Régime sinusoïdal - Introduction
18/05/2014
Circuits électriques-Régime sinusoïdal
•
Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la résolution
des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal
permanent;
•
Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E)
•
Modes d’évaluation : examen final (écrit )
•
Débouchés de ce cours : Fait partie des pré-requis pour les cours relatifs à
l’électronique et à l'électrotechnique
•
Volume horaire : 9h CM, 9h TD
•
Enseignant : Dr N’GUESSAN Alexandre
•
Bibliographie :
– Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku)
1
Circuits électriques-Régime sinusoïdal
Résultats attendus
A la fin de ce cours, l’étudiant devrait, au moins, savoir :
• Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel et
inversement
• Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer
les grandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal
permanent
• Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique
• Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique
• Déterminer la fréquence de résonance d’un circuit
• Fournir la fonction de transfert et tracer le diagramme de
Bode d’un circuit à fréquence variable
2
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1
Régime sinusoïdal - Introduction
18/05/2014
Circuits électriques-Régime sinusoïdal
Programme
• Chapitre 1 : Sinusoïdes et phaseurs
• Chapitre 2 : Puissance électrique
• Chapitre 3 : Réponse fréquentielle
3
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2
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
v(t ) = Vm sin(wt )
- Vm : l’amplitude de la sinusoïde
- w : la pulsation (en radians/seconde)
- wt : l’argument
- T=
2P
w
- f
: la période de la sinusoïde (en sec)--> v(t + T ) = v(t )
: la fréquence (en Hertz)
f =
1
T
1
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
v(t ) = Vm sin(wt + f)
(wt + f) est l’argument (radians ou degrés)
f est la phase (radians ou degrés)
Soit :
Soient
v1 (t ) = Vm sin(wt + f1 )
v2 (t ) = Vm sin(wt + f2 )
f = f2 - f1
f = 0 --> v1
f ¹ 0 --> v1
et v2 sont en phase
et v2 ne sont pas en phase
2
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1
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
Comparaison :
• Même fréquence.
• Pas obligation de même amplitude
• Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus)
3
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Passage sinus-cosinus
sin(wt ± 180°) = - sin wt
sin(wt ± 90°) = ± cos wt
cos(wt ± 180°) = - cos wt
cos(wt ± 90°) = m sin wt
4
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Addition graphique de deux sinusoïdes de même fréquence
A cos wt + B sin wt = C cos(wt - q)
3 cos wt - 4 sin wt = 5 cos(wt + 53.1°)
Important : ne pas confondre les axes des sinus et cosinus avec ceux des
angles complexes
5
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Soit
v(t ) = Vm cos(wt + f)
(
v(t ) = Vm cos(wt + f) = Re Vme j(wt +f )
ou
(
v(t ) = Re Vme jfe jwt
(
)
)
)
D’où
v(t ) = Re Ve jwt
Avec
V = Vme jf = VmÐf
V est la représentation phasorielle de la sinusoïde
6
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3
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Les formes sinusoïdales peuvent être facilement exprimées sous forme
des phaseurs qui sont plus aisées à utiliser que les sinus et les cosinus.
Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude
et la phase d’une sinusoïde
Les phaseurs fournissent des outils simples pour l’analyse des circuits
linéaires excités par des sources sinusoïdales ; les solutions de tels
circuits seraient très difficiles à obtenir autrement.
v(t ) = Vm cos(wt + f)
Û
(représentation
Temporelle)
V = Vm Ðf
(représentation
phasorielle)
7
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Un phaseur est une représentation complexe de l’amplitude et de la phase
d’une sinusoïde
8
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4
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
•Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être
exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle.
•Le phaseur ayant une amplitude et une phase (direction), il se comporte
donc comme un vecteur.
