DS Outils Mathématiques I - Équations Différentielles

ESME Sudria Paris. Octobre 2017 IngéSpé
DS Outils Mathématiques I
A.Aribi, F. Hagbe et H. Halconruy.
Durée : 2h. Les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
Le barème est donné sur 23 points.
QCM. (5 points)
Sans y apporter de justification, indiquer pour chaque question, la réponse correspondante (sur la
copie, indiquer le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse).
Soient les équations différentielles :
(E1) : y00 + 4y0+ 4y=e2t,(E2) : y00 + 4y0+ 4y=e−2t
et
(E) : y00 + 4y0+ 4y=ch(2t)
où ch est la fonction définie sur Rpar :
ch(t) = et+e−t
2;∀t∈R.
1. L’ensemble des solutions sur Rde l’équation homogène associée à (E)est :
(a)
S0=R−→ R
t7−→ k1e−2t+k2e2t; (k1, k2)∈R2.
(b)
S0=R−→ R
t7−→ k1e−t+k2et; (k1, k2)∈R2.
(c)
S0=R−→ R
t7−→ (k1+k2t)e−2t; (k1, k2)∈R2.
2. Une solution particulière de (E2)est la fonction ϕ2définie sur Rpar :
(a) ϕ2(t) = 1
2t e−2t.
(b) ϕ2(t) = 1
2t2e−2t.
(c) ϕ2(t) = 1
2(t2+t)e−2t.
3. Soient ϕ1et ϕ2des solutions particulières (respectivement) de E1et E2. Alors
(a) ϕ1+ϕ2est une solution particulière de (E).
(b) 2ϕ1+ 2ϕ2est une solution particulière de (E).
(c) 1
2ϕ1+1 2ϕ2est une solution particulière de (E).
4. Soit la fonction f:x∈R7→ ex.
(a) La fonction fest lipschitzienne sur R.
(b) La fonction fest localement lipschitzienne sur R.
(c) La fonction fn’est pas localement lipschitzienne sur R.
1

5. Soit la fonction g:x∈R7→ cos(x).
(a) La fonction gest lipschitzienne sur R.
(b) La fonction gest localement lipschitzienne sur R.
(c) La fonction gn’est pas localement lipschitzienne sur R.
Exercice 1. Théorème de Cauchy-Lipschitz. (4 points) Soit le problème de Cauchy du premier
ordre :
(1) y0= tan(t)(2 + y)pour t∈]−π
2,π 2[
y(0) = 0
1. Montrer, via le théorème de Cauchy-Lipschitz, que le problème (1) admet une unique solution.
2. Résoudre le problème de Cauchy (1).
Exercice 2. Équations différentielles linéaires. (7 points)
1. Résoudre les problèmes de Cauchy suivants :
(a) 2y0−3y= (3t+ 1)e3tavec la condition initiale y(0) = 1.
(b) (2 + cos(t))y0−sin(t)y=tavec la condition initiale y(0) = 1.
2. Résoudre l’équation différentielle linéaire du second ordre suivante :
y00 −5y0+ 6y= (t+ 1)e2t;t∈R.
Exercice 3. Équation de Bernoulli. (7 points)
L’objectif de cet exercice est la résolution, suivant les valeurs du réel α, de l’équation différentielle
(E) : y0+1
ty−yα= 0 sur ]0,+∞[,
avec la condition initiale y(1) = 1
2.
Partie 1. Soit α∈ {0,1}.
1. Justifier que (E)est une équation linéaire pour α∈ {0,1}.
2. Résoudre (E)dans le cas α= 1.
Partie 2. Il est désormais supposé que α∈R− {0,1}.
1. Cas général.
Soient α∈R− {0,1}et Jun intervalle de R. Soient a, b, c :J→Rtrois fonctions continues
sur Itelles que ane s’annule pas sur J. Soit l’équation différentielle
(E) : ay0+by +cyα= 0.
Soit yune solution de (E)supposée strictement positive sur un intervalle Ide R.
Montrer que la fonction z=y1−αest solution de l’équation :
(E0) : a
1−αz0+bz =−c.
2. Application. Résoudre (E)dans le cas α= 3.
2

