Mawhin Analyse Complet

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Analyse.Fondements,techniques,évolution.
(Analysis.Foundations,techniques,
evolution).2èmeéd.2èmeéd
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JeanMawhin
UniversitécatholiquedeLouvain
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Availablefrom:JeanMawhin
Retrievedon:02November2015

ANALYSE
Fondements, techniques, ´evolution
Jean Mawhin
Universit´e Catholique de Louvain

Pr´eface de la deuxi`eme ´edition
Ce Cours d’analyse constitue la partie th´eorique du cours de calcul diff´erentiel
et int´egral dispens´e aux ´etudiants de candidatures en sciences math´ematiques et
physiques `a l’Universit´e Catholique de Louvain. En le publiant, nous ne faisons
que suivre une tradition illustr´ee `a l’U.C.L. par Ph. Gilbert et Ch.J. de la Vall´ee
Poussin et, dans les autres universit´es belges, par A. Timmermans, A. Meyer, M.
Schaar, E. Catalan, P. Mansion, J. Neuberg, L. Godeaux et H.G.Garnir.
Le but de cet ouvrage est d’introduire les concepts et les r´esultats fondamentaux
du calcul diff´erentiel et int´egral, de d´evelopper les techniques correspondantes utiles
`a t a n t d e d i s c i p l i n e s s c i e n t i fi q u e s , e t d ’ o u v r i r `a q u e l q u e sdomainesimportantsde
l’analyse qui seront d´evelopp´es dans d’autres cours.
La notion de limite est le seul concept vraiment nouveau que l’analyse introduit.
Face `a une op´eration impossible pour les op´erations habituelles de l’arithm´etique
ou de l’alg`ebre, mais pour lesquelles un proc´ed´e de r´esolution “approch´ee” existe,
on cherche `a montrer que l’erreur commise peut ˆetre rendue arbitrairement petite
pour un choix appropri´e, et suffisamment vaste, de solutions approch´ees. C’est une
m´ethodologie proche de celle de l’exp´erimentateur ou du technicien, `a cela pr`es
qu’il n’y a pas de limitation a priori dans la pr´ecision.
Depuis la publication par L’Hospital, il y a exactement troiscentsans,dupre-
mier d’entre eux, la production de livres de calcul diff´erentiel et int´egral a ´et´e tr`es
abondante. Chaque auteur doit donc se justifier en d´egageantl’originalit´edeson
produit. Apr`es un premier chapitre rappelant le minimum indispensable sur le lan-
gage des ensembles, les nombres et l’espace vectoriel `a ndimensions, les suivants
abordent successivement les notions de limite, continuit´e etd´erivabilit´e en un point
pour les fonctions d’une ou de plusieurs variables r´eelles, en se limitant rigoureuse-
ment aux propri´et´es locales.Led´ebutantpeutainsiseconcentrersurlad´efinition
de limite et sur les techniques r´egissant son utilisation. L’ouvrage insiste plus que
d’autres sur la notion de fonction localement born´ee en un point: le produit d’une
fonction ayant une limite nulle par une fonction localement born´ee a une limite nulle,
et l’utilisation syst´ematique de ce r´esultat simplifie la d´emonstration de nombreuses
propri´et´es. C’est en particulier le cas pour l’´etude du d´e l i c a t c o n c e p t d e d´eriv´ee
totale d’une fonction de plusieurs variables. Le passage des propri´et´es locales aux
propri´et´es globales fait appel `a une variante de la compacit´e classique, le lemme de
Cousin, qui sera indispensable pour d´efinir, plus loin, la notion d’int´egrale. Les pro-
pri´et´es globales des fonctions continues sont syst´ematiquement d´emontr´es `a partir
de cette technique, qui privil´egie la notion de partition oud´ecoupage,plusconcr`ete
peut-ˆetre que celle de recouvrement. Le th´eor`emes et in´egalit´es de la moyenne pour
les fonctions d´erivables sont d’autres r´esultats globauximportantsdontd´ecoulent
de nouvelles techniques de calcul des limites. Le lemme de Cousin fournit aussi une
d´emonstration naturelle de l’indispensable crit`ere de Cauchy permettant de prou-
ver l’existence d’une limite sans en connaˆıtre a priori la valeur, une caract´eristique
pr´ecieuse en th´eorie de l’it´eration et dans ses applications aux fonctions implicites.

