Université Sultan Moulay Slimane Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal Département de Mathématiques A. ABBASSI Exercices Analyse II Travaux Dirigés N 4 Première version: Décember, 2017 FST Beni-Mellal. 2 Université Sultan Moulay Slimane Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal Année universitaire 2017/2018 Filières: MIPC/GE-GM Travaux Dirigés N 4 Module Analyse II P Exercice 1 : Soit un est une série à termes positifs P P 1- Utiliser le critère de comparaison pour montrer que si un est convergente alors est aussi convergente. P P 2- Utiliser le critère d’équivalence pour montrer que si lim un = 0 alors un et n!+1 ont même nature de convergence. un 1 + un un 1 + un Exercice 2 : 1- Utiliser les critères de comparaison, d’Alembert, de Cauchy et de Riemann pour a¢ rmer P n2 que la série e est convergente. P 1 p 2- Utiliser les critères de comparaison et d’équivalence pour véri…er que la série (n + 1)(n2 + 1) est convergente. Peut-on utiliser le critère de Riemann? Peut-on utiliser le critère de d’Alembert? Exercice 3 : Utiliser le critère de Cauchy pour montrer que les séries: P P 1 1 2 3 1) (1 + ) n et 2) (n sin )+n sont convergentes. n n Exercice 4 : Donner la nature des séries (dites de Bertrand) suivantes: P 1 P 1 1) ; 2) . n ln n n ln n(ln(ln n))2 Exercice 5 : Utiliser Critère de Leibniz pour montrer que la série Exercice 6 : 1- Calculer les sommes suivantes: +1 X n=1 2- Justi…er l’encadrement suivant: 4 +1 3 X 1 n ; : n(n + 3) n! n=1 +1 X n=1 1 1 + n2 4 + 1 2 P p 1 ( 1)n n sin converge. n — — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 4— — — — — — — — — — — 3 Solutions: P Exercice 1 : Soit un est une série à termes positifs 1- On a 0 un 8n 2 N 1 un un (car 1); =) 0 vn = 1 + un 1 + un P P un est aussi convergente. d’après le critère de comparaison, si un est convergente alors 1 + un 2- Si lim un = 0 alors n!+1 un 1 + un vn = un ]; 1 + un = un [1 avec un = 0; n!+1 1 + un P P un . Ainsi, comme un et vn sont positifs, un et lim d’où vn convergence (d’après le critère d’équivalence. un ont même nature de 1 + un Exercice 2 : 2 1- Posons: un = e n , on a un > 0 8n > 0: X critère de comparaison: on a: 0<e la série géométrique X n n2 n 8n > 0; 1 < 1 est convergente. P n2 D’où, d’après le critère de comparaison la série e est convergente. X critère de d’Alembert: un+1 2 2 = e (n+1) +n un = e 2n 1 ; P donc lim uun+1 = 0 < 1, donc d’ après la règle de d’ Alembert la série e n e de raison q = e e n!+1 X critère de de Cauchy: p n n2 est convergente. ; et lim e n = 0 < 1; n!+1 P n2 donc d’après la règle de Cauchy la série e est convergente. X critère de de Riemann: on a 2 lim n2 e n = 0; un = e n n!+1 la série de Riemann P 1 n2 ) 9N 2 N; 8n N; n2 e ) 9N 2 N; 8n N; e est cv )la série P e n2 n2 n2 1 1 ; n2 est convergente (critère de comparaison). 4 2- Posons vn = p A. ABBASSI 1 (n + 1)(n2 + 1) X critère de comparaison: on a: 1 1 p = 3 3 n n2 P P 1 la série de Riemann vn est convergente (critère de comparaison). 3 est cv )la série n2 X critère d’équivalence: on a: 1 0 vn 3 n2 P P 1 P 1 donc les deux séries vn et 3 sont de même nature, la série de Riemann 3 est cv )la n2 n2 P série vn est également convergente. X critère de de Riemann: on a 0 vn 3 lim n 2 e n2 n!+1 = 1; 3 ) 9N 2 N; 8n N; n 2 e ) 9N 2 N; 8n N; e n2 n2 2 2 3 n2 ; P 1 P n2 la série de Riemann e est convergente (critère de comparaison). 3 est cv )la série n2 X critère de d’Alembert: vn+1 lim =1 n!+1 vn donc ce critère ne s’applique pas, faut voir celui de Duhamel. Exercice 3 : Critère de Cauchy: 1 2 1) Posons: un = (1 + ) n n on a pour tout n 2 N ; un > 0. De plus, p n un = (1 + = e = e lim n!