Régime sinusoïdal • Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la résolution des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent; • Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E) • Modes d’évaluation : examen final (écrit ) • Débouchés de ce cours : Fais partie des pré-requis pour les cours relatifs à l’électronique et à l'électrotechnique • Volume horaire : 9h CM, 9h TD • Bibliographie : – Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku) – Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent Régime sinusoïdal Résultats attendus A la fin de ce cours, l’étudiant devra savoir : • Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel et inversement • Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer les grandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal permanent • Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique • Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique Régime sinusoïdal Programme • Chapitre 1 : Sinusoïdes et phaseurs • Chapitre 2 : Puissance électrique 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.1 Sinusoïde vt Vm sint - Vm : l’amplitude de la sinusoïde - : la pulsation (en radians/seconde) - t : l’argument - T 2 - f : la période de la sinusoïde (en sec)--> vt T vt : la fréquence (en Hertz) f 1 T 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.1 Sinusoïde Soit : Soient vt Vm sint t est l’argument (radians ou degrés) est la phase (radians ou degrés) v1 t Vm sin t 0 --> 0 --> v2 t Vm sint v1 et v2 sont en phase v1 et v2 ne sont pas en phase 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.1 Sinusoïde Comparaison : • Même fréquence. • Pas obligation de même amplitude • Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus) 1 . Sinusoïdes et phaseurs Passage sinus-cosinus sint 180 sin t sint 90 cos t cost 180 cos t cost 90 sin t 1 . Sinusoïdes et phaseurs Addition graphique de deux sinusoïdes de même fréquence A cos t B sin t C cost 3 cos t 4 sin t 5 cost 53.1 Important : ne pas confondre les axes des sinus et cosinus avec ceux des angles complexes 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.2 Les Phaseurs Soit vt Vm cost vt Vm cost Re Vme jt ou vt Re Vme je jt D’où vt Re Ve jt Avec V Vme j Vm V est la représentation phasorielle de la sinusoïde 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.2 Les Phaseurs Les formes sinusoïdales peuvent être facilement exprimées sous forme des phaseurs qui sont plus aisées à utiliser que les sinus et les cosinus. Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude et la phase d’une sinusoïde Les phaseurs fournissent des outils simples pour l’analyse des circuits linéaires excités par des sources sinusoïdales ; les solutions de tels circuits seraient très difficiles à obtenir autrement. vt Vm cost (représentation Temporelle) V Vm (représentation phasorielle) 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.2 Les Phaseurs Un phaseur est une représentation complexe de l’amplitude et de la phase d’une sinusoïde 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.2 Les Phaseurs •Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle. •Le phaseur ayant une amplitude et une phase (direction), il se comporte donc comme un vecteur. 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.2 Les Phaseurs Expression d’un nombre complexe : • Forme rectangulaire z x jy • Forme polaire z r z re j Relation entre forme rectangulaire et forme polaire : • Forme exponentielle z x jy r rcos j sin r x 2 y2 x r cos tan 1 y x y r sin 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.2 Les Phaseurs Opérations sur les nombres complexes : z1 x1 jy1 r11 •Addition : •Soustraction : •Multiplication : •Division : z 2 x 2 jy 2 r22 z1 z 2 x1 x 2 jy1 y2 z1 z 2 x1 x 2 jy1 y2 z1 z 2 r1r21 2 z1 r 1 1 2 z2 r2 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique Résistance R •Forme temporelle : i I m cost v iR RI mcosωt φ •Forme phasorielle I I m V RI La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le domaine phasoriel 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique •Résistance R Le courant et la tension sont en phase 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique Inductance L •Forme temporelle : i I m cost di LI m sin t dt v LI m cost 90 vL sin A cos A 90 •Forme phasorielle I I m V ωLI me j 90 ωLI me j e j90 ωLI me j90 e j90 j V jLI 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique •Inductance L Diagramme