
(b) Par conséquent, soit x∈ R. Il existe z∈ C tel que x= Re(z). Ainsi, |P(z)|62. On déduit alors de la
question précédente que :
|Q(x)|=|Q(Re(z))|6|P(z)|62,
donc que x∈ S. Ainsi, R ⊂ S .
(c) Si le théorème ?? est vrai, on a bien obtenu le fait que Rest inclus dans une union finie d’intervalles
fermés (à savoir Sdonc la longueur totale est inférieure à 4 (on est bien dans les conditions d’application
du théorème : Qest unitaire, et scindé dans R).
Donc le théorème ?? implique le théorème ??.
Remarquez que j’ai modifié l’énoncé de sorte à ne pas avoir à prouver que Rest lui-même une union finie
d’intervalles fermés. Des arguments de continuité et de compacité permettent de montrer assez facilement
que Rest une union d’intervalles fermés bornés. En revanche, montrer qu’ils sont en nombre fini est une
autre histoire. Est-ce vrai d’ailleurs ?
Partie IV – Démonstration du théorème de Pólya
1. Pest un polynôme de degré au moins 1, donc admet au moins une racine dans C. Comme par hypothèse,
toutes les racines de Psont réelles, Padmet une racine rdans R. Alors |P(r)|= 0 62, donc r∈ S. Ainsi,
Sest non vide.
2. Cas où Sest un intervalle
(a) Comme Pest de degré au moins 1, on a :
lim
x→+∞|P(x)|= lim
x→−∞ |P(x)|= +∞.
Ainsi, il existe des réels Bet B′tels que :
∀x > B, |P(x)|>2et ∀x < B′,|P(x)|>2.
Ainsi, S ⊂ [B′, B], donc I=Sest borné.
(b) Soit aet bles bornes inférieure et supérieure de I. Commençons par montrer que |P(a)|= 2.
•Dans un premier temps, considérons la suite (un)n∈N∗définie pour tout n∈N∗par un=a−1
n. Alors,
pour tout n∈N∗,un< a, donc un6∈ S, donc |P(un)|>2.
En passant à la limite dans cette inégalité, puisque (un)n∈N∗tend vers aet que |P|est continue en a,
on obtient : |P(a)|>2.
•On en déduit dans un premier temps que P(a)6= 0, donc que a6=b. En effet, si a=b, alors S, qui est
non vide, serait égal au singleton {a}. Or, Scontient une racine de Pau moins, d’après la démonstration
faite en IV-1. Ainsi, P(a)serait nul, d’où une contradiction.
•Ainsi, a < b. Soit (vn)n∈N∗la suite définie pour tout n∈N∗par vn=a+b−a
n. Alors pour tout n∈N∗,
a < vn< b, donc vn∈I. On en déduit que pour tout n∈N∗,|P(vn)|62. En passant à la limite dans
cette inégalité, puisque (vn)n∈N∗tend vers aet que |P|est continue en a, on obtient : |P(a)|62.
Par conséquent, a < b, et |P(a)|=|P(b)|= 2 (le raisonnement est similaire pour |P(b)|)
On en déduit que a∈ S =I, et B∈ S =I. Ainsi, Icontient ses deux bornes. Iest donc fermé.
(c) Par définition de I,2est un majorant de |P|sur I, atteint aux points aet b.
Ainsi, |P|admet sur Iun maximum, égal à 2.
(d) Le polynôme Qest de degré n, en tant que composée d’un polynôme de degré net d’un polynôme de degré
1, le degré d’une ccomposition étant le produit des degrés (pour des polynômes sur un anneau intègre). De
plus, le monôme dominant de Qest
2
b−an
×anb−a
2×Xn
=Xn,
5