x
x
b) Calcul de lim
x  
f ( x)
x
f ( x)
ex
lim
 lim 1  ( x  2)  
x 
x 
x
x
(C )  ( D )

+
(C) est au dessus de (D)
* Interprétation graphique du résultat
La courbe de f admet une branche parabolique de direction (y’ o y)
3- Dérivée et tableau de variation
x  R : f ' ( x )  e x  x  2e x  1  x  1e x  1  g ( x )
x
f’ (x)


0
−
+

f (x)
-2

4- a) Démontrons que (C) coupe l’axe des abscisses en un unique point d’abscisse 
f est continu et strictement croissante sur R. donc f est une bijection de R sur R ; or 0 R donc il
existe un unique point  appartenant à R tel que f (  ) = 0, donc (C) coupe l’axe des abscisses en
un point  .
b) Calcul des valeurs exactes de f (1,68) et de f (1 ,7)
f (1,68) = 0,32e1,68  1,68 ≈ - 0,037 et
f (1,7) =  0,3e1,7  1,7 ≈0,058
* Déduction de la valeur approchée de  à 10-2 près par défaut
f (1,69) =  0,31e1,69  1,69  0,01 puisque f (1,68) × f (1,69) < 0 : alors 1,68 <  < 1,69 d’après le
théorème des valeurs intermédiaires et 1,68 – 1,68 <  – 1,68 < 1,69 – 1,68
d’où 0 <  – 0,68 < 0,01 alors   1,68  102 ; donc 1,68 est une valeur approchée de  à 10-2
près par défaut.
5- Tracé
PARTIE C :
1) calcul de
0
 ( x  2)e dx
x
t
U ' ( x )  e x
0
U ( x )  e x
 
Posons : 
d’où  ( x  2)e x dx  ( x  2)e x  e x
t
V ( x )  ( x  2)
V ' ( x )  1


= ( x  3)e x

0
t
 3  (t  3)et

0
t
2) calcul de l’aire
A(t )   f ( x)  x dx   ( x  2)e x dx   ( x  2)e x dx  3  (t  3)et cm² (( x  2)e x  0, x   ,2)
0
0
0
t
t
t
3) calcul de la limite de A (t)
lim A(t )  lim 3  (t  3)et  3cm²(car, lim (t  3)et  0)
t 
t 


t 
4) (E) : y" - 2y’ + y =x – 2 ;
(E’) : y" – 2y’ + y = 0.
a) Recherche d’une fonction affine h solution de (E)
h ℱ:\ h(x) = ax + b h  S( E )  h" ( x )  2h' ( x )  h( x )  x  2
 0  2a  ax  b  x  2
 0  2a  ax  b  x  2
par identifica tion, a  1, b  0; d ' oùx  R, h( x )  x
b) démontrons que g est solution de (E) si et seulement si g – h est solution de (E’)
( g  h )  S( E ')  ( g  h )" ( x )  2( g  h )' ( x )  ( g  h )( x )  0
 [ g" ( x )  2 g ' ( x )  g ( x )]  [h" ( x )  2h' ( x )  h( x )]  0
 g" ( x )  2 g ' ( x )  g ( x )  x  2, car , h" ( x )  2h' ( x )  h( x )  x  2(avec, h  S( E ) )
 g  S( E )
c) résolution de (E’)
L’équation caractéristique de (E’) est r² - 2r +1 = 0 elle admet pour solution la racine double
r" = r’ =1 d’où les solutions de (E’) sont les fonctions numériques f définies par f(x) = (Ax +B) e x
d) déduction de la solution de (E)
D’après 4-b) g  S( E ) si et seulement si ( g  h )  S( E ') , f  S( E ') , alors , g  f  h
Donc , g ( x )  ( Ax  B)e x  x pour tout x appartenant à R
* vérifions que f de la partie A est solution de (E)
f "(x) = x e x f’(x) = (x-1) e x + 1 alors f"(x) - 2 f’(x) + f(x) = x – 2 Donc f est solution de (E)
BACCALAUREAT " D "2002
Exercice 1 :
 1
3 
Z1  3  
i 
2
2


