Leçon 7 Les fonctions numériques en économie Connaissant les fonctions numériques de base, nous pouvons faire quelques exercices sur des fonctions classiques que nous rencontrons dans les problèmes à caractère économique en 1reES. Il s’agit de fonctions mesurant le coût de fabrication, le coût moyen ; le problème de l’offre et de la demande et enfin l’étude d’un bénéfice. Certains problèmes utilisent le degré 3, aussi il est bien de connaître les identités remarquables du degré 3. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) Pour démontrer ces formules, pour les deux premières, nous développons (a + b) = (a + b) (a + b) et (a − b) = (a − b) (a − b) et pour les deux dernières, nous développons le second membre pour retrouver l’expression cherchée. Pour entraînement, Développer 3 2 3 2 (2 x + 1) 3 ; (5 − x ) 3 . Factoriser x 3 − 8 ; 27 + 125x 3 ; (2 x + 1) 3 − ( x − 4) 3 . (Voir correction ci-après) Développements. (2 x + 1) 3 = 8x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 ; (5 − x ) 3 = 125 − 75x + 15x 2 − x 3 . Factorisations. x 3 − 8 = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) ; 27 + 125x 3 = (3 + 5x )(9 − 15x + 25x 2 ) [ (2 x + 1) 3 − ( x − 4) 3 = [(2 x + 1) − ( x − 4)] (2 x + 1) 2 + (2 x + 1)( x − 4) + ( x − 4) 2 ] = ( x + 5)(4 x 2 + 4 x + 1 + 2 x 2 − 8x + x − 4 + x 2 − 8x + 16) = ( x + 5)(7 x 2 − 11x + 13) Si on calcule le discriminant du polynôme de degré 2 apparaissant dans la parenthèse, il est négatif donc la factorisation s’arrête ici. On peut vérifier ces calculs en remplaçant x par 1 et en calculant au début et à la fin du calcul algébrique. Voyons maintenant la fiche d’exercices sur cette leçon. Lycée Elève : Classe : Première ES Fiche Leçon 7 Les fonctions économiques Exercice 1 Dans une entreprise, le coût total en K€, en fonction du nombre q d’objets fabriqués est donné q en centaines d’objets et q∈[1 ; 30] par la fonction suivante : C(q) = q2 + 8q + 64 a) Etudier la fonction C et représenter-la graphiquement. b) Que peut-on en déduire pour le coût total ? c) Déterminer q pour que le coût soit égal à 624 K€. C (q ) On veut étudier le coût moyen de fabrication, CM(q) = . Expliciter cette fonction CM . q d) Etudier-là sur l’intervalle [1 ; 30]. Dérivée, tableau de variations, courbe. e) Quel le coût moyen minimal ? f) Cette entreprise peut supporter jusqu’à 28 K€ de coût moyen. Chercher q tels que CM(q) ≤ 28. Exercice 2 Une enquête est menée pour fixer le prix moyen d’un magazine grand public. Il ressort de cette enquête que le nombre de demandes D(x) de ces magazines en fonction du prix x serait donné par la fonction : D(x) = −52,8x + 734 x∈[2 ; 10], x en euros et D en milliers d’exemplaires. La maison d’édition étudiant sa production sait que l’offre O est aussi fonction du prix x du magazine et que cette offre est donnée par : 600 + 500 x∈[2 ; 10], x en euros et O en milliers d’exemplaires. x a) Etudier ces deux fonctions et représenter les sur un même graphique. b) Le prix d’équilibre est le prix que l’on trouve à l’intersection des deux courbes. Déterminer une valeur approchée sur le graphique puis déterminer ce prix d ‘équilibre par le calcul. O(x) = − Exercice 3 Nous prenons à nouveau la fonction coût de l’exercice 1 : C(q) = q2 + 8q + 64 q en centaines d’objets et q∈[1 ; 30]. Nous voulons maintenant étudier le bénéfice réalisé par la vente des objets fabriqués. On suppose qu’une centaine