AlgebreLinPolynomesAnn

Algèbre linéaire 2 :
Polynômes annulateurs d’endomorphismes
MP
∗
11 octobre 2014
Table des matières
1 Polynômes annulateurs, diagonalisation et trigonalisation
2
2 Idéaux de Z et de K[X], polynôme minimal
2.1 Notion d’idéal dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La notion de polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
3 Du
3.1
3.2
3.3
théorème de Bezout au lemme des noyaux
10
Le théorème de Bezout dans Z et dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Le lemme (de décomposition) des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Endomorphismes à polynôme minimal scindé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Exercices
14
5 A questions brèves, réponses rapides (le flash-éclair)
21
6 Résumé des deux chapitres d’algèbre linéaire
27
7 Corrigés
31
∗
Document disponible sur www.mpcezanne.fr ou sur www.univenligne.fr sous le nom AlgebreLinPolynomesAnn.pdf
1
On sait, avant d’aborder ce chapitre, que le polynôme caractéristique d’un endomorphisme
f d’un K−espace vectoriel E, est un polynôme annulateur de f ; ce résultat constitue le
théorème de Cayley Hamilton.
On sait également que f est trigonalisable ssi ce même polynôme caractéristique est scindé
sur le corps K.
Nous nous proposons de compléter cela en approfondissant l’étude des polynômes annulateurs d’un endomorphisme. : trois résultats sur les polynômes feront apparaı̂tre trois
théorèmes fondamentaux de ce chapitre :
– les polynômes de Lagrange apparaissent naturellement lorsqu’on cherche à montrer qu’un
endomorphisme qu’annule un polynôme scindé à racine simples (sur le corps de base)
est diagonalisable ; exercice 1, théorème 1 ;
– la structure des idéaux de K[X] conduit à la mise en évidence et à la définition du
polynôme minimal ;
– la relation de Bezout dans K[X] conduit au lemme des noyaux.
Ce chapitre établit la jonction entre deux domaines de l’algèbre : l’étude des endomorphismes et celle de l’anneau des polynômes. C’est l’exercice 1 qui devrait vous permettre
de découvrir la porte dérobée entre ces deux domaines...
1
Polynômes annulateurs, diagonalisation et trigonalisation
Polynômes de Lagrange
Définition 1
Soient a1 , a2 , ...an une famille d’éléments distincts du corps K. Les polynômes de Lagrange
associés à cette famille sont les n polynômes de degré (n − 1) définis par
Λj (X) =
Y X − ai
.
aj − ai
i6=j
• Pour tout j ∈ {1, ..., n}, Λj (aj ) = 1 et Λj (ai ) = 0 si i 6= j;
Vous devez connaı̂tre et savoir démonter sans hésiter les trois résultats suivants :
• (Λj (X))j forme une base de Kn−1 [X] et pour tout polynôme P (X) ∈ Kn−1 [X],
P (X) =
n
X
P (aj )Λj (X).
j=1
• en particulier :
1=
p
X
Λi (X).
i=1
Exercice fondamental
Exercice
1 approche et début de preuve du théorème 1
1. Soit f un endomorphisme diagonalisable, montrer qu’il existe un polynôme scindé
sur K, à racines simples, tel que P (f ) = 0.
2
2. Étude de la réciproque.
Commençons par un exemple simple : on considère f un endomorphisme de E tel
que
(f − αidE ) ◦ (f − βidE ) ◦ (f − γidE ) = 0.
(a) Soit x ∈ E de la forme x = x1 + x2 + x3 où x1 ∈ Ker(f − αidE ), ...
Exprimer f (x), f 2 (x); en déduire des expressions des xi en fonction de x, f (x), f 2 (x)...
Penser à introduire les polynômes de Lagrange associés à (α, β, γ).
(b) Montrer que f est diagonalisable. Exprimer les projecteurs sur les sous-espaces
propres comme des polynômes en f.
Théorème 1 Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme
de E. Alors, u est diagonalisable ssi il existe un polynôme scindé sur K, à racines simples
tel que P (u) = 0.
Démonstration :
⇒
Déjà établi à l’aide d’une représentation matricielle (exercice 1). On propose ici une
démonstration plus algébrique.
Considérons u diagonalisable, ce qui s’exprime :
M
E=
ker(f − λIdE ).
λ∈Sp(f )
Soit S(X) =
évidentes)
Q
λ∈Sp(f ) (X
− λ). Pour tout x ∈ E, que l’on peut décomposer (notations
X
x=
xµ ,
µ∈Sp(u)
il vient :
X
S(u)(x) =
S(u)(xµ ).
µ∈Sp(u)
Mais comme les (u − λ) commutent, on peut écrire :


Y
S(u)(xµ ) = 
(u − λ) ◦ (u − µ)(xµ ) = 0.
λ6=µ
Q
⇐ Considérons P (X) = pi=1 (X − λi ), polynôme annulateur de u, à racines simples.
Comme les λi sont distincts, les polynômes de Lagrange,
Λj (X) =
Y X − λi
,
λj − λi
i6=j
3
forment une base de Kp−1 [X] et on a, en particulier
1=
p
X
Λi (X).
i=1
D’autre part, pour tout j, (u − λj ) ◦ Λj (u) = 0. Ainsi, pour tout x ∈ E,
Λj (u)(x) ∈ Ker(u − λj ).
On a donc
idE (x) =
p
X
Λi (u)(x) =
i=1
p
X
xi
i=1
ce qui montre que E est somme des sous-espaces Ker(u − λj ) qui sont en somme directe
(même démonstration que dans le théorème 6.2). Corollaire 2 déjà vu au chapitre précédent
Soit E un K−espace-vectoriel de dimension n.
Un endomorphisme de E possédant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Exercice 2
Soit E un espace-vectoriel complexe de dimension n, f un endomorphisme de E tel que
f 3 = idE .
1. Quelles sont les valeurs propres possibles de f ?
2. Donner les polynômes caractéristiques possibles lorsque n = 2, n = 3...
3. Montrer que, dans tous les cas,
E = Ker(f − idE ) ⊕ Ker(f − j idE ) ⊕ Ker(f − j 2 idE ).
4. En déduire les matrices solutions de M 3 = In .
Exercice 3 analogue au précédent
Soit E un espace-vectoriel sur R, de dimension n, f un endomorphisme de E tel que
f 3 = f 2 + 2f.
1. Quelles sont les valeurs propres possibles de f ?
2. Montrer que que f est diagonalisable et que
E = Ker(f ) ⊕ Ker(f + idE ) ⊕ Ker(f − 2idE ).
3. On suppose que n = 3. Donner les polynômes caractéristiques possibles de f et dans
chaque cas préciser une matrice de f dans une base bien choisie.
4
Exercice 4 épreuve B e3a, 2005 (exercice 3) ;
Soit M une matrice
carrée d’ordre 2n, à coefficients complexes définie par blocs par
A C
M =
où A, B, C sont des matrices carrées d’ordre n à coefficients complexes.
O B
On suppose que la matrice M est diagonalisable et que AC = CB.
1. (a) Montrer que pour tout polynôme
P il existe une matrice D, carrée d’ordre n
P (A)
D
telle que P (M ) =
. On précisera la matrice D.
O
P (B)
(b) Montrer qu’il existe un polynôme P scindé à racines simples sur le corps C tel
que P (A) = P (B) = 0.
(c) En déduire que A et B sont diagonalisables.
A O
2. Soit N la matrice d’ordre 2n définie par blocs par N =
.
O B
(a) Montrer que M N = N M.
(b) En déduire qu’il existe une matrice R inversible et deux matrices diagonales D
et D0 telles que : M = R−1 DR et N = R−1 D0 R.
0 C
est diagonalisable (admettre le résultat de
(c) En déduire que la matrice
0 0
l’exercice24).
3. En déduire que C est nulle.
Exercice 5 centrale
Soit B une matrice de Mat(2n, R) de la forme
A O
B=
A A
où A ∈ Mat(n, R).
1. Calculer P (B) lorsque P est un polynôme.
2. Montrer que si B est diagonalisable, alors elle est nulle.
Théorème 3 Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme
de E. Alors, u est trigonalisable ssi il existe un polynôme scindé sur K tel que P (u) = 0.
Démonstration :
⇒ on sait que si u est trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé sur K (c’est
en fait une CNS). Le théorème de Cayley-Hamilton fait le reste.
⇐ nous établirons la réciproque comme corollaire du lemme des noyaux.
5
2
Idéaux de Z et de K[X], polynôme minimal
C’est le deuxième point évoqué dans notre introduction : nous passons de l’étude de la
structure de l’anneau (K[X], +, ×) à la notion de polynôme minimal d’un endomorphisme.
Nous commençons par l’étude de l’anneau (Z, +, ×) qui est le prototype facile à étudier
des anneaux euclidiens.
2.1
Notion d’idéal dans K[X]
Commençons par un rappel sur les sous-groupes de (Z, +).
Théorème 4
Les sous-groupes de (Z, +) sont les sous-groupes de la forme aZ.
Définition 2 idéal
Soit A un anneau de lois + et ×. Un idéal de A est une partie I, de A qui est un sous-groupe
de (A, +) tel que
∀a ∈ A, ∀x ∈ I, x × a ∈ I.
Exercice
6 exemples
1. les polynômes de la forme P A + BQ, (A, B) donné et (P, Q) décrivant K[X]2 , dans
A = K[X].
2. les fonctions de E ensemble quelconque, à valeurs dans R et nulles sur une partie
donnée de E, dans A = F(E, R);
3. les multiples de a dans Z...
4. Si f est un endomorphisme de E, K−ev, l’ensembles des polynômes de K[X] tels
que P (f ) = 0 ∈ L(E), est un idéal de K[X].
Théorème
5
– Dans l’anneau (Z, +, ×) tout idéal est de la forme aZ où a ∈ Z.
Ainsi, dans Z les idéaux se confondent avec les sous-groupes.
– Dans K[X], tout idéal I est de la forme I = G(X) × K[X]. On dit que G est un
générateur de l’idéal I.
Le polynôme G(X) est unique à une constante multiplicative non nulle près, ie :
G(X) × K[X] = H(X) × K[X] ⇒ (∃α ∈ K∗ , G = αH).
Démonstration division euclidienne et degré du reste...
6
2.2
La notion de polynôme minimal
Exercice 7 polynôme minimal
On considère E, un ev de dimension n sur le corps K, u un endomorphisme de E et on
note φu l’application
φu : P (X) ∈ K[X] → P (u) ∈ L(E).
1. Montrer que l’ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de K[X];
2. Montrer qu’il existe un polynôme unitaire πu et un seul tel que Ker(φu ) = π(X)K[X].
On l’appellera polynôme minimal de l’endomorphisme u.
3. Justifier que si u est diagonalisable, alors son polynôme minimal est scindé, à racines
simples.
4. Soit d = deg(πu ), donner une base de K[u], ensemble des polynômes en u.
Définition 3 Soient E un ev de dimension finie sur R ou C, u un endomorphisme de
E. On appelle polynôme minimal de l’endomorphisme u le polynôme unitaire πu tel
que Ker(φu ) = π(X)K[X]
Théorème 6 Soient E un ev de dimension finie sur K, et u un endomorphisme de E.
– le polynôme minimal de u divise son polynôme caractéristique et admet les mêmes
racines (avec des ordres de multiplicité inférieurs ou égaux) ;
– u est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples dans K;
A la volée : quels sont leurs polynômes minimaux :

