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06 cours quelques mvt particuliers

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DERNIÈRE IMPRESSION LE
1er août 2013 à 12:23
Chapitre 6
Quelques mouvements particuliers
Table des matières
1 Mouvement d’un projectile
1.1 Énoncé du problème . .
1.2 Équations horaires . . .
1.3 Équation de la trajectoire
1.4 Calcul de la portée . . .
1.5 Calcul de la flèche . . . .
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2
2
2
2
3
3
2 Mouvement d’une charge
2.1 Énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Équations horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Équation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
PAUL MILAN
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1
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P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S
1
MOUVEMENT D’UN PROJECTILE
1 Mouvement d’un projectile
1.1 Énoncé du problème
On lance un ballon de foot avec un angle α par rapport à l’horizontale avec une
vitesse initiale v0 .
On peut alors faire le schéma suivant :
F
b
M(t)
y(t)
b
v0
v0 sin α
−
→
P
h
α
b
v0 cos α
O
I
x (t)
A
1.2 Équations horaires
Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen car correspondant aux
conditions de laboratoire.
On considére le repère Oxy, plan correspondant au mouvement : Ox correspondant à l’horizontale et Oy à la verticale.
La seule force extérieure au système (le ballon de foot) est le poids.
−
→
D’après le PFD, on a : P = m~a ⇔ m~g = m~a ⇔ ~a = ~g
On intègre deux fois le vecteur accélération, que l’on projette sur les deux axes,
pour obtenir les équations horaires du système :
~a
0
−g
⇒
~v
v0 cos α
− gt + v0 sin α
⇒
−−→
OM
v0 cos α t
1
− gt2 + v0 sin α t
2
On obtient alors les équations horaires du mouvement suivantes :
x (t) = v0 cos α t (1)
1
y(t) = − gt2 + v0 sin α t
2
(2)
1.3 Équation de la trajectoire
Pour obtenir l’équation de la trajectoire, il faut isoler t dans l’équation horaire (1)
puis le remplacer dans l’équation horaire (2) :
x
De (1), on a : t =
v0 cos α
2
1
x
x
On remplace dans (2) : y = − g
+ v0 sin α
2
v0 cos α
v0 cos α
PAUL MILAN
2
P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S
1.4
C ALCUL DE LA PORTÉE
On obtient l’équation de la trajectoire suivante :
y=
−g
2v20 cos2 α
x2 + tan α x
1.4 Calcul de la portée
La trajectoire est donc une parabole. Pour déterminer la portée, il faut déterminer
la distance OA, c’est à dire la distance xA où le ballon retombe sur le sol soit pour
y = 0.
D’après l’équation de la trajectoire, on a :
−g
x2 + tan α x = 0
2
2v0 cos2 α
⇔
x
−g
x + tan α
2
2v0 cos2 α
!
=0
La solution xA étant la solution non nulle, on a :
−g
xA + tan α = 0
2v20 cos2 α
2v2 cos2 α tan α
xA = 0
g
2v2 cos α sin α
xA = 0
g
D’après les formules de duplication : sin 2α = 2 sin α cos α, on a :
OA = xA =
v20 sin 2α
2g
Remarque : Pour déterminer la portée maximale, on doit avoir sin 2α = 1 qui
π
correspond à α =
4
1.5 Calcul de la flèche
La flèche correspond à la hauteur maximale atteinte par le ballon. Sur notre schéma
la flèche correspond à la hauteur h atteinte pour l’abscisse OI.
a) Première méthode : symétrie de la parabole
v20 sin 2α
OA
=
D’après la symétrie de la parabole, on a : OI =
2
2g
On en déduit alors :
h=
=
PAUL MILAN
−g
2v20 cos2 α
OI2 + tan α OI
v40 sin2 2α
v20 sin 2α
−g
×
+
tan
α
×
2g
4g2
2v20 cos2 α
=−
v20 (2 sin α cos α)
v20 (2 sin α cos α)2
sin α
×
+
cos α
2g
8g cos2 α
=−
4v20 sin2 α cos2 α v20 sin2 α
+
g
8g cos2 α
3
P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S
2
MOUVEMENT D’UNE CHARGE
v20 sin2 α v20 sin2 α
h=−
+
2g
g
v20 sin2 α
=
2g
b) Deuxième méthode : tangente horizontale
La flèche est obtenue lorsque la vitesse est horizontale soit quand vy = 0
On a alors : − gt + v0 sin α = 0
t=
⇔
v0 sin α
g
On remplace alors dans l’équation horaire de y(t), on obtient :
1
h=− ×
2
v0 sin α
g
2
+ v0 sin α ×
v0 sin α
g
v20 sin2 α v20 sin2 α
=−
+
2g
g
v20 sin2 α
=
2g
2 Mouvement d’une charge à l’intérieur d’un champs
électrostatique
2.1 Énoncé du problème
On considére une particule chargée en O de vitesse initiale v0 à l’intérieur d’un
condensateur. On peut alors faire le schéma suivant :
On note :
−
→
• E : le champ électrostatique uniforme à l’intérieur du condensateur.
UPN = VP − V N > 0
+
–
y
+
–
M(t)
+
–
−
→
+ F
–
q<0
+
–
+
–
−
→
+
–
v0
+ v0 sin α
–
q>0
+
–
−
→
+
M(t) F –
x
+
–
v
cos
α
O
0
+
–
+
–
+
–
−
→
E
+
–
• UPN 1 : la différence de potentiel entre
les deux plaques
b
• q : la particule chargée en mouvement
−
→
−
→
• F = q E : la force élétrostatique
Le poids P est négligeable devant la
force électrostatique F (P/F ≃ 10−8 )
b
b
Le schéma ci-contre montre la trajectoire de la particule suivant le signe de
la charge.
On considère le repère Oxy
1. B La notation de la différence de potentiel est l’inverse de la notation vectorielle.
PAUL MILAN
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P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S
2.2
É QUATIONS HORAIRES
Le référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen car correspondant aux
conditions de laboratoire
2.2 Équations horaires
Comme le poids est négligeable devant la force électrostatique, d’après le PFD,
on a :
−
→
−
→
→
q−
F = m~a ⇔ q E = m~a ⇔ ~a = E
m
On intègre deux fois le vecteur accélération, que l’on projette sur les deux axes,
pour obtenir les équations horaire du système (la particule chargée) :
~a
qE
m
0
⇒
~v
qE
t + v0 cos α
m
v0 sin α
⇒
−−→
OM
qE 2
t + v0 cos α t
2m
v0 sin α t
On obtient alors les équations horaires du mouvement suivantes :
qE 2
t + v0 cos α t
2m
y(t) = v0 sin α t (2)
x (t) =
(1)
π
Remarque : Dans le cas particulier où α = , on obtient les équations horaires
2
suivantes :
qE 2
x (t) =
t
2m
y ( t ) = v0 t
2.3 Équation de la trajectoire
Pour obtenir l’équation de la trajectoire, il faut isoler t dans l’équation horaire (2)
puis le remplacer dans l’équation (1) :
y
De (2), on a : t =
v0 sin α
2
qE
y
y
On remplace dans (1) : x =
+ v0 cos α
2m v0 sin α
v0 sin α
On obtient l’équation de la trajectoire suivante :
x=
qE
2mv20 sin2 α
y2 +
y
tan α
On obtient alors une parabole d’axe parallèle à l’axe Ox.
π
Remarque : Dans le cas particulier où α = , on a alors comme équation de la
2
trajectoire :
qE 2
x=
y
2mv20
PAUL MILAN
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P HYSIQUE - CHIMIE . T ERMINALE S
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