COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 1

COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES
Cours
Terminale S
1. Fonctions trigonométriques
1) Rappel
Définition 1 : Soit un nombre réel x et M le point du cercle trigonométrique associé par
l’enroulement de l’axe des nombres réels autour du cercle trigonométrique.
- L’abscisse du point M s’appelle le cosinus du nombre réel x et se note cos(x).
- L’ordonnée du point M s’appelle le sinus du nombre réel x et se note sin(x).
Remarques : ● Les fonctions x ֏ cos ( x ) et x ֏ sin ( x ) sont définies sur R.
(
)
● x est en mesure, en radians, de l’angle orienté OI ,OM .
2) Propriétés
Propriété 1 : Quel que soit le réel x, cos ( x + 2π ) = cos ( x ) et sin ( x + 2π ) = sin ( x ) .
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π.
Propriété 2 : Quel que soit le réel x, cos ( − x ) = cos ( x ) )
On dit que la fonction cosinus est paire.
La représentation graphique de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
Quel que soit le réel x, sin ( − x ) = − sin ( x ) )
On dit que la fonction sinus est impaire.
La représentation graphique de la fonction sinus est symétrique par rapport à origine du
repère.
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C. Lainé
3) Variations et représentations graphiques
Les propriétés 1 et 2 permettent d’étudier les fonctions cosinus et sinus sur [0 ; π ] .
En utilisant la parité, on en déduira les variations sur [ −π ; π ] , puis la périodicité pour
travailler sur R.
a) La fonction cosinus
Propriété 3 : La fonction cos est dérivable sur R.
Pour tout réel x, cos′ ( x ) = − sin ( x ) .
Tableau de variations :
Représentation graphique :
b) La fonction sinus
Propriété 3 : La fonction sin est dérivable sur R.
Pour tout réel x, sin′ ( x ) = cos ( x ) .
Tableau de variations :
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Représentation graphique :
4) Conséquence
La fonction sinus est dérivable en 0 ; d’où lim
sin ( x ) − sin ( 0 )
x−0
x →0
Or lim
sin ( x ) − sin ( 0 )
x →0
x−0
= lim
sin ( x )
x →0
Par conséquent, lim
x→0
sin ( x )
x
x
= sin′ ( 0 ) .
et sin′ ( 0 ) = cos ( 0 ) = 1.
=1
2. Calculs de dérivées : compléments
1) Composée d’une fonction avec une fonction affine
n
Théorème (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Pour tout réel x, tel que ax + b appartienne à I, la fonction g : x ֏ f ( ax + b) est dérivable
sur I et pour tout réel x de I : g ′ ( x ) = a × f ′ ( ax + b ) .
Exemple : Soit f la fonction définie par f ( x ) = 3x + 6 .
f ( x ) existe si 3 x + 6 ≥ 0 , c’est-à-dire si x ≥ −2 ; ainsi Df = [ −2 ; + ∞[ .
Pour tout réel x de Df , on peut écrire f ( x ) = g ( 3 x + 6 ) où g est la fonction racine carrée
X֏ X.
La fonction g est dérivable sur ]0 ; + ∞[ , et pour tout X > 0 , g ′ ( X ) =
1
2 X
.
On a X > 0 lorsque x > −2 .
Par conséquent, f est dérivable sur Df = ]−2 ; + ∞[ et pour tout x > −2 , f ′ ( x ) =
3
2 3x + 6
.
2) Composée d’une fonction de référence avec une fonction
Un
Propriété 4 (admise) : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle
u′ ( x )
′
I. La fonction x ֏ u ( x ) est dérivable sur I et pour tout réel x de I : u ( x ) =
.
2 u ( x)
( )
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On retient :
( u )′ = 2u′u .
Exemple : Soit f la fonction définie sur [1 ; + ∞[ par f ( x ) = x 2 - 1 .
On a f ( x ) = u ( x ) avec u ( x ) = x2 − 1 .
De plus, u ( x ) > 0 si x > 1, et, u est dérivable sur ]1 ; + ∞[ ; pour tout x de ]1 ; + ∞[ ,
u′ ( x ) = 2x .
Donc f est dérivable sur ]1 ; + ∞[ et pour tout x > 1, f ′ ( x ) =
2x
2 x2 − 1
=
x
x2 − 1
.
Propriété 5 (admise) : Soit n un entier relatif non nul et u une fonction dérivable sur un
intervalle I, et dans le cas où n est négatif, ne s’annulant pas sur I.
La fonction x ֏ u n ( x ) est dérivable sur I et pour tout réel x de I :
(u n )′ ( x ) = n × u ′ ( x ) × ( u n−1 ) ( x ) . On retient : (u n )′ = n × u′ × u
n−1
.
Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = sin 2 ( x ) .
On a f ( x ) = u 2 ( x ) avec u ( x ) = sin ( x ) .
u est dérivable sur R ; pour tout réel x, u′ ( x ) = cos ( x ) .
Donc f est dérivable sur R et pour tout réel x, f ′ ( x ) = 2 × f ′ ( x ) × u 2−1 ( x ) = 2cos ( x ) sin ( x ) .
Remarque : Ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d’une fonction
composée x ֏ f u ( x ) .
(
)
(
)
(
)
On admettra le résultat général : x ֏ f u ( x ) a pour fonction dérivée x ֏ u ′ ( x ) × f ′ u ( x ) .
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