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Solution TD chapitre IV

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Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal
Département de Mathématiques
A. ABBASSI
Exercices Analyse II
Travaux Dirigés N 4
Première version:
Décember, 2017
FST Beni-Mellal.
2
Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal
Année universitaire 2017/2018
Filières: MIPC/GE-GM
Travaux Dirigés N 4
Module Analyse II
P
Exercice 1 : Soit
un est une série à termes positifs
P
P
1- Utiliser le critère de comparaison pour montrer que si
un est convergente alors
est aussi convergente.
P
P
2- Utiliser le critère d’équivalence pour montrer que si lim un = 0 alors
un et
n!+1
ont même nature de convergence.
un
1 + un
un
1 + un
Exercice 2 :
1- Utiliser les critères de comparaison, d’Alembert, de Cauchy et de Riemann pour a¢ rmer
P n2
que la série
e
est convergente.
P
1
p
2- Utiliser les critères de comparaison et d’équivalence pour véri…er que la série
(n + 1)(n2 + 1)
est convergente. Peut-on utiliser le critère de Riemann? Peut-on utiliser le critère de d’Alembert?
Exercice 3 : Utiliser le critère de Cauchy pour montrer que les séries:
P
P
1
1
2
3
1) (1 + ) n et 2) (n sin )+n sont convergentes.
n
n
Exercice 4 : Donner la nature des séries (dites de Bertrand) suivantes:
P 1
P
1
1)
; 2)
.
n ln n
n ln n(ln(ln n))2
Exercice 5 : Utiliser Critère de Leibniz pour montrer que la série
Exercice 6 :
1- Calculer les sommes suivantes:
+1
X
n=1
2- Justi…er l’encadrement suivant:
4
+1 3
X
1
n
;
:
n(n + 3)
n!
n=1
+1
X
n=1
1
1 + n2
4
+
1
2
P
p
1
( 1)n n sin converge.
n
— — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 4— — — — — — — — — — —
3
Solutions:
P
Exercice 1 : Soit
un est une série à termes positifs
1- On a 0 un 8n 2 N
1
un
un (car
1);
=) 0 vn =
1 + un
1 + un
P
P un
est aussi convergente.
d’après le critère de comparaison, si un est convergente alors
1 + un
2- Si lim un = 0 alors
n!+1
un
1 + un
vn =
un
];
1 + un
= un [1
avec
un
= 0;
n!+1 1 + un
P
P
un . Ainsi, comme un et vn sont positifs,
un et
lim
d’où vn
convergence (d’après le critère d’équivalence.
un
ont même nature de
1 + un
Exercice 2 :
2
1- Posons: un = e n , on a un > 0 8n > 0:
X critère de comparaison: on a:
0<e
la série géométrique
X
n
n2
n
8n > 0;
1
< 1 est convergente.
P n2
D’où, d’après le critère de comparaison la série
e
est convergente.
X critère de d’Alembert:
un+1
2
2
= e (n+1) +n
un
= e 2n 1 ;
P
donc lim uun+1
=
0
<
1,
donc
d’
après
la
règle
de
d’
Alembert
la
série
e
n
e
de raison q = e
e
n!+1
X critère de de Cauchy:
p
n
n2
est convergente.
; et lim e n = 0 < 1;
n!+1
P n2
donc d’après la règle de Cauchy la série
e
est convergente.
X critère de de Riemann: on a
2
lim n2 e n = 0;
un = e
n
n!+1
la série de Riemann
P
1
n2
) 9N 2 N; 8n
N; n2 e
) 9N 2 N; 8n
N; e
est cv )la série
P
e
n2
n2
n2
1
1
;
n2
est convergente (critère de comparaison).
4
2- Posons vn = p
A. ABBASSI
1
(n + 1)(n2 + 1)
X critère de comparaison: on a:
1
1
p = 3
3
n
n2
P
P 1
la série de Riemann
vn est convergente (critère de comparaison).
3 est cv )la série
n2
X critère d’équivalence: on a:
1
0 vn
3
n2
P
P 1
P 1
donc les deux séries
vn et
3 sont de même nature, la série de Riemann
3 est cv )la
n2
n2
P
série
vn est également convergente.
X critère de de Riemann: on a
0
vn
3
lim n 2 e
n2
n!+1
= 1;
3
) 9N 2 N; 8n
N; n 2 e
) 9N 2 N; 8n
N; e
n2
n2
2
2
3
n2
;
P 1
P n2
la série de Riemann
e
est convergente (critère de comparaison).
3 est cv )la série
n2
X critère de d’Alembert:
vn+1
lim
=1
n!+1 vn
donc ce critère ne s’applique pas, faut voir celui de Duhamel.
Exercice 3 : Critère de Cauchy:
1
2
1) Posons: un = (1 + ) n
n
on a pour tout n 2 N ; un > 0.
De plus,
p
n
un = (1 +
= e
= e
lim
n!+1
P
1
D’après la règle de Cauchy, (1 + )
n
1 n3
2) Posons: vn = (n sin )
n
on a pour tout n 2 N ; vn > 0.
De plus,
p
n
n2
p
n
1
)
n
n
1
)
n ln(1+ n
1
1
+o( n
))
n( n
un = e
1
;
< 1:
est convergente.
