les Oraux - Concours Centrale Polytechnique

O
O
r
r
a
a
u
u
x
x
C
C
C
C
P
P
Planche 1 I) Soit
a
∈
ℝ
et
2
n
≥
.
a) Montrer que
(
)
()( ) ( ) ( ) ( ) 2( ( ) ( ))
P X X a P X P a P X P a
φ
′ ′
= − − − − définit un endomorphisme
de
[
]
n
Xℝ
.
b) A l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau de
φ
.
c) Trouver ses éléments propres. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?
II) Résoudre l’équation différentielle
2
x
y y y x
′ ′
′
+ + = +
e
.
I) a) La linéarité est immédiate et sans peine deg( ())
P n
φ
≤
pour
[
]
n
P
X∈
ℝ
.
b) On a
()
0
()
( ) ( )
!
k
n
k
k
P a
PX
X a
k
=
= −
∑
,
()
1
1
()
( ) ( )
(1 ) !
k
n
k
k
P a
PXXa
k
−
=
′= −
−
∑
puis
()()()
2 1 3
()()()
()( ) ( ) 2 ( ) ( 2) ( ) 2 ( )( )
(1 ) ! ! !
k k k
n n n
k k k
k k k
P a P a P a
PXXaX a k X a P a X a
k k k
φ
= = =
′
= − − − = − − − −
−
∑ ∑ ∑
.
ker ( ) 0
P P a
φ
′
∈ ⇔ =
et
()
3 , ( ) 0
k
k n P a
∀ ≤ ≤ =
. Ainsi
2
ker Vect(1,( ))
Xa
φ
= −
.
Im ( ) ( ) 0
P P a P a
φ
′ ′
∈ ⇔ = =
.
[
]
33
I m ( ) Vect( )
n
X a X X a
φ
−
= − + −
ℝ
.
c)
{ }
()()
0 ( )
( ) 2 ( ) ( )
(2) ( ) ( ) pour 2, ,
k k
Pa
P P P a P a
k P a P a k n
λ
φ λ λ
λ
=
 ′ ′
= ⇔ − =
  − = ∈
…
.
Cette équation possède une solution non nulle ssi
0
λ
=
,
2
λ
=−
pour
2
k
λ
=−
avec
{
}
2, ,
k n
∈
…
.
Ai ns i
{
}
Sp( )2,0,1, , 2
n
φ
= − −
…
.
2
( ) Vect( )
E X a
φ
−
= −
,
0
( ) ker
E
φ
φ =,
2
( ) Vect( )
k
k
E X a
φ
−
= −
pour
{
}
3 , ,
k n
∈
…
.
La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut
[
]
dim
n
X ℝ
: l’endomorphisme est diagonalisable.
II) Solution générale
1
22
1 3 3
( ) 2 cos sin
3 2 2
x
x
x x
y x x x λµ
−
= − + + + e e .
Planche 2 I) Soit
u
un endomorphisme de matrice
A
dans une base orthonormale d’un espace euclidien
E
.
Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes
(i)
u
est orthogonal, (ii)
t
n
AA I= et (iii)
A
est inversible et
1
t
A A
−
=
.
II) Soit
n
∈
ℕ
,
2
n
≥
et
f
l’application de
ℝ
dans
ℝ
définie par
1
( ) sin
n
f x x
x
= si
0
x
≠
et
(0) 0
f
=
.
a) Montrer que
f
est dérivable sur
ℝ
.
b)
f
admet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal ?
I) (ii)
⇔
(iii) en vertu du théorème d’inversibilité des matrices carrées.
u
est orthogonal
,,(( )| ( )) ( | )
x y E u x u y x y
⇔ ∀ ∈ =
.
Or
( ( ) | ( )) ( ( ( )) |)
u x u y u u x y
∗
=
donc
u
est orthogonal
,,(( ( )) | ) 0
x y E u u x x y
∗
⇔ ∀ ∈ − =
.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc
u
est orthogonal , ( )
x E u u x x
∗
⇔ ∀ ∈ =
.
Or
t
AA
est la matrice de
u u
∗
donc
u
est orthogonal ssi
t
n
AA I = .
