1ESLesson7

Leçon 7
Les fonctions numériques
en économie
Connaissant les fonctions numériques de base, nous pouvons faire quelques exercices sur des
fonctions classiques que nous rencontrons dans les problèmes à caractère économique en
1
re
ES. Il s’agit de fonctions mesurant le coût de fabrication, le coût moyen ; le problème de
l’offre et de la demande et enfin l’étude d’un bénéfice.
Certains problèmes utilisent le degré 3, aussi il est bien de connaître les identités
remarquables du degré 3.
32233
bab3ba3a)ba( +++=+
32233
bab3ba3a)ba( −+−=−
)baba)(ba(ba
2233
++−=−
)baba)(ba(ba
2233
+−+=+
Pour démontrer ces formules, pour les deux premières, nous développons
)ba()ba()ba(
23
++=+ et )ba()ba()ba(
23
−−=− et pour les deux dernières, nous
développons le second membre pour retrouver l’expression cherchée.
Pour entraînement,
Développer
33
)x5(;)1x2( −+ .
Factoriser
3333
)4x()1x2(;x12527;8x −−++− . (Voir correction ci-après)
Développements.
323233
xx15x75125)x5(;1x6x12x8)1x2( −+−=−+++=+ .
Factorisations.
)x25x159)(x53(x12527;)4x2x)(2x(8x
2323
+−+=+++−=−
[
]
[
]
2233
)4x()4x)(1x2()1x2()4x()1x2()4x()1x2( −+−+++−−+=−−+
)16x8x4xx8x21x4x4)(5x(
222
+−+−+−++++=
)13x11x7)(5x(
2
+−+=
Si on calcule le discriminant du polynôme de degré 2 apparaissant dans la parenthèse, il est
négatif donc la factorisation s’arrête ici.
On peut vérifier ces calculs en remplaçant x par 1 et en calculant au début et à la fin du calcul
algébrique.
Voyons maintenant la fiche d’exercices sur cette leçon.

Lycée Première ES
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Classe :
Fiche Leçon 7
Les fonctions économiques
Exercice 1
Dans une entreprise, le coût total en K€, en fonction du nombre q d’objets fabriqués est donné
par la fonction suivante : C(q)
=
q
2
+ 8q + 64 q en centaines d’objets et q∈[1 ; 30]
a) Etudier la fonction C et représenter-la graphiquement.
b) Que peut-on en déduire pour le coût total ?
c) Déterminer q pour que le coût soit égal à 624 K€.
On veut étudier le coût moyen de fabrication, C
M
(q) q)q(C =. Expliciter cette fonction C
M
.
d) Etudier-là sur l’intervalle [1 ; 30]. Dérivée, tableau de variations, courbe.
e) Quel le coût moyen minimal ?
f) Cette entreprise peut supporter jusqu’à 28 K€ de coût moyen. Chercher q tels que
C
M
(q) ≤ 28.
Exercice 2
Une enquête est menée pour fixer le prix moyen d’un magazine grand public. Il ressort de
cette enquête que le nombre de demandes D(x) de ces magazines en fonction du prix x serait
donné par la fonction :
D(x) 734x8,52
+
−
=
x∈[2 ; 10], x en euros et D en milliers d’exemplaires.
La maison d’édition étudiant sa production sait que l’offre O est aussi fonction du prix x du
magazine et que cette offre est donnée par :
O(x) 500
x
600 +−= x∈[2 ; 10], x en euros et O en milliers d’exemplaires.
a) Etudier ces deux fonctions et représenter les sur un même graphique.
b) Le prix d’équilibre est le prix que l’on trouve à l’intersection des deux courbes.
Déterminer une valeur approchée sur le graphique puis déterminer ce prix d ‘équilibre
par le calcul.
Exercice 3
Nous prenons à nouveau la fonction coût de l’exercice 1 :
C(q)
=
q
2
+ 8q + 64 q en centaines d’objets et q∈[1 ; 30].
Nous voulons maintenant étudier le bénéfice réalisé par la vente des objets fabriqués. On
suppose qu’une centaine d’objets est vendue 31,2 K€.
a) Soit R la recette, donner R en fonction de q.
b) Tracer sur un même graphique les courbes représentant R et C.
Comment peut-on analyser ce graphique ?
c) On appelle B le bénéfice, exprimer B en fonction de q et étudier cette fonction.
Déterminer le bénéfice maximum.

Exercice 4
La valeur du machine est donnée par la fonction suivante :
V(t) 1t5,0 30+ = t en années et V en K€
Quel était le prix de la machine neuve ?
Calculer le prix au bout de 4 ans
Au bout de combien de temps, cette machine vaudra-t-elle 50 % de sa valeur de départ ?
Etudier cette fonction et représenter la pour t∈[0 ; 10].
Exercice 5
Dans une entreprise, le coût total hors frais fixes est donné par
C(q) q120q20q
23
+−= q∈[0 ; 20]
a) Etudier cette fonction et tracer sa courbe.
b) Exprimer le coût moyen en fonction de q et déterminer le coût moyen minimal.

Correction
Exercice 1
a) C(q)
=
q
2
+ 8q + 64 q en centaines d’objets et q∈[1 ; 30]
Pour étudier cette fonction, nous calculons sa dérivée :
C’(q) 8q2
+
=
, elle est toujours positive pour tout q∈[1 ; 30] et donc C est une fonction
monotonement croissante sur q∈[1 ; 30].
q 1 30
2q + 8 +
C(q) 1 204
73
b) Comme nous l’avons déjà dit, le coût total est en constante augmentation.
c) Cherchons q∈[1 ; 30] tels que C(q) 624
=
. C’est une équation avec un polynôme de
degré 2. q
2
+ 8q + 64
⇔
=
624 q
2
+ 8q −560 0
=
∆ ac4b
2
−=
∆3042)560(464
=
−
−
=
, nous avons deux solutions :
=
+−
=
∆+−
=
2
488
a
2
b
q1 20 ; 28
2
488
a
2
b
q2−=
−−
=
∆−−
= ∉[1 ; 30].
Le coût sera égal à 624 K€ si on fabrique 2 000 objets.
On peut évidemment vérifier sur le graphique en traçant une horizontale à y 624
=
.

d) C
M
(q) q
64
8q
q64q8q q)q(C
2
++=
++
== .
Fonction parfaitement définie pour q∈[1 ; 30]
Etudions-la :
C
M
’(q)
22
2
2
q
)8q)(8q(
q
64q
q
64
1+− =
−
=−= en effet la dérivée de
q
1est
2
q
1
− puis on
multiplie par 64.
q 1 8 30
CM’(q) − 0 +
73 ≈ 40,13
CM(q)
m
Le coût moyen minimum m sera atteint pour q 8
=
. m
24
=
K€.
Pour 800 objets fabriqués, le coût sera minimum et égal à 24 K€.
f) Nous cherchons maintenant q tels que CM(q) ≤ 28. Il s’agit d’une inéquation.
q2864q8q28
q
64
8q
2
≤++⇔≤++ (multiplions par q qui est positif) et on a donc
064q20q
2
≤+−
16
2
1220
q;4
2
1220
q;144
21
=
+
==
−
==∆ .
D’après le théorème sur le signe de ax
2
+ bx + c, a ≠ 0 et
∆
> 0, nous aurons la solution
entre les deux racines.
Le coût moyen sera inférieur ou égal à 28 K€ si q ∈
∈∈
∈ [4 ; 16] c’est-à-dire entre 400 et
1600 objets.
Graphique
Signe de (q – 8)(q + 8)
pour q ∈ [1 ; 30].
(q
2
> 0)