Et
 2
2 
Z 2  3

i 
2
2


1- a) Forme trigonométrique de Z1, Z2 et Z =
z1
z2
2
2 


 2  
  
Z1  3;   3 cos
 i sin
Z 2  3;   3 cos  i sin 
 et
3
3 
4
4
 3  
 4 
 2 
3;
Z1  3   5  
5
5 
et Z 

 1;    cos
 i sin

Z2
12
12 
    12  
3; 4 
b) Démontrons que n  N, Z 12n est réel.
 5 
Z  1;   1;5n   cos 5n  i sin 5n  cos 5n
 12 
Or cos 5n = 1 si n est pair et cos 5n = -1 si n est impair. Donc n N, Z12n est réel
2- a) forme algébrique de Z
Z
6 2
6 2
Z 1 
i
.
Z2
4
4
5
5
sin
b) valeur exacte de cos
et
12
12

5
6 2
cos


5
5
6 2
6 2

12
4
cos
 i sin

i

12
12
4
4
sin 5  6  2
 12
4
12 n
12 n
4) résolution de l'équation
(E) :


6  2 cos t 


 6 2
 6 2
2
 cos t  
 sin t 
6  2 sin t  2 2  



4
4
2




5
5
2
cos t  sin
sin t 
12
12
2

 5 
 cos t 
  cos
4
 12 
 2
t  3  2k

  2 
 ou
S ; 
6 3 
 
t   2k
6

 cos
Exercice 2 :
Ages
Nombre d'élèves
Angles
correspondants
1) représentation de la série par un diagramme circulaire
17
18
19
20
3
12
18
2
6
24
36
4
 31
 123
 185
 21
35
35
35
35
19 ans
20 ans
17 ans
18 ans
2) moyenne des âges
17  3  18  12  19  18  20  2
X
 18,54  19
35
k
3-a) loi de probabilité de X
X ()  0,1,2,3 tirage avec remise : loi binomiale p( X  k )  Cnk p k q n k
k  valeur prise par la var iable aléatoire X n  nombre de fois que l' on repète l' événement
p  probabilit é d' avoir succès
q  1 p
18
17
p
q
n  3( car on tire successive ment 3 jetons)
k  0;1;2;3
35
35
0
1
2
3
0
P(X=k)
3
4913
 18   17 
C 3  35   35   42875
0
1
2
 18   17  15606
C 3  35   35   42875
1
2
1
 18   17  16524
C 3  35   35   42875
2
c) L'espérance mathématique et l'écart-type de X
4913
15606
16524
5832
54
 1
 2
 3

 1,54
42875
42875
42875
42875
35
18 17
V ( X )  npq  3 

 0,749
35 35
 ( X )  V ( X )  0,749  0,865
E( X )  0 
Problème
x²  7
2x
Partie A : Etude des variations de f et tracé de (C)
1- a) vérifions que f est impaire
x²  7
*
D f  R .x, x   D f  D f , f ( x)   2 x   f ( x) Donc f est impaire.
b) tableau de variation de f dans] 0 ;   [
f ( x) 
3
0
5832
 18   17 
C 3  35   35   42875
3
x  R , f ' ( x ) 
*
x²  7
.Dans 0; f ' ( x )  0  x ²  7  0  x  7
2x²
lim f ( x )  
f ( x )  
f ( 7)  7
x  
X 0
f'(x)
lim
x

0


7
−
+


f(x)
7
2-a) les asymptotes à (Cf.)
* lim f ( x )   Et
lim f ( x )    x  0 est Asymptote verticale à (Cf.)
x 
0

x 
0

f ( x) 1
1 
1


lim  f ( x )  x   0  y  x est Asymptote oblique à (Cf.)
et
x  
x  
x
2
2 
2

c) position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique
1  7

x  0;,  f ( x )  x  
 0Cf 
2  2x

3) tracé de (C)
* lim
J
0
I
U0
U3
U1
f est impaire, d'où O est le centre de symétrie à (Cf.)
Partie B : Calcul d'aire
1- a) Valeur exacte de a
1
7
1 
7 11
a    f ( x )  x dx.u.a   dx.cm 2 ; Donc a   ln  cm2