9
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Expression d’un nombre complexe :
• Forme rectangulaire z = x + jy
• Forme polaire
z = rÐf
z = re jf
Relation entre forme rectangulaire et forme polaire :
• Forme exponentielle
z = x + jy = rÐf = r(cos f + j sin f)
r=
x 2 + y2
x = r cos f
f = tan -1
y
x
y = r sin f
10
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Opérations sur les nombres complexes :
z1 = x1 + jy1 = r1Ðf1
•Addition :
•Soustraction :
•Multiplication :
•Division :
z 2 = x 2 + jy 2 = r2Ðf2
z1 + z 2 = (x1 + x 2 ) + j(y1 + y2 )
z1 - z 2 = (x1 - x 2 ) + j(y1 - y2 )
z1 z 2 = r1r2Ðf1 + f2
z1
r
= 1 Ðf1 - f 2
z2
r2
11
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
Résistance R
•Forme temporelle :
i = I m cos(wt + f)
v = iR = RI mcos(ωt + φ)
•Forme phasorielle
I = I m Ðf
V = RI
La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le
domaine phasoriel
12
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6
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Résistance R
Le courant et la tension sont
en phase
13
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
Inductance L
•Forme temporelle :
i = I m cos(wt + f)
di
= -wLI m sin (wt + f)
dt
v = wLI m cos(wt + f + 90°)
v=L
- sin A = cos( A + 90°)
•Forme phasorielle
I = I m Ðf
V = ωLI me j(φ+90° ) = ωLI me jφe j90° = e j90° × ωLI mÐφ
e j90° = j
V = jwLI
14
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Inductance L
Diagramme phasoriel d’une
inductance : le courant I est en retard
de phase sur V
15
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
•Condensateur C
•Forme temporelle :
v = Vm cos(wt + f)
i=C
dv
= -wCV sin (wt + f)
dt
i = wCV cos(wt + f + 90°)
soit
•Forme phasorielle
V = Vm Ðf
e j90° = j
I = wCVme j(f+90° ) = wCVme jfe j90° = e j90° × wCVmÐf
I = jwCV
V=
I
jwC
16
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Condensateur C
Diagramme phasoriel d’un
condensateur : le courant I est en
avance de phase sur V
17
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
Tableau récapitulatif
18
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9
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
L’impédance Z d’un circuit est le rapport entre le phaseur V et le
phaseur I , mesuré en ohms (Ω)
V = ZI
ou
Z=
V
I
(L’admittance Y est l’inverse
de l’impédance)
19
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
On a
Z = R + jX : l’impédance (en Ohms)
Avec
X = Lw -
1
Cw
R = Re(Z) : la résistance (en Ohms)
X = Im(Z) : la réactance (en Ohms)
X positif
X négatif
X nulle
Impédance inductive
Impédance capacitive
Impédance résistive
(Lw f 1 Cw)
(Lw p 1 Cw)
(Lw = 1 Cw)
Forme phasorielle : Z = Z Ðq
Avec
Z = R2 + X 2
et
q = tan -1
X
R
20
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10
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
Y = G + jB
On a
Avec
: l’admittance (Siemens)
G = Re(Y ) : la conductance (en Siemens)
B = Im(Y ) : la susceptance (en Siemens)
Passage Impédance – Admittance
1 I
Y= =
Z V
G=
R
R + X2
B=-
2
X
R + X2
2
1
Remarque : si X ¹ 0 alors G ¹
R
21
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Impédances en série
Zeq = Z1 + Z2 + ... + Zn
Impédances en parallèle
1
I 1 1
1
= Y eq = = + + ... +
Zn
V Z1 Z2
Zeq
= Y1 + Y 2 + ... + Y n
pour n=2
Z eq =
Z ×Z
1
= 1 2
1/ Z 1 + 1/ Z 2 Z 1 + Z 2
22
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11
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Pont diviseur de tension
V1 =
Z1
×V
Z1 + Z2
V2 =
Z2
×V
Z1 + Z 2
I1 =
Z2
×I
Z1 + Z 2
I2 =
Z1
×I
Z1 + Z2
Pont diviseur de courant
23
Conversion étoile-triangle
Conversion triangle-étoile
Z × Z + Z2 × Z3 + Z3 × Z1
Za = 1 2
Z1
Z1 =
Z b × Zc
Za + Z b + Zc
Zb =
Z1 × Z2 + Z2 × Z3 + Z3 × Z1
Z2
Z2 =
Zc × Za
Za + Z b + Zc
Zc =
Z1 × Z2 + Z2 × Z3 + Z3 × Z1
Z3
Z3 =
Za × Z b
Za + Z b + Zc
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24
12
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Loi des noeuds
La somme algébrique des courants circulant
dans les branches adjacentes à un nœud est nulle.
