exos comp

L.S.C.J.Gafsa
SERIE N° 3 ( complexes 4è.Math )
B.Tabbabi
Exercice 1 : ( contrôle 2012 )
Soit a un réel strictement positif
1.Résoudre dans  l’équation : z ² - ( 1 + i )a z + ia² = 0.

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v .


On désigne par A et B les points d’affixes respectives a et ia.
a.Quelle est la nature du triangle OAB ?
b.Déterminer l’affixe du point C tel que OACB est un carré.
3.Soient P et Q les points tels que les triangles OAP et AQC sont équilatéraux de sens direct.
1
3
a.Montrer que l’affixe de P est égale à   i
a .
2 
2
b.Calculer l’affixe du point Q.
c.Montrer que les points B,P et Q sont alignés.
Exercice 2:
 étant un réel de l’intervalle  0,2  ;
on pose pour tout nombre complexe z ,f  ( z ) = z ² - ( i + e
i
) z + ( 1 + i ) ( -1 + e i ).
1)a. Vérifier que f  ( 1 + i ) = 0.
b.En déduire les solutions z ’ et z ’’ de l’équation ,dans  , f  ( z ) = 0.
 
2)Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O , u , v .


On considère les points A , B et M d’affixes respectives -1 , i 3 et -1 + e i .
a.Montrer que lorsque  varie dans  0,2  ,M varie sur un cercle ( C ) de centre A et dont on précisera le
rayon.
b.Déterminer les valeurs de  pour lesquelles la droite ( BM ) est tangente au cercle ( C ).
Exercice 3 : ( principale 2010 )



Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v .On note A le point d'affixe -2.
3
On considère l'équation ( E ) : 3z - 2z² + 4z + 16 = 0 .
3
2
Soit   * et M , N et P les points d'affixes respectives  ,  ² et
8
.

1.Montrer que si   * alors les points M,N et P sont alignés.
Dans la suite de l'exercice on suppose que  n'appartient pas à  .
2.Montrer que si MNAP est un parallélogramme alors  est une solution de ( E ).
3.Dans cette question on prend   1  i 3 .
3
2
a.Donner l'écriture exponentielle de chacun des nombres complexes  ,  ² et



8
.

Placer dans le repère O,u,v les points A,M,N et P.
3
2
b.Donner l'écriture algébrique de chacun des nombres complexes  ,  ² et
8
.

Montrer que MNAP est un parallélogramme.
4.a.Montrer que si  est une solution de ( E ) alors  est une solution de ( E ).
b.En déduire les affixes des points M pour lesquels MNAP est un parallélogramme.
voir verso 
Exercice 4 :
1) Résoudre dans  l’équation : z ² + ( 6 + 5i ) z + 2 + 16i = 0.
2)Soit f ( z ) = z 3 + 2( 3 + 2i )z ² + ( 7 + 10i ) z + 16 - 2i.
a.Déterminer le nombre complexe  tel que pour tout nombre complexe z on a :
f ( z ) = ( z -  ) ( z ² + ( 6 + 5 i ) z + 2 + 16i ).
b. Résoudre alors f ( z ) = 0.
 
3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O , u , v .


On considère les points A , B et C d’affixes respectives z A  i , zB = - 4 - 2i et z C = - 2 – 3i et on désigne par z I
l’affixe du point I milieu de  AC  .
a.Représenter les points A , B , C et I.
b.Montrer que le triangle ABC est rectangle.
4 ) a.Construire les points D et E tels que BAD et BEC sont des triangles directs rectangles
et isocèles en B.Soient z D et z E les affixes respectives des points D et E.
z z
z z
z z
b.Sans calculer z D et z E ,trouver le module et un argument de D B et en déduire que : D B = B E = i
z A  zB
z A  zB
zC  z B
z z
c.Montrer que D E = i.
d.En déduire que DE = 2BI et ( DE )  ( BI ).
2  zI  zB 
Exercice 5 :
Soit  un réel de l'intervalle 0,  .
1.Résoudre dans  l'équation z ² - 2iz -1 - e 2i = 0.
 
2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct  O,u,v  ,on considère les points A;M et N d'affixes
respectives -1 + i , i  ei et i  ei .
a.Vérifier ques les points A,M et N sont deux à deux distincts.
 
b.Montrer que les vecteurs AM et AN sont orthogonaux.
c.Déterminer l'affixe du point I milieu du segment  MN 
d.Déterminer l'ensemble des points M lorsque  varie dans 0,  . En déduire l'ensemble des points N lorsque
 varie dans 0,  .
3.a.Calculer en fonction de  l'aire A   du triangle AMN.
b.Déterminer la valeur de  pour laquelle A   est maximale puis placer dans ce cas les points M et N.
Exercice 6 :
Soit dans  l'équation ( E n ) :  z  1n   z  1n où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
1.Résoudre l’équation ( E 3 ).
2.En utilisant la formule du binôme,montrer que le degré de ( E n ) est n – 1.
 
3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O , u , v .


En considérant les points A et B d’affixes respectives -1 et 1,montrer que les solutions de ( E n ) sont
imaginaires pures.
4.Soient z   \ 1 et    \ 2k  ; k   .Montrer que
z 1
 
 ei si et seulement si z  - icotan   .
z 1
2
5.En déduire les solutions de ( E n ) .
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