machine synchrone

D´ epartement d’Electricit´ e, Electronique et Informatique
(Institut Montefiore)
Notes th´ eoriques du cours ELEC0029
Electric Power System Analysis
La machine synchrone
(mod` ele d´ etaill´ e)
Thierry VAN CUTSEM
directeur de recherches FNRS
professeur adjoint ULg
f´ evrier 2017

Ce chapitre est la prolongation du chapitre du cours ELEC0014 traitant de la machine synchrone.
Un mod` ele plus d´ etaill´ e est consid´ er´ e. Il est abondamment utilis´ e dans les ´ etudes dynamiques. Il
inclut l’effet des amortisseurs et s’applique aussi bien aux machines ` a rotor lisse qu’` a celles ` a
pˆ oles saillants.
Ce mod` ele repose sur la transformation de Park, utilis´ ee aussi dans l’analyse d’autres composants
de r´ eseaux.
1 Mod´ elisation au moyen de circuits magn´ etiquement coupl´ es
Nous allons repr´ esenter la machine synchrone par un certain nombre d’enroulements, magn´ etique-
ment coupl´ es, dont certains sont en mouvement.
Le mod` ele ´ electrique d’une machine synchrone ne d´ epend pas du nombre pde paires de pˆ oles
qu’elle comporte (´ evidemment les valeurs de certains param` etres changent avec p, p.ex. le mo-
ment d’inertie et l’´ energie cin´ etique des masses tournantes). Pour des raisons de simplicit´ e, nous
consid´ ererons donc une machine ` a une seule paire de pˆ oles (p= 1).
1.1 Signification des enroulements
La machine id´ ealis´ ee que nous allons ´ etudier est repr´ esent´ ee ` a la figure 1. Le stator est muni de
trois enroulements rep´ er´ es a, b et c, d´ ecal´ es de 120 degr´ es. Le rotor comporte un certain nombre
d’enroulements ´ equivalents, r´ epartis selon deux axes : l’axe direct qui co¨ ıncide avec celui de l’en-
roulement d’excitation et l’axe en quadrature, perpendiculaire au pr´ ec´ edent. Nous plac¸ons arbi-
trairement l’axe en quadrature en retard sur l’axe direct par rapport au sens de rotation.
Nous avons donn´ e au rotor une forme en pˆ oles saillants mais les d´ eveloppements qui suivent s’ap-
pliquent ´ egalement ` a une machine ` a rotor lisse. Pour celle-ci, il suffit de consid´ erer que le rotor
pr´ esente une parfaite sym´ etrie de r´ evolution.
Le nombre d’enroulements rotoriques caract´ erise le degr´ e de raffinement du mod` ele. Toutefois, il
ne faut pas perdre de vue qu’un mod` ele plus sophistiqu´ e requiert davantage de donn´ ees pour tous
les param` etres qui y interviennent et que le gain est marginal si les donn´ ees ne sont pas fiables.
Cette remarque prend tout son sens si l’on consid` ere qu’en pratique seul le circuit d’excitation
est accessible aux instruments de mesure. Les param` etres (r´ esistances, inductances, . . .) des autres
circuits sont d´ etermin´ es de mani` ere indirecte (p.ex. r´ eponse de la machine lors d’un essai en court-
circuit, r´ eponse en fr´ equence, identification par calcul num´ erique).
Compte tenu de ces consid´ erations, le mod` ele le plus r´ epandu pour la machine synchrone est ce-
lui ` a quatre ou trois enroulements rotoriques. L’axe direct comporte l’enroulement d’excitation,
2

θr
axe
direct
axe de la
phase a
c
cquadrature
axe en
b
a
f
d1
f
d1
a
b
q2
q1
q2
q1
FIGURE 1 – machine synchrone id´ ealis´ ee
d´ esign´ e par f1et un circuit ´ equivalent d´ esign´ e par d12. Ce dernier repr´ esente l’effet des amortis-
seurs. L’axe en quadrature comporte deux enroulements, d´ esign´ es par q1et q23. L’un repr´ esente
l’effet des courants de Foucault induits dans la masse du rotor, l’autre tient compte des amortis-
seurs. Toutefois, dans les machines ` a pˆ oles saillants, le rotor est g´ en´ eralement constitu´ e de tˆ oles et
les courants de Foucault sont n´ egligeables. Pour ces machines, on ne consid` ere donc qu’un seul
enroulement (q2) dans l’axe en quadrature.
Les d´ eveloppements qui suivent s’appliquent au cas g´ en´ eral d’une machine ` a quatre enroulements
rotoriques. Le mod` ele ` a trois enroulements s’en d´ eduit par des simplifications assez ´ evidentes.
Notons enfin que l’enroulement d’excitation est soumis ` a une tension vftandis que les circuits
d1, q1et q2sont court-circuit´ es en permanence.
1.2 Relations tensions-courants-flux
Comme nous nous int´ eressons principalement ` a des g´ en´ erateurs, nous adoptons la convention
g´ en´ erateur dans chaque enroulement statorique. En revanche, ´ etant donn´ e qu’on fournit de la puis-
sance ` a l’enroulement d’excitation, nous y adoptons la convention moteur. Rappelons que ces
choix sont arbitraires ; leur m´ erite est de conduire ` a des puissances positives pour un g´ en´ erateur en
r´ egime ´ etabli.
Pour les enroulements statoriques, on a :
va(t) = −Raia(t)−dψa
dt
1. “f” pour “field winding” en anglais
2. “d” pour “direct”
3. “q” pour “quadrature”
3