1 2
vn = (n sin )n
n
1
)
n2 ln(n sin n
= e
;
— — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 4— — — — — — — — — — —
5
le développement limité de x ! sin x au voisinage de 0 nous permet d’écrire:
sin
1
1
=
n
n
) n sin
donc
1 1
1
+ o( 3 );
3
6n
n
1
=1
n
1
ln(n sin ) =
n
D’où:
lim
n!+1
D’après la règle de Cauchy,
p
n
1 1
1
+ o( 2 );
2
6n
n
1
1 1
+ o( 2 ):
2
6n
n
vn = e
1
6
< 1:
P
1 3
(n sin )n est convergente.
n
Exercice 4 : Séries de Bertrand:
Z
1
1) La suite
est décroissante, donc l’intégrale
n ln n n 2
ont même nature.
Posons u = ln x; du = x1 dx
+1
Z
)
|2
1
dx
x ln x
{z
}
=
+1
Z
+1
2
+1
P 1
1
dx et la série
x ln x
n=2 n ln n
1
du = [ln u]+1
ln 2 = +1;
u
ln 2
ou dire que c’est une intégrale de Bertrand divergente
par conséquent la série
+1
P
1
est divergente.
n=2 n ln n
Z +1
1
1
2) La suite
est décroissante, donc l’intégrale
dx et la
2
n ln n(ln(ln n)) n
x ln x(ln(ln x))2
A
+1
P
1
ont même nature, où A est un réel assez grand.
série
2
n E(A) n ln n(ln(ln n))
1
Posons u = ln(ln x); du =
dx
x ln x
+1
+1
Z
Z
1
1
dx =
du;
2
x ln x(ln(ln x))
u2
A
or l’intégrale
Z
ln(ln A)
+1
ln(ln A)
1
du
u2
est convergente, donc la série
P
1
converge.
n ln n(ln(ln n))2
P
p
1
Exercice 5 : Utiliser le critère de Leibniz pour montrer que la série alternée ( 1)n n sin
n
p
1
converge revient à véri…er que la suite ( n sin )n est décroissante à partir d’un certain rang,
n
tout en montrons que
p
1
lim
n sin = 0:
n!+1
n
En e¤et:
p
1
1
X On a: limn!+1 n sin = limn!+1 p1n n sin = limn!+1 p1n = 0.
n
n
6
A. ABBASSI
X Considérons la fonctions:
f :]0; +1[! R
px
x ! sin
x
f est continue dérivable sur ]0; +1[, notre but est d’étudier le signe de f 0 au voisinage de 0+ :
sin x
cos x
p
p
x
2x x
1
p [2x cos x
=
2x x
f 0 (x) =
sin x];
le développement limité au voisinage de 0+ donne:
x3 + o(x3 );
x3
+ o(x3 ):
6
2x cos x = 2x
sin x = x
Donc
2x cos x
ainsi
5 2
x + o(x2 )];
6
sin x = x[1
1
f 0 (x) = p (1
2 x
5 2
x + o(x2 ));
6
et puisque
5 2
x + o(x2 )) = 1 > 0;
x!0
6
9 > 0 tq 8x 2]0; [ on a f 0 (x) > 0; c-à-d f % :
lim+ (1
on …xe n0 de telle sorte que
1
n0
< , donc:
1
1
) < f( )
n+1
n
p
p
1
1
=)
n + 1 sin(
) < n sin( );
n+1
n
la suite un est donc décroissante.
P
D’après la règle d’Abel sur les séries alternées, on en déduit que ( 1)n un est convergente.
8n
n0 ; f (
Exercice 6 :
+1
P
1- La série
1
1
est convergente car le terme général
n(n + 3)
n=1 n(n + 3)
d’un série de Riemann convergente.
+1
P
1
Pour calculer la somme
, décomposons d’abord:
n=1 n(n + 3)
+1
1
terme général
n2
1
1 1
1
=
[
]
n(n + 3)
3 n n+3
1 1
1
1
1
1
1
=
[
+
+
]:
3 n n+1
n+1 n+2
n+2 n+3
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
un
vn
D’après le cours,
+1
X
n=1
un = 1;
wn
— — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 4— — — — — — — — — — —
par changement de variable, on trouve:
+1
X
+1
1 X
1
vn = ;
wn = ;
2 n=1
3
n=1
donc
+1
X
1
1 1
1
=
[1 + + ]
n(n + 3)
3
2 3
n=1
11
:
18
=
X Calcul de
+1
P
n3
n=1 n!
+1 3
X
n
n=1
+1
X
=
n!
n=1
n2
(n
1)!
+1
X
(k + 1)2
=
k!
k=0
+1 2
X
k
=
k!
k=1
+2
|k=1
il reste
+1 2
X
k
k=1
k!
=
+1
X
k=1
=
+1
X
j=1
+1
X
k
(k
1)!
1
(j
1)!
+1
X
1
+
;
(k 1)! k=0 k!
{z
}
1
e1
=
+1
X
j+1
j=0
+
j!
+1
X
1
= 2e:
j!
j=0
Donc:
+1 3
X
n
n=1
2- On a:
Z
n+1
n
d’où
n!
= 5e
1
dx = arctan(n + 1)
1 + x2
+1 Z
X
n
n=1
n+1
1
dx =
1 + x2
2
1
+
Or, la fonction: x ! 1+x
2 est décroissante sur R .
Donc pour tout x 2 [n; n + 1];
1
1 + (n + 1)2
d’où
+1
X
n=2
1
1 + n2
+1 Z
X
n=1
n
n+1
1
1 + x2
arctan(n);
arctan 1 =
4
:
1
;
1 + n2
1
dx =
1 + x2
4
+1
X
n=1
1
1 + n2
7
8
A. ABBASSI
1 X 1
+
2 n=1 1 + n2
+1
=)
ce qui justi…er l’encadrement suivant:
4
+1
X
n=1
1
1 + n2
4
+1
X
n=1
1
+ :
4 2
1
;
1 + n2
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