Sinusoides et phaseurs

Régime sinusoïdal
• Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la
résolution des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime
sinusoïdal permanent;
• Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E)
• Modes d’évaluation : examen final (écrit )
• Débouchés de ce cours : Fais partie des pré-requis pour les cours relatifs à
l’électronique et à l'électrotechnique
• Volume horaire : 9h CM, 9h TD
• Bibliographie :
– Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku)
– Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent
Régime sinusoïdal
Résultats attendus
A la fin de ce cours, l’étudiant devra savoir :
• Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel et
inversement
• Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer
les grandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal
permanent
• Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique
• Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique
Régime sinusoïdal
Programme
• Chapitre 1 : Sinusoïdes et phaseurs
• Chapitre 2 : Puissance électrique
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
vt   Vm sint 
- Vm : l’amplitude de la sinusoïde
-  : la pulsation (en radians/seconde)
- t : l’argument
- T  2

- f
: la période de la sinusoïde (en sec)--> vt  T   vt 
: la fréquence (en Hertz)
f 
1
T
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
Soit :
Soient
vt   Vm sint  
t   est l’argument (radians ou degrés)
 est la phase (radians ou degrés)
v1 t   Vm sin t
  0 -->
  0 -->
v2 t   Vm sint  
v1 et v2 sont en phase
v1 et v2 ne sont pas en phase
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
Comparaison :
• Même fréquence.
• Pas obligation de même amplitude
• Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus)
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Passage sinus-cosinus
sint  180   sin t
sint  90   cos t
cost  180   cos t
cost  90   sin t
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Addition graphique de deux sinusoïdes de même fréquence
A cos t  B sin t  C cost  
3 cos t  4 sin t  5 cost  53.1
Important : ne pas confondre les axes des sinus et cosinus avec ceux des
angles complexes
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Soit
vt   Vm cost  

vt   Vm cost    Re Vme jt  
ou

vt   Re Vme je jt




D’où
vt   Re Ve jt
Avec
V  Vme j  Vm
V est la représentation phasorielle de la sinusoïde
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Les formes sinusoïdales peuvent être facilement exprimées sous forme
des phaseurs qui sont plus aisées à utiliser que les sinus et les cosinus.
Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude
et la phase d’une sinusoïde
Les phaseurs fournissent des outils simples pour l’analyse des circuits
linéaires excités par des sources sinusoïdales ; les solutions de tels
circuits seraient très difficiles à obtenir autrement.
vt   Vm cost  
(représentation
Temporelle)

