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Formalisme d’onde :
Application aux dipôles et
quadripôles – Matrice S
Ondes de tension – courant incidente et réfléchie
• Définitions
• Coefficient de réflexion
• Puissance fournie à un dipôle
Formalisme d’onde pour les quadripôles
• Définition de la matrice [S] ou matrice de répartition
• Conditions d’adaptation
• Signification physique des paramètres Sij
• Propriétés de la matrice [S] d’un quadripôle sans
pertes
Ondes de tension – courant incidente et réfléchie
Définitions
i(z,t)
Ligne sans pertes
V ( z ) = V i e − jβ z + V r e jβ z = V i ( z ) + V r ( z )
Zc
v(z,t)
0
ZL
z
l
Z C I ( z ) = V i e − jβ z − V r e j β z
z
Tension, courant et impédance normalisées
∆ V( z )
v( z ) =
ZC
=
V i( z ) V r( z )
+
= vi ( z ) + vr ( z )
ZC
ZC
∆
i ( z ) = ZC I ( z ) = i i ( z ) + i r ( z ) = v i ( z ) − v r ( z )
∆ Z( z )
z( z ) =
ZC
=
v( z )
i( z )
Ondes de tension – courant incidente et réfléchie
Définitions
I(z)
a(z)
Zc
Oi
Or
b(z)
V(z)
ZL
!
Attention sens de I(z)
par rapport à a(z) et b(z)
Onde tension - courant incidente ou onde entrante
∆ V ( z )+ Z I( z )
C
a( z ) =
2 ZC
= vi = ii
Onde tension - courant réfléchie ou onde sortante
∆ V ( z )− Z I( z )
C
b( z ) =
!
2 ZC
= v r = −i r
a(z), b(z), i(z), v(z) grandeurs homogènes
à des
Watt
Ondes de tension – courant incidente et réfléchie
Relations entre les ondes de tension – courant incidente et
réfléchie et le coefficient de réflexion
ρ( z ) =
Par définition :
Vr(z )
=
V i( z )
v r ( z ) b( z )
=
v i ( z ) a( z )
Le long de la ligne :
v ( z ) = a ( z ) + b( z ) = a ( z )(1 + ρ ( z ))
i ( z ) = a ( z ) − b( z ) = a ( z )(1 − ρ ( z ))
ρ( z ) =
z( z ) =
1 + ρ( z )
1 − ρ( z )
z( z ) − 1 Z ( z ) − Z C
=
z( z ) + 1 Z ( z ) + ZC
IL
aL
VL
ZL
bL
ρL =
bL z L − 1 Z L − Z C
=
=
a L z L + 1 Z L + ZC
Ondes de tension – courant incidente et réfléchie
Puissance fournie à un dipôle dans le formalisme d’onde –
hypothèse : ZC réelle
I(z)
a(z)
Zc
Oi
Or
b(z)
P( z ) =
ZL
V(z)
(
)
1
P ( z ) = ℜe V ( z ) I * ( z )
2
1
2 1
2
a( z ) − b( z ) = Pincidente − Préfléchie
2
2
P( z ) =
1
2
2
a ( z )  1 − ρ ( z ) 


2
IL
Puissance fournie au dipôle
PL =
1
2 1
2
a L − bL
2
2
aL
ZL
VL
bL
Formalisme d’onde pour les quadripôles
!
Définition de la matrice [S] ou matrice de répartition
I2
I1
1
a1
Entrée
b1
(Z01)
V1
Quadripôle
a2
V2
b2
2
Sortie
(Z02)
Z01 et Z02 sont supposées réelles (très souvent Z01 = Z02 = Z0 = 50 Ω)
a1 =
b1 =
V 1 + Z 01 I 1
2 Z 01
V 1 − Z 01 I 1
2 Z 01
a2 =
b2 =
V 2 + Z 02 I 2
2 Z 02
V 2 − Z 02 I 2
2 Z 02
Matrice S ou matrice de répartition
 b1 = S11 a1 + S12 a 2

b2 = S 21 a1 + S 22 a 2
 b1   S11
  = 
 b2   S 21
S12   a1 
 a1 
   = [S ]  
S 22   a 2 
 a2 
Formalisme d’onde pour les quadripôles
Condition d’adaptation en sortie a2 = 0
I2
a1
Quadripôle
b1
b2
(Z01)
a2 =
V 2 + Z 02 I 2
2 Z 02
a2 = 0
a2
ZL
(Z02)
et
V 2 = −ZL I 2
Sortie chargée sur
ZL = Z02
Condition d’adaptation en entrée a1 = 0
a1 = 0
entrée chargée sur
ZL = Z01
V2
Formalisme d’onde pour les quadripôles
!
Signification physique des paramètres Sij
b
S11 = 1
a1 a = 0
2
Coefficient de réflexion à l’entrée lorsque la sortie est adaptée
b
S 21 = 2
a1 a = 0
2
Coefficient de transmission de l’entrée vers la sortie lorsque la
sortie est adaptée
b
S 22 = 2
a2 a =0
1
Coefficient de réflexion à la sortie lorsque l’entrée est adaptée
b
S12 = 1
a2 a = 0
1
Coefficient de transmission de la sortie vers l’entrée lorsque
l’entrée est adaptée
Propriété des quadripôles passifs réciproques S12 = S21
Formalisme d’onde pour les quadripôles
Propriétés de la matrice [S] d’un quadripôle sans pertes
Puissance véhiculée par les ondes entrantes
1
2 1
2
Pin = a1 + a 2
2
2
a1
b1
a2
Quadripôle
Puissance véhiculée par les ondes sortantes
Pout =
1
2 1
2
b1 + b2
2
2
1
1
2 1
2
2 1
2
Quadripôle sans pertes : Pin = Pout ⇒ a1 + a 2 = b1 + b2
2
2
2
2
2
2
S11 + S 21 = 1
2
2
S12 + S 22 = 1
S11 S *12 + S 21 S * 22 = 0
Remarque : puissance active dissipée dans le quadripôle Pdis = Pin − Pout
b2