Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles Chapitre 1 : LES QUADRIPÔLES I. Définition : Un quadripôle (ou quadrupôle) est un composant ou circuit (ensemble de composants) à deux entrées et deux sorties permettant le transfert d’énergie entre deux dipôles. On représente un quadripôle par une boîte noire de deux bornes d’entrée et deux bornes de sorties. I1 I2 V1 V2 Quadripôle Quatre grandeurs électriques caractérisent un quadripôle : Le courant I 1 et la tension V1 d’entrée. Le courant I 2 et la tension V2 de sortie Par convention, on donne le sens positif aux courants qui pénètrent le quadripôle. On distingue deux types de quadripôles : 1. les quadripôles passifs : ne comportent pas de source d’énergie. Il contient que des composants passifs (R, L, C) ; dans ce cas : Pe Ps 2. Les quadripôles actifs : il peut fournir de l’énergie de façon permanente. Cas particulier : Très souvent le quadripôle est en fait un tripôle, c'est-à-dire une borne de l’entrée et une borne de sortie sont reliées. Ces bornes communes sont le plus souvent reliées à la masse. 1 Remarque : Quadripôle 1' 2 2' L’étude des quadripôles est facilitée par l’utilisation du calcul matricielle. Exemples : 1. Quadripôle série : I1 V1 Z I2 V2 2. Quadripôle parallèle : I1 V1 2ème STPI I2 Z V 2 V 1 ZI 1 I 2 I1 V 1 Z V1 Sous forme matricielle : 2 I 2 0 1 I 1 V2 V11 V2 I2 V1 I1 Z V 1 Sous forme matricielle : 2 I 2 1 / Z 0 V1 1 I 1 Page 1/8 Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles II. Représentation matricielle des quadripôles : 2.1. Matrices impédances : Pour relier les 4 paramètres du quadripôle (les deux courants et les deux différences de potentiel), ils existent 4 représentations matricielles différentes: - matrices impédances - matrices admittances - matrices hybrides - matrices de transfert. On exprime les tensions en fonction des courants ; V1 Z 11 I 1 Z 12 I 2 V2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 L’unité des impédances Z ij sont les ohms (). L’indice i est relatif à la tension et indice j est relatif au courant. Sous forme matricielle nous avons : V1 Z 11 V2 Z 21 Z 12 I 1 Z 22 I 2 Nous allons maintenant nous intéresser à l’interprétation physique de chacun des différents coefficients de la matrice impédance. Z 11 Z 12 V1 I1 V1 I2 I 2 0 I1 0 Z 21 V2 I1 I 2 0 Z 22 V2 I2 I1 0 : Impédance vue de l’entrée en laissant la sortie du quadripôle en circuit ouvert ( I 2 0 ) : Impédance de transfert inverse ou transimpédance inverse obtenue avec l’entrée du quadripôle en circuit ouvert ( I 1 0 ) : Impédance de transfert transimpédance obtenue avec la sortie du quadripôle en circuit ouvert ( I 2 0 ) : Impédance vue de la sortie en laissant l’entrée du quadripôle en circuit ouvert ( I 1 0 ) Ces définitions des coefficients permettent de calculer et de mesurer simplement ceux-ci. Exemple 1 : quadripôle en T Calculer les éléments de la matrice [Z] du quadripôle suivant : 2.2. Matrices admittances : On exprime les courant en fonction des tensions ; I 1 Y11V1 Y12V2 I 2 Y21V1 Y22V2 L’unité des impédances Yij sont les ohms ( 1 ) . L’indice i est relatif au courant et indice j est relatif à la tension. Sous forme matricielle nous avons : I 1 Y11 Y12 