V  Vm 
(représentation
phasorielle)
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Un phaseur est une représentation complexe de l’amplitude et de la phase
d’une sinusoïde
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
•Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être
exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle.
•Le phaseur ayant une amplitude et une phase (direction), il se comporte
donc comme un vecteur.
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Expression d’un nombre complexe :
• Forme rectangulaire z  x  jy
• Forme polaire
z  r
z  re j
Relation entre forme rectangulaire et forme polaire :
• Forme exponentielle
z  x  jy  r  rcos   j sin 
r
x 2  y2
x  r cos 
  tan 1
y
x
y  r sin 
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Opérations sur les nombres complexes :
z1  x1  jy1  r11
•Addition :
•Soustraction :
•Multiplication :
•Division :
z 2  x 2  jy 2  r22
z1  z 2  x1  x 2   jy1  y2 
z1  z 2  x1  x 2   jy1  y2 
z1 z 2  r1r21  2
z1
r
 1 1   2
z2
r2
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
Résistance R
•Forme temporelle :
i  I m cost  
v  iR  RI mcosωt  φ
•Forme phasorielle
I  I m 
V  RI
La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le
domaine phasoriel
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Résistance R
Le courant et la tension sont
en phase
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
Inductance L
•Forme temporelle :
i  I m cost  
di
 LI m sin t  
dt
v  LI m cost    90
vL
 sin A  cos A  90
•Forme phasorielle
I  I m
V  ωLI me j 90   ωLI me j e j90  ωLI me j90
e j90  j
V  jLI
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Inductance L
Diagramme phasoriel d’une
inductance : le courant I est en retard
de phase sur V
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
•Condensateur C
•Forme temporelle :
v  Vm cost  
iC
dv
 CV sin t  
dt
i  CV cost    90
soit
•Forme phasorielle
V  Vm 
e j90  j
I  CVme j90   CVme je j90  CVme j90
I  jCV
V
I
jC
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Condensateur C
Diagramme phasoriel d’un
condensateur : le courant I est en
avance de phase sur V
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
Tableau récapitulatif
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
L’impédance Z d’un circuit est le rapport entre le phaseur V et le
phaseur I , mesuré en ohms (Ω)
V  ZI
ou
Z
V
I
(L’admittance Y est l’inverse
de l’impédance)
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
On a
Z  R  jX : l’impédance (en Ohms)
Avec
R  ReZ : la résistance (en Ohms)
X  ImZ : la réactance (en Ohms)
X positif
X négatif
X nulle
Impédance inductive
Impédance capacitive
Impédance résistive
Forme phasorielle : Z  Z 
Avec
Z  R2  X 2
et
  tan 1
X
R
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
On a
Avec
Y  G  jB
: l’admittance (Siemens)
G  ReY : la conductance (en Siemens)
B  ImY  : la susceptance (en Siemens)
Passage Impédance – Admittance
1 I
Y 
Z V
X
B 2
R  X2
R
G 2
R  X2
1
Remarque : si X  0 alors G 
R
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Impédances en série
Zeq  Z1  Z2  ...  Zn
Impédances en parallèle
1
I 1 1
1
 Y eq     ... 
Zeq
V Z1 Z2
Zn
 Y1  Y 2  ...  Y n
pour n=2
Z eq 
Z Z
1
 1 2
1/ Z 1  1/ Z 2 Z 1  Z 2
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Pont diviseur de tension
V1 
Z1
V
Z1  Z2
V2 
Z2
V
Z1  Z2
I1 
Z2
I
Z1  Z 2
I2 
Z1
I
Z1  Z2
Pont diviseur de courant
Conversion étoile-triangle
Z1  Z2  Z2  Z3  Z3  Z1
Za 
Z1
Z  Z  Z2  Z3  Z3  Z1
Zb  1 2
Z2
Z1  Z2  Z2  Z3  Z3  Z1
Zc 
Z3
Conversion triangle-étoile
Z b  Zc
Z1 
Za  Z b  Zc  Z1
Zc  Za
Z2 
Za  Zb  Zc  Z1
Z3 
Za  Z b
Za  Z b  Zc  Z1
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Loi des noeuds
La somme algébrique des courants circulant
dans les branches adjacentes à un nœud est nulle.
On peut aussi dire que la somme algébrique des k
courants entrants dans un nœud est égale à la
somme des l courants sortants.
Exemple :
I1  I2  I3  I 4  0
ou
I1  I3  I 2  I 4
I
k


k

I
l


l
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Loi des mailles
La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille
dans le sens prédéfini est nulle.
  V
k
 si V k est dans le sens de p arcours
 0
 si V k est dans le sens contraire
Exemple :
E1  U1  U2  E 2  0
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de
branche) d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme
algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par
chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints).
Remarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs
intervenant dans le réseau.
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
Exemple :
Montage global
I1  Ia  I b
Z1 E 2  Z2 E1

Z1 Z2  Z  Z1  Z  Z2
Montage 1
E1 Z2  Z
Ia 
Z1 Z2  ZZ1  ZZ2
Montage 2
Ib 
Z1 E 2
Z1 Z2  ZZ1  ZZ2
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un
générateur indépendant de tension parfait E 0 en série avec le dipôle
composé Z0
E 0 représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un
circuit ouvert (tension à vide).
Z 0 est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources
indépendantes sont éteintes.
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Sans charge, on a une tension :
Z1 Z2
Z0 
Z1  Z2
Z1 E 2  Z2 E1
E0 
Z1  Z2
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source
indépendante de courant réelle I 0 en parallèle avec un dipôle composé
d’admittance Y 0 .
I 0 est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau
débite dans un court-circuit.
Y 0 est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes
(comme pour Thévenin).
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Z1 Z2
Z0 
Z1  Z2
Sans charge, on a un générateur de courant :
E1  E 2
I0 
Z1  Z2
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Equivalent Norton-Thevenin
On peut passer de Thevenin à Norton et inversement
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Millman
Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune
un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la
tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces
électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la
branche, le tout divisé par la somme des admittances
n
V
Y E
i
i 1
n
Y
i 1
i
i