cours03

In´egalit´es dans R
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MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal DELAHAYE
5 octobre 2017
1 la relation ≤
”xest inf´erieur `a y” s’´ecrit x≤y.
On ´ecrira que x < y lorsque x≤y
x6=yet on dira alors que ”xest strictement inf´erieur `a y”.
D´ efinition 1 : Relation d’ordre sur R
La relation ≤est une relation d’ordre sur Rdans la mesure o`u elle v´erifie les propri´et´es suivantes :
1. Pour tout x∈Rx≤xR´eflexivit´e
2. Pour tout x, y ∈R:x≤y
y≤x⇒x=yAntisym´etrie
3. Pour tout x, y, z ∈R:x≤y
y≤z⇒x≤zTransitivit´e
Exemple 1. (∗) V´erifiez que l’inclusion est une relation d’ordre sur les parties d’un ensemble.
Remarque 1.On peut munir R2de l’ordre lexicographique ou de l’ordre produit.
Exemple 2. (∗) D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonction fd´efinie par : f(x) = r1 + x
1−x.
Th´ eor` eme 1 : Op´erations sur les in´egalit´es
1. Si a≤balors −a≥ −b
2. Si a≤bet c≤dalors a+c≤b+d. ( on ne peut pas soustraire 2 in´egalit´es)
3. Si 0 ≤a≤bet 0 ≤c≤dalors 0 ≤ac ≤bd ( bien effectuer la v´erif. avant de multiplier)
4. Si a≤bet c≥0 alors ac ≤bc. ( bien effectuer la v´erif. avant de multiplier)
Remarque 2.On retiendra donc que :
1. On ne peut pas soustraire ni diviser membre `a membre deux in´egalit´es.
2. Il faut v´erifier que tous les termes sont positifs avant de multiplier membre `a membre deux in´egalit´es.
3. Lorsqu’on multiplie une in´egalit´e par une quantit´e c, il faut :
— soit v´erifier que c≥0 ou que c≤0
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— soit distinguer diff´erents cas selon le signe de c.
4. Evitez si possible les in´egalit´es strictes : elles sont source d’erreurs ....
Exemple 3. Encadrements successifs
(∗) Sachant que x∈[−1,2]
y∈]1,4] encadrez les deux expressions suivantes : f(x) = x+ 2y
(x+ 2)yet g(x) = 2x+y y2
Proposition 2 : Conservation des in´egalit´es par les fonctions
Soit f:I→R.
1. Si fest croissante sur I
a, b ∈Ialors a < b ⇒f(a)≤f(b) a≤b⇒f(a)≤f(b)
2. Si fest strictement croissante sur I
a, b ∈Ialors a < b ⇐⇒ f(a)< f(b) a≤b⇐⇒ f(a)≤f(b)
Seules les fonctions strictement monotones permettent de conserver les ´equivalences.
Preuve 2 : Par d´efinition des fonctions croissantes et strictement croissantes.
Remarque 3.On a bien entendu, une proposition ´equivalente pour les fonctions (strictement) d´ecroissantes.
Corollaire 3 : Equivalences `a retenir
Compl`etez les propositions suivantes pour les rendre VRAIES :
1. x≤y⇐⇒ x2≤y2lorsque : x, y ∈
3. x≤y⇐⇒ x2≥y2lorsque : x, y ∈
3. x≤y⇐⇒ 1
x≥1 ylorsque : x, y ∈
4. x≤y⇐⇒ sin x≤sin ylorsque : x, y ∈
5. x≤y⇐⇒ ex≤eylorsque : x, y ∈
6. x≤y⇐⇒ ln x≤ln ylorsque : x, y ∈
Preuve 3 : On choisit des intervalles sur lesquels les fonctions sont strictement croissantes ou d´ecroissantes.
Exemple 4. (∗) R´esoudre les in´equations :
1. ln(2x+ 1) <ln x+ 1. 2. √2x−1<√x+ 1 + 1.
M´ethodes pour prouver une in´egalit´e f(x)≤g(x)pour tout x∈I:
1. On peut proc´eder par ´equivalences successives : ”Soit x∈I, on a : f(x)≤g(x)⇐⇒ ··· ⇐⇒ VRAI”
2. On peut effectuer une ´etude sur Ide la fonction h / h(x) = f(x)−g(x) pour ´etudier son signe.
3. On peut proc´eder par d´eduction (in´egalit´es successives) en retrouvant f(x)≤g(x) `a partir de x∈I.
4. On peut proc´eder par r´ecurrence lorsque I=N.
5. On peut enfin utiliser :
(a) la convexit´e d’une fonction bien choisie (D´esormais hors-programme)
(b) des formules particuli`eres (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz, Comparaison des moyennes arithm´etique et
g´eom´etrique, In´egalit´es Triangulaires...)
