DERNIÈRE IMPRESSION LE 1er août 2013 à 12:23 Chapitre 6 Quelques mouvements particuliers Table des matières 1 Mouvement d’un projectile 1.1 Énoncé du problème . . 1.2 Équations horaires . . . 1.3 Équation de la trajectoire 1.4 Calcul de la portée . . . 1.5 Calcul de la flèche . . . . . . . . . 2 2 2 2 3 3 2 Mouvement d’une charge 2.1 Énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Équations horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Équation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 PAUL MILAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S 1 MOUVEMENT D’UN PROJECTILE 1 Mouvement d’un projectile 1.1 Énoncé du problème On lance un ballon de foot avec un angle α par rapport à l’horizontale avec une vitesse initiale v0 . On peut alors faire le schéma suivant : F b M(t) y(t) b v0 v0 sin α − → P h α b v0 cos α O I x (t) A 1.2 Équations horaires Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen car correspondant aux conditions de laboratoire. On considére le repère Oxy, plan correspondant au mouvement : Ox correspondant à l’horizontale et Oy à la verticale. La seule force extérieure au système (le ballon de foot) est le poids. − → D’après le PFD, on a : P = m~a ⇔ m~g = m~a ⇔ ~a = ~g On intègre deux fois le vecteur accélération, que l’on projette sur les deux axes, pour obtenir les équations horaires du système : ~a 0 −g ⇒ ~v v0 cos α − gt + v0 sin α ⇒ −−→ OM v0 cos α t 1 − gt2 + v0 sin α t 2 On obtient alors les équations horaires du mouvement suivantes : x (t) = v0 cos α t (1) 1 y(t) = − gt2 + v0 sin α t 2 (2) 1.3 Équation de la trajectoire Pour obtenir l’équation de la trajectoire, il faut isoler t dans l’équation horaire (1) puis le remplacer dans l’équation horaire (2) : x De (1), on a : t = v0 cos α 2 1 x x On remplace dans (2) : y = − g + v0 sin α 2 v0 cos α v0 cos α PAUL MILAN 2 P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S 1.4 C ALCUL DE LA PORTÉE On obtient l’équation de la trajectoire suivante : y= −g 2v20 cos2 α x2 + tan α x 1.4 Calcul de la portée La trajectoire est donc une parabole. Pour déterminer la portée, il faut déterminer la distance OA, c’est à dire la distance xA où le ballon retombe sur le sol soit pour y = 0. D’après l’équation de la trajectoire, on a : −g x2 + tan α x = 0 2 2v0 cos2 α ⇔ x −g x + tan α 2 2v0 cos2 α ! =0 La solution xA étant la solution non nulle, on a : −g xA + tan α = 0 2v20 cos2 α 2v2 cos2 α tan α xA = 0 g 2v2 cos α sin α xA = 0 g D’après les formules de duplication : sin 2α = 2 sin α cos α, on a : OA = xA = v20 sin 2α 2g Remarque : Pour déterminer la portée maximale, on doit avoir sin 2α = 1 qui π correspond à α = 4 1.5 Calcul de la flèche La flèche correspond à la hauteur maximale atteinte par le ballon. Sur notre schéma la flèche correspond à la hauteur h atteinte pour l’abscisse OI. a) Première méthode : symétrie de la parabole v20 sin 2α OA = D’après la symétrie de la parabole, on a : OI = 2 2g On en déduit alors : h= = PAUL MILAN −g 2v20 cos2 α OI2 + tan α OI v40 sin2 2α v20 sin 2α −g × + tan α × 2g 4g2 2v20 cos2 α =− v20 (2 sin α cos α) v20 (2 sin α cos α)2 sin α × + cos α 2g 8g cos2 α =− 4v20 sin2 α cos2 α v20 sin2 α + g 8g cos2 α 3 P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S 2 MOUVEMENT D’UNE CHARGE v20 sin2 α v20 sin2 α h=− + 2g g v20 sin2 α = 2g b) Deuxième méthode : tangente horizontale La flèche est obtenue lorsque la vitesse est horizontale soit quand vy = 0 On a alors : − gt + v0 sin α = 0 t= ⇔ v0 sin α g On remplace alors dans l’équation horaire de y(t), on obtient : 1 h=− × 2 v0 sin α g 2 + v0 sin α × v0 sin α g v20 sin2 α v20 sin2 α =− + 2g g v20 sin2 α = 2g 2 Mouvement d’une charge à l’intérieur d’un champs électrostatique 2.1 Énoncé du problème On considére une particule chargée en O de vitesse initiale v0 à l’intérieur d’un condensateur. On peut alors faire le schéma suivant : On note : − → • E : le champ électrostatique uniforme à l’intérieur du condensateur. UPN = VP − V N > 0 + – y + – M(t) + – − → + F – q<0 + – + – − → + – v0 + v0 sin α – q>0 + – − → + M(t) F – x + – v cos α O 0 + – + – + – − → E + – • UPN 1 : la différence de potentiel entre les deux plaques b • q : la particule chargée en mouvement − → − → • F = q E : la force élétrostatique Le poids P est négligeable devant la force électrostatique F (P/F ≃ 10−8 ) b b Le schéma ci-contre montre la trajectoire de la particule suivant le signe de la charge. On considère le repère Oxy 1. B La notation de la différence de potentiel est l’inverse de la notation vectorielle. PAUL MILAN 4 P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S 2.2 É QUATIONS HORAIRES Le référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen car correspondant aux conditions de laboratoire 2.2 Équations horaires Comme le poids est négligeable devant la force électrostatique, d’après le PFD, on a : − → − → → q− F = m~a ⇔ q E = m~a ⇔ ~a = E m On intègre deux fois le vecteur accélération, que l’on projette sur les deux axes, pour obtenir les équations horaire du système (la particule chargée) : ~a qE m 0 ⇒ ~v qE t + v0 cos α m v0 sin α ⇒ −−→ OM qE 2 t + v0 cos α t 2m v0 sin α t On obtient alors les équations horaires du mouvement suivantes : qE 2 t + v0 cos α t 2m y(t) = v0 sin α t (2) x (t) = (1) π Remarque : Dans le cas particulier où α = , on obtient les équations horaires 2 suivantes : qE 2 x (t) = t 2m y ( t ) = v0 t 2.3 Équation de la trajectoire Pour obtenir l’équation de la trajectoire, il faut isoler t dans l’équation horaire (2) puis le remplacer dans l’équation (1) : y De (2), on a : t = v0 sin α 2 qE y y On remplace dans (1) : x = + v0 cos α 2m v0 sin α v0 sin α On obtient l’équation de la trajectoire suivante : x= qE 2mv20 sin2 α y2 + y tan α On obtient alors une parabole d’axe parallèle à l’axe Ox. π Remarque : Dans le cas particulier où α = , on a alors comme équation de la 2 trajectoire : qE 2 x= y 2mv20 PAUL MILAN 5 P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S