II) a)
f
est évidemment dérivable en tout
a
∗
∈
ℝ
et aussi dérivable en 0 avec
(0) 0
f
′
=
.
b)
f
admet pour DL limité à l’ordre
1
n
−
:
1
( ) ( )
n
f x o x
−
=
.
Si
f
admet un
(0)
n
DL
celui-ci serait de la forme
( ) ( )
n n
f x ax
o x = +
ce qui entraîne que
sin(1 )
x
admet une
limite finie en 0 ce qui est notoirement faux.
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Planche 3 I) Soit
1
( , , )
n
e e
=
B
…
une base orthonormale d’un espace vectoriel
E
de dimension
n
. On note
P
la matrice de
u
, endomorphisme, dans
B
.
Montrer que
u
est orthogonal
t
n
PP I P
⇔ = ⇔
est inversible et
1
t
P P
−
=
.
II) Soit
[
[
: 0,
f
+∞ →
ℝ
décroissante et continue et telle que
0
( )
f x x
+∞
∫
d
converge.
a) Montrer que
f
est positive et que
f
tend vers 0 en
+∞
.
b)
0
h
∀ >
, montrer que
( 1)
0
1 0
( ) ( ) ( )
N h
Nh Nh
n n
h f nh f x x h f nh
−
= =
≤ ≤
∑ ∑
∫d
.
c) Montrer que la série de terme général
( )
f nh
converge puis que
0
0
1
( ) ( )
n
f nh f x x
h
+∞
+∞
=
∑∫
d
∼
quand
0
h
+
→
.
I) La dernière équivalence provient du théorème d’inversibilité des matrices carrées.
u
est orthogonal
, ,( ( ) | ( )) ( | )
x y E u x u y x y
⇔ ∀ ∈ =
.
Or
( ( )| ( )) ( ( ( ))| )
u x u y u u x y
∗
=
donc
u
est orthogonal
, ,( ( ( )) | ) 0
x y E u u x x y
∗
⇔ ∀ ∈ − =
.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc
u
est orthogonal , ( )
x E u u x x
∗
⇔ ∀ ∈ =
.
Or
t
PP
est la matrice de
u u
∗
donc
u
est orthogonal ssi
t
n
PP I
=
.
II) a)
f
admet une limite en
+∞
car elle est décroissante. Cette limite ne peut être infinie ou finie non nulle
donc
f
tend vers 0 en
+∞
et puisqu’elle est décroissante elle est positive.
b)
f
étant décroissante,
( 1)
(( 1) ) ( ) ( )
n h
nh
hf n h f t t hf nh
+
+ ≤ ≤
∫
d . Il suffit de sommer pour
{
}
0, , 1
n N
∈ −
…
.
c)
0 0
1
1 1
( ) ( ) ( )
Nh
Nh
n
f nh f x x f x x
h h
+∞
=
≤ ≤
∑∫ ∫
d d
et
( ) 0
f nh
≥
donc
( )
f nh
∑
converge.
En passant à la limite quand
N
→ +∞
l’encadrement du b) :
0
1 0
( ) ( ) ( )
n n
h f nh f x x h f nh
+∞ +∞
+∞
= =
≤ ≤
∑ ∑
∫d
donc
0 0
0
( ) ( ) ( ) (0)
n
f x x h f nh f x x hf
+∞
+∞ +∞
=
≤ ≤ +
∑
∫ ∫
d d .
A la limite quand
0
h
→
:
0
0
( ) ( )
n
h f nh f x x
+∞
+∞
=
→
∑∫
d
.
Planche 4 I) Etudier la courbe d’équation polaire
2 cos(2 )
ρ θ
=
.
II) Montrer que
( ) arctan(1 )
f x x
= +
est développable en série entière au voisinage de 0 et donner
son rayon de convergence. Calculer cette série entière.
I) Classiquement une lemniscate de Bernoulli.
II)
2 2
1 1
( )
1 (1 ) 2 2
f x
x x x
′= =
+ + + +
est une fraction rationnelle dont 0 n’est pas pôle donc
f
′
puis
f
sont
développables en série entière et les rayons de convergence des séries entières correspondantes sont égaux.
2
1 1 2 1 2 1
Re Im
2 2 1 1 1 1
i i i
x x x i x i x i x i
−
= − = =
+ + + − + + + − + −
.