1
0

0

0
0
Exercice
1
1
0
0
0
0
0
2
0
0
 
0 0
1


0 0  0

0 0
 , 0

0
2 0
0 −1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
 
0
1


0 0

0
 , 0

0 0
2
0
1
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0

0
0

0
 ...
0
3
8
1. Soit p un projecteur de E. Quel est son polynôme minimal ?
2. Caractériser les endomorphismes nilpotents par leurs polynômes caractéristiques et
leurs indices de nilpotence par leurs polynômes minimaux.
3. Quel est le polynôme minimal de
M ∈ Mn (K) →tM ∈ Mn (K)?
Exercice
9
O n In
Soient A ∈ Mn (C) et B =
∈ M2n (C). Condition sur A pour que B soit
A On
diagonalisable dans Mn (C)?
Indications :
7
1. Calculer P (B) où P est un polynôme ;
2. Rechercher les polynômes annulateurs de B; en déduire son polynôme minimal ;
3. Etudier le cas A non diagonalisable puis le cas A diagonalisable. Conclure.
Exercice
10 polynôme minimal ; questions indépendantes ;
1. Dans les cas suivant reconnaı̂tre rapidement les polynômes caractéristique et minimal
Matrice
a 0
0 a
a 0
0 b
Polynôme caractéristique
Polynôme minimal


a 1 0
 0 a 0 
0 0 a


a 1 0
 0 a 0 
0 0 b
2. Une application classique où il est pratique d’écrire un polynôme annulateur sous la
forme P (X) = ΠA (X)Q(X), ΠA (X) étant le polynôme minimal de A :
Soit A ∈ Mn (C) et B ∈ M2n (C), la matrice par blocs :
A 2A
B=
.
0 3A
(a) Calculer B p pour p ∈ N, puis P (B) lorsque P (X) ∈ C[X].
(b) Montrer que si B est diagonalisable, A l’est aussi.
(c) Réciproquement, on suppose A diagonalisable. Montrer que B l’est aussi (construire
un polynôme annulateur à racines simples tel que P (X) = ΠA (X)Q(X) et que
ΠA (X) divise aussi P (3A)).
3. Soit A ∈ Mn (R). On suppose que A2 est diagonalisable et que ses les valeurs propres
sont strictement positives. Montrer que A est également diagonalisable.
voir commentaire 7.1
8
Compléments
Théorème 7 dimension et base de K[f ]
Soit f un endomorphisme de E (dimK (E) = n). Si d est le degré du polynôme minimal de
f, alors :
1. dimK K[f ] = d
2. (idE , f, f 2 , ...f d−1 ) est une base de K[f ].
Démonstration
Théorème 8 dimension et base de K[f ]
Soit f un endomorphisme de E (dimK (E) = n) et V un sev de E stable par f.
On note u l’endomorphisme induit par f sur E (u := V → V tel que u(x) = f (x) si
x ∈ V ).
1. le polynôme minimal de u divise celui de f (ie : πu |πf )
2. si f est diagonalisable, alors u est lui-aussi diagonalisable.
Démonstration
9
3
Du théorème de Bezout au lemme des noyaux
3.1
Le théorème de Bezout dans Z et dans K[X]
Définition 4
Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a et b sont premiers entre eux ssi leurs seuls
diviseurs communs sont 1 et −1.
Soient A et B deux polynômes. On dit que A et B sont premiers entre eux ssi leurs seuls
diviseurs communs sont les constantes non nulles.
Exercice 11 exemples
Montrer que deux polynômes scindés sont premiers entre eux ssi ils n’ont pas de racine
commune.
Théorème 9
Soient a et b deux entiers relatifs. Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. a et b sont premiers entre eux ;
2. l’idéal {ap + bq; (p, q) ∈ Z2 } est égal à Z;
3. il existe deux entiers p et q tels que
ap + bq = 1.
Théorème 10
Soient A et B deux polynômes. Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. A et B sont premiers entre eux,
2. l’idéal {AP + BQ; (P, Q) ∈ K[X]2 } est égal à K[X],
3. il existe deux polynômes P et Q tels que
AP + BQ = 1.
Démonstration
– 1 ⇒ 2 : A et B premiers entre eux, nous supposerons.
L’idéal I = {AP + BQ; (P, Q) ∈ K[X]} est de la forme I = D × K[X]. D divise donc
A comme B qui sont éléments de I (remplacer P et Q comme il se doit...). D est donc
une constante non nulle, et {AP + BQ; (P, Q) ∈ K[X]2 } = K[X].
– 2 ⇒ 3 : comme 1 ∈ I, il existe des polynômes tels que AU + BV = 1;
– 3 ⇒ 1 : AP + BQ = 1, nous supposerons :
Si D divise à la fois A et B, AP + BQ = 1, il divisera, et donc scalaire il sera.
10
Théorème 11 lemme de Gauss
si A et B sont des polynômes premiers entre eux, alors pour tout polynôme C,
A|B × C ⇒ A|C.
Démonstration
Remarque : en arithmétique des entiers, on énonce de la même façon :
• si a et b sont premiers entre eux, pour tout entier c,
a|b × c ⇒ a|c.
3.2
Le lemme (de décomposition) des noyaux
Voici le théorème qui, conjointement avec le théorème de Cayley Hamilton, sera le plus
utile pour la réduction des endomorphismes ;
Théorème 12 connu sous le nom de lemme (de décomposition) des noyaux
Soit E un K−espace vectoriel de dimension n , u un endomorphisme de E et deux
polynômes premiers entre eux : P et Q. Alors, le noyau de R(u) = (P Q)(u) = P (u) ◦ Q(u)
est somme directe des noyaux de P (u) et de Q(u) :
Ker(P (u) ◦ Q(u)) = Ker(P (u)) ⊕ Ker(Q(u)).
Démonstration : du théorème de Bezout, une application directe.
Théorème 13 généralisation
Soit E un K−espace vectoriel de dimension n , u un endomorphisme de E.
Q
– si P1 , ...Pn sont deux à deux premiers entre eux (Cn2 = (n2 ) relations), Pn et n−1
i=1 Pi
sont premiers entre eux.
– si P1 , ...Pn sont deux à deux premiers entre eux, alors
Ker(P1 (u) ◦ ... ◦ Pn (u)) =
n
M
Ker(Pi (u)).
i=1
Démonstration par récurrence dans les deux cas.
Corollaire 14 retour sur un résultat déjà établi
Si un endomorphisme u admet un polynôme annulateur scindé sur K, ayant des racines
simples, il est diagonalisable.
11
Corollaire 15 retour sur un résultat déjà énoncé
Si un endomorphisme u admet un polynôme annulateur scindé sur K, il est trigonalisable.
Exercice 12
E est un espace-vectoriel de dimension n, f un endomorphisme de E.
1. On suppose que le polynôme P (X) = (X − 1)(X − 2)2 annule f. Que peut-on dire
des valeurs propres de f ?
2. Peut on affirmer que f est diagonalisable ?
3. Montrer que dans tous les cas E = Ker(f − idE ) ⊕ Ker(f − 2idE )2 .
Exercice
13 premier exemple détaillé
1. Factoriser le polynôme caractéristique de l’endomorphisme
u deR4 dont la matrice

