COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 1

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C. Lainé
COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES
Cours Terminale S
1. Fonctions trigonométriques
1) Rappel
Définition 1 : Soit un nombre réel x et M le point du cercle trigonométrique associé par
l’enroulement de l’axe des nombres réels autour du cercle trigonométrique.
- L’abscisse du point M s’appelle le cosinus du nombre réel x et se note cos( x ).
- L’ordonnée du point M s’appelle le sinus du nombre réel x et se note sin( x ).
Remarques : ● Les fonctions
(
)
(
)
cos et sin
֏ ֏
x x x x
sont définies sur R .
● x est en mesure, en radians, de l’angle orienté
(
)
,
O OM
I .
2) Propriétés
Propriété 1 : Quel que soit le réel x,
(
)
(
)
(
)
(
)
cos 2 cos et sin 2 sin π π + = + =
x x x x
.
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 π
ππ
π .
Propriété 2 : Quel que soit le réel x,
(
)
(
)
cos cos− =
x x
)
On dit que la fonction cosinus est paire .
La représentation graphique de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées .
Quel que soit le réel x,
(
)
(
)
sin sin− = −
x x
)
On dit que la fonction sinus est im paire .
La représentation graphique de la fonction sinus est symétrique par rapport à origine du
repère .

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C. Lainé
3) Variations et représentations graphiques
Les propriétés 1 et 2 permettent d’étudier les fonctions cosinus et sinus sur
[
]
0 ;
π
.
En utilisant la parité, on en déduira les variations sur
[
]
;
π π
−
, puis la périodicité pour
travailler sur R .
a) La fonction cosinus
Propriété 3 : La fonction cos est dérivable sur R .
Pour tout réel x,
(
)
(
)
cos sin
′= −
x x
.
Tableau de variations :
Représentation graphique :
b) La fonction sinus
Propriété 3 : La fonction sin est dérivable sur R .
Pour tout réel x,
(
)
(
)
sin cos
′=
x x
.
Tableau de variations :

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C. Lainé
Représentation graphique :
4) Conséquence
La fonction sinus est dérivable en 0 ; d’où
(
)
(
)
( )
0
sin sin 0
lim sin 0
0
→
−
′
=
−
x
x
x
.
Or
(
)
(
)
(
)
0 0
sin sin 0 sin
lim lim
0
→ →
−=
−
x x
x x
x x
et
(
)
(
)
sin 0 cos 0 1
′
= =
.
Par conséquent,
(
)
0
sin
lim 1
→
→→
→
=
==
=
x
x
x
2. Calculs de dérivées : compléments
1) Composée d’une fonction avec une fonction affine n
Théorème (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Pour tout réel x , tel que
+
ax b
appartienne à I, la fonction g :
(
)
+
֏
f
x ax b
est dérivable
sur I et pour tout réel x de I :
(
)
(
)
′ ′
= × +
g f
a ax b
x
.
Exemple : Soit f la fonction définie par
(
)
f x = 3x + 6
.
(
)
f
x
existe si
3 6 0
+ ≥
x
, c’est-à-dire si
2
≥ −
x
; ainsi
[
[
2 ;
f
D
= − +∞
.
Pour tout réel
x
de
f
D
, on peut écrire
(
)
(
)
3 6
= +
f g xx
où g est la fonction racine carrée
֏
X X
.
La fonction g est dérivable sur
]
[
0 ;
+∞
, et pour tout X > 0 ,
( )
1
2
′=g
X
X
.
On a X > 0 lorsque
2
> −
x
.
Par conséquent, f est dérivable sur
]
[
2 ;
f
D
= − +∞
et pour tout
2
> −
x
,
( )
′3
2 3 6
=
==
=
+
++
+
x
x f
.
2) Composée d’une fonction de référence avec une fonction Un
Propriété 4 (admise) : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle
I . La fonction
(
)
֏u
x x
est dérivable sur I et pour tout réel x de I :
( )
( )
(
)
( )
2
′
′=u
uu
x
x
x
.

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C. Lainé
On retient :
( )
2
′
′=
u
u
u
.
Exemple : Soit f la fonction définie sur
[
[
1 ;
+∞
par
( )
2
f x = x - 1
.
On a
(
)
(
)
=f u
x x
avec
(
)
2
1
= −
uxx
.
De plus,
(
)
0
>
ux
si
1
>
x
, et, u est dérivable sur
]
[
1 ;
+∞
; pour tout x de
]
[
1 ;
+∞
,
(
)
2
′=u
x
x
.
Donc f est dérivable sur
]
[
1 ;
+∞
et pour tout
1
>
x
,
( )
′
2 2
2
2 1 1
= =
= == =
= =
− −
− −− −
− −
x x
x x
x f
.
Propriété 5 (admise) : Soit n un entier relatif non nul et u une fonction dérivable sur un
intervalle I , et dans le cas où n est négatif, ne s’annulant pas sur I .
La fonction
(
)
֏
u
n
x x
est dérivable sur I et pour tout réel x de I :
( )
( ) ( )
( )
( )
1−
′′
= × ×u u u
n n
x n x x
. On retient :
( )
1
−
′′
= × ×
u u u
n
n
n
.
Exemple : Soit f la fonction définie sur R par
(
)
(
)
f x = sin x
2
.
On a
(
)
(
)
2
=f u
x x
avec
(
)
(
)
sin=u
x
x
.
u est dérivable sur R ; pour tout réel x ,
(
)
(
)
cos
′=u
x
x
.
Donc f est dérivable sur R et pour tout réel x ,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1
2
−
′ ′
× × 2cos sinf ux x= =
= == =
= =
x x x
f
.
Remarque : Ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d’une fonction
composée
(
)
(
)
֏f x u
x
.
On admettra le résultat général :
(
)
(
)
֏f x u
x
a pour fonction dérivée
(
)
(
)
(
)
′ ′
×֏u f x u x
x
.