2
2 
2 x

lim a  
b)
x 
0

2-a) calcul de 0
7
7
7
1
a    ln    0 
2
2
2
e
b) valeur approchée de 0 et précision
1
1
1
 
2,718 e 2,719
 0,367786  0  0,36792
0,3677  0,3680
 0,36785
D'où la valeur approchée de : 0 
2
0,3680  0,3677
 0,00015 alors 0  0,36785  0,00015
Précision :
2
Partie C: Etude d'une suite convergente liée à la fonction f
U 0  3
(U n ) 
U n 1  f (U n )
1-a) représentation graphique (voir figure ci-dessus)
b) conjecture du sens de variation
D'après la représentation graphique des termes de (Un) la suite est décroissante
2-a) Démontrons que la suite (Un) est à termes positifs
n  N , P(n) :" U n  0"
2,718  e  2,719 
* n  0  U0  3  0  P(0), vraie
* supposons P(n ), vraie.Montrons, que, P(n  1) est vraie
U ²7
P( n  1) : U n 1  f (U n )  n
 0.( car ,U n  0)
2U n
Conclusion : la suite (Un) est à termes positifs
* Démontrons que (Un) est minorée par 7
posons, P(n) :" Un  7  0"
* pour, n  0, on a,U0  7  3  7  0; d ' où, P(0) Est vraie
* Supposons P (n ) vraie. Montrons que P( n  1) vraie
U
7
 7
P(n  1) : U n 1  7  f (U n ) 
2U n
U n  0, d ' après (2-a)] D'où P (n+1) est vraie
n

2
 0.[car ,U n  7  0( Hypothèse de récurrence) et
Conclusion: la suite (Un) est minorée par 7
C) démontrons la conjecture de 1-b)
Posons, P(n) : U n1  U n  0
1
* pour, n  0 U1  U 0    0. D ' où, P (0) Est vraie
3
* Supposons P (n) vraie. Montrons que P (n+1) est vraie
U  U n U n1U n  7  0[car ,U  U  0 (Hypothèse de récurrence) et
U n 2  U n 1  n 1
n 1
n
2U n 1U n
U n  7

U n 1  7

U n 1.U n  7
 U n1.U n  7  0( D' après, (2  b)) ]
Conclusion: la suite (Un) est décroissante.
3-) Limite de (Un)
* (Un) est décroissante et minorée donc convergente de plus (Un) est définie par récurrence
* sa limite est tel que f (l) = l  l  7 ,, l   7 comme (Un) est à termes positifs donc
lim U n  7
n
BACCALAUREAT "D" 2000
Exercice 1:
1) Déterminons z
ZC  z ²
Z A  1 ; ZB  z ;
4Z A  2Z B  ZC
4  2 1
 z²  2z  4  0
'  3  i 3 ²  Z B  z  1  i 3; Z1  1  i 3 (Car B a une ordonnée strictement positive)
2) Ensemble des points M tels que 4 AM ²  2BM ²  CM ²  k
4 AM ²  2BM ²  CM ²  k  4OA²  2OB ²  OC ²  3OM ²  k
OA²  Z A ²  1; OB ²  Z B ²  4; OC ²  ZC  Z B ²  16
O  bar ( A;4), ( B;2), (C ;1)  ZO 
 
4OA²  2OB ²  OC ²  3OM ²  k  OM ² 
k  12
3
Discussion
* k < 12  S = 
* k = 12 ; OM² = 0  O = M  S = {O}
; l'ensemble des points M est le cercle de centre O et de rayon R 
* k > 12
3-
F:
PP
k  12
3
Z  Z '  (1  i 3 ) Z
Détermination des images de 1 et 1  i 3
Z A '  1  i 3  A' (1, 3 )
Z B '  1  i 3 1  i 3  2  2i 3  B' ( 2,2 3 )
Nature de F