axe de la phase a
va
ia
ib
vb
vc
ic
q
iq1
iq2
vq2= 0
vq1= 0
id1
vfif
θ
d
ROTOR
˙
θr
vd1= 0
STATOR
FIGURE 2 – enroulements de la machine synchrone : conventions de signe
vb(t) = −Raib(t)−dψb
dt
vc(t) = −Raic(t)−dψc
dt
o` uRaest la r´ esistance d’une des phases et ψle flux total embrass´ e par l’enroulement consid´ er´ e.
Ces relations s’´ ecrivent sous forme matricielle :
vT=−RTiT−d
dtψT(1)
o` u l’indice Td´ esigne des grandeurs triphas´ ees et o` u l’on a pos´ eRT=diag(RaRaRa).
Pour les enroulements rotoriques on a de mˆ eme :
vf(t) = Rfif(t) + dψf
dt (2)
0 = Rd1id1(t) + dψd1
dt (3)
0 = Rq1iq1(t) + dψq1
dt (4)
0 = Rq2iq2(t) + dψq2
dt (5)
et sous forme matricielle :
vr=Rrir+d
dtψr(6)
o` u l’indice rd´ esigne des grandeurs rotoriques et o` u l’on a pos´ eRr=diag(RfRd1Rq1Rq2).
4

1.3 Inductances
Les ´ equations ci-dessus sont tout-` a-fait g´ en´ erales ; en particulier, aucune hypoth` ese n’est faite sur
les propri´ et´ es du milieu magn´ etique. Dans ce cours, nous nous limitons toutefois au r´ egime lin´ eaire
et n´ egligeons la saturation du mat´ eriau magn´ etique.
Sous cette hypoth` ese flux et courants sont li´ es par :
ψT
ψr=LT T (θr)LT r(θr) LT
T r(θr)Lrr  iT
ir(7)
dans laquelle θrest la position angulaire du rotor, d´ efinie par convention comme l’angle entre l’axe
direct du rotor et l’axe de la phase a(voir figures 1 et 2).
Les matrices d’inductances LT T et LT r d´ ependent de la position du rotor. Ce n’est pas le cas de
la matrice Lrr ´ etant donn´ e que, vu du rotor, le stator se pr´ esente toujours de la mˆ eme mani` ere,
quelle que soit la position du rotor (on n´ eglige ici l’effet des encoches dans lesquelles sont log´ es
les conducteurs).
Les composantes de LT T (θr)et LT r(θr)sont ´ evidemment des fonctions p´ eriodiques. D´ evelopp´ ees
en s´ erie de Fourier, celles-ci comportent, en principe, des harmoniques spatiaux. Comme men-
tionn´ e` a dans le cours ELEC0014, on s’arrange en pratique pour rendre ces harmoniques aussi
faibles que possible. Nous les n´ egligerons donc, ce qui conduit au mod` ele de machine sinuso¨ ıdale
dans lequel les matrices d’inductances prennent la forme suivante :
LT T (θr) = 
L0+L1cos 2θr−Lm−L1cos 2(θr+π
6)−Lm−L1cos 2(θr−π 6)
−Lm−L1cos 2(θr+π
6)L0+L1cos 2(θr−2π 3)−Lm−L1cos 2(θr+π 2)
−Lm−L1cos 2(θr−π
6)−Lm−L1cos 2(θr+π 2)L0+L1cos 2(θr+2π 3)
(8)
LT r(θr) = 
Laf cos θrLad1cos θrLaq1sin θrLaq2sin θr
Laf cos(θr−2π
3)Lad1cos(θr−2π 3)Laq1sin(θr−2π 3)Laq2sin(θr−2π 3)
Laf cos(θr+2π
3)Lad1cos(θr+2π 3)Laq1sin(θr+2π 3)Laq2sin(θr+2π 3)
(9)
Lrr =
Lff Lf d10 0
Lfd1Ld1d10 0
0 0 Lq1q1Lq1q2
0 0 Lq1q2Lq2q2
(10)
Dans ces expressions, toutes les constantes Lsont positives, les signes −ad´ equats ayant ´ et´ e intro-
duits. Partant de la figure 1, ces diff´ erentes expressions se justifient comme suit :
•la self-inductance de la phase statorique aest maximale quand l’axe direct co¨ ıncide avec l’axe
de cette phase (θr= 0). En effet, les lignes de champ (cf cours ELEC0014) trouvent alors le
chemin maximal dans le mat´ eriau ferromagn´ etique. Pour la mˆ eme raison, la self-inductance est
minimale quand l’axe en quadrature co¨ ıncide avec l’axe de la phase a(θr=π/2). Par ailleurs,
un retournement de 180 degr´ es du rotor ne modifie pas cette self-inductance ;
•les self-inductances des phases bet cse d´ eduisent de celle de la phase aen remplac¸ant θrpar
θr±2π/3;
5