MP1 Semaine 5 : 17 octobre au 4 novembre 2016 Note : les vecteurs sont écrits en caractères gras. Exercices : mouvement de particules dans E et B ÉLECTROSTATIQUE I. CHAMP ÉLECTRIQUE ET POTENTIEL ÉLECTRIQUE I. Distribution de charges Charge électrique, charge ponctuelle, distribution de charges volumique, surfacique, linéique : calcul de la charge totale. La technique de calcul d’intégrales multiples a été présentée. II Champ électrique Définition du champ électrique par son action sur une charge ponctuelle test qT. Principe de superposition. Champ électrique d’une charge ponctuelle à partir de la loi de Coulomb, de N charges ponctuelles. Remarque : tout calcul direct de champ électrique d’une distribution de charges continue par intégration est désormais hors programme. III Potentiel électrique Définition par la relation locale : E = - grad V. Non unicité du potentiel. Potentiel électrique d’une charge ponctuelle, de N charges ponctuelles. Principe de superposition pour V. Relation intégrale entre E et V par la circulation. Interprétation de V : énergie potentielle d’une charge ponctuelle. Surfaces équipotentielles et lignes de champ électrique. Chap 2 THÉOREME DE GAUSS ET ÉQUATIONS LOCALES En question de cours uniquement I Symétries • • Comportement du champ électrique de part et d’autre d’un plan de symétrie πSym. Cas particulier où le point M est sur le plan. Idem pour un plan d’anti-symétrie πAntisym. • • Invariance par translation : cas d’une translation de longueur a. Cas particulier d’invariance complète par toute translation de direction donnée. Invariance par rotation autour d’un axe : cas d’une rotation d’angle α. Cas d’une invariance complète par toute rotation autour d’un même axe. II. Théorème de Gauss Enoncé. Application aux calculs classiques de E : boule uniformément chargée, cylindre infini uniformément chargé, plan infini uniformément chargé (densité surfacique σ. Relations de passage du champ électrique à la traversée d’une surface chargée. (Pas de démonstration : généralisation de ce qui ce passe pour un plan infini). Cas de deux plans chargés +σ et -σ : application au condensateur plan. Calcul de la capacité du condensateur plan. III. Équations locales de l’électrostatique Divergence, rotationnel. Théorèmes d’Ostrogradski et de Stokes. Équations de Maxwell - Gauss et de Maxwell - Faraday. Équations de Poisson et de Laplace pour le potentiel électrique. Johann Carl Friedrich Gauss (1777 à Brunswick - 1855 à Göttingen) est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Il a apporté de très importantes contributions à ces trois domaines et fut surnommé « le prince des mathématiciens ». Il fit surtout des recherches et enseigna peu mais, certains de ses étudiants devinrent d'importants mathématiciens, notamment Riemann. Gauss est né dans une famille pauvre. Sa mère, illettrée, n’a pas enregistré sa date de naissance. En 1792, le duc de Brunswick remarque ses aptitudes et lui accorde une bourse afin de lui permettre de poursuivre son instruction. Il est ainsi envoyé à l’université de Brunswick, puis à celle de Göttingen. Il commence par s’illustrer dans le domaine des mathématiques. Il présente sa thèse de doctorat en 1799 en démontrant le théorème fondamental de l'algèbre qui indique qu'une équation polynômiale de degré n admet en général n racines (éventuellement complexes). Il poursuit ensuite avec des recherches en arithmétique, domaine qu’il n’abandonnera jamais vraiment de toute sa vie. À partir des années 1800, il s’intéresse à l’astronomie et publie plusieurs études et calculs sur les trajectoires et le traitement mathématique des données astronomiques. Il accepte le poste de directeur du nouvel observatoire astronomique de Göttingen en 1807. Il s’intéresse aussi aux géométries noneuclidiennes mais ne publiera jamais ce travail. Il se marie en 1805 avec Johanna Osthoff, mariage d’amour, mais qui fut précocement interrompu par la mort de sa femme en 1809, suivie de près par la mort de l'un de ses enfants. Gauss plonge dans une dépression dont il ne sortira jamais entièrement. Il se remarie néanmoins en 1810 avec Minna Waldeck, une amie de sa première femme. Ses études en astronomie l’amènent à s’intéresser aux instruments d’optique. Il développe sa méthode d'approximation due à Gauss consiste à ne considérer que les rayons faiblement inclinés par rapport à l'axe optique du système. A partir de 1831, il mène une collaboration avec le professeur de physique Wilhelm Weber qui aboutit à des résultats sur le magnétisme, à l'origine de la découverte des lois de Kirchhoff en électricité. C’est lui qui introduit le potentiel électrique et il est également l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell, ainsi que du théorème pour le flux du champ électrique : théorème de Gauss. Gauss meurt dans son sommeil le 23 février 1855 à Göttingen. Après sa mort, douze volumes seront publiés, de 1863 à 1929. En 1898, son petit-fils découvre son journal scientifique, qui couvre la période 1796-1814 et contient 146 énoncés portant sur des questions d'analyse, d'algèbre et de théorie des nombres. QUESTIONS DE COURS : 1) Définition du potentiel. Non unicité. Expression de V pour une charge ponctuelle et pour N charges ponctuelles. 2) Relation intégrale entre E et V. Lien entre V et l’énergie potentielle d’une charge ponctuelle. 3) Démontrer que V décroit le long d’une ligne de champ. Définition d’une surface équipotentielle. Relation entre lignes de champs et surfaces équipotentielles (à démontrer). 4) Définition d’un plan de symétrie. Comportement du champ électrique E de part et d’autre d’un plan de symétrie πSym. Cas particulier où le point M est dans le plan de symétrie. 5) Définition d’un plan d’antisymétrie. Comportement du champ électrique de part et d’autre d’un plan d’antisymétrie πAntiSym. Cas particulier où le point M est dans le plan d’antisymétrie. 6) Théorème de Gauss et calcul de E pour une boule uniformément chargée en volume. 7) Théorème de Gauss et calcul de E pour un cylindre uniformément chargé en volume. Calcul du potentiel. 8) Théorème de Gauss et calcul de E pour un plan uniformément chargé. 9) Le modèle du condensateur plan idéal. Calcul de E en tout point de l’espace à partir du résultat du plan infini. Calcul de la capacité C. 10) Expressions de div a et de rot a en coordonnées cartésiennes 11) Equations locales de Maxwell – Gauss et de Maxwell – Faraday. 12) Définition du laplacien Δf d’un champ scalaire. Equation de Poisson pour V ou de Laplace dans le vide.