F est une similitude de centre O de rapport 1  i 3  2 et d'angle
3
Exercice 2:



1) Calculons I  
n 1
n


x  1e xdx
U ( x )  x  1  U ' ( x)  1
Posons : 
 I   ( x  1)e x  e x
x
x
V ' ( x )  e  V ( x )  e


n 1
n
 (n  3)e( n1)  (n  2)en
2) U n  (n  3)e  ( n 1)  (n  2)e  n
a) Etudions la convergence de (Un)
* U n 1  U n  (n  3)e  ( n 1)  0  (Un) est décroissante on vérifie aisément par récurrence que
(Un) est minorée par 0. Donc (Un) est convergente.
* lim U n  0  (Un) converge vers 0
n  
b) * calcul de S2
S2  U 0  U1  U 2  2  5e 3
* expression de Sn en fonction de n
U 0  3e 1  2
U1  4e 2  3e 1
U 2  5e 3  4e 2
: : : :: : :
: : : :: : :
U n  (n  3)e  ( n 1)  (n  2)e  n
Sn  2  (n  3)e ( n 1) .
* calcul de la limite de Sn
lim Sn  2
n  
3-a) calcul de ce qui reste à Loïs au troisième voyage
15
n
U n 1  U n 
U n  0,85U n  U n  0,85 U 0 (Car Un est une suite géométrique de premier terme
100
U0 et de raison q = 0,85)
Pour n = 3, on a : U 3  675000  (0,85)3  414.534,375FCFA
b) Nombre de pays à visiter par Loïs pour que au retour il luis reste au moins 200.000 FCFA
Soit n le nombre de pays à visiter par Loïs:
U n  200.000 FCFA  675000(0,85) n  200.000
ln 0,3
.( car : ln 0,85  0)  n  7,484  n  7( car , n  N )
ln 0,85
Problème
L'urne contient : n boules noires et une boule blanche les gains sont:
( N , N )  1FCFA; ( B, B )  10 FCFA; ( N , B )  3,5FCFA
1) loi de probabilité
  ( N , N ); ( N , B); ( B, N ); ( B, B) , soit X ()  {-3,5 ; 1 ; 10}
n²
1
; P( X  10)  PB, B  
;
P( X  1)  PN , N  
(n  1)²
(n  1)²
2n
P( X  3,5)  PN , B  PB, N  
(n  1)²
xi
- 3,5
1
10
n²
1
2n
P(X=xi)
(n  1)²
(n  1)²
(n  1)²
2) calcul de l'espérance mathématique
n
n ²  7n  10
E ( X )   xi .P( X  xi )  3,5.P( X  3,5)  1.P( X  1)  10.P( X  10) 
(n  1)²
1
x ²  7 x  10
B) f ( x ) 
( x  1)²
1) Etude des variations de f
D f  R \  1
 (0,85) n  0,3  n 
* lim f ( x )  1
x  
lim f ( x )  
x

1


* f ' ( x) 
9( x  3)
( x  1) 3
Tableau de variation de f
X -
f''(x)
+
-1
+
+
3
+
−
f(x)
1
3) Tracé de C
+
1

1
8
10
J
-1 O
I
2
5
a) le jeu est équitable  f (n)  0  n  2;5
b) le jeu est avantageux  f (n )  0  n  0;1 et n  6
x
4) F ( x)   f (t )dt; x  0
0
a) Existence de F
f est continue pour x  0 , alors F(x) existe
b) Détermination de a, b ,c
x ²  7 x  10
b
c
f ( x) 
a

 a  1; b  9; c  18
( x  1)²
x  1 ( x  1)²
* expression de F(x)
x
x
9
18
18
F ( x )   f (t )dt   (1 