On peut aussi dire que la somme algébrique des k
courants entrants dans un nœud est égale à la
somme des l courants sortants.
åI
k
=
k
¾¾® ·
åI
l
l
·¾
¾®
Exemple :
I1 - I 2 + I3 - I 4 = 0
ou
I1 + I3 = I 2 + I 4
25
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Loi des mailles
La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille
dans le sens prédéfini est nulle.
å (± )V
k
ì+ si V k est dans le sens de p arcours
= 0í
î- si V k est dans le sens contraire
Exemple :
E1 - U1 + U2 - E 2 = 0
26
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13
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de
branche) d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme
algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par
chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints).
Remarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs
intervenant dans le réseau.
27
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
Exemple :
Montage global
I1 = Ia + I b
=
Z1 E 2 + Z2 E1
Z1 Z2 + Z × Z1 + Z × Z2
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Montage 1
Ia =
E1 (Z2 + Z)
Z1 Z2 + ZZ1 + ZZ2
Montage 2
Ib =
Z1 E 2
Z1 Z2 + ZZ1 + ZZ2
28
14
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un
générateur indépendant de tension parfait E 0 en série avec le dipôle
composé Z0
E 0 représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un
circuit ouvert (tension à vide).
Z 0 est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources
indépendantes sont éteintes.
29
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Sans charge, on a une tension :
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Z0 =
E0 =
Z1 Z2
Z1 + Z2
Z1 E 2 + Z2 E1
Z1 + Z2
30
15
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source
indépendante de courant réelle I 0 en parallèle avec un dipôle composé
d’admittance Y 0 .
I 0 est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau
débite dans un court-circuit.
Y 0 est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes
(comme pour Thévenin).
31
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Z0 =
Z1 Z2
Z1 + Z2
Sans charge, on a un générateur de courant :
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I0 =
E1 - E 2
Z1 + Z2
32
16
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Equivalent Norton-Thevenin
On peut passer de Thevenin à Norton et inversement
33
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Millman
Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune
un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la
tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces
électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la
branche, le tout divisé par la somme des admittances
n
åY E
i
V=
i
i =1
n
åY
i
i =1
34
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17
Chapitre 2 – Puissance électrique
18/05/2014
Chapitre 2
Puissance électrique
1
1. Puissance électrique
1 Puissance instantanée
i(t)
Source
sinusoïdale
v(t ) = Vm cos(wt + q v )
v(t)
Eléments
passifs
i(t ) = I m cos(wt + q i )
p(t ) = v(t )i(t )
p(t ) = v(t )i(t ) = Vm I m cos(wt + q v ) cos(wt + q i )
p(t ) =
1
1
Vm I m cos(q v - q i ) + Vm I m cos(2wt + q v + q i )
2
2
2
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1
Chapitre 2 – Puissance électrique
18/05/2014
1. Puissance électrique
1 Puissance instantanée
Puissance instantanée = somme d’un terme constant et d’un terme fluctuant à
fréquence double. Ce dernier a une valeur moyenne nulle. La puissance
moyenne absorbée se réduit donc au premier terme.
3
1. Puissance électrique
2. Valeur efficace
La valeur efficace d’un courant périodique est le courant continu qui produit la
même puissance consommée par effet joule que ce courant périodique lorsqu’il
traverse une résistance.
(a) sinusoïdal
( (b) continu
(b) Circuit conti
4
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2
Chapitre 2 – Puissance électrique
18/05/2014
1. Puissance électrique
Valeur efficace
Valeur efficace d’un signal périodique :
X eff =
1 T 2
ò x dt
T 0
Valeur efficace du courant (sinusoïdal) :
I eff =
I 2m
1 T 2
2
I
cos
tdt
w
==
m
T
T ò0
I
1
ò 2 (1 + cos 2wt )dt = 2
T
m
0
De même, la valeur efficace de la tension est :
Veff =
Vm
2
Notation : Les valeurs instantanées seront notées en minuscule (ex : i(t), p(t)).
Pour les courant et les tensions, on notera V et I à la place de Veff et I eff
Rem : Lorsqu’un courant sinusoïdal ou une tension sinusoïdale est spécifié, c’est
très souvent en terme de sa valeur efficace. Par exemple, la tension domestique
de 220 V est la valeur efficace de la tension délivrée par la CIE.