1
0
1 1 1 ( 1)
1 1 (1 )
11
n
n
n
n
x
x
x i i i
i
+∞
+
=
−
= =
+ − − −
+
−
∑
avec un rayon de convergence
2
R
=
.
Comme
4
1 2
i
i
π
−
− =
e
on a
2 ( 1) 2
0
(3 1)
cos
14
2 2 2
n
n
n
n
x
x x
π
+∞
+
=
+
=
+ +
∑
puis
1
( 1) 2
0
(3 1)
cos 4
( ) 4 ( 1)2
n
n
n
n
f x x
n
π
π
+∞
+
+
=
+
= +
+
∑
avec
2
R
=
.
Planche 5 I) Résoudre sur
]
[
1,
+∞
l’équation différentielle
2
2
1
x
y y x
x
′− =
−
.
II) Montrer que dans
3
ℝ
euclidien :
( ) ( | ) ( | )
a b c a c b a b c
∧ ∧ = −
. (on pourra utiliser les

coordonnées de
, ,
a b c
dans une base où elles comportent un maximum de 0)
Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de
( ) ( )
f x a a x
= ∧ ∧
où
a
est un vecteur unitaire
puis reconnaître
f
.
I) Solution générale
2 2
( ) 1 2( 1)
y x C x x
= − + −
.
II) Soit
u
un vecteur unitaire tel que
Vect
a u
∈
et
v
un vecteur unitaire orthogonal à
v
tel que
Vect( , )
b u v
∈
.
Il suffit ensuite de travailler dans
( , , )
u v u v
∧
.
Soit
0
x
≠
.
( ) ( 1) ( | )
f x x x a x a
λ λ
= ⇔ + =
.
Si
x
est orthogonal à
a
alors
x
est vecteur propre associé à la valeur propre
1
−
.
Sinon
x
est vecteur propre ssi
x
est colinéaire à
a
. Or
( ) 0
f a
=
donc
a
, puis
x
, est vecteur propre associé à
la valeur propre 0.
On reconnaît en
f
l’opposé de la projection orthogonale sur le plan de vecteur normal
a
.
Planche 6 I) Résoudre sur
]
[
1,
+∞
l’équation différentielle
2
2
1
x
y y x
x
′− =
−
.
II) Soit
1
1 1
( , , )
n
n
a a
−
−
∈
… ℂ
.
a) Quel est le rang de
( )
n
A M
∈
ℂ
définie par
1
1
1 1
0 0
0 0
0
n
n
a
Aa
a a
−
−
=
⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯
⋯
?
b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres ?
c)
A
est-elle diagonalisable ?
I) Solution générale
2 2
( ) 1 2( 1)
y x C x x
= − + −
.
II) a)
rg( ) 0
A
=
si
1 1
0
n
a a
−
= = =
…
et
rg( ) 2
A
=
sinon.
b) La somme des valeurs propres est nulle.
c) En développant le déterminant selon la dernière colonne puis en développant les mineurs obtenus selon leur
k
ème
colonne, on obtient
2 2 2 2
1 1
( 1) ( ( ))
n n
A n
X X a a
χ
−
−
= − − + +
⋯
.
Si
2 2
1 1
0
n
a a
−
+ + ≠
⋯
alors
A
admet deux valeurs propres opposées non nulles et 0 pour valeur propre d’espace
propre de dimension
2
n
−
donc
A
est diagonalisable.
Si
2 2
1 1
0
n
a a
−
+ + =
⋯
alors 0 est la seule valeur propre de
A
et
A
est diagonalisable ssi
0
A
=
i.e.
1 1
0
n
a a
−
= = =
…
.
Planche 7 I) Calcul de
2
0
3 1
2
n
n
n n
+∞
=
+ +
∑
.
II) Dessiner
(1 cos )
a
ρ θ
= +
.
I) On évalue
2
23
0
2 1
( 3 1)
( 1)
n
n
x x
n n x
x
+∞
=
− −
+ + =
−
∑
en
1
2
x
=
. On obtient
14
.
II) C’est une cardioïde.
Planche 8 I) Soit , ,
a b c
∈
ℝ
et
00
0
a c
M b c
b a
=
−
.
M
est-elle diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
? dans
3
( )
M
ℂ
?
II) Domaine de définition de
2 2
0
1
( )
k
S t
k t
+∞
=
=
−
∑
.