)dt  x  9 ln( x  1) 
 18
0
0
t  1 (t  1)²
x 1
* F ( 0)  0
c) Calcul d'aire
5
A    f ( x )dx (Car dans [2; 5] f est en dessous de l'axe des abscisses)
2
 (18 ln 2  12).cm ²
BACCALAUREAT "D" 2005
Exercice 1 :


I   2 e2 x cos ² xdx
;
0
J   2 e2 x sin ² xdx
0
1) calcul de I + J

I  J   2 e2 x cos ² x  sin ² x dx
0

  2 e2 x dx (car cos ² x  sin ² x =1)
0

1  2
  e2 x 
 2 0
1
1
 e 
2
2
1 2x
e cos 2 x  sin 2 x 
4
a) * Montrons que f est dérivable sur
1
Soit g(x) = e 2 x une fonction définie sur g est dérivable sur car toute fonction
4
exponentielle est dérivable en tout point de son domaine de définition.
Soit h(x) = cos 2 x  sin 2 x une fonction définie sur , h est dérivable sur car h est la somme
de deux fonctions trigonométriques dérivable sur d'après tout ce qui précède f est
dérivable sur
s dérivables sur
* calcul de f'(x)
f ' ( x )  e2 x cos 2 x
b) déduction de I – J
2) soit f ( x ) 

I  J   2 e2 x cos ² x  sin ² x dx
0



2
0

2
0
e 2 x cos 2 xdx (Car cos ² x  sin ² x = cos 2x)
  f ' ( x )dx (D'après (2-a))


 f ( x )02
1 
1
e 
4
4
3) calcul de I et J
1  1

 I  J  2 e  2

 I  J   1 e  1
4
4

1
3
1
3
2 I  e   I  e 
4
4
8
8

;
3
1
J  e 
8
8
Exercice 2 :
Soit la transformation t :
PP
M ( Z  x  iy )  M ' ( Z '  Z  1  i 3 )
1-a) déterminons x' et y' en fonction de x et y
 x'  x  1
Z '  Z  1  i 3  x 'iy '  x  iy  1  i 3  
 y'  y  3
b) déterminons la nature et l'élément caractéristique de t
t est la transformation du plan P d'écriture complexe générale : Z '  aZ  b par identification

a = 1  et b  1  i 3 or par définition si a = 1 alors t est une translation de vecteur directeur u
d'affixe b  1  i 3
PP
2) Soit la transformation r : M ( Z  x  iy )  M ( Z   1  i 3  Z )
1
1
2
2 

Détermination de la nature et des éléments caractéristiques de r
r est la transformation du plan P d'écriture complexe générale : Z1  aZ  b par identification on a:
1
i
2
1
arg(  i
2
3
 ℂ et b = 0 or par définition si a  ℂ et a  1 alors r est la rotation d'angle
2
3

b
0
)   et de centre O d'affixe
2
3
1 a
PP
3) soit la transformation s :
; s = rt
M (Z )  M 2 (Z2 )
a) exprimons Z2 en fonction de Z
1
3
 z 1 i 3
rt ( M )  M 2  Z 2    i
2 
2
a


1
3


 2  i 2 Z  2


b) déterminons les coordonnées de C'
1
3
ZC  2
s (C )  C '  Z C '  

i
2

2



 1  i 3  C ' 1; 3

4) soit ( D ) : x  y 3  2  0
a) montrons que C  (D )
xC  yC 3  2  1  3  2  0  C  ( D)
b) déterminons le point d'intersection de (D) et (D')
C  C' D'après la question (3-b) or si C  (D )  C'  (D) de plus si s [(D)] = (D')
et que C  (D)  C'  (D') par conséquent C  (D') de tout ce qui précède on a donc
C  ( D )  ( D' )
PROBLEME
Partie A
2
x
1) * Montrons que f est une fonction impaire
f ( x)  x 
2
  f ( x )  f est impaire
( x)
* Etude des variations de f sur *
f ( x)  ( x) 
lim f ( x )   ;
lim f ( x )  
x  
x
0
−
f''(x)
+
;
x  
lim f ( x )  
x 
0