5
1. Puissance électrique
3. Puissances et facteur de puissance
V = VmÐqv
I = I mÐqi
Puissance fluctuante (partie variable de p(t) :
SI (W ) = VI cos(2wt + qv + qi )
Puissance active : P = VI cos(qv - qi )
Puissance réactive : Q = VI sin (qv - qi )
Puissance apparente : S = VI
Facteur de puissance : cos(qv - qi )
Angle du facteur de puissance : q v - qi
6
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3
Chapitre 2 – Puissance électrique
18/05/2014
1. Puissance électrique
3. Puissances et facteur de puissance
L’angle du facteur de puissance est aussi égal à l’angle d’impédance de charge.
V = VÐqv
I = IÐqi
Z=
V VÐqv V
= Ðqv - qi
=
I
IÐqi
I
Remarques
0 £ Facteur de puissance £ 1
•
• Charge purement résistive :
fv - fi = 0 Þ cos(fv - fi ) = 1 Þ Q = 0
• Charge purement réactive : fv - fi = ±90° Þ cos(fv - fi ) = 0 Þ P = 0
FP en arrière
FP en avant
•
•
ccourant en retard sur tension
courant
en avant sur tension
co
ccharge inductive
charge capacitive
cha
7
1. Puissance électrique
4. Puissance complexe
I
V = VÐqv
I = IÐqi
V
*
S = V × I = VIÐqv - qi
S = VI cos(qv - qi ) + jVI sin (qv - qi )
Z
S = P + jQ
•
•
•
Q=0 pour une charge résistive (facteur de puissance =1)
Q<0 pour une charge capacitive (facteur de puissance en avance)
Q>0 pour une charge inductive (facteur de puissance en retard)
Triangle des puissances
Triangle des impédances
8
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4
Chapitre 2 – Puissance électrique
18/05/2014
1. Puissance électrique
4. Puissance complexe
S dans le 1er cadrant
charge inductive
S dans le 2ème cadrant
charge capacitive
9
1. Puissance électrique
5. Tableau récapitulatif
Puissance
active
Puissance
réactive
P = UI cos j
Q = UI sin j
Puissance
apparente
Facteur de
puissance
S = UI
cos j =
R
Z
=
P
S
= RI 2
= XI2
= ZI2
U2
=
R
*
= Re U × I
U2
=
X
*
= Im U × I
U2
=
Z
{ }
{ }
= U×I
*
10
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5
Chapitre 2 – Puissance électrique
18/05/2014
1. Puissance électrique
6. Théorème de Boucherot
I = I1 + I 2
(
)
S = VI = V I1 + I 2 = VI1 + VI 2 = S1 + S2
*
*
*
*
*
Si les charges étaient en série, on aurait :
V = V1 + V 2
S = VI = (V1 + V2 )I = V1 I + V2 I = S1 + S2
*
*
*
*
Quelque soit la manière dont les charges sont connectées
(série ou parallèle), la puissance complexe apparente totale délivrée par source
est égale à la somme des puissances complexes apparentes consommées par
les charges
11
1. Puissance électrique
6. Théorème de Boucherot
Soit une source alimentant N charges, le théorème de Boucherot stipule que :
la puissance active d’un système est égale à la somme des puissances actives
des éléments le constituant, de même pour la puissance réactive et la
puissance apparente complexe.
P = P1 + P2 + ... + PN
Q = Q1 + Q2 + ... + Q N
S = S1 + S2 + ... + SN
Attention :
S ¹ S1 + S2 + ... + SN
12
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6
Chapitre 2 – Puissance électrique
18/05/2014
1. Puissance électrique
7. Correction du facteur de puissance
Elle consiste à amener le facteur de puissance à une valeur proche de l’unité
afin de diminuer les pertes par effet joule dans le réseau.
Lorsque la charge est inductive (majorité des cas), le facteur de puissance sera
amélioré en installant un condensateur en parallèle comme illustré sur la figure
ci-dessous.