Exemple 5. (∗) Montrer que pour tout x∈R+, on a : x−x2
2≤ln(1 + x)≤x
Exemple 6. (∗) D´emontrer les in´egalit´es suivantes :
1. ∀a, b ∈R,ab ≤1
2(a2+b2).
En d´eduire que ∀a, b, c ∈R, on a : ab +ac +bc ≤a2+b2+c2.
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2. ∀a, b ∈R+∗, on a : 1
2(ln a+ ln b)≤ln a+b 2.
3. ∀a, b ∈R, (a+b)2≤2(a2+b2).
En d´eduire que ∀a, b ∈R, on a : (a+b)4≤8(a4+b4)
Exercice : 1
(∗) D´eterminer le nombre de chiffres dans l’´ecriture binaire un entier n∈N∗.
2 Valeur absolue
D´ efinition 2 : Valeur absolue, distance entre deux r´eels
On d´efinit la valeur absolue d’un r´eel xquelconque de la fa¸con suivante : |x|= max(x, −x)
La quantit´e d(x, y) = |x−y|mesure la distance entre deux r´eels xet y.
En particulier, |x|repr´esente la distance de x`a 0 sur l’axe des r´eels.
Remarque 4.En particulier, nous avons les ´equivalences importantes suivantes :
|x−x0| ≤ ε⇐⇒ x0−ε≤x≤x0+εet |x| ≤ M⇐⇒ −M≤x≤M
Exemple 7. (∗) Soit x∈R. Montrer que : ∀ε > 0, |x|< ε ⇐⇒ x= 0.
Elimination des valeurs absolues :
D’apr`es la d´efinition, il est possible d’´eliminer les valeurs absolues de |A(x)|d`es lors que l’on connaˆıt le signe
du terme A(x) :
|A(x)|=A(x) lorsque A(x)≥0
|A(x)|=−A(x) lorsque A(x)≤0
Cette technique permet de r´esoudre des ´equations et in´equations par disjonction de cas.
Exemple 8. (∗) R´esoudre dans R:
•x|x−1|= 1 − |2x+ 1| • |2x−4| ≤ |x−1|
D´ efinition 3 : Partie positive et partie n´egative d’un r´eel
Soit x∈R.
1. La partie positive de xest d´efinie par : x+= max(x, 0)
2. La partie n´egative de xest d´efinie par : x−= max(−x, 0)
On a alors les formules : x+=|x|+x
2et x−=|x| − x 2. Ces deux valeurs sont positives.
Exemple 9.
1. Lorsque x= 2.56 on a : x+= 2.56
x−= 0 . 2. Lorsque x=−12.3 on a : x+= 0 x−= 12.3.
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Th´ eor` eme 4 : Propri´et´es imm´ediates de la valeur absolue.
Soit x, y ∈R:
1. |x| ≥ 0 et | − x|=|x|
2. |x|= 0 ⇐⇒ x= 0
3. |xy|=|x||y|et |x
y|=|x| |y|(y6= 0)
4. ∀n∈Z,|xn|=|x|net donc |x|2=x2
5. √x2=|x|
6. ∀x∈R,−|x| ≤ x≤ |x|
7. |sin x| ≤ |x|
Preuve 4 : Petites d´emonstrations qui ne posent pas de r´eel probl`eme.
Pour |sin x| ≤ |x|, on pourra utiliser un raisonnement g´eom´etrique.
Remarque 5.On constate qu’il est ´egalement possible d’´eliminer une valeur absolue par ´el´evation au carr´e.
Cette technique pr´esente cependant l’inconv´enient d’augmenter le degr´e de l’expression.
Exemple 10. (∗) Soit x∈R.
Montrer que pour tout entier naturel n∈N, on a : |sin(nx)| ≤ n|sin x|.
Exemple 11. (∗) Prouver que : ∀a, b ∈R+,|√a−√b| ≤ p|a−b|
Proposition 5 : Soit (a, b)∈R2. Si a≤x≤balors |x| ≤ max(|a|,|b|)
Preuve 5 : Pas de difficult´e en traitant s´epar´ement les 3 cas : 0 ≤a,b≤0 et a≤0≤b.
Exemple 12. (∗) Sachant que x∈]−2,5], que pouvez-vous dire de |x|?