V1 I 2 Y21 Y22 V2 2ème STPI Page 2/8 Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles Nous allons maintenant nous intéresser à l’interprétation physique de chacun des différents coefficients de la matrice admittance. Y11 Y12 I1 V1 I1 V2 V2 0 V1 0 Y21 I2 V1 V2 0 Y22 I2 V2 V1 0 : Admittance vue de l’entrée en laissant la sortie du quadripôle en court-circuit ( V2 0 ) : Admittance de transfert inverse inverse obtenue avec l’entrée du quadripôle en court-circuit ( V1 0 ) : Admittance de transfert direct obtenue avec la sortie du quadripôle en court-circuit ( V2 0 ) : Admittance vue de la sortie en laissant l’entrée du quadripôle en court-circuit ( V1 0 ) Remarque : La matrice Y est l’inverse de la matrice Z . Le passage de l’une à l’autre implique d’inverser la matrice 1 [Z]. : Y Z Exemple : Calculer les éléments de la matrices [Y] du circuit suivant : 2.3. Matrice hybride : On utilise les deux équations suivantes pour décrire le quadripôle : V1 H 11 I 1 H 12V2 I 2 H 21 I 1 H 22V2 V1 H 11 I 2 H 21 Sous forme matricielle nous avons : H 12 I 1 H 22 V2 Les matrices hybrides sont utilisées en particulier dans l’étude des transistors. Nous avons : H 11 H 12 H 21 H 22 2.4. V1 I1 V1 V2 I2 I1 I2 V2 V2 0 I1 0 V2 0 I1 0 : Impédance vue de l’entrée lorsque la sortie du quadripôle en court-circuit ( V2 0 ) : Gain en tension inverse lorsque l’entrée du quadripôle est ouverte ( I 1 0 ) : Gain en courant obtenu avec la sortie du quadripôle en court-circuit ( V2 0 ) : Admittance de sortie lorsque l’entrée du quadripôle est ouverte ( I 1 0 ) Matrice de transfert ou matrice chaîne : Cette matrice est très pratique pour la mise en cascade des quadripôles. 2ème STPI Page 3/8 Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles Les relations définissant la matrice de transfert T sont les suivantes : V1 AV2 BI 2 I 1 CV2 DI 2 V1 A B V2 I 1 C D I 2 Sous forme matricielle nous avons : Attention : contrairement aux autres représentations matricielles, pour la matrice de transfert T on utilise le courant I 2 (courant sortant du quadripôle) à la place du courant I 2 (courant entrant dans le quadripôle). Ce formalisme permet de simplifier les calculs lorsque nous associerons plusieurs quadripôles en cascade. A et D sont sans dimension B est une impédance en (Ώ)et C une admittance en ( 1 ) Les relations étant linéaires, il est aisé de calculer les coefficients d’une représentation à partir de ceux d’une autre (tableau) III. IV. Propriétés des quadripôles passifs : Un quadripôle est dit réciproque, si lorsqu’on place une source de tension à son entrée et qu’on mesure, le courant de court-circuit à sa sortie, on obtient de même résultat qu’en branchant la source à sa sortie et en mesurant le courant de court-circuit à l’entrée. Il vient alors immédiatement, vu la définition des admittances de transfert : Y12 Y21 On en déduit facilement, en partant des relations entre les matrices représentatives, les autres relations : Z 12 Z 21 ; T 1 ; H 12 H 21 . Un quadripôle est dit symétrique si la permutation des deux accès entre eux ne modifie pas le quadripôle : Z 11 Z 22 Y11 Y22 A D (T11 T22 ) H 1 Association des quadripôles : Suivant l’association de quadripôles, nous choisirons la matrice la plus appropriée. 