ii
Afin de minimiser, chez les d´ebutants, les confusions trop fr´equentes entre les
notions li´ees `a l’ordre et celles li´ees `a la distance, un chapitre regroupe les r´esultats
d´ependant de la structure d’ordre de la droite r´eelle. C’est l`a qu’apparaissent les
fonctions monotones, les fonctions convexes et les premi`eres fonctions transcen-
dantes ´el´ementaires: l’exponentielle et le logarithme. La notion de d´eriv´ee d’ordre
sup´erieur et le d´eveloppement de Taylor conduisent `a l’´etude des s´eries,permet-
tant l’introduction analytique des fonctions trigonom´etriques et des exponentielles
complexes. On dispose ainsi du mat´eriel n´ecessaire pour aborder les ´e q u a t i o n s
diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants.L’approchepropos´eenefaitappel
qu’`a des techniques simples d’alg`ebre lin´eaire sur des espaces convenables d’ex-
ponentielles-polynˆomes. Le probl`eme de Cauchy pour un syst`eme diff´erentiel est
introduit, et l’unicit´e de sa solution prouv´ee par des consid´erations ´el´ementaires.
La r´esolution de l’´equation diff´erentielle lin´eaire nonhomog`enelaplussimple
n’est rien d’autre que le probl`eme de la primitivation d’une fonction, qu’on r´esoud
explicitement pour certaines classes de fonctions ´el´ementaires, avant de se tourner,
dans le cas g´en´eral, vers le concept de r´esolution approch´ee infiniment pr´ecise men-
tionn´e plus haut. Son interpr´etation g´eom´etrique conduit tr`es naturellement `a une
approche nouvelle de l’int´egrale, due `a Kurzweil et Henstock, que nous enseignons
depuis une vingtaine d’ann´ees. Formellement tr`es proche de celle de Riemann,
dont elle conserve le support intuitif et la simplicit´e technique, cette d´efinition
fournit une int´egrale plus puissante que celle de Lebesgue capable, en particulier,
d’int´egrer toutes les d´eriv´ees. Cette approche autoriseuneprogressionnaturelle,
sans modification de d´efinition, depuis le calcul int´egral ´e l ´e m e n t a i r e j u s q u ’ a u x a s -
pects avanc´es de l’int´egrale de Lebesgue. Elle rend ´egalement inutile le concept
d’int´egrale g´en´eralis´ee ou impropre:cequiservaitded´efinition`acettenotionn’est
plus, ici, qu’un proc´ed´e de calcul d’une v´eritable int´egrale. On lui rattache na-
turellement la convergence simple ou absolue des s´eries, ce qui permet un traite-
ment unifi´e des crit`eres correspondants. On dispose alors des outils n´ecessaires pour
´e t u d i e r l a c o n t i n u i t ´e , l a d ´e r i v a b i l i t ´e e t l ’ i n t ´e g r a b ilit´e de limites de suites de fonc-
tions,lesensemblesetlesfonctionsmesurables et les repr´esentations int´egrales des
fonctions. A cette occasion sont introduites non seulement des fonctions sp´eciales
classiques comme les fonctions de Bessel, les fonctions betaetgammad’Euler,les
polynˆomes d’Hermite, la fonction hyperg´eom´etrique et lafonctionzeta,maisaussi
des fonctions continues non d´erivables, ces monstres math´e m a t i q u e s r ´e c e m m e n t
transform´es en paradigmes scientifiques par la th´eorie desfractales. C’est aussi le
moment de faire les premiers pas en analyse harmonique en introduisant les s´eries
et int´egrales de Fourier et le produit de convolution.
Apr`es avoir d´efini les int´egrales sur une courbe et sur une surface, les extensions
du th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel et int´egral aux fonctions de plusieurs
variables (formules de Green-Riemann, Stokes-Amp`ere, Gauss-Ostrogradsky) sont
pr´esent´ees d’une mani`ere g´en´erale et unifi´ee `a partirduconceptdeforme diff´e-
rentielle,indispensableaujourd’huiauxmath´ematiciensetauxphysiciens. Cette
´e l ´e g a n t e e t f ´e c o n d e t h ´e o r i e t r o u v e d e s a p p l i c a t i o n s d i rectes en analyse vectorielle,
et dans l’´etude globale des fonctions C-d´erivables d’une variable complexe. Les
concepts fondamentaux de la th´eorie des fonctions holomorphes sont ainsi d´egag´es,

