Correction TD Microéconomie : Maximisation utilité et dépense

m x y
px=5py=3
U(x, y)=(x+2)(x+3y)
x y
(x, y)T MSx,y
u0>0
(x, y)U(x, y)=u0
(x, y)y x
U(x, y)=u0⇐⇒ y=f(x)=1
3(u0 x+2−x)
f
f′(x)=1
3(−u0 (x+2)2−1)

x, y T MSx,y(x, y)
x y
f′(x)
f′′(x)≥0
f′′(x)=1
3
2u0(x+2)
(x+2)4>0∀x≥0
x=0y=0
f(0)=u0
6>0y=0⇐⇒ x2+2x−u0=0
∆=
22−4×1×(−u0)=4(1+u0)>0
x=−1+√u0+1
u0>0
T MSx,y (x, y)=−dy
dx∣U(x,y)=k

max
x,y x2+2x+6y+3xy
s.c. pxx+pyy≤m
x≥0y≥0
px=5py=3
x y
U′
x(.)>0U′ y(.)>0
L(x, y, λ, µx, µy)=U(x, y)−λ(5x+3y−m)+µxx+µyy
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂x =0⇐⇒ U′
x(x∗, y∗)−5λ∗+µ∗ x=0
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂y =0⇐⇒ U′
y(x∗, y∗)−3λ∗+µ∗ y=0
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂λ ≥0⇐⇒ 5x∗+3y∗≤m
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂µx≥0⇐⇒ x∗≥0
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂µy≥0⇐⇒ y∗≥0
λ∗≥0
µ∗
x≥0µ∗ y≥0

λ∗(5x∗+3y∗−m)=0
µxx∗=0µyy∗=0
x y
x y
x∗>0y∗>0µ∗
x=0µ∗ y=0
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂x =0⇐⇒ U′
x(x∗, y∗)−5λ∗=0⇐⇒2x∗+3y∗+2−5λ∗=0
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂y =0⇐⇒ U′
y(x∗, y∗)−3λ∗=0⇐⇒3x∗+6−3λ∗=0
5x∗+3y∗=m
λ∗≥0
λ∗(5x∗+3y∗−m)=0
U′
x(x∗, y∗)
px=U′
y(x∗, y∗)
py=λ∗
y∗=x∗+249⇐⇒ 3y∗=3x∗+8

y x y
3(m−5x∗)=3x∗+8
x∗(m)=m
8−1y∗(m)=m 8+5 3
m
x∗>0⇐⇒ m
8−1>0⇐⇒ m>8
y∗>0⇐⇒ m
8+5 3>0⇐⇒ m>−40 3
x∗>0y∗=0µx=0µy≥0
y∗=0x∗=m
5
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂x =0⇐⇒ 2x∗+2−5λ∗=0
∂L(x∗, y∗, λ∗, µ∗)
∂y =0⇐⇒ 3x∗+6−3λ∗+µy=0
5x∗+3y∗=m
λ∗≥0
µx=0µy≥0
λ∗(5x∗+3y∗−m)=0
λ∗
λ∗=2
5(x∗+1)