Th´ eor` eme 6 : In´egalit´es triangulaires
Pour tout r´eels xet y, on a :
|x| − |y| ≤ |x+y| ≤ |x|+|y|
Preuve 6 :
M1 : On constate que c’est un cas particulier des in´egalit´es triangulaires sur les complexes.
M2 : Pour chacune des deux in´egalit´es, on proc`ede par ´equivalences successives en ´elevant au carr´e.
Exemple 13. (∗) Sachant que |x| ≤ 1
2, d´eterminer un encadrement de 
1
1 + x
.
Remarque 6.La g´en´eralisation |
n
X
k=1
xk| ≤
n
X
k=1 |xk|de l’in´egalit´e triangulaire s’obtient facilement par r´ecurrence.
Exemple 14. (∗) Prouver que pour tout n∈N∗, on a : 
n
X
k=1
(−1)kk2
≤n3.
Exercice : 2
(∗) Pour x∈[2,3], encadrer f(x) = x−1
ex+ 1 en utilisant tour `a tour les 3 m´ethodes suivantes :
1. En ´etudiant la fonction f
2. Par encadrements successifs
3. Par majoration en valeur absolue
Remarque 7.L’exemple pr´ec´edent nous a permis de mettre en ´evidence diff´erentes m´ethodes possibles d’encadrement :
M´ethodes Commentaires
1. Par une ´etude de fonction M´ethode tr`es pr´ecise mais qui n’aboutit pas forc´ement
2. Par encadrements successifs M´ethode assez rapide et moyennement pr´ecise
3. Par majoration en valeur absolue M´ethode rapide mais tr`es impr´ecise
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3 Majorant, minorant, maximum et minimum
D´ efinition 4 : Majorants, minorants d’une partie de R
Soit Aune partie de R(on dit aussi un sous-ensemble de R) non vide.
On dira que :
•Un r´eel M∈Rest un majorant de la partie Assi tout ´el´ement de Aest inf´erieur `a M:∀x∈A, x ≤M
On dit alors que Aest major´ee (par M).
•Un r´eel m∈Rest un minorant de la partie Assi tout ´el´ement de Aest sup´erieur `a m:∀x∈A, m ≤x
On dit alors que Aest minor´ee (par m).
Remarque 8.Que pouvez-vous dire de l’existence et de l’unicit´e d’un majorant et d’un minorant ?
Majorants en Minorants d’une partie
Exemple 15. (∗) Soit n∈N∗. Prouver que la somme Sn=
n
X
k=1
n+k
n2+kest major´ee par 2.
D´ efinition 5 : Partie born´ee
Soit une partie A⊂Rnon vide.
Par d´efinition : Aest born´ee si et seulement si ∃m, M ∈Rtels que ∀x∈A,m≤x≤M.
Ou encore : Aest born´ee si et seulement si ∃M∈R+tel que ∀x∈A,|x| ≤ M.
Preuve 6 : Il faut v´erifier que les deux propositions pr´ec´edentes sont bien ´equivalentes.
D´ efinition 6 : Plus grand (maximum), plus petit ´el´ement (minimum) d’une partie
1. Un r´eel a∈Rest un plus grand ´el´ement de A ssi : a∈Aet ∀x∈A, x ≤a
S’il existe, le plus grand ´el´ement est unique et on le note a= max A
2. Un r´eel b∈Rest un plus petit ´el´ement de A ssi : b∈Aet ∀x∈A, x ≥b
S’il existe, le plus petit ´el´ement est unique et on le note : b= min A
Remarque 9.
1. Le plus grand ´el´ement est aussi appel´e l’´el´ement maximal et le plus petit ´el´ement l’´el´ement minimal.
2. Le maximum de Aest un majorant qui appartient `a Atandis que le minimum de A. . .
3. Existence et unicit´e ?
4 Les intervalles de R
D´ efinition 7 : Droite r´eelle achev´ee
On note Rl’ensemble R∪ {−∞,+∞}, et on ´etend la relation d’ordre sur Rpar : ∀x∈R,−∞ < x < +∞
D´ efinition 8 : Intervalles de R
Soient deux r´eels a < b.
— On appelle segment [a, b], la partie de Rd´efinie par [a, b] = {x∈R|a≤x≤b}
— De mˆeme on d´efinit les parties : [a, b[, ]a, b], ]a, b[, [a, +∞[, ]−∞, b], ]a, +∞[, ]−∞, b[, R
Une partie de Rayant l’une des 9 formes pr´ec´edentes est appel´ee un intervalle de R
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