4.1. Association de série : On a les relations suivantes : V1 V1' V1'' et V2 V2' V2'' V1' Z 11' I 1' Z 12' I 2' V1'' Z 11'' I 1'' Z 12'' I 2'' et ' '' ' ' ' ' '' '' '' '' V2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 V2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 Comme I 1 I 1' I 1'' et I 2 I 2' I 2'' nous pouvons écrire les relations suivantes pour le quadripôle équivalent : V1 Z 11 I 1 Z 12 I 2 ( Z 11' Z 11" ) I 1 ( Z 12' Z 12" ) I 2 ' " ' " V2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 ( Z 21 Z 21 ) I 1 ( Z 22 Z 22 ) I 2 Ainsi sous forme matricielle, la matrice impédance du quadripôle équivalent est égale à la somme des matrices impédances : [Z]= [Z']+ [Z"]. On ajoute terme à terme les éléments de même indice. 4.2. Association parallèle : On a les relations suivantes : I 1 I 1' I 1'' et I 2 I 2' I 2'' I 1' Y11' V1' Y12' V2' ' ' ' ' ' I 2 Y21V1 Y22V2 et I 1'' Y11'' V1'' V12'' V2'' '' '' '' '' '' I 2 Y21V1 Y22V2 Comme V1 V1' V1'' et V2 V2' V2'' nous pouvons écrire les relations suivantes pour le quadripôle équivalent : I 1 Y11V1 Y12V2 (Y11' Y11" )V1 (Y12' Y12" )V2 ' " ' " I 2 Y21V1 Y22V2 (Y21 Y21 )V1 (Y22 Y22 )V2 2ème STPI Page 4/8 Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles Ainsi sous forme matricielle, la matrice impédance du quadripôle équivalent est égal à la somme des matrices impédances : [Y]= [Y']+ [Y"]. On ajoute terme à terme les éléments de même indice. 4.3. Association en cascade : A' B' C ' D ' Quadripôle Q’ : T ' Nous allons chercher à déterminer la matrice de transfert du quadripôle résultant de cette association. Chaque quadripôle est défini par sa matrice de transfert : A" B" C " D " Quadripôle Q’’ : T " Dans cette association, nous avons les relations suivantes entre les courants et entre les différences de potentiel : I 1 I 1' I 1" I 2' I 2" I 2 et V1 V1' V1" V2' V2" V2 On a donc les relations suivantes pour le premier quadripôle : V1 V1' A'V2' B' I 2' A'V1" B' I1" ' ' ' " " I1 I1 C 'V2 D' I 2 C 'V1 D' I1 Pour le second quadripôle, nous avons : V2' V1'' A' 'V2'' B' ' I 2'' A' 'V2 B' ' I 2 ' '' '' '' I 2 I1 C ' 'V2 D' ' I 2 C 'V2 D" I 2 V A' ( A"V2'' B' ' I 2'' ) B ' (C"V2" D" I 2" ) D’où : 1 '' '' " " I 1 C ' ( A"V2 B' ' I 2 ) D' (C"V2 D" I 2 ) Ainsi on en déduit les relations entre V1 , I 1 , V2 , I 2 V1 ( A' A" B' C" )V2 ( A' B" B' D" ) I 2 I 1 (C ' A" D' C ' ' )V2 (C ' B" D' D" ) I 2 A' A" B' C" A' B" B' D" T C ' A" D' C" C ' B" D' D" La matrice T du quadripôle Q obtenu par la mise en cascade de deux quadripôles Q’ et Q’’ est égale au produit matriciel des matrices T’ et T’’ : [T] = [T'].[T"] Toutes ces associations de quadripôles se généralisent à un nombre n de quadripôles. V. Grandeurs caractéristiques des quadripôles : On considère un quadripôle décrit par sa matrice impédance [Z] : On les relations suivantes : V1 Z 11 I 1 Z 12 I 2 (1) V2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 e Z L I 1 V1 (3) V2 Z C I 2 (2) (4) Les grandeurs intéressantes sont : V AV 2 gain en tension du quadripôle. Ce gain est sans dimension (réel ou complexe). AV est V1 2ème STPI I2 I1 V ZE 1 I1 V ZS 2 I2 Ai toujours inférieur à 1 pour un quadripôle