;
f ' ( x) 
x²  2
x²
+
2
+
−
f(x)
le reste du tableau c'est-à-dire la partie correspondant à
l'intervalle [   ; 0] se déduit de celui-ci-contre par
symétrie centrale de centre 0
2 2
2-a) déterminons les branches infinies de Cf de f
 lim f ( x )  
x  
 f admet une

lim
f
(
x
)


 x
c
2
asymptote oblique d'équation y = ax + b. f ( x )  ax  b   x  par identification a = 1 ;
x
x
b = 0 et c = 2 montrons que y= x est asymptote oblique à Cf.
2
lim  f ( x )  y   lim  0  Y = x est asymptote oblique
x  
x   x
 lim f ( x )  
 x  0
 x  0 est asymptote verticale à Cf.
*  
f ( x )  
 x lim

0

* f est une fonction rationnelle car f ( x ) 
b) Etudions les variations de f
x
−
− 2
0
2
f '(x)
−
−
+
−
+ +
f(x)
−2 2
c) tracé de Cf.
2 2
x²  2
de plus
x
+
+
+
(y' )
(y = x)
I
J
O
\ {1} par g ( x ) 
I
x²  1
x 1
\ {1} : g(x) = f(x-1)
f ( x  1)  2  ( x  1) 
2
2
( x  1)  1
x²  1
x 1
 g (x )
b) Montrons que I( 1 ; 2) est centre de symétrie pour Cg

* Soit t la translation de vecteur directeur IO  oi  2oj déterminons l'image de Cg par t
x  1²  1  2
g ( x  1)  2 
( x  1)  1
x²  2 x  2

2
x
x²  2

x
 f (x )
* f(x) est impaire d'après (1)
De tout ce qui précède I (1 ; 2) est centre de symétrie
3) construction de Cg (voir courbe ci-dessus)
4) Calcul de l'aire du plan limité par la courbe la droite d'équation y = x+1 et les droites
x = 2 et x = a
A   g ( x)  y dx
a
2
2
dx
2 x 1
a
 2ln x  1 2

a
 2 ln( a  1).ua
 2 ln( a  1).1  1.cm ²
 2 ln( a  1).cm ²
Partie B
2e x  2 x  2
h( x ) 
ex
1.a) Montrons que l'on peut écrire h(x) sous la forme 2 + φ(x)
2x  2
2e x  2 x  2 2e x 2 x  2
2x  2
Alors φ(x) =
h( x ) 
 x 
2
x
x
x
ex
e
e
e
e
b) Montrons que la limite de φ(x) quand x tend vers +  est égale à 0
2x  2
x
lim  ( x )  lim
 2 lim x  0 (Car en +  , e  x l'emporte sur x d'après le théorèmes des
x
x  
x  
x


e
e
croissances comparées)
c) * Etude des variations de h
lim h( x )  2  y  2 Est une asymptote horizontale dans [2 ; +  [
lim h( x )  
x  
x  
h' ( x ) 
x
h'(x)
4  2x
Et h' ( x )  0  x  2
ex
−
2
+
−
+
2e 2  2
e2
h(x)
-
2
* Calcul de h (0)
h (0) = 0
2-a) Montrons que (Г) coupe son asymptote en un point I
Soit y = 2 l'équation de cette asymptote h( x )  y  h( x )  2
2x  2