13
1. Puissance électrique
7. Correction du facteur de puissance
Si la charge inductive d’origine a
une puissance apparente , alors :
P = S1 cos q1
Q1 = S1 sin q1 = P tan q1
Si nous souhaitons augmenter le
facteur de puissance de à sans
toucher à la puissance active , alors la
nouvelle puissance réactive est :
Q2 = P tan q2
La réduction de la puissance réactive est causée par le condensateur shunt,
soit :
QC = Q1 - Q2 = P(tan q1 - tan q2 )
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14
7
Chapitre 2 – Puissance électrique
18/05/2014
1. Puissance électrique
7. Correction du facteur de puissance
QC =
V²
= wCV ²
XC
C=
QC P(tan q1 - tan q2 )
=
wV²
wV²
Rem1 : la puissance active P dissipée par la charge n’est pas affectée par la
correction du facteur de puissance car la puissance moyenne due au
condensateur est égale à zéro.
Rem 2 : Bien que dans la majeure partie des situations en pratique la charge
soit inductive, il est aussi possible que la charge soit capacitive, c’est-à-dire
qu’elle opère avec un facteur de puissance en arrière. Dans ce cas, on
connectera une inductance aux bornes de la charge pour la correction du
facteur de puissance. L’inductance shunt L nécessaire peut être calculée à partir
de :
V² V²
V²
=
Þ
QL =
avec QL = Q1 - Q2
L=
X L wL
wQ L
différence entre ancienne et nouvelle puissances réactives
15
2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge
1. Adaptation en puissance
Zi = R i + jX i
Z = R + jX
Adapter en puissance la charge au générateur revient à chercher R et X pour
lesquels le générateur transmet le maximum de puissance à la charge.
S = P + jQ = V × I
*
V=
S=
Z
Eg
Z + Zi
æ Eg ö
Z
÷÷
E g ´ çç
Z + Zi
è Z + Zi ø
I=
Eg
Z + Zi
*
16
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Chapitre 2 – Puissance électrique
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2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge
1. Adaptation en puissance
S = E g2 ´
Z
Z + Zi
2
= E g2 ´
P = Re(S) = E g2 ´
(R + R i )
2
(R + R i )
2
Z
2
+ (X + Xi )
dP (R + R i )(R i - R ) + X + X i
=
´ E g2
2
2
2
dR
(R + R ) + (X + X )
[
i
Þ X = -Xi
i
et
¶P
=0
¶R
R
2
+ (X + X i )
]
et
¶P
=0
¶X
dP
- 2R (X + Xi )
=
´ E g2
2
2
2
dX (R + R ) + (X + X )
i
i
[
]
R = R i Pour adapter en puissance, il faut que la charge ait une impédance égale à
l’impédance conjuguée du générateur
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2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge
2. Adaptation en tension
On recherche Z pour laquelle la tension V aux bornes de la charge est maximale
ou la plus grande possible.
V=
Z
Eg
Z + Zi
dV
Zi
=
Eg ¹ 0
dZ (Z + Zi )2
"
Z
Pour que V soit maximum, il suffit que Zi pp Z
Pour une bonne adaptation en tension, il faut que l’impédance interne du
générateur soit très petite devant l’impédance de la charge.
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2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge
3. Adaptation en courant
On recherche la valeur de Y pour laquelle le courant dans Y es maximum ou le
plus grand possible.
On cherche la valeur de Y pour laquelle le courant dans Y est maximum ou le
plus grand possible
I=
Y
I0
Yi + Y
dI
Yi
=
¹0
dY (Y + Yi )2
I sera le plus grand possible si Y est très grand devant Yi
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3. Principe de dualité
Définition : A chaque circuit électrique, on peut faire correspondre un autre
circuit appelé circuit dual où toutes les équations sont identiques à condition de
permuter les tensions par les intensités
Exemples
Z=R+jX
Y=G+jB
X réactance (Ω)
B susceptance (S)
V=Zi
i=Yv
V tension
I courant
L inductance
C condensateur
Eléments en parallèle
Eléments en série
Générateur de tension
Générateur de courant
Noeud
Maille
Circuit diviseur de tension
Circuit diviseur de courant
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3. Principe de dualité
Þ
Þ
1 ö
æ
Z = R + jç Lw ÷
C
wø
è
1 ö
æ
Y = G + jç Cw ÷
Lw ø
è
21
3. Principe de dualité
Méthode de construction du circuit dual :
• On part du schéma du circuit initial
• On crée un nœud à l'intérieur de chaque maille de ce circuit plus un à
l'extérieur
• On trace un lien entre chacun de ces nœuds en passant systématiquement à
travers un dipôle du montage
• On obtient le circuit dual en dessinant un circuit où chacun des liens
précédents contient le dipôle dual de celui qui a été coupé par le lien.