phasoriel d’une inductance : le courant I est en retard de phase sur V 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique •Condensateur C •Forme temporelle : v Vm cost iC dv CV sin t dt i CV cost 90 soit •Forme phasorielle V Vm e j90 j I CVme j90 CVme je j90 CVme j90 I jCV V I jC 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique •Condensateur C Diagramme phasoriel d’un condensateur : le courant I est en avance de phase sur V 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique Tableau récapitulatif 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Impédance et admittance L’impédance Z d’un circuit est le rapport entre le phaseur V et le phaseur I , mesuré en ohms (Ω) V ZI ou Z V I (L’admittance Y est l’inverse de l’impédance) 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Impédance et admittance On a Z R jX : l’impédance (en Ohms) Avec R ReZ : la résistance (en Ohms) X ImZ : la réactance (en Ohms) X positif X négatif X nulle Impédance inductive Impédance capacitive Impédance résistive Forme phasorielle : Z Z Avec Z R2 X 2 et tan 1 X R 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Impédance et admittance On a Avec Y G jB : l’admittance (Siemens) G ReY : la conductance (en Siemens) B ImY : la susceptance (en Siemens) Passage Impédance – Admittance 1 I Y Z V X B 2 R X2 R G 2 R X2 1 Remarque : si X 0 alors G R 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Impédances en série Zeq Z1 Z2 ... Zn Impédances en parallèle 1 I 1 1 1 Y eq ... Zeq V Z1 Z2 Zn Y1 Y 2 ... Y n pour n=2 Z eq Z Z 1 1 2 1/ Z 1 1/ Z 2 Z 1 Z 2 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Pont diviseur de tension V1 Z1 V Z1 Z2 V2 Z2 V Z1 Z2 I1 Z2 I Z1 Z 2 I2 Z1 I Z1 Z2 Pont diviseur de courant Conversion étoile-triangle Z1 Z2 Z2 Z3 Z3 Z1 Za Z1 Z Z Z2 Z3 Z3 Z1 Zb 1 2 Z2 Z1 Z2 Z2 Z3 Z3 Z1 Zc Z3 Conversion triangle-étoile Z b Zc Z1 Za Z b Zc Z1 Zc Za Z2 Za Zb Zc Z1 Z3 Za Z b Za Z b Zc Z1 1 . Sinusoïdes et phaseurs Loi des noeuds La somme algébrique des courants circulant dans les branches adjacentes à un nœud est nulle. On peut aussi dire que la somme algébrique des k courants entrants dans un nœud est égale à la somme des l courants sortants. Exemple : I1 I2 I3 I 4 0 ou I1 I3 I 2 I 4 I k k I l l 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Loi des mailles La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille dans le sens prédéfini est nulle. V k si V k est dans le sens de p arcours 0 si V k est dans le sens contraire Exemple : E1 U1 U2 E 2 0 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Théorème de superposition L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de branche) d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints). Remarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau. 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Théorème de superposition Exemple : Montage global I1 Ia I b Z1 E 2 Z2 E1 Z1 Z2 Z Z1 Z Z2 Montage 1 E1 Z2 Z Ia Z1 Z2 ZZ1 ZZ2 Montage 2 Ib Z1 E 2 Z1 Z2 ZZ1 ZZ2 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Théorème de Thevenin Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un générateur indépendant de tension parfait E 0 en série avec le dipôle composé Z0 E 0 représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un circuit ouvert (tension à vide). Z 0 est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes. 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Théorème de Thevenin Exemple : Lorsqu’on éteint les sources : Sans charge, on a une tension : Z1 Z2 Z0 Z1 Z2 Z1 E 2 Z2 E1 E0 Z1 Z2 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Théorème de Norton Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source indépendante de courant réelle I 0 en parallèle avec un dipôle composé d’admittance Y 0 . I 0 est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau débite dans un court-circuit. Y 0 est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (comme pour Thévenin). 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Théorème de Norton Exemple : Lorsqu’on éteint les sources : Z1 Z2 Z0 Z1 Z2 Sans charge, on a un générateur de courant : E1 E 2 I0 Z1 Z2 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Equivalent Norton-Thevenin On peut passer de Thevenin à Norton et inversement 1 . Sinusoïdes et phaseurs 1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits Théorème de Millman Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances n V Y E i i 1 n Y i 1 i i