+1 P 1 D’après la règle de Cauchy, (1 + ) n 1 n3 2) Posons: vn = (n sin ) n on a pour tout n 2 N ; vn > 0. De plus, p n n2 p n 1 ) n n 1 ) n ln(1+ n 1 1 +o( n )) n( n un = e 1 ; < 1: est convergente. 1 2 vn = (n sin )n n 1 ) n2 ln(n sin n = e ; — — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 4— — — — — — — — — — — 5 le développement limité de x ! sin x au voisinage de 0 nous permet d’écrire: sin 1 1 = n n ) n sin donc 1 1 1 + o( 3 ); 3 6n n 1 =1 n 1 ln(n sin ) = n D’où: lim n!+1 D’après la règle de Cauchy, p n 1 1 1 + o( 2 ); 2 6n n 1 1 1 + o( 2 ): 2 6n n vn = e 1 6 < 1: P 1 3 (n sin )n est convergente. n Exercice 4 : Séries de Bertrand: Z 1 1) La suite est décroissante, donc l’intégrale n ln n n 2 ont même nature. Posons u = ln x; du = x1 dx +1 Z ) |2 1 dx x ln x {z } = +1 Z +1 2 +1 P 1 1 dx et la série x ln x n=2 n ln n 1 du = [ln u]+1 ln 2 = +1; u ln 2 ou dire que c’est une intégrale de Bertrand divergente par conséquent la série +1 P 1 est divergente. n=2 n ln n Z +1 1 1 2) La suite est décroissante, donc l’intégrale dx et la 2 n ln n(ln(ln n)) n x ln x(ln(ln x))2 A +1 P 1 ont même nature, où A est un réel assez grand. série 2 n E(A) n ln n(ln(ln n)) 1 Posons u = ln(ln x); du = dx x ln x +1 +1 Z Z 1 1 dx = du; 2 x ln x(ln(ln x)) u2 A or l’intégrale Z ln(ln A) +1 ln(ln A) 1 du u2 est convergente, donc la série P 1 converge. n ln n(ln(ln n))2 P p 1 Exercice 5 : Utiliser le critère de Leibniz pour montrer que la série alternée ( 1)n n sin n p 1 converge revient à véri…er que la suite ( n sin )n est décroissante à partir d’un certain rang, n tout en montrons que p 1 lim n sin = 0: n!+1 n En e¤et: p 1 1 X On a: limn!+1 n sin = limn!+1 p1n n sin = limn!+1 p1n = 0. n n 6 A. ABBASSI X Considérons la fonctions: f :]0; +1[! R px x ! sin x f est continue dérivable sur ]0; +1[, notre but est d’étudier le signe de f 0 au voisinage de 0+ : sin x cos x p p x 2x x 1 p [2x cos x = 2x x f 0 (x) = sin x]; le développement limité au voisinage de 0+ donne: x3 + o(x3 ); x3 + o(x3 ): 6 2x cos x = 2x sin x = x Donc 2x cos x ainsi 5 2 x + o(x2 )]; 6 sin x = x[1 1 f 0 (x) = p (1 2 x 5 2 x + o(x2 )); 6 et puisque 5 2 x + o(x2 )) = 1 > 0; x!0 6 9 > 0 tq 8x 2]0; [ on a f 0 (x) > 0; c-à-d f % : lim+ (1 on …xe n0 de telle sorte que 1 n0 < , donc: 1 1 ) < f( ) n+1 n p p 1 1 =) n + 1 sin( ) < n sin( ); n+1 n la suite un est donc décroissante. P D’après la règle d’Abel sur les séries alternées, on en déduit que ( 1)n un est convergente. 8n n0 ; f ( Exercice 6 : +1 P 1- La série 1 1 est convergente car le terme général n(n + 3) n=1 n(n + 3) d’un série de Riemann convergente. +1 P 1 Pour calculer la somme , décomposons d’abord: n=1 n(n + 3) +1 1 terme général n2 1 1 1 1 = [ ] n(n + 3) 3 n n+3 1 1 1 1 1 1 1 = [ + + ]: 3 n n+1 n+1 n+2 n+2 n+3 | {z } | {z } | {z } un vn D’après le cours, +1 X n=1 un = 1; wn — — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 4— — — — — — — — — — — par changement de variable, on trouve: +1 X +1 1 X 1 vn = ; wn = ; 2 n=1 3 n=1 donc +1 X 1 1 1 1 = [1 + + ] n(n + 3) 3 2 3 n=1 11 : 18 = X Calcul de +1 P n3 n=1 n! +1 3 X n n=1 +1 X = n! n=1 n2 (n 1)! +1 X (k + 1)2 = k! k=0 +1 2 X k = k! k=1 +2 |k=1 il reste +1 2 X k k=1 k! = +1 X k=1 = +1 X j=1 +1 X k (k 1)! 1 (j 1)! +1 X 1 + ; (k 1)! k=0 k! {z } 1 e1 = +1 X j+1 j=0 + j! +1 X 1 = 2e: j! j=0 Donc: +1 3 X n n=1 2- On a: Z n+1 n d’où n! = 5e 1 dx = arctan(n + 1) 1 + x2 +1 Z X n n=1 n+1 1 dx = 1 + x2 2 1 + Or, la fonction: x ! 1+x 2 est décroissante sur R . Donc pour tout x 2 [n; n + 1]; 1 1 + (n + 1)2 d’où +1 X n=2 1 1 + n2 +1 Z X n=1 n n+1 1 1 + x2 arctan(n); arctan 1 = 4 : 1 ; 1 + n2 1 dx = 1 + x2 4 +1 X n=1 1 1 + n2 7 8 A. ABBASSI 1 X 1 + 2 n=1 1 + n2 +1 =) ce qui justi…er l’encadrement suivant: 4 +1 X n=1 1 1 + n2 4 +1 X n=1 1 + : 4 2 1 ; 1 + n2