1 0
0 0
 −3 3
5 1 

dans la base canonique est définie par : A := 
 1 0
1 0 
1 0 −2 3
2. En déduire une base dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs. puis
déterminer la dimension de l’algèbre des matrices qui commutent avec A.
correction.
Le calcul du polynôme caractéristique χu (X) = (X −1)2 (X −3)2 et sa factorisation sont immédiats.
Notons P (X) = (X −1)2 et Q(X) = (X −3)2 . Ces polynômes sont premiers entre eux et le théorème
des noyaux nous donne :
Ker(P (u) ◦ Q(u)) = Ker(P (u)) ⊕ Ker(Q(u));
le théorème de Cayley-Hamilton nous permet d’écrire que Kerχu (u) = R4 . On a donc
R4 = Ker(P(u) ◦ Q(u)) = Ker(P(u)) ⊕ Ker(Q(u))
avec la traduction matricielle




0
0 0
4 0
0 0


4
8 4 
 , Q(A) =  12 0 −12 0 


0
0 0
−4 0
4 0 
0 −4 4
−4 0
4 0
   
   
1
0 
0
0 




   

   

0
−3
1
   , Ker(Q(A)) = V ect   0 .
Ker(P (A)) = V ect 
0  1 
0 0










0
1
0
1
0
 0
P (A) = 
 0
0
Cela nous permet d’écrire la matrice de changement
base :



1 0 0 0
1
0 −3 1 0 0 1


B=
0 1 0 0 , A = 0
0 1 0 1
0
12
de base B et la matrice de u dans la nouvelle

0 0 0
1 0 0
= U O .
0 3 1
O X
0 0 3
On obtient les endomorphismes qui commutent avec u en observant qu’ils laissent stables les noyaux
de polynômes en u que sont Ker(P (u)) et Ker(Q(u)). De tels endomorphismes ont
donc
dans la
a 0
base adaptée donnée par la matrice B ci-dessus une matrice diagonale par blocs :
.
0 d
On résout alors l’équation simplifiée :
a 0 U O
U O a 0
=
0 d O X
O X 0 d
où
1
U=
1
0
3
,X =
1
0
1
.
3
Les matrices qui commutent avec A’ sont les matrices de la forme :


a2, 2
0
0
0
a2, 1 a2, 2
0
0 


 0
0
d2, 2 d1, 2 
0
0
0
d2, 2
On en déduit immédiatement la dimension de l’algèbre des commutants de A. 3.3
Endomorphismes à polynôme minimal scindé
Observons qu’un endomorphisme d’un K − ev f admet un polynôme annulateur scindé sur
K ssi son polynôme minimal est scindé sur K. Cela ne signifie évidement pas scindé à
racines simples.
Exercice 14
Soit f l’endomorphisme de Kn canoniquement associé à la matrice


3 −4 6 1


 −2 6 −2 0 


A=

 −2 8 −4 0 


3
−8
10
5
dont le polynôme caractéristique est
χf (X) = X 4 − 10 X 3 + 24 X 2 + 32 X − 128 = (X + 2) (X − 4)3 .
1. Construire des sev stables et supplémentaires de Kn sur lesquels l’endomorphisme
induit par f est somme d’une homothétie et d’un nilpotent.
2. Construire une base adaptée et la matrice de f dans cette base.
Théorème 16 généralisation
Soit E un K−espace vectoriel de dimension n , f un endomorphisme de E.
Si f admet un polynôme annulateur scindé sur K, E est somme directe de sev stables sur
lesquels l’endomorphisme induit par f est somme d’une homothétie et d’un nilpotent.
Démonstration
13
4
Exercices
Exercice 15
Soit E un ev sur R, de base B, f un endomorphisme de E dont la matrice dans la base B
est


3 −2 3



−5
2
7
A=


7 −2 −1
1. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de f

4 4

2. Donner une base dans laquelle la matrice de f est 
 0 4
0 0
Exercice 16 avec calculette
15
7
5
5

 3
7
1
5

Soit A = 
 −13 −5
1
−15

est diagonale par blocs.

0

0 
.
−4




.


−13 −17 −15 −3
Quels sont ses éléments propres ? Est elle trigonalisable dans Mn (R)?
Exercice 17 Puissances d’une matrice
Soit E un C -espace vectoriel de dimension
matrice dans la base B est :

2

M= 0
1
3, de base B et f l’endomorphisme dont la

1 −1
3 1
3 1
Donner une expression de f n .


8 −1 −5
1 .
Exercice 18 Soit A = −2 3
4 −1 −1
1. A est elle diagonalisable dans M3 (K)?


2 0 0
2. Montrer que A est semblable à T = 0 4 1  .
0 0 4
Exercice 19
Soit f l’endomorphisme de matrice

−1

A=
 1
a
−1
−1
0
dans une base B de E.
14
a


0 

−1
1. f est il diagonalisable, trigonalisable ?
2. Existe-t-il une base de E dans telle que

−1

MB (f ) = 
 1
0
3. Calculer Ap et exp(A) =
Exercice
0
−1
1
0


0 
.
−1
P An
(attendre d’avoir étudié le chapitre evn).
n!
20
Soit A ∈ Mn (C), une matrice carrée de taille n à coefficients complexes, et θ un complexe
quelconque. On note F l’ensemble des matrices M solutions de l’équation
A M = θ M A.
1. Montrer que pour tout polynôme P ∈ C[X], et toute matrice M ∈ F, P (A)M =
M P (θA).
Exprimer de façon analogue AP (M ).
2. On suppose A diagonalisable et M ∈ F. Que peut on dire des images par M des
sous-espaces propres de A?
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de A pour que
F soit un sev de dimension 0.
3. Dans le cas général (A diagonalisable ou pas) que peut-on dire de l’image de Ker((A−
λ)p ) par M ∈ F?
Peut-on encore donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre
de A pour que F soit un sev de dimension 0 ?
4. Etude d’exemples : déterminer F en fonction de θ,
(a) lorsque

1 0 0



.
0
2
0
A=


0 0 2
(b) puis, lorsque

1 0 0




A=
 0 2 1 .
0 0 2
voir corrigé en 7.2
15
Exercice
21 Soit An la matrice de Mn (R) dont le terme d’indices i et j est