0
ex
 2x – 2 = 0 (Car e x > 0)
 x=1
Donc I(1 ; 2)
b) équation de la tangente à (Г) au point d'abscisse 0
T : y = h '(0) (x – 0) + h (0)  y = 4x
c) Tracé de (Г)
(y = 4x)
(y = 2)
2
I
j
O
(y = -1)
i
-1
3) (Dm) : y = - m
a) tracé de (D1) et (D-2) (voir figure ci- dessus)
b) discutons suivant les valeurs de m le nombre de solution de l'équation
Em : ( 2  m ) e x  2 x  2  0
(2  m)e x  2 x  2  0  m  h( x)  h(x) = - m
* Pour - m є] -  ; 0[. Em admet une racine négative
* pour- m = 0 S = {0} (car h (0) = 0)
* pour - m є [0; 2[. Em admet une racine positive
* pour m = - 2 S = {-0,7} (par lecture graphique)
2e 2  2
* pour - m є [2 ;
[. Em admet deux racines positives
e2
2e 2  2
* pour m = S = {-0,48} (par lecture graphique)
e2
2e 2  2
* pour - m є [
; +  [.S = Ø
e2
Baccalauréat C et E "2005"
Exercice 1:
1-a) résolvons dans
– 84y = 7
* cherchons un couple (x0 ; y0) tel que l'on ait 13x0 – 84y0 = 7
Ecrivons les divisions successives de l'algorithme d'Euclide; on a :
84 = 13×6 + 6
13 = 6×2 + 1
En utilisant l'une après l'autre les égalités précédentes, exprimons les restes
successives 6, 1 en fonction des entiers 84 et 13; nous obtenons les égalités:
1 = 13 - 6×2
= 13 – (84 - 13×6) × 2
1= 13×13 - 84×2
D'où un couple (u ; v) = (13 ; 2) est solution de l'équation 13u -84v = 1 alors un couple solution de
(E) est (x0; y0) = (91; 14)
* cherchons un couple solution (x ; y) de l'équation : 13x -84y = 0 avec pgcd (84 ; 13) = 1
13x – 84y = 0  13x = 84y. L'entier 13 divise 84y et est premier avec 84 d'après le théorème de
Gauss 13 divise y   k  tel que l'on ait y = 13k on a donc x = 84k en
remplaçant y dans la relation 13x = 84y alors un couple solution de l'équation
13x – 84y = 0 est (x ; y) = (84k ; 13k)
S = {84k+91 ; 13k+14}
b) montrons que  (a ; b)  S on a pgcd (a ; b) = 1 ou pgcd(a ; b) = 7
Posons  = pgcd (a ; b)
Le couple non nul d'entier naturel (a ; b) est solution de (E) (par hypothèse)  13a – 84b = 7
Posons (E') : 13a -84b = 7. (E') admet une solution dans
si et seulement si
13a – 84b  
c'est-à-dire 13a – 84b  0 (  )  7  0 (  ) alors  est un diviseur de 7
or D(7) ={ 1 ;7} = ensemble des diviseurs de 7   = 1 ou  = 7
Donc pgcd (a ; b) = 1 ou pgcd (a ; b) = 7 si (a; b)  SE
2) déterminons les solutions de (E) tel que pgcd (a ; b) = 1
Pgcd (a ; b) = 1  13a – 84b = 1 nous en déduisons d'après (1-a) que a = 13 et b = 2
Donc (a; b) = (13 ; 2)
3) déterminons les solutions (a ; b) tel que pgcd (a ; b) = 7
Pgcd (a ; b) = 7  13a – 84b = 7 nous en déduisons d'après (1-a) que a = 91 et b = 14
Donc (a ; b) = (91 ; 14)
Exercice 2 : Uniquement pour les candidats de la E
f a ,b ( x)  a sin x  b sin 3 x Puisque l'exercice a trait au calcul des primitives il est donc judicieux de
linéariser d'abord sin 3 x ceci pour rendre claire les calculs. Après linéarisation de sin 3 x nous
3
1
obtenons : f a ,b ( x )  a sin x  b sin x  b sin 3x
4
4
1) calculons f 'a, b(x) et f ''a,b(x)
3
3
3
9
f a' ,b ( x )  a cos x  b cos x  b cos 3x ;
f a'',b ( x )  a sin x  b sin x  b sin 3x
4
4
4
4
2) déduisons les primitives de f a; b(x) sur
3
1

