ProgrammeSem05

MP1 Semaine 5 : 17 octobre au 4 novembre 2016
Note : les vecteurs sont écrits en caractères gras.
Exercices : mouvement de particules dans E et B
ÉLECTROSTATIQUE
I. CHAMP ÉLECTRIQUE ET POTENTIEL ÉLECTRIQUE
I. Distribution de charges
Charge électrique, charge ponctuelle, distribution de charges volumique,
surfacique, linéique : calcul de la charge totale. La technique de calcul
d’intégrales multiples a été présentée.
II Champ électrique
Définition du champ électrique par son action sur une charge ponctuelle test
qT. Principe de superposition. Champ électrique d’une charge ponctuelle à partir
de la loi de Coulomb, de N charges ponctuelles.
Remarque : tout calcul direct de champ électrique d’une distribution de
charges continue par intégration est désormais hors programme.
III Potentiel électrique
Définition par la relation locale : E = - grad V. Non unicité du potentiel.
Potentiel électrique d’une charge ponctuelle, de N charges ponctuelles. Principe
de superposition pour V. Relation intégrale entre E et V par la circulation.
Interprétation de V : énergie potentielle d’une charge ponctuelle. Surfaces
équipotentielles et lignes de champ électrique.
Chap 2 THÉOREME DE GAUSS ET ÉQUATIONS LOCALES
En question de cours uniquement
I Symétries
• Comportement du champ électrique de part et d’autre d’un plan de symétrie
πSym. Cas particulier où le point M est sur le plan.
• Idem pour un plan d’anti-symétrie πAntisym.
• Invariance par translation : cas d’une translation de longueur a. Cas
particulier d’invariance complète par toute translation de direction donnée.
• Invariance par rotation autour d’un axe : cas d’une rotation d’angle α. Cas
d’une invariance complète par toute rotation autour d’un même axe.
II. Théorème de Gauss
Enoncé. Application aux calculs classiques de E : boule uniformément chargée,
cylindre infini uniformément chargé, plan infini uniformément chargé (densité
surfacique σ. Relations de passage du champ électrique à la traversée d’une
surface chargée. (Pas de démonstration : généralisation de ce qui ce passe pour un
plan infini). Cas de deux plans chargés +σ et -σ : application au condensateur
plan. Calcul de la capacité du condensateur plan.
III. Équations locales de l’électrostatique
Divergence, rotationnel. Théorèmes d’Ostrogradski et de Stokes. Équations de
Maxwell - Gauss et de Maxwell - Faraday. Équations de Poisson et de Laplace
pour le potentiel électrique.
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 à Brunswick - 1855
à Göttingen) est un mathématicien, astronome et physicien
allemand. Il a apporté de très importantes contributions à
ces trois domaines et fut surnommé « le prince des
mathématiciens ». Il fit surtout des recherches et enseigna
peu mais, certains de ses étudiants devinrent d'importants
mathématiciens, notamment Riemann.
Gauss est né dans une famille pauvre. Sa mère,
illettrée, n’a pas enregistré sa date de naissance. En 1792, le duc de Brunswick
remarque ses aptitudes et lui accorde une bourse afin de lui permettre de
poursuivre son instruction. Il est ainsi envoyé à l’université de Brunswick, puis à
celle de Göttingen.
Il commence par s’illustrer dans le domaine des mathématiques. Il présente sa
thèse de doctorat en 1799 en démontrant le théorème fondamental de l'algèbre qui
indique qu'une équation polynômiale de degré n admet en général n racines
(éventuellement complexes). Il poursuit ensuite avec des recherches en
arithmétique, domaine qu’il n’abandonnera jamais vraiment de toute sa vie.
À partir des années 1800, il s’intéresse à l’astronomie et publie plusieurs

études et calculs sur les trajectoires et le traitement mathématique des données
astronomiques. Il accepte le poste de directeur du nouvel observatoire
astronomique de Göttingen en 1807. Il s’intéresse aussi aux géométries non-
euclidiennes mais ne publiera jamais ce travail.
Il se marie en 1805 avec Johanna Osthoff, mariage d’amour, mais qui fut
précocement interrompu par la mort de sa femme en 1809, suivie de près par la
mort de l'un de ses enfants. Gauss plonge dans une dépression dont il ne sortira
jamais entièrement. Il se remarie néanmoins en 1810 avec Minna Waldeck, une
amie de sa première femme.
Ses études en astronomie l’amènent à s’intéresser aux instruments d’optique.
Il développe sa méthode d'approximation due à Gauss consiste à ne considérer
que les rayons faiblement inclinés par rapport à l'axe optique du système.
A partir de 1831, il mène une collaboration avec le professeur de physique
Wilhelm Weber qui aboutit à des résultats sur le magnétisme, à l'origine de la
découverte des lois de Kirchhoff en électricité. C’est lui qui introduit le potentiel
électrique et il est également l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell,
ainsi que du théorème pour le flux du champ électrique : théorème de Gauss.
Gauss meurt dans son sommeil le 23 février 1855 à Göttingen. Après sa mort,
douze volumes seront publiés, de 1863 à 1929. En 1898, son petit-fils découvre
son journal scientifique, qui couvre la période 1796-1814 et contient 146 énoncés
portant sur des questions d'analyse, d'algèbre et de théorie des nombres.
QUESTIONS DE COURS :
1) Définition du potentiel. Non unicité. Expression de V pour une charge
ponctuelle et pour N charges ponctuelles.
2) Relation intégrale entre E et V. Lien entre V et l’énergie potentielle d’une
charge ponctuelle.
3) Démontrer que V décroit le long d’une ligne de champ. Définition d’une
surface équipotentielle. Relation entre lignes de champs et surfaces
équipotentielles (à démontrer).
4) Définition d’un plan de symétrie. Comportement du champ électrique E de
part et d’autre d’un plan de symétrie πSym. Cas particulier où le point M est dans
le plan de symétrie.
5) Définition d’un plan d’antisymétrie. Comportement du champ électrique de
part et d’autre d’un plan d’antisymétrie πAntiSym. Cas particulier où le point M est
dans le plan d’antisymétrie.
6) Théorème de Gauss et calcul de E pour une boule uniformément chargée en
volume.
7) Théorème de Gauss et calcul de E pour un cylindre uniformément chargé en
volume. Calcul du potentiel.
8) Théorème de Gauss et calcul de E pour un plan uniformément chargé.
9) Le modèle du condensateur plan idéal. Calcul de E en tout point de l’espace à
partir du résultat du plan infini. Calcul de la capacité C.
10) Expressions de div a et de rot a en coordonnées cartésiennes
11) Equations locales de Maxwell – Gauss et de Maxwell – Faraday.
12) Définition du laplacien Δf d’un champ scalaire. Equation de Poisson pour V
ou de Laplace dans le vide.