 4 si i = j;
1, si |i − j| = 1;
ai,j =

0, sinon.
Par exemple

4 1 0 0



 1 4 1 0 


A4 = 
.
 0 1 4 1 


0 0 1 4
1. Déterminer les valeurs propres de A3 .
2. Montrer que An admet n valeurs propres exactement, comprises entre 2 et 6, strictement.
Exercice 22
Soit E espace de dimension finie sur R et u un endomorphisme de E. Le but de l’exercice
est de montrer qu’il existe alors une droite ou un plan de E stable par u.
1. Que dire lorsque u admet une valeur propre réelle ?
2. On suppose que toutes les vp de u sont complexes.
(a) Montrer qu’il existe des sev supplémentaires et stables par u.
(b) Montrer qu’il existe un sous espace de E annulant un polynôme du second degré
en u;
(c) Montrer qu’un tel sous-espace contient un plan stable par u;
3. Exemples (à vos calculettes !) :

3
5

 −7

A=
 3

0

2

 −4

B=
 2

0
7
5


−7 −11 −12 

,
6
10
8 

−3
−5
−2
3
5
4


−4 −8 −9 

.
4
8
7 

−2 −4 −2
Exercice 23
On considère une suite de complexes (xn )n , vérifiant la relation de récurrence linéaire
xn+3 + axn+2 +bxn+1+ cxn = 0. A une telle suite on associe la suite de vecteurs (Xn )n
xn
telle que Xn = xn+1  .
xn+2
16
1. Montrer qu’il existe A ∈ M3 (C) telle que pour tout n ∈ N, Xn+1 = AXn .
2. Donner l’allure des suites (xn )n dans les trois cas suivants. On montrera que xn
est de la forme xn = aαn + bβ n + cγ n ou xn = (an + b)αn−1 + cβ n ou encore
xn (an2 + bn + c)αn−2 .
(a) A est diagonalisable dans M3 (C);

α
(b) A est semblable dans M3 (C) à  0
0

α
(c) A est semblable dans M3 (C) à  0
0
A-t-on envisagé tous les cas possibles ?

a 0
α 0 ;
0 β

a b
α c ;
0 α
3. Étudier le comportement asymptotique de la suite (xn )n lorsque
(a) xn = aαn + bβ n + cγ n avec a 6= 0 et |α| > |β| ≥ |γ|;
(b) xn = (an + b)αn−1 + cβ n avec a 6= 0 et |α| > |β| ≥ |γ| puis |α| = |β| ≥ |γ|...
(c) xn = (an2 + bn + c)αn−2 avec a 6= 0.
4. (a) Soit (xn )n une suite périodique, de période 3. Prouver qu’il existe des constantes
c−1 , c0 , c1 telles que pour tout n ∈ N,
xn = c0 + c−1 e−2iπ/3 + c1 e+2iπ/3 .
Que peut on dire lorsque les (xn )n sont réels ?
Exercice
24 classique, à connaı̂tre
1. Démontrer que deux matrices carrées complexes qui commutent ont un vecteur
propre commun.
2. Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables. Montrer qu’ils ont une base de
diagonalisation commune ssi ils commutent.
Exercice
25 mines en vrac
1. Résoudre A3 + A = 0 dans Mn (C) et dans Mn (R).
2. Éléments propres de M ∈ Mn (C), telle que
sinon. Par exemple

1 1 1
1 0 0

M =
1 0 0
1 0 0
1 1 1
mi,j = 1 si i = 1 ou j = 1, mi,j = 0
1
0
0
0
1

1
1

1

1
1
Exercice 26
Soient f et g deux endomorphismes de E.
1. On suppose f inversible, montrer que f ◦ g et g ◦ f ont le même polynôme caractéristique.
17
2. ** Généraliser (suppose connu un autre chapitre).
Exercice 27 f classique
¯ On lui associe la matrice
Soit A ∈ Mn (K).

A

B= A
A
B ∈ M3n (K), définie par

A A
A A .
A A
1. Comparer les valeurs propres de B à celles de A. Exprimer les sous-espaces propres
de B en fonction de ceux de A lorsque cela est possible

On pensera à écrire un vecteur Y ∈ K 3n

X
sous la forme  X 0  où X, X 0 , X” sont des
X”
vecteurs de Kn .
2. Soit P (X) =
P
ak X k , un polynôme de K[X].
(a) Exprimer la matrice P (B).
(b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que P (B) = 0.
(c) Est il vrai que A est diagonalisable ssi B est diagonalisable ?
corrigé 7.3 en section 7.
Exercice
28
Soit f l’endomorphisme de R4 de matrice


0 −1 0 1


 −1 1 −1 1 


A=
.
 0

1
0
1


−1 1 −1 1
1. Quels sont les éléments propres de f ? Est elle diagonalisable, trigonalisable ?
2. Démontrer que si P est un polynôme de R[X], ker P (f ) est un sous-espace de R4
stable par f.
3. Vérifier que les noyaux de f 2 et d’un autre polynôme en f bien choisi sont supplémentaires
dans R4 . Rechercher une base de R4 dans laquelle la matrice de f est diagonale par
blocs.
4. Rechercher les endomorphismes qui commutent avec f et résoudre l’équation g 2 = f
dans L(R3 ).
Exercice 29
Déterminer {det(A)/A ∈ Mn (R), A3 + A = 10In }.
voir corrigé en 7.4
18
Exercice 30
A quelle condition portant sur n ∈ N existe-t-il A ∈ Mn (R) telle que A2 + 2A + 5In = 0?
voir corrigé en 7.5
Exercice 31
Soit A ∈ Mn (C) telle que pour tout k ∈ N∗ , Tr(Ak ) = 0. Montrer que A est nilpotente.
voir corrigé en 7.6
Exercice
32
A A
Soient A ∈ Mn (C) et B =
∈ M2n (C).
A A
P
1. Soit F (X) = ak X k , un polynôme de C[X], exprimer F (B);
2. Etudier des conditions nécessaires et/ou suffisantes pour que B (ou A) soit diagonalisable.
voir corrigé en 7.7
Exercice 33
Soient A et B deux matrices de Mn (R) semblables dans Mn (C), c’est à dire
∃C ∈ GLn (C), C −1 AC = B.
Montrer qu’elles sont aussi semblables dans Mn (R), à savoir
∃R ∈ GLn (R), R−1 AR = B.
Exercice 34
On se propose de montrer que deux matrices réelles semblables dans M2 (C) sont aussi
semblables dans M2 (R).
On considère donc A ∈ Mn (R), B ∈ Mn (R) et P ∈ GLn (C) telle que (1) P −1 AP = B.
On pose P = R + iQ, les matrices R et Q étant réelles.
1. Donner un exemple de matrice inversible P pour laquelle ni R ni Q ne sont inversibles.
2. Vérifier que (1) ⇔ (AR = RB et AQ = QB).
3. Montrer que x → det(R + xQ) est une fonction polynomiale.
4. Montrer qu’il existe une matrice M inversible, à coefficients réels telle que M −1 A M =
B.
voir corrigé 7.8
19
Exercice 35 Soit E un K−espace vectoriel finie et f un endomorphisme de E. On lui
associe l’endomorphisme de L(E) défini par :
Tf : u → f ◦ u.
On note A la matrice de f dans une base B de E.
1. Soit λ ∈ Sp(f ), X un vecteur propre de A, Y un vecteur quelconque de Kn . Exprimer
la matrice M = X t Y puis la matrice AM.
2. Montrer que Sp(f ) ⊂ Sp(Tf ). On pourra pour λ ∈ Sp(f ), considérer un endomorphisme u dont la matrice dans la base B est de la forme X tY...
3. Inclusion réciproque ?
4. On veut montrer que Tf est diagonalisable ssi f est diagonalisable. On propose deux
démonstrations.
(a) Soit P un polynôme de K[X]. Que dire de P (Tf )? Donner une première démonstration
du résultat annoncé.
(b) En raisonnant sur des bases de vp et les dimensions (c’est plus difficile mais
plus complet) :
i. On note B = (bi )1≤i≤n et on considère C = (cj )1≤j≤n une deuxième base de
E. Montrer que les endomorphismes ui,j tels que ui,j (bi ) = cj et ui,j (bk ) = 0
si i 6= k, forment une base de L(E). A quoi ressemblent leurs matrices
dans la base B? Et lorsque l’espace de départ est rapporté à B et l’espace
d’arrivée à C?
ii. On suppose f diagonalisable, montrer que T (f ) est aussi diagonalisable en
exhibant une base formée de vecteurs propres.
iii. Réciproque ?
(c) Lorsque Tf est diagonalisable, préciser les dimensions des sous-espaces propres
en fonction de ceux de f.
1 2
(d) Soit f de matrice
. Expliciter une base de diagonalisation pour Tf .
−1 4
voir corrigé dans le poly ’Abstraction.pdf ’ (alias ’avez vous du mal avec l’abstraction ?’) ;
20
5
A questions brèves, réponses rapides (le flash-éclair)
1. Zéro calcul : les matrices suivantes sont elles diagonalisables sur K?






