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Physique
exercices incontournables
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MP MP* PT PT*
JEAN-NOËL BEURY
Physique
exercices incontournables
3e ÉDITION
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Avec la collaboration scientifique de SÉBASTIEN FAYOLLE
Conception et création de couverture : Atelier3+
© Dunod, 2012, 2014, 2017
11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff
www.dunod.com
ISBN 978-2-10-076265-1
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Table des matières
Partie 1
Mécanique
1. Référentiels non galiléens
2. Mécanique du solide
3
17
Partie 2
Électronique
3. ALI-Oscillateurs
4. Signaux périodiques
29
44
5. Électronique numérique
49
Partie 3
Optique ondulatoire
6. Interférences
59
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Partie 4
Électromagnétisme
7. Électrostatique
8. Magnétostatique
93
120
9. Équations de Maxwell – Énergie du champ électromagnétique
10. Propagation
131
143
Partie 5
Thermodynamique
11. Systèmes ouverts en régime stationnaire
12. Transferts thermiques
191
207
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Table des matières
13. Statique des fluides
14. Fluide en écoulement
15. Thermodynamique industrielle
235
241
252
Partie 6
Physique quantique
16. Approche ondulatoire de la mécanique quantique
285
Partie 7
Thermodynamique statistique
17. Facteur de Boltzmann
319
Index
327
Les énoncés dans lesquels apparaît un astérisque
annoncent des exercices plus difficiles.
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Partie 1
Mécanique
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1. Référentiels non galiléens
1.1 : Bille dans un tube (MP)
1.2 : Sismographe (MP)
1.3 : Circonférence en rotation et anneau (MP)
1.4 : Dynamique en référentiel tournant (MP)
2. Mécanique du solide
2.1 : Déplacement d’un solide sur un plan horizontal (MP)
2.2 : Détermination d’un coefficient de frottement (MP)
3
3
6
9
12
17
17
23
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1
Référentiels
non galiléens
Exercice 1.1 : Bille dans un tube (MP)
On considère un solide M de masse m susceptible de glisser sans frottement à
l’intérieur d’un tube parallélépipédique d’extrémité O. Les grandeurs r0 = OM0
et v0 caractérisent la position et la vitesse de M à l’instant initial t = 0 dans le
repère lié au tube. Le tube de longueur 2 est dans le plan horizontal et tourne
autour de l’axe Oz vertical à la vitesse angulaire ω constante.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
1. Déterminer l’équation différentielle en r du mouvement de M.
2. Calculer le temps τ que mettra M pour sortir du tube avec = 0,1 m ; r0 =
0,01 m ; v0 = 0 m.s−1 et ω = 2 rad.s−1 .
3. Un ressort enfilé dans le tube est fixé à son extrémité en O et à son autre
extrémité au solide M. La longueur à vide du ressort est 2r0 . Discuter la nature
du mouvement de M suivant la valeur de ω.
Analyse du problème
Cet exercice traite du mouvement relatif d’un point matériel. Il faut bien définir
le référentiel absolu (considéré comme galiléen) et le référentiel relatif (considéré
comme non galiléen). Le bilan des forces se fait en travaillant d’abord dans le référentiel galiléen. Il faut rajouter ensuite les forces d’inertie d’entraînement et de
Coriolis pour appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel
non galiléen.
1.
y
uq
M
uz
ur
q
O
x
3
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Partie 1 . Mécanique
Système : Bille de masse m.
t galiléen et = O ; ur , uθ , k,
t
Référentiels : 0 = O ; i, j, k,
non galiléen.
/0 = ωk.
Le vecteur rotation instantané de par rapport à 0 vaut : ω
−→
Le mouvement relatif dans s’écrit : OM = r ur ; v (M) = ṙ ur et
a (M) = r̈ ur .
Le vecteur unitaire ur est fixe dans . La dérivée par rapport au temps de r ur dans
donne bien ṙ ur .
Bilan des forces :
• Le mouvement se fait sans frottement, la réaction du support est donc orthogonale au petit déplacement de la bille par rapport au tube. La réaction
du support a donc une composante nulle sur ur . La réaction du support est
donc
= R1 uθ + R2 k
R
• Le poids de la masse m est :
= mg
P
• La force d’inertie d’entraînement est :
→
fie (M) = mω2 −
OM
• La force d’inertie de Coriolis :
fic (M) = −2mω
/0 ∧ v (M) = −2mωṙ uθ
Principe fondamental de la dynamique (PFD) dans le référentiel non
galiléen :
+P
+ fie + fic
ma (M) = R
La projection dans la base ur , uθ , k donne :
mr̈ = mω2 r
0 = R1 − 2mωṙ
0 = R2 − mg
L’équation différentielle du mouvement s’obtient à partir de la première
projection du PFD :
r̈ − ω2 r = 0
4
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Chapitre 1 . Référentiels non galiléens
2. L’équation caractéristique s’écrit : x2 − ω2 = 0. On en déduit alors
x = ±ω
La solution de l’équation différentielle s’écrit donc :
r = A exp (ωt) + B exp (−ωt)
La dérivée de r par rapport au temps est : ṙ = Aω exp (ωt) − Bω exp (−ωt).
À t = 0, r (0) = r0 et ṙ (0) = v0 .
On a deux équations pour déterminer les constantes d’intégration A et B :
A + B = r0 (éq. 1)
Aω − Bω = v0 (éq. 2)
On fait les combinaisons
linéaires suivantes : (1)ω + (2) et (1)ω − (2).