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4. Notion de résonance
Les circuits résonants comportent des éléments réactifs L et C simultanément.
1. Résonance série
1 ö
æ
Z = R + jX = R + jç Lw ÷
Cw ø
è
a. Définition
On dit qu’un circuit est résonnant si i et v sont en phase autrement dit si
l’impédance du circuit pour la fréquence w0 est une résistance pure. Soit
Im(Z) = 0
A la résonance on a :
Lw =
1
Þ w0 =
Cw
1
1
Þ f0 =
2p LC
LC
fréquence de résonance
23
4. Notion de résonance
b. Etude de l’impédance en fonction de la fréquence
b.1 X en fonction de ω
X = Lw -
1
Cw
ìw ® 0
ï
íw ® ¥
ï
îw = 1 LC
X ® -¥ (réactance capacitive)
X ® +¥ (réactance inductive)
X=0
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4. Notion de résonance
b. Etude de l’impédance en fonction de la fréquence
b.2 Z en fonction de ω
1 ö
æ
Z = R ² - X ² = R ² + ç Lw ÷
wø
C
è
ìw ® 0
ï(capacitif )
ï
ï
íw ® ¥
ï(inductif )
ï
ï
îw = w0
2
Z ® 1 Cw
Z ® Lw
Z=R
25
4. Notion de résonance
b. Etude de l’impédance en fonction de la fréquence
b.2 Argument de Z
Lw ArgZ = Arctg
1
Cw
R
ArgZ ® - π 2
ìw ® 0
ï(circuit capacitif )
ï
ï
ArgZ ® π 2
ïw ® ¥
í
ï(circuit inductif )
ïw = w0
ArgZ = 0
ï
ï
î(circuit résistif )
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4. Notion de résonance
c. Coefficient de surtension
Recherche de Vc et VL aux bornes du condensateur et de l’inductance à la
résonance
V
V
I
I = Þ VC =
VC =
avec
R
RCw0
Cw0
On a
Lw0 =
1
V
V
Þ VC =
= Lw0
Cw0
RCw0 R
De même :
VL = Lw0 I =
V
Lw0 = VC
R
Pour Lw0 f R, on a VL f V ou VC f V Þ VXUWHQWL RQ
Q0 =
Lw0
1
1
=
=
R
RCw0 R
L
C
est le coefficient de surtension
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4. Notion de résonance
2. Résonance parallèle
1 ö
æ
Y = G + jB = G + jç Cw ÷
Lw ø
è
L’étude de l’admittance Y (module et phase) nous donne les mêmes courbes que
celle de Z dans le circuit série.
Etude de l’impédance Z
1 jLw + R - RCLw² Lw + jR (CLw² - 1)
=
=
Z
jRLw
RLw
Z=
RLw
RLw(Lw - jR (LCw² - 1))
=
Lw + jR (LCw² - 1)
(Lw)² + R 2 (LCw² - 1)2
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4. Notion de résonance
A la résonance, on a :
(
)
Im(Z) = 0 Þ R LCw2 - 1 = 0 Þ w02 =
1 (même pulsation de résonance
LC que celle du circuit série).
w®0
Z®0
et
Arg( Z) ® p 2
w = w0
Z®R
et
Arg( Z) = 0
w® ¥
Z®0
et
Arg( Z) ® - p 2
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4. Notion de résonance
Coefficient de surintensité
A la résonance, les amplitudes complexes des différents courants sont donnés par:
Ir =
Vmax
= I0
R
IL =
Vmax
R
I 0 = - jQ 0 I 0
= -j
jLw0
Lw0
I C = jCw0 Vmax = jRCw0 I 0 = jQ 0 I 0
avec Q0 =
R
Lw0
avec Q0 = RCw0 =
R
Lw0
Q 0 est le coefficient de surintensité du circuit parallèle
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