1 7
a
−2 7
a
1 0
0
A = 0 −2 14  , B =  0 −2 14  , C = 0 −2 14  .
0 0 21
0
0 −2
0 0 −2
2. Soit f ∈ L(E), un endomorphisme du K − ev, E (ici, K = R ou C). λ une de ses
valeurs propres. Pourquoi la dimension du sev propre associé à λ est elle inférieure
à son ordre de multiplicité ?
3. On suppose v ∈ L(E) diagonalisable. La restriction de v à un sous-espace stable est
elle diagonalisable ?
4. Donner deux valeurs propres de M telle que pour tout (i, j), mi,j = 1. Une telle
matrice est elle diagonalisable ?
5. Pourquoi une matrice à diagonale strictement dominante est elle inversible ?
6. Quelles sont les valeurs propres, le polynôme caractéristique de


1 1 1 1 1
1 0 0 0 1



C=
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1


1 0 1
7. Combien l’équation M 2 = 0 3 0  , admet elle de solutions dans M3 (C)? ... et
0 0 −5


1 0 0
l’équation M 2 = 0 3 0?
0 0 3
8. Quels sont les valeurs propres, le polynôme caractéristique d’un endomorphisme
nilpotent ?
9. Un endomorphisme nilpotent de E ev sur K est il toujours diagonalisable, trigonalisable ?
10. Soit M une matrice triangulaire. Donner une CNS pour que M soit nilpotente.
11. On suppose B diagonalisable. tB l’est elle aussi ?
12. B et t B ont elles le même polynôme caractéristique ? Les sev propres de chacune
d’elles associés à une même valeur propre ont ils la même dimension ? Quelle relation
entre eux ?
13. Deux endomorphismes de E ayant le même polynôme caractéristique peuvent ils être
l’un diagonalisable, l’autre pas ? Cela dépend il du polynôme ?
14. Un endomorphisme de E ev sur K, vérifiant f 3 = idE est il toujours diagonalisable ?
15. Une rotation vectorielle du plan est elle diagonalisable, trigonalisable ?
16. Une rotation en dimension 3 est elle diagonalisable, trigonalisable, diagonalisable par
blocs ?
17. Un endomorphisme de R3 admet il des valeurs propres ?
21
22
Les mêmes, avec les réponses :
1. Les matrices suivantes sont elles diagonalisables sur K?


1 7
a
A = 0 −2 14  ,
0 0 21
• Oui, comme elle est triangulaire, les vp se lisent immédiatement, elles sont distinctes.


−2 7
a
B =  0 −2 14  ,
0
0 −2
• Non, sinon elle serait semblable à −2I3 qui n’est semblable qu’à elle-même.


1 0
0
C = 0 −2 14  .
0 0 −2
• Non. Le deuxième bloc n’est pas diagonalisable, or la restriction d’un endomorphisme diag à un sev stable est diag. (voir ci-dessous)
2. Soit f ∈ L(E), un endomorphisme du K − ev, E (ici, K = R ou C), λ une de ses
valeurs propres. Pourquoi la dimension du sev propre associé à λ est elle inférieure
à son ordre de multiplicité ?
• On regarde la matrice associée dans une base quelconque ; cette matrice est trigonalisable dans Mn (C). Une lecture rapide de la matrice échélonnée T − λIn montre que
son noyau est de dimension inférieure ou égale au nombre de 0 sur la diagonale...
Le rang du système est le même dans Cn et dans Rn ...
3. On suppose v ∈ L(E) diagonalisable. La restriction de v à un sous-espace stable est
elle diagonalisable ?
• v est diagonalisable ssi un polynôme P scindé sur K, à racines simples l’annule.
Or P (v|F ) = P (v)|F = 0.
4. Donner deux valeurs propres de la matrice M telle que pour tout (i, j), mi,j = 1.
Une telle matrice est elle diagonalisable ?
• On peut observer : M est de rang 1, 0 est donc vp ; le vecteur de coordonnées
égales à 1 est vp associé à la valeur propre n.
Par ailleurs M 2 = nM. Les vp sont racines de X 2 −nX; il n’y a donc pas d’autre vp.
De plus X 2 − nX est scindé à racines simples, l’endomorphisme est diagonalisable.
√
C’est, si on regarde bien, nπ où π est un projecteur.
5. Pourquoi une matrice à diagonale strictement dominante est elle inversible ?
• On considère un vecteur U tq M U = 0. On regarde une ligne i du système M U = 0
pour laquelle Ui est maximum. La contradiction apparaı̂t si Ui 6= 0.
23
6. Quelles sont les valeurs propres, le polynôme

1 1 1
1 0 0

C=
1 0 0
1 0 0
1 1 1
caractéristique de

1 1
0 1

0 1

0 1
1 1
• Cette matrice est de rang 2. Donc 0 est vp d’ordre supérieur ou égal à dimKer(M ) =
3. Son polynôme caractéristique est
χM (x) = (−1)5 x3 (x − λ)(x − µ).
La trace de M est la somme des valeurs propres, la trace de M 2 celle du carré des
valeurs propres :
λ + µ = 2, λ2 + µ2 = 2n = 10.
On en déduit λ et µ qui sont distinctes, non nulles. Les sev associés sont de dim
supérieure à 1 ; la somme des dimensions ne peut excéder n=5 etc... Elle est diagonalisable.


1 0 0
7. Combien l’équation M 2 = 0 3 0  admet elle de solutions dans M3 (C)?
0 0 −5
• 8 ; penser que les sev propres sont stables. Les solutions sont diagonales...

