Solution TD chapitre IV

Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal
Département de Mathématiques
A. ABBASSI
Exercices Analyse II
Travaux Dirigés N4
Première version:
Décember, 2017
FST Beni-Mellal.
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Université Sultan Moulay Slimane Année universitaire 2017/2018
Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal Filières: MIPC/GE-GM
Travaux Dirigés N4
Module Analyse II
Exercice 1 : Soit Punest une série à termes positifs
1- Utiliser le critère de comparaison pour montrer que si Punest convergente alors Pun
1 + un
est aussi convergente.
2- Utiliser le critère d’équivalence pour montrer que si lim
n!+1un= 0 alors Punet Pun
1 + un
ont même nature de convergence.
Exercice 2 :
1- Utiliser les critères de comparaison, d’Alembert, de Cauchy et de Riemann pour a¢ rmer
que la série Pen2est convergente.
2- Utiliser les critères de comparaison et d’équivalence pour véri…er que la série P1
p(n+ 1)(n2+ 1)
est convergente. Peut-on utiliser le critère de Riemann? Peut-on utiliser le critère de d’Alembert?
Exercice 3 : Utiliser le critère de Cauchy pour montrer que les séries:
1) P(1 + 1
n)n2et 2) P(nsin 1 n)+n3sont convergentes.
Exercice 4 : Donner la nature des séries (dites de Bertrand) suivantes:
1) P1
nln n;2) P1 nln n(ln(ln n))2.
Exercice 5 : Utiliser Critère de Leibniz pour montrer que la série P(1)npnsin 1
nconverge.
Exercice 6 :
1- Calculer les sommes suivantes:
+1
X
n=1
1
n(n+ 3) ;
+1
X
n=1
n3
n!:
2- Justi…er l’encadrement suivant:
4
+1
X
n=1
1
1 + n2 4+1 2

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Solutions:
Exercice 1 : Soit Punest une série à termes positifs
1- On a 0un8n2N
=)0vn=un
1 + unun(car 1 1 + un1);
d’après le critère de comparaison, si Punest convergente alors Pun
1 + un
est aussi convergente.
2- Si lim
n!+1un= 0 alors
vn=un
1 + un
=un[1 un
1 + un
];
avec
lim
n!+1
un
1 + un
= 0;
d’où vnun. Ainsi, comme unet vnsont positifs, Punet Pun
1 + un
ont même nature de
convergence (d’après le critère d’équivalence.
Exercice 2 :
1- Posons: un=en2, on a un>08n > 0:
Xcritère de comparaison: on a:
0< en2en8n > 0;
la série géométrique Xende raison q=e1<1est convergente.
D’où, d’après le critère de comparaison la série Pen2est convergente.
Xcritère de d’Alembert:
un+1
un
=e(n+1)2+n2
=e2n1;
donc lim
n!+1
un+1
un= 0 <1, donc d’après la règle de d’Alembert la série Pen2est convergente.
Xcritère de de Cauchy:
n
pun=en;et lim
n!+1en= 0 <1;
donc d’après la règle de Cauchy la série Pen2est convergente.
Xcritère de de Riemann: on a
lim
n!+1n2en2= 0;
) 9N2N;8nN; n2en21
) 9N2N;8nN; en21
n2;
la série de Riemann P1
n2est cv )la série Pen2est convergente (critère de comparaison).

4 A. ABBASSI
2- Posons vn=1
p(n+ 1)(n2+ 1)
Xcritère de comparaison: on a:
0vn1
pn3=1
n3
2
la série de Riemann P1
n3
2est cv )la série Pvnest convergente (critère de comparaison).
Xcritère d’équivalence: on a:
0vn1
n3
2
donc les deux séries Pvnet P1
n3
2sont de même nature, la série de Riemann P1
n3
2est cv )la
série Pvnest également convergente.
Xcritère de de Riemann: on a
lim
n!+1n3
2en2= 1;
) 9N2N;8nN; n3
2en22
) 9N2N;8nN; en22
n3
2
;
la série de Riemann P1
n3
2est cv )la série Pen2est convergente (critère de comparaison).
Xcritère de d’Alembert:
lim
n!+1
vn+1
vn
= 1
donc ce critère ne s’applique pas, faut voir celui de Duhamel.
Exercice 3 : Critère de Cauchy:
1) Posons: un= (1 + 1
n)n2
on a pour tout n2N; un>0.
De plus,
n
pun= (1 + 1
n)n
=enln(1+ 1
n)
=en(1
n+o(1 n));
lim
n!+1
n
pun=e1<1:
D’après la règle de Cauchy, P(1 + 1
n)n2est convergente.
2) Posons: vn= (nsin 1
n)n3
on a pour tout n2N; vn>0.
De plus,
n
pvn= (nsin 1
n)n2
=en2ln(nsin 1
n);

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le développement limité de x!sin xau voisinage de 0nous permet d’écrire:
sin 1
n=1 n1 6
1
n3+o(1 n3);
)nsin 1
n= 1 1 6
1
n2+o(1 n2);
donc
ln(nsin 1
n) = 1 6
1
n2+o(1 n2):
D’où:
lim
n!+1
n
pvn=e1
6<1:
D’après la règle de Cauchy, P(nsin 1
n)n3est convergente.
Exercice 4 : Séries de Bertrand:
1) La suite 1
nln nn2
est décroissante, donc l’intégrale Z+1
2
1
xln xdx et la série +1
P
n=2
1
nln n
ont même nature.
Posons u= ln x; du =1
xdx
)
+1
Z2
1
xln xdx
| {z }
ou dire que c’est une intégrale de Bertrand divergente
=
+1
Z
ln 2
1
udu = [ln u]+1
ln 2 = +1;
par conséquent la série +1
P
n=2
1
nln nest divergente.
2) La suite 1
nln n(ln(ln n))2n
est décroissante, donc l’intégrale Z+1
A
1
xln x(ln(ln x))2dx et la
série +1
P
nE(A)
1
nln n(ln(ln n))2ont même nature, où Aest un réel assez grand.
Posons u= ln(ln x); du =1
xln xdx
+1
Z
A
1
xln x(ln(ln x))2dx =
+1
Z
ln(ln A)
1
u2du;
or l’intégrale Z+1
ln(ln A)
1
u2du est convergente, donc la série P1
nln n(ln(ln n))2converge.
Exercice 5 : Utiliser le critère de Leibniz pour montrer que la série alternée P(1)npnsin 1
n
converge revient à véri…er que la suite (pnsin 1
n)nest décroissante à partir d’un certain rang,
tout en montrons que
lim
n!+1pnsin 1
n= 0:
En e¤et:
XOn a: limn!+1pnsin 1
n= limn!+11
pnnsin 1
n= limn!+11
pn= 0.