d’objets est vendue 31,2 K€. a) Soit R la recette, donner R en fonction de q. b) Tracer sur un même graphique les courbes représentant R et C. Comment peut-on analyser ce graphique ? c) On appelle B le bénéfice, exprimer B en fonction de q et étudier cette fonction. Déterminer le bénéfice maximum. Exercice 4 La valeur du machine est donnée par la fonction suivante : 30 t en années et V en K€ V(t) = 0,5t + 1 Quel était le prix de la machine neuve ? Calculer le prix au bout de 4 ans Au bout de combien de temps, cette machine vaudra-t-elle 50 % de sa valeur de départ ? Etudier cette fonction et représenter la pour t∈[0 ; 10]. Exercice 5 Dans une entreprise, le coût total hors frais fixes est donné par C(q) = q 3 − 20q 2 + 120q q∈[0 ; 20] a) Etudier cette fonction et tracer sa courbe. b) Exprimer le coût moyen en fonction de q et déterminer le coût moyen minimal. Correction Exercice 1 a) C(q) = q2 + 8q + 64 q en centaines d’objets et q∈[1 ; 30] Pour étudier cette fonction, nous calculons sa dérivée : C’(q) = 2q + 8 , elle est toujours positive pour tout q∈[1 ; 30] et donc C est une fonction monotonement croissante sur q∈[1 ; 30]. q 1 2q + 8 30 + C(q) 1 204 73 b) Comme nous l’avons déjà dit, le coût total est en constante augmentation. c) Cherchons q∈[1 ; 30] tels que C(q) = 624 . C’est une équation avec un polynôme de degré 2. q2 + 8q + 64 = 624 ⇔ q2 + 8q −560 = 0 ∆ = b 2 − 4ac ∆ = 64 − 4(−560) = 2 304 , nous avons deux solutions : − b + ∆ − 8 + 48 − b − ∆ − 8 − 48 = = 20 ; q 2 = = = − 28 ∉[1 ; 30]. 2a 2 2a 2 Le coût sera égal à 624 K€ si on fabrique 2 000 objets. q1 = On peut évidemment vérifier sur le graphique en traçant une horizontale à y = 624 . d) CM(q) = C(q ) q 2 + 8q + 64 64 = = q+8+ . q q q Fonction parfaitement définie pour q∈[1 ; 30] Etudions-la : CM’(q) = 1 − 64 = q2 multiplie par 64. q 1 − CM’(q) q 2 − 64 q2 = (q − 8)(q + 8) q2 8 0 1 1 en effet la dérivée de est − puis on q2 q 30 Signe de (q – 8)(q + 8) pour q ∈ [1 ; 30]. (q2 > 0) + ≈ 40,13 73 CM(q) m Le coût moyen minimum m sera atteint pour q = 8 . m = 24 K€. Pour 800 objets fabriqués, le coût sera minimum et égal à 24 K€. f) Nous cherchons maintenant q tels que CM(q) ≤ 28. Il s’agit d’une inéquation. q+8+ 64 ≤ 28 ⇔ q 2 + 8q + 64 ≤ 28q (multiplions par q qui est positif) et on a donc q q 2 − 20q + 64 ≤ 0 20 − 12 20 + 12 = 4 ; q2 = = 16 . 2 2 D’après le théorème sur le signe de ax2 + bx + c, a ≠ 0 et ∆ > 0, nous aurons la solution entre les deux racines. ∆ = 144 ; q1 = Le coût moyen sera inférieur ou égal à 28 K€ si q∈[4 ; 16] c’est-à-dire entre 400 et 1600 objets. Graphique Exercice 2 La fonction D est une fonction affine de la forme y = ax + b , elle sera représentée graphiquement par une droite. Donnons son tableau de variation, a < 0 donc la fonction est décroissante en effet si le prix augmente, la demande diminue. x 2 10 D(2) = 628,4 et D(10) = 206 . 628,4 D(x) 206 Pour l’offre O, l’étude est un peu plus compliquée, 600 + 500 est bien définie pour x∈[2 ; 10] car x ≠ 0. x 600 La dérivée est : O’(x) = , donc positive. La fonction O sera donc toujours croissante. x2 O(x) = − x 2 O(x) 10 O(2) = 200 et O(10) = 440 . 440 Attention, la représentation n’est pas une droite mais un 200 morceau d’hyperbole. Graphique Cherchons les coordonnées du point d’intersection. − 52,8x + 734 = − 600 + 500 , nous pouvons multiplier par x : x − 52,8x 2 + 734 x = −600 + 500 x 52,8x 2 − 234 x − 600 = 0 ∆ = 181 476 donc deux racines, x1 = 234 + 426 = 6,25 et x 2 < 0. 