exos comp

L.S.C.J.Gafsa SERIE N° 3 ( complexes 4è.Math ) B.Tabbabi
Exercice 1 : ( contrôle 2012 )
Soit a un réel strictement positif
1.Résoudre dans
l’équation : z ² - ( 1 + i )a z + ia² = 0.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
.
On désigne par A et B les points d’affixes respectives a et ia.
a.Quelle est la nature du triangle OAB ?
b.Déterminer l’affixe du point C tel que OACB est un carré.
3.Soient P et Q les points tels que les triangles OAP et AQC sont équilatéraux de sens direct.
a.Montrer que l’affixe de P est égale à
1 3
2 2
i a
.
b.Calculer l’affixe du point Q.
c.Montrer que les points B,P et Q sont alignés.
Exercice 2:
étant un réel de l’intervalle
0,2
;
on pose pour tout nombre complexe z ,f
( z ) = z ² - ( i + e
i
) z + ( 1 + i ) ( -1 + e
i
).
1)a. Vérifier que f
( 1 + i ) = 0.
b.En déduire les solutions z ’ et z ’’ de l’équation ,dans
, f
( z ) = 0.
2)Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
O , u , v
.
On considère les points A , B et M d’affixes respectives -1 , i
3
et -1 + e
i
.
a.Montrer que lorsque
varie dans
0,2
,M varie sur un cercle ( C ) de centre A et dont on précisera le
rayon.
b.Déterminer les valeurs de
pour lesquelles la droite ( BM ) est tangente au cercle ( C ).
Exercice 3 : ( principale 2010 )
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
.On note A le point d'affixe -2.
On considère l'équation ( E ) : 3z
3
- 2z² + 4z + 16 = 0 .
Soit
*
et M , N et P les points d'affixes respectives
3 8
, ² et
2
.
1.Montrer que si
*
alors les points M,N et P sont alignés.
Dans la suite de l'exercice on suppose que
n'appartient pas à
.
2.Montrer que si MNAP est un parallélogramme alors
est une solution de ( E ).
3.Dans cette question on prend
1 i 3 
.
a.Donner l'écriture exponentielle de chacun des nombres complexes
3 8
, ² et
2
.
Placer dans le repère
O,u,v
les points A,M,N et P.
b.Donner l'écriture algébrique de chacun des nombres complexes
3 8
, ² et
2
.
Montrer que MNAP est un parallélogramme.
4.a.Montrer que si
est une solution de ( E ) alors
est une solution de ( E ).
b.En déduire les affixes des points M pour lesquels MNAP est un parallélogramme.
voir verso

Exercice 4 :
1) Résoudre dans
l’équation : z ² + ( 6 + 5i ) z + 2 + 16i = 0.
2)Soit f ( z ) = z
3
+ 2( 3 + 2i )z ² + ( 7 + 10i ) z + 16 - 2i.
a.Déterminer le nombre complexe
tel que pour tout nombre complexe z on a :
f ( z ) = ( z -
) ( z ² + ( 6 + 5 i ) z + 2 + 16i ).
b. Résoudre alors f ( z ) = 0.
3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
O , u , v
.
On considère les points A , B et C d’affixes respectives z
i
A
,
B
z = - 4 - 2i
et z
C
= - 2 – 3i et on désigne par z
I
l’affixe du point I milieu de
AC
.
a.Représenter les points A , B , C et I.
b.Montrer que le triangle ABC est rectangle.
4 ) a.Construire les points D et E tels que BAD et BEC sont des triangles directs rectangles
et isocèles en B.Soient z
D
et z
E
les affixes respectives des points D et E.
b.Sans calculer z
D
et z
E
,trouver le module et un argument de
D
A B
zB z
z z
et en déduire que :
D
A B
zB z
z z
=
BE
C B
z z
z z
= i
c.Montrer que
2D E
I B
z z
z z
= i. d.En déduire que DE = 2BI et ( DE )
( BI ).
Exercice 5 :
Soit
un réel de l'intervalle
0,
.
1.Résoudre dans
l'équation z ² - 2iz -1 -
2i
e
= 0.
2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
,on considère les points A;M et N d'affixes
respectives -1 + i , i
i
e
et
i
i e
.
a.Vérifier ques les points A,M et N sont deux à deux distincts.
b.Montrer que les vecteurs
AM et AN
sont orthogonaux.
c.Déterminer l'affixe du point I milieu du segment
MN
d.Déterminer l'ensemble des points M lorsque
varie dans
0,
. En déduire l'ensemble des points N lorsque
varie dans
0,
.
3.a.Calculer en fonction de
l'aire
A
du triangle AMN.
b.Déterminer la valeur de
pour laquelle
A
est maximale puis placer dans ce cas les points M et N.
Exercice 6 :
Soit dans
l'équation ( E
n
) :
n n
z 1 z 1  
où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
1.Résoudre l’équation ( E
3
).
2.En utilisant la formule du binôme,montrer que le degré de ( E
n
) est n – 1.
3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O , u , v
.
En considérant les points A et B d’affixes respectives -1 et 1,montrer que les solutions de ( E
n
) sont
imaginaires pures.
4.Soient z
\1
et
\ k2
; k
.Montrer que
i
z 1 e
z 1 
si et seulement si z
- icotan
2
.
5.En déduire les solutions de ( E
n
) .
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