1
... et l’équation M 2 = 0
0
• Une infinité, penser aux

0 0
3 0?
0 3
√
solutions par blocs et aux matrices 3S où S 2 = I2 .
8. Quels sont les valeurs propres, le polynôme caractéristique d’un endomorphisme
nilpotent ?
• Puisque X k annule f, toute vp étant racine du polynôme annulateur, la seule vp est
0. On a donc χf (x) = (−1)n xn . Le polynôme minimal est X k avec f k = 0, f k−1 6= 0.
9. Un endomorphisme nilpotent de E ev sur K est il toujours diagonalisable, trigonalisable ?
• Diagonalisable, jamais sauf s’il est nul : sa matrice dans une base quelconque serait
semblable à 0 (on peut aussi penser au polynôme minimal X k ).
Trigonalisable, toujours, quelque soit le corps, puisque le polynôme X k qui est scindé
sur K, l’annule.
10. Soit M une matrice triangulaire. Donner une CNS pour que M soit nilpotente.
• La diagonale est formée de 0 ;
⇒ si c’est le cas, le pc est (−1)n X n et il est annulateur (Thm de C-H)
⇐ si f k = 0, le polynôme X k qui est scindé sur K, annule f.
11. On suppose B diagonalisable. tB l’est elle aussi ?
• Les polynômes annulateurs sont les mêmes..
24
12. B et t B ont elles le même polynôme caractéristique ?
• Oui : det(B − λI) = det(t (B − λI)).
Les sev propres de chacune d’elles associés à une même valeur propre ont ils la même
dimension ?
• ça se complique, attendre un prochain chapitre (endomorphismes sur un espace
euclidien, notion d’adjoint)
13. Deux endomorphismes de E ayant le même polynôme caractéristique peuvent ils être
l’un diagonalisable, l’autre pas ? Cela dépend
il du polynôme ?
1 2
• C’est possible, par exemple Id et
ont le même pc. Un tel contre-exemple
0 1
n’est pas possible avec un polynôme caractéristique scindé à racines simples.
14. Un endomorphisme de E ev sur K, vérifiant f 3 = idE est il toujours diagonalisable ?
• Oui si K = C puisque X 3 − 1 y est scindé à racines simples ; si K = R il peut ne
pas être trigonalisable : rotations d’angle 2π/3, par exemple.
15. Une rotation vectorielle du plan est elle diagonalisable, trigonalisable ?
• Pas de vecteur propre (dessiner) sauf si l’angle est 0[π].
16. Une rotation en dimension 3 est elle diagonalisable, trigonalisable, diagonalisable par
blocs ?
• Soit R une rotation de l’espace, d’angle θ. Si θ = 0, R = idE . Sinon R admet 1
comme valeur propre et le sev associé est la droite D =Ker(R-id), axe de la rotation.
La restriction de R au plan ⊥ D est une rotation plane dont les valeurs propres
complexes sont e±iθ . R n’est donc pas trigonalisable sauf si θ = 0[2π] (R=idE ) ou
θ = π[2π] (R est alors le demi-tour ou rotation d’angle π d’axes D).
Par contre R est diagonalisable par blocs : dans une
directe adaptée
 base orthonormée 
1
0
0
à la décomposition E = D ⊕⊥ D sa matrice est 0 cos(θ) − sin(θ)
0 sin(θ) cos(θ)
17. Un endomorphisme de R3 admet il des valeurs propres ?
• Oui, le pc, fonction polynômiale réelle de degré impair, change de signe et le tvi
fait le reste.
1
1. Document disponible sur www.mpcezanne.fr ou sur www.univenligne.fr sous le nom AlgebreLinPolynomesAnn.pdf
25
26
6
Résumé des deux chapitres d’algèbre linéaire
1. Valeurs propres, sous espaces propres
Définition Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K, et u un
endomorphisme de E.
– on appelle valeur propre de E un scalaire α tel que Ker(u − αidE ) 6= O;
– on appelle vecteur propre de u, associé à la valeur propre α, un vecteur non
nul x ∈ E tel que u(x) = αx;
– on appelle sous-espace propre de u associé à la valeur propre α, le sev Ker(u −
αidE );
– on appelle polynôme caractéristique de E, le polynôme
X → det(u − XidE );
Ses racines dans K sont les valeurs propres de u; l’ordre de multiplicité d’une
valeur propre est son ordre de multiplicité comme racine de ce polynôme.
2. Réduction des endomorphismes
Théorème 6.1 critère de trigonalisation
Soit f un endomorphisme de E, K − ev de dimension n.
• Le polynôme caractéristique de f est scindé sur le corps K ssi il existe une base de
trigonalisation pour f.
• Les termes diagonaux de la matrice représentative de f dans une base de trigonalisation sont ses valeurs propres comptées avec leur multiplicité en tant que
racines du polynôme caractéristique.
On prendra garde au fait qu’une même matrice à coefficients réels peut être diagonalisable ou trigonalisable dans C, sans l’être dans R.
Théorème 6.2
Si f est un endomorphisme de E, les sous-espaces propres de f sont en somme
directe 2 (ce qui ne signifie pas qu’ils sont supplémentaires)
X
M
ker(f − λIdE ) =
ker(f − λIdE ).
λ∈Sp(f )
λ∈Sp(f )
Théorème 6.3 corollaire du précédent ; un résultat fondamental en pratique :
Si f est un endomorphisme de E, de dimension finie, les propositions suivantes sont
équivalentes :
– f est diagonalisable
– les sous-espaces propres de f sont supplémentaires dans E :
M
ker(f − λIdE ) = E.
λ∈Sp(f )
2. il suffit d’ailleurs que les λ soient des scalaires distincts, non nécessairement des valeurs propres...
27
– la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à la
dimension de E :
X
dim ker(f − λIdE ) = dimE.
λ∈Sp(f )
corollaire du corollaire, condition suffisante de diagonalisation :
Soit f un endomorphisme de E de dimension n sur le corps K. Si f admet n valeurs
propres distinctes (c’est le cas ssi son polynôme caractéristique a des racines simples)
alors f est diagonalisable.
3. Polynômes d’endomorphismes
A tout polynôme P ∈ K[X], et tout endomorphisme u ∈ L(E), on associe
P (u) =
n
X
ai Ai ∈ L(E).
i=0
On dit que P (u) est un polynôme en u.
Théorème 6.4
Soit u un endomorphisme de E.
– si w = v −1 ◦ u ◦ v, alors, pour tout polynôme P,
X
X
P (w) =
ak wk = v −1 ◦
ak wk ◦ v = v −1 ◦ P (u) ◦ v,
en particulier, pour tout entier n, wn = v −1 ◦ un ◦ v.
– si λ ∈ Sp(u), P (λ) ∈ Sp(P (u)) et pour tout x ∈ E,
u(x) = λx ⇒ P (u)(x) = P (λ).x.
Théorème 6.5 Cayley Hamilton
Soit f un endomorphisme de E de dimension finie (n = 2, 3, ...), et χf son polynôme
caractéristique. Alors χf (f ) = 0, le polynôme caractéristique est annulateur de f ;
Théorème 6.6 polynôme annulateur à racines simples
Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E.
Alors, u est diagonalisable ssi il existe un polynôme scindé à racines simples tel que
P (u) = 0.
28
Définition du polynôme minimal
Soient E un ev de dimension finie sur R ou C, u un endomorphisme de E. On
appelle polynôme minimal de l’endomorphisme u le polynôme unitaire πu tel
que Ker(φu ) = π(X)K[X]
Théorème 6.7 caractérisation des endomorphismes diagonalisables
Soient E un ev de dimension finie sur K, et u un endomorphisme de E. u est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples dans K.
4. Stabilité, lemme des noyaux
Théorème 6.8 Matrices dans une base adaptée à des supplémentaires stables
Soit (Fi )i , une famille de sous-espaces supplémentaires dans E, stables L
par f. Alors,
p
la matrice de f , dans une base B adaptée à la décomposition E =
i=1 Fi , est
diagonale par blocs :


A1


A2


M at(f, B) = 

..


.
Ap
où les matrices Ai sont des matrices carrées de taille pi = dimFi .
Théorème 6.9 stabilité et endomorphismes qui commutent
– si u ◦ v = v ◦ u, alors Im(u) et Ker(u) sont stables par v.
– si u ◦ v = v ◦ u, alors les sous-espaces propres de u sont stables par v.
– si u ◦ v = v ◦ u, alors les sous-espaces propres, les noyaux, les images, de tout
polynôme en u sont stables par v. En particulier v(Ker(P (u))) ⊂ Ker(P (u)).
Théorème 6.10 de décomposition des noyaux
Soit E un K−espace vectoriel de dimension n , u un endomorphisme de E.Q
– si P1 , ...Pn sont deux à deux premiers entre eux (Cn2 = (n2 ) relations), Pn et n−1
i=1 Pi
sont premiers entre eux.
– si P1 , ...Pn sont deux à deux premiers entre eux, alors
Ker(P1 (u) ◦ ... ◦ Pn (u)) =
n
M
i=1
29
Ker(Pi (u)).
30
7
Corrigés
Corrigé 7.1 corrigé de l’exercice 10
1.
Matrice
a 0
0 a a 0
0 b


