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aspet énergétiques pour sc physique et sc math (www.pc1.ma)

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Pour sc math et sc physique.
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1) Travail d'une force constante lors d'un déplacement rectiligne:
2) Travail de la tension d'un ressort:
Donc le travail de la tension du ressort lorsque son point d'application se déplace d'un point M1d'abscisse x1 à un point M2
d'abscisse x2 est donné par la relation suivante
:
 1
2
2
WT  .K .(x1  x 2 )
T 1T 2
2
)1(
1)Energie potentielle de élastique:
L'énergie potentielle élastique d'un pendule élastique est l'énergie qu'il possède grâce à la déformation du ressort, elle est
donnée par la relation suivante:
1
E pe  .K .x 2  C
2
C: est une constante qui dépend du choix de l’état de référence de l’énergie potentielle élastique .
x : allongement du ressort (en mètre)
E pe : énergie potentielle élastique en (J).
En considérant comme état de référence Epe=0 lorsque x=0
la constante
C=0
donc : E pe 
1
.K .x 2
2
2) Conservation de l'énergie mécanique:
Pendant les oscillations libres non amorties d'un pendule élastique horizontal constitué d'un corps S de masse m et d'un
ressort de constante de raideur K, appliquons le théorème de l'énergie cinétique sur le corps S entre un point M1d'abscisse x1 à
d'abscisse x2 un point M2 :
Ec 2  Ec 2  Ec1  Epe1 d’où:

Em2  Em1
donc l'énergie mécanique est constante.
3 Détermination de l'équation différentielle par étude énergétique:
te
Si les frottement sont négligeables , l'énergie mécanique de l'oscillateur est constante : E m  C donc:
Or
: E m  Ec  E pe . 
1
1
.mx 2  .K .x 2
2
2
1
1
.m.(2.x.x  .K .(2.xx )  0
2
2

donc:
dEm d 1
1
 ( .m.x 2  .K .x 2 )  0
dt
dt 2
2
dE m
0
dt

x.(m.x  K .x)  0 d’où l'équation différentielle: m.x  K.x  0
4) Expression de l'énergie mécanique du pendule élastique:
La solution de l'équation différentielle: m.x  K.x  0 est :
donc:
v  x   x m.
x  x m cos(
2.
.t   ) avec
To .
: To  2. .
m
K
2
2.
. sin( t   )
To
To
5) Diagramme énergétiques :
a) Cas des oscillations sans frottements :
Dans le cas des oscillations sans frottements l'énergie mécanique de l'oscillateur mécanique est constante.
1
1
2
2
Em  .K .xm  .m.vmax  C te
2
2
En considérant comme état de référence Epe=0 lorsque x=0
on a C=0
donc : E pe 
1
.K .x 2
2
En représentant la variation Epe ,Ec et Em en fonction de x on obtient le diagramme suivant:
A chaque instant on a ; Em=EC+Epe
donc : Ec=Em-Epe
Et en représentant la variation de Epe ,Ec et Em en fonction du temps on obtient le diagramme suivant:
b) Cas des oscillations avec frottements :
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Dans le cas des oscillations avec frottements l'énergie mécanique de l'oscillateur mécanique diminue jusqu'à ce qu'elle
s'annule.
Diagramme énergétique.:
1) Energie cinétique du système:
L'énergie cinétique du pendule de torsion est égale à l'énergie cinétique de la tige qui est donnée par l'expression suivante:
1
J  : est le moment d'inertie de la tige
Ec  .J  . 2
2
2) Energie potentielle de torsion:
 : est la vitesse angulaire .
L'énergie potentielle de torsion est donnée par la la relation suivante:
,
1
E pt  .C. 2  C te
2
Cte: est une constante qui dépend du choix de l’état de référence de l’énergie potentielle de torsion .
En considérant comme état de référence E p t=0 lorsque:   0 donc E pt 
1
.C. 2 la constante C=0
2
3) Energie mécanique du pendule de torsion:
L'énergie mécanique du pendule de torsion est la somme de son énergie cinétique et son énergie potentielle de torsion.
E m  E c  E pe
En considérant comme état de référence E p t=0 lorsque   0 , l'énergie mécanique du pendule de torsion s'écrit:
Em 
1
1
J  . 2  .C. 2
2
2
dE m
 0 donc: E m  C te
dt
dEm d 1
dE M
1
 ( .J  . 2  .C. 2 )  0 
0 
dt
dt 2
2
dt
Si les frottements sont négligeables, l'énergie mécanique de l'oscillateur est constante :
1
1
.J  . 2  .C. 2 donc:
2
2
1
d
1
d
.J  (2.. )  .C.(2. . )  0  J  ..  C. .  0 d’où: J  .  C.  0
2
dt
2
dt
4) Diagramme énergétiques :
Or
: E m  Ec  E p . 
En considérant comme état de référence E p t=0 lorsque   0 , la constante
1) Energie cinétique du système:
C=0
 équation différentielle.
donc: E pt 
1
.C. 2
2
L'énergie cinétique du pendule pesant est: Ec 
1
.J  . 2
2
2) Energie potentielle de pesanteur:
L'énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant est : E pp  m.gz  C te
En considérant comme état de référence E p p=0 lorsque z  0 la constante C=0
3) Energie mécanique du pendule pesant:
En considérant comme état de référence E p p=0 lorsque
donc: E pp  m.g .z
z  0 , L'énergie mécanique du système :
1
J  . 2  mgz
2
4) Diagramme énergétiques :
E m  Ec  E pp 
Pour les petites oscillations   15 1  cos 
2
2
on peut écrire par approximation : E pp 
m.gd . 2
dans ce cas on a:
2
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