passif. gain en courant impédance d’entrée impédance de sortie. Page 5/8 Electronique Analogique 5.1. Ai Chap.1 : Les quadripôles Gain en courant : I2 , en combinant les équations (2) et (4), on obtient : Z C I 2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 I1 D’où : Ai I2 Z 21 (5) I1 Z C Z 22 On peut observer que le gain en courant dépend de la charge Z C Gain en tension : V AV 2 V1 On va exprimer V1 en fonction de V2 à partir des équations (1), (4) et (5) Z Z 22 Z Z 22 V2 V (4) I 2 2 (5) I 1 C I2 C ZC Z 21 Z 21 ZC Z Z 22 V2 Z 12 Z ( Z Z 22 ) Z 12 Z 21 (1) V1 Z 11 C V2 11 C V2 Z 21 ZC ZC Z C Z 21 En posant Z Z 11 Z 22 Z 12 Z 12 ( Z est le déterminant de la matrice Z), on obtient finalement : Z C Z 21 V AV 2 V1 Z 11 Z C Z 5.2. 5.3. ZE Impédance d’entrée V1 I1 c’est l’impédance vue de l’entrée du quadripôle (1) V1 Z 11 I 1 Z 12 ZE 5.4. ZS V1 Z C Z 11 Z I1 Z 22 Z C Z ( Z Z 22 ) Z 12 Z 21 Z 21 I 1 11 C I1 Z C Z 22 Z C Z 222 Impédance de sortie : V2 : C’est l’impédance vue de la sortie du quadripôle obtenue en annulant le générateur à I2 l’entrée du quadripôle. Pour déterminer cette impédance, il convient d’annuler le générateur (1) et (3) V1 Z L I 1 Z 11 I 1 Z 12 I 2 I1 Z 21 Z 12 Z 11 Z 22 Z L Z 22 Z 21 Z 12 I 2 Z 22 I 2 Z 11 Z L Z 11 Z L Z 21Z12 Z11 Z 22 Z L Z 22 Z Z L Z 22 V Z S 2 I2 Z11 Z L Z11 Z L (2) V2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 VI. Z 12 I2 Z L Z 11 I 2 Schémas équivalents des quadripôles : Lorsqu’on cherche à déterminer le comportement d’un circuit contenant un ou plusieurs quadripôles dont on ne connaît que les matrices caractéristiques, il est peut être utile de remplacer le quadripôle par un circuit équivalent (ce qui permettra par exemple d’écrire les équations de maille ou de nœuds du circuit complet). Ces schémas se déduisent directement des relations matricielles impédance, admittance et hybride. 2ème STPI Page 6/8 Electronique Analogique 6.1. Chap.1 : Les quadripôles Représentation matrice impédance : V1 Z 11 I 1 Z 12 I 2 V2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 6.2. Représentation matrice admittance : I 1 Y11V1 Y12V2 I 2 Y21V1 Y22V2 6.3. Représentation matrice hybride : V1 H 11 I 1 H 12V2 I 2 H 21 I 1 H 22V2 6.4. Modèle amplificateur d’un quadripôle linéaire : I1 V1 ZE ZS AVV1 I2 V2 Dans ce modèle, le circuit d’entrée est réduit à l’impédance d’entrée Z E . Celui de sortie comporte un générateur de f .e .m : AV V1 en série avec l’impédance de sortie Z S V1 Z E I1 et V2 AV V1 Z S I 2 Annexe : 2ème STPI Page 7/8 Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles Equivalences entre éléments des matrices représentatives du quadripôle Le tableau ci-dessous résume les relations de conversion entre les différentes matrices représentatives des quadripôles : Matrices après transformation Z Z Matrices de départ Y T H Z 11 Z 21 1 Y Z 12 Z 22 Y 22 Y 21 1 T 21 1 H 22 Y T 22 T H H 21 1 Z Y 11 Y 21 Y 12 Y 11 1 T11 H 12 1 Z 22 Z 21 T Z 12 Z 11 Y 12 Y 22 1 T12 T11 T 1 T 22 1 H 11 1 H 21 H 12 H 1 Z 12 1 Y12 Z 22 1 Y11 Y T11 T 21 1 H 12 1 H 22 H Z Z 11 1 Z 22 Z Z 21 1 Y 22 1 Y11 1 Y 21 1 T11 T12 T T12 T 22 H 11 H H 11 H 21 Z 12 1 Y12 Y 1 T 21 H 12 H 22 Avec X X 11 X 22 X 12 X 22 2ème STPI Page 8/8