a 1 0
 0 a 0 
0 0 a


a 1 0
 0 a 0 
0 0 b
Polynôme caractéristique
Polynôme minimal
χM (x) = (x − a)2
πM (x) = (x − a)
χM (x) = (x − a)(x − b)
πM (x) = (x − a)(x − b)
χM (x) = −(x − a)3
πM (x) = +(x − a)2
χM (x) = −(x − a)2 (x − b)
πM (x) = +(x − a)2 (x − b)
A 2A
.
2. Soient A ∈ Mn (C) et B ∈ M2n (C), la matrice par blocs : B =
0 3A
p
A α p Ap
p
avec
(a) Après le calcul de quelques termes on observe que B =
0 3p Ap
α0 = 0, α1 = 2, α2 = 8, α3 = 26. Une démonstration par récurrence confirme
p
p
cela et donne la relation αp+1
P= αp p+ 2.3 soit αp = 3 − 1.
Calcul de P (B) où P (X) = ap X . Comme toujours, on se méfiera du terme
constant, même si ici il ne pose pas problème :
P (B) = a0
X
p p p
n
In O n
P (A) P (3A) − P (A)
A 3 A − Ap
.
+
ap
=
0 In
0
3p Ap
0
P (3A)
p=1
(b) Si B est diagonalisable, il existe un polynôme scindé à racines simples tel que
P (B) = 0. On a alors P (A) = 0 et A est aussi diagonalisable.
(c) On suppose A diagonalisable, son polynôme minimal est donc scindé à racines
simples,
Y
ΠA (X) =
(X − λ).
λ∈Sp(A)
Les polynômes annulateurs de A sont de la forme P (X) = ΠA (X)Q(X), ΠA (X)
étant le polynôme minimal de A.
P (A) P (3A) − P (A)
0n P (3A)
Pour un tel polynôme, P (B) =
=
, avec
0
P (3A)
0 P (3A)
P (3A) = ΠA (3A)Q(3A).
On obtient un polynôme scindé à racines simples en posant
Y
Y
P (X) =
(X − λ) ×
(X − 3λ),
λ∈Sp(A)
λ∈Sp(A)
3λ6∈Sp(A)
31
ce polynôme vérifie :
– ΠA (X)|P (X), il est donc annulateur de A
– et d’autre part P (3A) = 0 car ΠA (X)|P (3X). En effet,
Y
Y
(3X − λ) ×
3(X − λ)
P (3X) =
λ∈Sp(A)
λ∈Sp(A)
3λ6∈Sp(A)

= 3?
Y
λ∈Sp(A)

(X − λ/3) × 

3λ6∈Sp(A)

Y
(X − λ/3) ×
Y

(X − λ)
.
λ∈Sp(A)
λ∈Sp(A)
λ/3∈Sp(A)
λ/36∈Sp(A)
3. Si A2 est diagonalisable
Q à valeurs propres strictement positives, son polynôme minimal est ΠA2 (X) = (X − λi ); il est scindé sur R à racines simples de même
que
Y
p
p
(X − λi )(X + λi ).
F (X) =
√
√
Q
Q
Or, F (A) = (A− λi In )(A+ λi In ) = (A2 −λi In ) = 0. A est donc diagonalisable
puisqu’il existe un polynôme scindé à racines simples qui l’annule.
Corrigé 7.2 corrigé de l’exercice 20
On note F l’ensemble des matrices M solutions de l’équation A M = θ M A.
1. Partons de la relation A M = θ M A et multiplions à gauche par A. Il vient :
A2 M = θA M A = M θ2 A2 .
On montre par récurrence (non fait ici) que An M = M (θn An ) puis par combinaison
linéaire que
P (A) M = M P (θ A)
pour tout polynôme P. De façon symétrique, en multipliant à droite par M, on
obtient A M 2 = θM A M = θ2 M 2 A puis
A P (M ) = P (θ M ) A.
2. Il sera dans cette question plus agréable de considérer les endomorphismes canoniquement associés à A et M. Notons les f et g.
• Supposons que M ∈ F et considérons un vecteur non nul, x ∈ Ker(f − λ). On a
f (x) = λx et f ◦ g(x) = θg(f (x)) = θλg(x). Ainsi,
g(Ker(f − λidE ) ⊂ Ker(f − θλidE ).
• On suppose de plus que f (ou A) est diagonalisable. Ainsi,
E=
⊕
λ∈Sp(f )
Ker(f − λidE ) = ⊕ Ker(f − λi idE ).
i
P
P
L’image d’un élément x =
xi de E (notations évidentes ?) est donc
g(xi ) où
chaque g(xi ) appartient à Ker(f − θλi idE ).
32
- Première observation :
si θ est tel qu’aucun θλi n’est vp de f, alors g = 0 et l’on voit que F = {0}.
- Réciproque (ou sa contraposée) :
s’il existe un θλi0 tel que θλi0 soit aussi vp de f, alors on peut construire un élément
g ∈ F non nul en considérant une base de E adaptée à la décomposition de E en
sev propres de f.
On caractérise g à l’aide de l’image de cette base, en posant : g(uj ) = 0 si ui ∈
/
Ker(f − λi0 idE ) et en choisissant pour g(uj ) un vecteur non nul quelconque de
Ker(f − θλi0 idE ) si uj ∈ Ker(f − λi0 idE )...
Une telle application est un élément de F car
f ◦ g(uj ) = θλi0 g(uj ) = θg(λi0 uj ) = θg ◦ f (uj )
sur toute la base (l’égalité devient 0 = 0 si uj ∈
/ Ker(f − θλi0 idE )).
- Bilan F = {0} ssi pour tout λ ∈ Sp(f ), θλ ∈
/ Sp(f ).
3. Cas général (f diagonalisable ou pas) que peut-on dire de l’image de Ker((A − λ)p )
par M ∈ F?
Peut-on encore donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre
de A pour que F soit un sev de dimension 0 ?
4. Etude d’exemples : déterminer F en fonction de θ,


1 0 0



(a) A = 
 0 2 0 .
0 0 2
Les seuls cas à étudier sont θ = 1/2, θ = 2.


1 0 0



(b) A = 
 0 2 1 .
0 0 2
Les seuls cas à étudier sont θ = 1/2, θ = 2.
Corrigé 7.3 27
Deux façons d’aborder le problème : soit en
en recherchant les polynômes annulateurs.

A
B = A
A
recherchant les relations entre vp et vp, soit

A A
A A .
A A
1. Comparaison des éléments propres de A et B
– Remarquons que rg(B) = rg(A) ≤ n, donc, dans tous les cas 0 ∈ Sp(B) avec
dim ker B ≥ 2n.
33
 
 
X
X
– Si λ ∈ Sp(A) et AX = λX, on a B X  = 3λ X  . Donc 3Sp(A) ⊂ Sp(B).
X
X
– Inversement, si µ ∈ Sp(B), si Y ∈ K 3n vérifie BY = µY, alors
 
 
X
X
0



A X = µ X0  .
X”
X”
 
X
Donc, si µ 6= 0, X = X 0 = X”, Y est de la forme X  , où X est vp de A associé
X
à µ/3.
Donc Sp(B) ⊂ 3Sp(A) ∪ {0} et si µ 6= 0,
dim ker(A − λ) = dim ker(B − 3λ).
– Comme Sp(B) contient 0, on a Sp(B) = 3Sp(A) ∪ {0}.
2. Polynômes en A et en B.

 n
A An An
• On commence par calculer B n : B 0 = I3n , B n = 3n−1 An An An  , si n ≥ 1.
An An An
P
k
Soit alors le polynôme P (X) =
ak X , on lui associe Q(X) = P (X) − P (0), il
vient

 k


d
A Ak Ak
a0 In
0
0
X
1
a0 In
0 +
3k ak Ak Ak Ak 
P (X) =  0
3
k=1
0
0
a0 In
Ak Ak Ak


Q(3A) Q(3A) Q(3A)
1
P (B) = a0 I3n + Q(3A) Q(3A) Q(3A)
3
Q(3A) Q(3A) Q(3A)
En conséquence, P (X) annule B ssi P (0) = 0 et P (3X) = Q(3X) annule A.
• Si A est diagonalisable, il existe un polynôme scindé à racines simples F (X)
qui annule A.
X
– Si 0 est racine de ce polynôme, on pose P (X) = F
. C’est un polynôme
3
annulateur de B d’après ce qui précède. Comme il s’agit encore d’un polynôme
scindé à racines simples, B est diagonalisable.
X
X
F
. C’est un
– Si 0 n’est pas racine de ce polynôme, on pose P (X) =
3
3
polynôme annulateur de B scindé à racines simples, B est diagonalisable.
• Supposons B diagonalisable. Soit G un polynôme annulateur à racines simples.
On a G(0) = 0 et G(3A) = 0. Comme G(3X) est lui aussi à racines simples, A est
diagonalisable.
34
Corrigé 7.4 Indication ou corrigé 29
Énoncé :
Déterminer {det(A)/A ∈ Mn (R), A3 + A = 10In }.
• Considérons A ∈ Mn (R) telle que A3 + A = 10In .
Comme P (X) = X 3 + X − 10 est un polynôme annulateur, SpC (A) ⊂ RacC (P ). Le
polynôme P n’admet qu’une racine réelle (pour cela observer par exemple que P est
strictement croissant sur R).
Ainsi P (X) = (X − 2)(X 2 + 2X + 5) = (X − 2)(X − (−1 + 2i))(X − (−1 − 2i)) et
SpC (A) ⊂ RacC (P ) = {2, −1 − 2i, −1 + 2i}. Le polynôme caractéristique de A est par
ailleurs dans Rn [X], il est donc avec p + 2q = n de la forme :
χA (X) = (−1)n (X − 2)p (X 2 + 2X − 5)q et det(A) = 2p 5q .
{det(A)/A ∈ Mn (R), A3 + A = 10In } ⊂ {2n−2q 5q /0 ≤ q ≤ [n/2]}.
• Inversement, pour tout q tel que 0 ≤ q ≤ [n/2], il existe une matrice diagonale par blocs
dans Mn (R) dont le déterminant est 2n−2q 5q :