Correction.
Exercice 1
1. Soit la fonction f:] −π
2,π 2[×R→Rdéfinie par
f(t, x) = tan(t)(2 + x) ; ∀(t, x)∈t∈−π
2,π 2×R.
•Condition 1. Soit x0∈R.
Pour tout t∈]−π
2,π 2[,
∂
∂tf(t, x0) = (1 + tan2(t))(2 + x0).
Pour tout x0∈R, la fonction t7→ ∂
∂tf(t, x0)est continue sur Rdonc la fonction t7→ f(t, x0)
est de classe C1sur ]−π
2,π 2[et donc localement lipischitzienne sur ]−π 2;π 2[.
•Condition 2. Soit t0∈]−π
2,π 2[.
Pour tout x∈R,
∂
∂xf(t0, x) = tan(t0).
Or,
∂
∂xf(t0, x)=|tan(t0)|;∀x∈R.
Pour tout t0∈]−π
2;π 2[, la fonction x7→ f(t0, x)est de classe C1sur Ret telle que
x7→ ∂
∂xf(t0, x)est bornée sur R, donc lipschitzienne sur R.
Conclusion : d’après ces deux conditions, et en application du théorème de Cauchy-Lipschitz,
le problème de Cauchy (2) admet un unique solution.
2. Supposons que la fonction 2 + yne s’annule pas sur un intervalle Ide ]−π
2,π 2[. L’équation
y0= tan(t)(2 + y)est une ED à variables séparables s’écrivant aussi
Zdy
2 + y=Ztan(t)dt.
Une primitive de t7→ tan(t) = sin(t)
cos(t)étant t7→ −ln(|cos(t)|), et une primitive de x7→ 1
2 + x
étant x7→ ln(|2 + x|), il existe K∈Rtel que, pour tout t∈]−π
2,π 2[,
ln(|2 + y(t)|) = −ln(|cos(t)|) + K⇐⇒ |2 + y(t)|=eln (cos(t))−1+K
⇐⇒ |2 + y(t)|=eK
cos(t)
car |cos(t)|= cos(t)pour tout t∈]−π
2,π 2[. Donc
y(t) = 
eK
cos(t)−2si y(t)+2>0.(1)
−eK
cos(t)−2si y(t)+2<0.(2)
La fonction yest solution du problème de Cauchy si et seulement si
y(0) = 0 ⇐⇒ eK−2=0
⇐⇒ K= ln(2),
3

dans le cas (1) mais n’est pas possible dans le cas (2). Donc, pour tout t∈]−π
2,π 2[,
y(t) = eK
cos(t)−2
=2
cos(t)−2
Conclusion : La solution du problème de Cauchy est la fonction
y:]−π
2,π 2[−→ R
t7−→ 2
cos(t)−2
Exercice 2.
1. (a) Résoudre :
(E) : 2y0−3y= (3t+ 1)e3tavec la condition initiale y(0) = 1.
•Résolution de (E0).
Les solutions de (E0)sont de la forme
t∈R7→ ke3
2t;k∈R.
•Solution particulière de (E).
Le second membre s’écrit P(t)emt avec P(t) = (3t+ 1) (degP= 1) et m= 3. Puisque
m6=−b
a, soit la fonction yp:t7→ (αt +β)e3t.
Pour tout t∈R,y0
p(t) = αe3t+ 3(αt +β)e3t.ypest solution de (E)si et seulement si,
pour tout t∈R,
2y0
p(t)−3yp(t) = (3t+ 1)e3t⇐⇒ 2αe3t+ 6(αt +β)e3t−3(αt +β)e3t= (3t+ 1)e3t
⇐⇒ 3αte3t+ (2α+ 3β)e3t= (3t+ 1)e3t
Les réels αet βsont solutions de
(3α= 3
2α+ 3β= 1 ⇐⇒ 
α= 1
β=−1
3
La fonction yp:t7→ (t−1
3)e3test une solution particulière de (E).
•Solution générale :
t7→ ke3
2t+t−1
3e3t;k∈R.
La fonction yest solution de (E)si et seulement si
y(0) = 1 ⇐⇒ k−1
3= 1
⇐⇒ k=4
3
Conclusion : La solution de problème de Cauchy est :
y:
R−→ R
t7−→ 4
3e3
2t+t−1
3e3t
4

(b)
2. Résoudre
(E) : (2 + cos(t))y0−sin(t)y=tavec la condition initiale y(0) = 0.
Soient a, b, c les fonctions définies sur Rpar
—a(t) = 2 + cos(t)
—b(t) = −sin(t)
—c(t) = t
•Résolution de (E0).
Une primitive de t7→ sin(t)
2+cos(t)étant t7→ −ln(|2 + cos(t)|) = −ln(2 + cos(t)), Les solutions
de (E0)sont de la forme
t∈R7→ ke−ln(2+cos(t)) =k
2 + cos(t);k∈R.
•Solution particulière de (E).
Méthode de variation de la constante. Soit la fonction yp:t7→ k(t)
2+cos(t), où kest une fonction
supposée de classe C1sur R.
ypest solution de (E)si et seulement si pour tout t∈R,
k0(t) = c(t)
a(t)eRb(t)
a(t)dt ⇐⇒ k0(t) = t
2 + cos(t)eln(2+cos(t))
⇐⇒ k0(t) = t
Une primitive étant k:t7→ t2
2, la fonction yp:t7→ t2
2(2+cos(t)) est une solution particulière
de (E).
•Solution générale :
t7→ k
2 + cos(t)+t2 2(2 + cos(t)) ;k∈R.
La fonction yest solution de (E)si et seulement si
y(0) = 1 ⇐⇒ k
3= 1
⇐⇒ k= 3
Conclusion : La solution de problème de Cauchy est :
y:
R−→ R
t7−→ 6 + t2
2(2 + cos(t))
3. Résoudre l’équation différentielle linéaire du second ordre suivante :
y00 −5y0+ 6y= (t+ 1)e2t;t∈R.
•Résolution de (E0). L’équation caractéristique associée à (E0) : y00 −5y0+ 6y= 0 est
(C) : r2−5r+ 6 = 0 avec ∆=1.
L’équation (C)possède deux solutions réelles distinctes
r1=5−1
2= 2 et r2=5+1 2= 3.
Les solutions de (E0)sont donc de la forme
t∈R7→ k1e2t+k2e3t; (k1, k2)∈R2.
5