f
(
x
)

a
sin
x

b
sin
x

b sin 3x
a
,
b

4
4

 f a'',b ( x )   a sin x  3 b sin x  9 b sin 3x

4
4
f a'',b ( x)  f a ,b ( x)  2b sin 3x

f
a ,b
( x )   2b sin 3x   f a",b ( x )
2
  b cos 3x  f a' ,b
3
2
3
3
=  b cos 3x  a cos x  b cos x  b cos 3x
3
4
4
1
3
b cos 3x  a cos x  b cos x
=
12
4
3
1
Fka ,b ( x )  a cos x  b cos x  b cos 3x  k
4
12
3-a) déterminons la primitive de f a; b dont la courbe passe par A (

; 0) et a une tangente
2
parallèle à y = x en A


Fka ,b ( )  0

k  0
3
1

2
 Fk a ,b ( x )   b cos x  b cos 3x  a cos x


4
12
a  b  1
F 'k (  )  1
a
,
b


2
b) Ecrivons une équation de la tangente à F parallèle à la première bissectrice



y x
car F 'a ,b ( )  1 et Fab ( )  0
2
2
2
Exercice 2 :
g ( x )  x  2e x
1-a) Etudions les variations de g et dressons son tableau de variations
x
Dg  lim g ( x )   lim g ( x)  0 g ' ( x)  x  1e
x  
x
f '(x)
−
x  
+
−1
−
+
e
f(x)
−
0
b) Montrons que l'axe des abscisses est asymptote et l'axe des ordonnés est une branche
parabolique
* lim g ( x )  0  y  0 est asymptote horizontale à Cg
x  
g ( x)
   Cg admet une branche parabolique en −  de direction (oy)
x
c) Tracé de Cg
* lim
x  
(y = 2x + 4)
4
e
A
2
J
-2
-1
O
I
2) * soit (D) : y = 2x + 4 calculons les coordonnées du point d'intersection de (D) et (Cg)
2x + 4 = (x + 2) e-x  (x+2)(e-x – 2) = 0  x = − ln2 ou x = -2
Alors pour x = - ln2 y = − 2ln2 + 4 = 2,62 A (− ln2 ; 2,62) pour x = -2 y = 0
* calculons l'aire de ∆
 ln 2
0
C
∆ =  ( g ( x )  y )dx +  ( y  g ( x ))dx (car dans [- 2 ; - ln2] g et dans [- ln2 ; 0] D )
Cg
D
2
ln 2
=
 ln 2
 ln 2
0
2
2
ln 2

g ( x )dx   ydx  
ydx  
0
ln 2
g ( x)dx
Or une primitive de g(x) est de la forme : (ax  b)e x tel que
[( ax  b)e x ]'  (a  ax  b)e x  ( x  2)e x  a  1 et b = -3  G( x )  ( x  3)e x
Et une primitive de y est : Y  x²  4 x


 ln 2
∆ =  ( x  3)e  x  ( x ²  4 x ) 2

 x ²  4 x  ( x  3)e  x

0
ln 2
 2 ln( 2)  6  ln ²(2)  4 ln( 2)  e  4  3  ln ²(2)  4 ln( 2)  2 ln( 2)  6
 2(ln ²(2)  6 ln( 2)  6)  e2  1 U.a or u.a = 2 cm × 2 cm = 4 cm²
 8(ln ²(2)  6 ln( 2)  6)  4(e2  1) Cm²
∆ = 103 cm²
3)
2
B
A
I
C
D
a) déterminons le rapport et une mesure de l'angle de S
 AB  kAC
AB
a
2
S(C) = B  
Or k 
( car AC²  AD²  CD²  2a² )


AC a 2
2
mes AB, AC  




Et mes( AB, AC )  mes AC , AB  

4
b) Montrons que I est l'image de D par S
Soit I' l'image de I par S montrons que I' = D

2
AI
 AI ' 
2
S (I) = I'  
mes AI ' , AI   

4


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