2 In−2q


A2
−1 2


A=
.
 avec A2 =
..
−2 −1


.
A2
Corrigé 7.5 Indication ou corrigé 30
Énoncé :
A quelle condition portant sur n ∈ N existe-t-il A ∈ Mn (R) telle que A2 + 2A + 5In = 0?
• Supposons qu’une matrice A ∈ Mn (R) vérifie A2 + 2A + 5In = 0.
Le polynôme P (X) = X 2 + 2X + 5 est annulateur et
SpC (A) ⊂ RacC (P ) = {−1 + 2i, −1 − 2i}.
Le polynôme caractéristique de A n’a donc pas de racine réelle et il est donc de degré pair.
Une CN est donc n pair.
• Réciproquement, supposons n = 2q pair. La matrice de Mn (R) diagonale par blocs


A2


A2
−1 2


A=
 avec A2 =
..
−2 −1


.
A2
admet P (X) = X 2 + 2X + 5 comme polynôme annulateur puisque c’est le pc de A2 .
35
Corrigé 7.6 Indication ou corrigé 31
Énoncé :
Soit A ∈ Mn (C) telle que pour tout k ∈ N∗ , Tr(Ak ) = 0. Montrer que A est nilpotente.
Une matrice de Mn (C) est semblable à une matrice

λ1 ∗ . . .
 0 λ2

T = .
.. . .
 ..
.
.
0
0
...
triangulaire

∗
∗

.. 
. 
λn
Supposons que A admette des valeurs propres non
Après une éventuelle
Pp nulles.
k
k
réécriture des valeurs propres, la trace de A est donc i=1 ni λi = 0 où les λi les valeurs
propres non nulles et distinctes et les ni les ordres de multiplicité des λi . Écrivons le
système d’équations correspondant pour k = 1, ..., p. Il s’exprime

   
λ1 λ2 . . . λ p
n1
0
λ2 λ2 . . . λ2  n2  0
p  
2
 1
 
 ..
.. . .
..   ..  =  ..  .


.

.
. .
.
.
λp1 λp2 . . .
λpp
np
0
Le déterminant de la matrice est égal au produit des λi et d’un déterminant de Vandermonde qui est non nul. L’équation n’est donc pas vérifiée ce qui est une contradiction.
Bilan : SpC (A) = {0} donc χA (X) = (−1)n X n et par le théorème de Cayley-Hamilton,
An = 0 et A est nilpotente.
36
Corrigé 7.7 Indication ou
32
corrigé
A A
Soient A ∈ Mn (C) et B =
∈ M2n (C).
A A
1. Commençons par exprimer les puissances de B :
n
An
In O
0
∗
n
n−1 A
B =
, et pour n ∈ N , B = 2
O In
An An
P
Soit F (X) =
ak X k , avec une prudence à toujours recommandée, pour le terme
constant :
k k k k
p
1X
In O
2 A 2 A
+
ak k k k k
F (B) = a0
O In
2 A 2 A
2
k=1
1 F (2A) − a0 F (2A) − a0
In O
+
F (B) = a0
O In
2 F (2A) − a0 F (2A) − a0
1 F (2A) + a0 F (2A) − a0
F (B) =
2 F (2A) − a0 F (2A) + a0
2. Conditions nécessaires et/ou suffisantes pour que B (ou A) soit diagonalisable.
(a) On suppose B diagonalisable.
On note πB (X) son polynôme minimal, Q
qui est donc scindé à racines simples
πB (B) = 0, il
sur C. On l’écrira s’il le faut, πB (X) = ki=1 (X − βi ). Comme
Q
vient πB (2A) + b0 = πB (2A) − b0 = 0; cela impose b0 = βi = 0, ce dont on
pouvait a priori se douter en examinant le rang maximal pour B!
Ainsi
k
k Y
Y
βi
k
πB (2A) =
(2A − βi ) = 2
A−
= 0.
2
i=1
i=1
Comme le polynôme
k Y
βi
2
X−
=0
2
k
i=1
est scindé à racines simples sur C, A est diagonalisable ; de plus
1
SpC (A) ⊂ RacC (πB (2X)) = SpC (B)
2
(b) On suppose A diagonalisable.
On note πA le polynôme minimal
de A. Il est scindé à Q
racines simples sur C et
Qk
on peut l’écrire πA (X) = i=1 (X − αi ). Notons a0 = αi .
• Supposons que a0 = 0. Le polynôme F défini par
F (X) = πA
X
2
=
k Y
X
i=1
2
− αi
=
k
1 Y
(X − 2αi )
2k
i=1
est scindé à racines simples sur C et
1 F (2A) + a0 F (2A) − a0
F (B) =
= 0.
2 F (2A) − a0 F (2A) + a0
37
Donc B est diagonalisable. De plus
SpC (B) ⊂ RacC (F (X)) = 2SpC (A)
• Supposons que a0 6= 0. Le polynôme G défini par
G(X) = XF (X) = XπA
X
2
=X
k Y
X
i=1
2
− αi
k
1 Y
= kX
(X − 2αi )
2
i=1
est lui-aussi scindé à racines simples sur C et
1 AF (2A) + 0 AF (2A) − 0
G(B) =
= 0.
2 AF (2A) − 0 AF (2A) + 0
Donc B est diagonalisable. De plus
SpC (B) ⊂ RacC (XF (X)) = 2SpC (A) ∪ {0}
Bilan
• A diagonalisable ssi B diagonalisable ;
Dans ce cas (mais on peut le démontrer en considérant des polynômes minimaux
non nécessairement scindés à racines simples) on a aussi :
• si 0 ∈ SpC (A), SpC (B) = 2SpC (A);
• si 0 ∈
/ SpC (A), SpC (B) = 2SpC (A) ∪ {0};
Corrigé 7.8 corrigé de l’exercice 34
Soient A ∈ Mn (R), B ∈ Mn (R) et P ∈ GLn (C) telles que (1) P −1 AP = B. avec
P = R + iQ.
0 1
1 0
1 i
, P est inversibles alors que sa partie réelle
1. Avec P =
=
+i
0 −1
1 0
1 −i
et sa partie imaginaire ne le sont pas.
2. Si P est inversible, P −1 AP = B ⇔ AP = P B ⇔ (A (R + iQ) = (R + iQ) B) ⇔
(AR = RB et AQ = QB).
3. • On peut montrer qu’un déterminant det(P + xQ) est une fonction polynomiale en
x par récurrence sur le nombre de lignes, en initialisant avec n = 2 puis en justifiant
l’hérédité en développant par rapport à une colonne.
• On peut aussi invoquer la formule
det(M ) =
n
XY
mi,σ(i)
σ i=1
qui devient ici une somme de polynômes de degrés égaux à n :
det(P + XQ) =
n
XY
[pi,σ(i) + xqi,σ(i) ],
σ i=1
38
4. On observe que les relations AR = RB et AQ = QB entraı̂nent A (R + xQ) =
(R + xQ) B. Comme le polynôme en x F (x) = det(R + xQ) n’est pas nul (F (i) 6= 0),
il admet au plus n racines et il existe un réel x pour lequel M = P +xQ est inversible
et alors A M = M B ou M −1 A M = B./ fin.
39