105,6 Le prix d’équilibre sera donc atteint pour 6,25 €. L’offre et la demande seront alors égales à 404 milliers d’exemplaires. (Le graphique confirme bien le résultat trouvé) Exercice 3 a) R(q) = 31,2q q∈[1 ; 30] q en centaine d’objets et R(q) en K€. R est une fonction linéaire. b) Nous pouvons alors représenter les deux fonctions C et R sur un même graphique. C R Sur ce graphique, lorsque la droite est en dessous de la courbe représentant C, il y a un bénéfice négatif et donc en fait une perte. Par exemple, au début si q = 1 , on a C(1) = 73 K€ et la recette est R(1) = 31,2 K€. Par contre lorsque la droite est au-dessus de la courbe de C alors il y a un réel bénéfice. Aux points d’intersection la recette et le coût sont égaux. Ceci permet de comprendre que le bénéfice sera maximum lorsque la différence entre les deux courbes sera la plus grande, donc entre 10 et 12 d’après le graphique. c) B(q) = R (q ) − C(q ) = 31,2q − (q 2 + 8q + 64) = −q 2 + 23,2q − 64 . Nous avons un polynôme de degré 2, il y aura un maximum pour x = − x = 11,6 . le bénéfice maximum sera alors de : Bmax = −(11,6) 2 + (23,2 × 11,6) − 64 = 70,56 Il est facile d’étudier cette fonction, sa représentation graphique sera : b , c’est-à-dire 2a On pourrait aussi chercher les valeurs de q pour lesquelles le bénéfice est positif. Il s’agit de la partie de la courbe au-dessus de l’axe. Le bénéfice maximum sera donc de 70,56 K€. Exercice 4 Nous avons V(t) = 30 t en années et V en K €. 0,5t + 1 Le prix de la machine neuve est obtenu en faisant t = 0 soit V(0) = 30 K€. 30 = 10 K€. 3 50 % de la valeur de départ représente 15 K€, donc nous cherchons t tel que : V(t) = 15 (Evidemment t positif) Au bout de 4 ans, la machine vaudra V(4) = 30 = 15 ⇔ 30 = 15(0,5t + 1) ⇔ 7,5t = 15 soit t = 2. 0,5t + 1 Conclusion, au bout de deux ans, la machine aura perdu 50 % de sa valeur. Etude de la fonction pour t∈[0 ; 10]. Le domaine de définition est [0 ; 10] car sur cet intervalle, le dénominateur n’est jamais nul. u' (t ) 1 donc V’(t) = 30 − Calculons la dérivée : V(t) = 30 2 u ( t ) u (t) 0,5 15 =− V’(t) = 30 − DV’ =]0 ; 30[ 2 (0,5t + 1) (0,5t + 1) 2 (La fonction V n’est pas dérivable sur le bord de l’intervalle mais c’est un détail). La dérivée est toujours négative donc V monotonement décroissante. Nous avons ici aussi, un morceau d’hyperbole. Exercice 5 a) C(q) = q 3 − 20q 2 + 120q q∈[0 ; 20]. Les frais fixes sont obtenus en faisant q = 0 et ici on voit bien qu’ils ne sont pas comptabilisés car C(0) = 0 . Etudions cette fonction, son domaine de définition est [0 ; 20]. C’(q) = 3q 2 − 40q + 120 , polynôme de degré 2. ∆ = b 2 − 4ac = (−40) 2 − 4 × 3 × 120 = 160 . Il y a donc deux racines : q1 = q 0 C’(q) + − b + ∆ 40 + 160 = ≈ 8,8 2a 6 q2 q1 0 − 0 − b − ∆ 40 − 160 = ≈ 4,6 . 2a 6 20 + M 2400 C(q) 0 q2 = m M ≈ (4,6) 3 − 20(4,6) 2 + 120(4,6) ≈ 226,1 . C’est un maximum relatif. m ≈ (8,8) 3 − 20(8,8) 2 + 120(8,8) ≈ 188,7 .C’est un minimum relatif. Traçons la courbe b) CM(q) = C( q ) = q 2 − 20q + 120 q∈ ∈]0 ; 20]. Attention à q = 0 ! q Nous avons un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx +c avec a > 0, nous aurons donc un minimum pour b − 20 qm = − =− = 10 . 2a 2 Le coût moyen minimum sera donc atteint pour q = 10 et il sera égal à 20 K€. Il reste la courbe à tracer, c’est évidemment un morceau de parabole.