iii
pour aboutir `a cette puissante technique de calcul que constitue le th´eor`eme des
r´esidus.
La notion d’espace m´etrique avec, comme cas particulier, les plus importants
espaces de Banach, est alors introduite. Elle unifie de nombreux types de passage`a
la limite d´efinis pr´ec´edemment et fournit des th´eor`emesd’existenceauprobl`eme de
Cauchy pour les syst`emes diff´erentiels. Elle m`ene au calcul des variations,illustra-
tion exemplaire de cette analyse fonctionnelle qui ´etudie les fonctions d´efinies sur
des espaces de fonctions, et outil fondamental dans la formulation et l’´etude des
lois de la m´ecanique et de la physique.
L’ouvrage se termine par un index historique, qui, en plus de son rˆole pratique
usuel, montre que la math´ematique est une oeuvre humaine en constante ´evolution,
esquisse quelques d´eveloppements r´ecents et formule plusieurs probl`emes ouverts.
Des exemples vari´es illustrent les d´efinitions, et des contre-exemples montrent la
n´ecessit´e des hypoth`eses de nombreux th´eor`emes. Ils serviront de mod`eles au lecteur
pour en construire lui-mˆeme de nombreux autres. A la fin de chaque chapitre sont
rassembl´es des exercices,quiproposentuneapprochepluspersonnelle`aquelques
compl´ements th´eoriques. Une petite anthologie rejoint les pr´eoccupations de l’index
historique en montrant, par des citations appropri´ees de math´ematiciens c´el`ebres,
l’´evolution de l’´enonc´e des grands concepts et des grandsr´esultatsduchapitre.Le
lecteur pourra juger par lui-mˆeme si, comme on peut l’esp´erer, cette ´evolution s’est
faite dans le sens d’une plus grande clart´e et d’une plus grande pr´ecision.
Il reste `a parler des figures, totalement absentes de cet ouvrage. Si elles ont cess´e
d’ˆetre indispensables `a la pr´esentation rigoureuse de l’analyse, elles demeurent un
pr´ecieux outil de compr´ehension et de d´ecouverte. Absentes du support ´ecrit, o`u ne
pourrait subsister que le r´esidu fig´e du processus dynamique de leur construction,
les figures sont omnipr´esentes dans l’expos´e oral, avec la dimension temporelle, si
importante, de leur trac´e. Le lecteur devra donc illustrer,parsespropresfigures,
les notions et les th´eor`emes introduits.
Chacun sait qu’il est difficile d’apprendre une mati`ere d´elicate en consultant un
seul ouvrage. Tout enseignant qui publie un livre esp`ere susciter la lecture d’autres
trait´es. En se limitant `a un choix restreint, mais issu d’horizons divers, on peut
citer, parmi de nombreux livres de niveau et d’esprit assez proches de celui-ci, les
r´ef´erences suivantes:
T. Apostol, Mathematical Analysis,Addison-Wesley,Reading,1974,
G. Chilov, Analyse math´ematique,3vol.,Mir,Moscou,1973,
H.G. Garnir, Fonctions de variables r´eel le s,2vol.,Vander,Leuven,1970,
R. Remmert, Theory of Complex Functions,Springer,NewYork,1991,
W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill,NewYork,1975,
W. Walter, Analysis I und II,Springer,Berlin,1990.
Le lecteur qui reste sur sa faim poursuivra son effort avec beaucoup de profit
en lisant l’incomparable livre