Calculer les coefficients de Fourier
n
a
et
n
b
de
( ) cos( )
f x x
α
=
définie sur
[
]
,
π π
−
avec
\
α
∈
ℝ ℤ
.
Sur quel domaine
f
coïncide avec son développement en série de Fourier ?
En déduire une expression de
( )
S t
.

I)
2
( )
M
X X ab bc ca
χ
=− − − +
.
Si
ab bc ca
+ >
alors
M
est diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
et a fortiori dans
3
( )
M
ℂ
.
Si
ab bc ca
+ =
alors 0 est seule valeur propre de
M
et donc
M
est diagonalisable ssi
0
M
=
.
Si
ab bc ca
+ <
alors
M
n’est pas diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
mais l’est dans
3
( )
M
ℂ
.
II)
( )
S t
est définie sur
\
ℝ ℤ
.
1
2 2
2 sin
( 1)
( )
n
n
a
n
α απ
π α
−
= −
−
et
0
n
b
=
.
Par le théorème de Dirichlet,
( )
f x
coïncide avec
( )
Sf x
sur
[
]
,
π π
−
car
f
est égale à sa régularisée. Pour
x
π
=
, on obtient :
2 2
1
sin 2 sin
cos
( )
n
n
απ α απ
απ
απ π α
+∞
=
= −
−
∑
donc
2 2 2
1
1 1 cot
2 2
n
n
π απ
α α α
+∞
=
= −
−
∑
puis
2
1 cot
( )
2 2
S t
π απ
α α
=− − .
Planche 9 I) Soit , ,
a b c
∈
ℝ
et
00
0
a c
M b c
b a
=
−
.
M
est-elle diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
? dans
3
( )
M
ℂ
?
II) Soit
f
de classe
2
C
sur
[
[
0,
+∞
telle que
f
′′
est intégrable sur
[
[
0,
+∞
et telle que l’intégrale
0
( )
f t t
+∞
∫
d
soit convergente.
a) Montrer que
lim ( ) 0
x
f x
→+∞
′
=
et
lim ( ) 0
x
f x
→+∞
=
.
b) Etudier les séries
( )
f n
∑
et
( )
f n
′
∑
.
I)
2
( )
M
X X ab bc ca
χ
=− − − +
.
Si
ab bc ca
+ >
alors
M
est diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
et a fortiori dans
3
( )
M
ℂ
.
Si
ab bc ca
+ =
alors 0 est seule valeur propre de
M
et donc
M
est diagonalisable ssi
0
M
=
.
Si
ab bc ca
+ <
alors
M
n’est pas diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
mais l’est dans
3
( )
M
ℂ
.
II) a)
0
( ) (0) ( )
x
f x f f t t
′ ′ ′′
= +
∫
d
admet une limite finie
ℓ
quand
x
→ +∞
.
Si
0
>
ℓ
alors pour
x
assez grand
( ) 2
f x
′
≥
ℓ
puis ( ) 2
f x x m
≥ +
ℓ
ce qui empêche la convergence de
0
( )
f t t
+∞
∫
d
.
Si
0
<
ℓ
on obtient aussi une absurdité. Il reste donc
0
=
ℓ
.
Posons
0
( ) ( )
x
F x f t t
=
∫
d
.
Par l’égalité de Taylor avec reste intégral :
2
1
1 ( 1 )
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x
x
x t
F x F x f x f x f t t
+
+ −
′ ′′
+ = + + +
∫
d
.
Quand
x
→ +∞
,
0
( ), ( 1) ( )
F x F x f t t
+∞
+ →
∫
d
,
( ) 0
f x
′
→
et
2
1 1
( 1 ) 1
( ) ( ) 0
2 2
x x
x x
x t f t t f t t
+ +
+ −
′′ ′′
≤ →
∫ ∫
d d
donc
( ) 0
f x
→
.
b)
1
( 1) ( ) ( ) (( 1) ) ( )
n
n
f n f n f n n t f t t
+
′ ′′
+ = + + + −
∫
d
donne
1
( ) ( 1) ( ) ( 1 ) ( )
n
n
f n f n f n n t f t t
+
′ ′′
= + − + + −
∫
d
.
La série de terme général
( 1) ( )
f n f n
+ −
est CV car
f
converge en
+∞
.
La série de terme général
1
( 1 ) ( )
n
n
n t f t t
+
′′
+ −
∫
d
est ACV car
1 1
( 1 ) ( ) ( )
n n
n n
n t f t t f t t
+ +
′′ ′′
+ − ≤
∫ ∫
d d
.
Par conséquent
( )
f n
′
∑
est CV.
Aussi
2
1
1 ( 1 )
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
n
n
n t
F n F n f n f n f t t
+
+ −
′ ′′
+ = + + +
∫
d
permet de mener le même raisonnement et
conclure que
( )
f n
∑
CV.

Planche 10 I) Soit , ,
a b c
∈
ℝ
et
00
0
a c
M b c
b a
=
−
.
M
est-elle diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
? dans
3
( )
M
ℂ
?
II) a) Etudier les branches infinies, les variations, la convexité et représenter
1
( ) lnf t t t
t
= − −
.
b) Résoudre
( ) 0
f t
=
.
c) Trouver les extremums globaux et locaux de
( , ) ln ln
g x y x y y x
= −
.
I)
2
( )
M
X X ab bc ca
χ
=− − − +
.
Si
ab bc ca
+ >
alors
M
est diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
et a fortiori dans
3
( )
M
ℂ
.
Si
ab bc ca
+ =
alors 0 est seule valeur propre de
M
et donc
M
est diagonalisable ssi
0
M
=
.
Si
ab bc ca
+ <
alors
M
n’est pas diagonalisable dans
3
( )
M
ℝ
mais l’est dans
3
( )
M
ℂ
.
II) a)
f
est définie sur
]
[
0,
+∞
, strictement croissante, concave sur
]
]
0,2
et convexe sur
[
[
2,
+∞
. Asymptote
verticale en 0 et branche parabolique de direction
y x
=
en
+∞
.
b)
1
t
=
est seule solution.
c)
g
est de classe
1
C
. Recherchons, ces points critiques :
{
0
( , ) 0 ln 0
( , ) 0 ln 0 ln 0
x
g y f
x y y
x y
y
x x
g x x
x
x y x x
y y y
∂
  =
= − = 
=
∂
⇔ ⇔ ⇔
∂
=
= − = − =
∂
e
.
On conclut que
( , )
e e
est le seul point critique.
Avec les notations de Monge :
1
r
=
e
,
0
s
=
et
1
t
=−
e
.
2
0
rt s
− <
.
Le point critique
( , )
e e
n’est pas extremum local.
Planche 11 I) Soit
, ( )
n
A B GL
∈
ℂ
telles que
p
B A
=
.
Montrer que
A
est diagonalisable ssi
B
l’est.
II)
f
2
π
-périodique définie par ( )
f t t
=
sur
]
[
,
π π
−
et
( ) 0
f
π
− =
. Former le développement en
séries de Fourier de
f
.
I) Si
A
est diagonalisable il est immédiat que
B
l’est aussi.
Inversement, si
B
est diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de
B
scindé à racines simple :
1
( )
m
k
k
X
λ
=
−
∏
.
Puisque
p
B A
=
, le polynôme
1
( )
m
p
k
k
X
λ
=
−
∏
est annulateur de
A
, or ce dernier est scindé à racines simples,
donc
A
est diagonalisable.
II)
f
est
1
C
par morceaux et régularisée donc développable en série de Fourier.
f
est impaire,
0
n
a
=
,
1
0
2 ( 1) 2
sin( ) n
n
b t nt t
n
π
π
+
−
= =
∫
d puis
1
1
( 1)
( ) 2 sin( )
n
n
f t nt
n
+
+∞
=
−
=∑ .
Planche 12 I) Soit
0
A A
B
A
= où
( )
n
A M
∈
ℝ
.
a) Montrer que
[
]
P X
∀ ∈
ℝ
,
( ) ( )
( )
0 ( )
P A AP A
P B P A
′
= .
b) Montrer que si
B
est diagonalisable,
A
l’est aussi et
0
A
=
.
c) En déduire une CNS pour que
B
soit diagonalisable.
II) a) Etudier, en redémontrer tous les résultats,
n
z
∑
avec
z
∈
ℂ
.
b) Etudier la convergence simple de la série des fonctions ( )
nx
n
f x
−
=
e
.