2Aω = r0 ω + v0
On a alors : . D’où :
2Bω = r0 ω − v0
r 0 ω + v0
A=
2ω
r 0 ω − v0
B=
2ω
La bille quitte le tube pour r = . Soit :
1
v0 v0 1
r0 +
exp (ωt) +
r0 −
exp (−ωt) = 2
ω
2
ω
On pose : X = exp (ωt) . En multipliant par exp(ωt), on est ramené à une
équation du second degré :
1
v0 2 1 v0 r0 +
X +
r0 −
= X
2
ω
2
ω
La résolution numérique donne : X = 19,95 et t = 1,5 s.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
3. L’équation différentielle s’écrit :
mr̈ = mω2 r − k (r − 2r0 )
Elle se met sous la forme :
kr0
k
r=2
r̈ − ω −
m
m
2
k
, le système diverge.
m
k
, on a l’équation d’un oscillateur harmonique.
• Si ω <
m
Ces deux résultats sont prévisibles physiquement. Si la constante de raideur
est très petite, alors la force d’inertie d’entraînement l’emporte devant la
force exercée par le ressort. Comme fie est centrifuge, on prévoit bien un
système qui diverge.
• Si ω ≥
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Partie 1 . Mécanique
Exercice 1.2 : Sismographe (MP)
La partie sensible du sismographe est une masse munie d’un index et d’une tige.
Cet ensemble de masse m assujetti à se déplacer verticalement est suspendu à un
ressort. Le ressort est fixé en A sur un bâti. La partie sensible (masse + index +
tige) est par ailleurs reliée à un amortisseur qui exerce une force de frottement
fluide −λ V où V est le vecteur vitesse de la masse dans le référentiel lié au bâti.
Le référentiel terrestre d’origine G est galiléen.
Un tremblement de terre est modélisé par une vibration verticale harmonique de
translation : S(t) = S0 cos(ωt) où S(t) repère le déplacement vertical du sol par
rapport au référentiel galiléen du lieu. On définit H(t) = h(t) − heq la grandeur
qui repère le déplacement de la masse m par rapport au repos dans le référentiel
lié au bâti.
y
A
partie sensible
de masse m
h(t)
O
G
S(t)
x
X
1. Établir l’équation différentielle en H(t) du mouvement de la masse. Quel est
le sens physique de la pulsation propre
ω0 et du facteur de qualité Q ?
H 2. On représente graphiquement en fonction de ω (rad.s−1 ).
S
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Chapitre 1 . Référentiels non galiléens
L’étude du spectre de Fourier des vibrations sismiques montre que leurs périodes
se répartissent sur une gamme qui va de 0,1 s à 100 s. En fait, l’essentiel de l’énergie transportée par des ondes longitudinales, assez loin de l’épicentre, est dans
le domaine de période allant de 1 s à 10 s. On souhaite une réponse uniforme de
l’appareil dans la gamme de fréquence correspondante. Comment doit-on choisir
ω0 et Q ? Quel est l’inconvénient majeur ? Comment doit-on choisir la masse ?
Analyse du problème
Cet exercice traite du mouvement relatif d’un point matériel. Il faut bien définir
le référentiel absolu (considéré comme galiléen) et le référentiel relatif (considéré
comme non galiléen). Le bilan des forces se fait en travaillant d’abord dans le référentiel galiléen. Il faut rajouter ensuite les forces d’inertie d’entraînement et de
Coriolis pour appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel
non galiléen.
1.
Y
Y
y
y
A
A
eq
M
M
D
D
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
h(t)
O
O
x
G
au repos
S(t)
x
X
tremblement de terre
Système : Point matériel M de masse m.
Référentiels : Le référentiel terrestre 0 = G ; ux , uy , uz , t est galiléen.
Le référentiel lié au bâti = O ; ux , uy , uz , t est non galiléen. est en
/ = 0.
translation par rapport à 0 , donc ω
0
Bilan des forces :
• Force exercée par le ressort :
= k ((D − h) − 0 ) uy
F
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Partie 1 . Mécanique
• Poids :
= mg
P
• Force d’inertie d’entraînement :
→
2−
fie (M) = −mae (M) = −m d GO
dt2
−→
Or GO = S(t)uy = S0 cos(ωt)uy , d’où :
0
fie (M) = mω2 S0 cos(ωt)uy
• Force d’inertie de Coriolis :
fic (M) = 0
puisque ω
/0 = 0.
La longueur du ressort à l’équilibre n’est pas égale à la longueur du ressort
à vide.
Sur le schéma, il faut prendre l’initiative de rajouter des grandeurs intermédiaires :
longueur à l’équilibre, distance D pour déterminer les longueurs du ressort au repos
sans tremblement de terre et à un instant t quelconque avec un tremblement de terre.
On peut déterminer cette force en deux étapes :
r La force fait intervenir k( − 0 ). Déterminer avec le schéma.
r Rajouter un vecteur unitaire (ici uy ) et déterminer le signe devant k. Ici, il faut
bien mettre un signe + car si le ressort est étiré, la force est dirigée vers le haut
avec une projection positive sur uy .
PFD dans le référentiel non galiléen :
+ T + fie (M) + fic (M)
ma (M) = P
En projection sur uy , on obtient :
mḧ = −mg + k (D − h − 0 ) − λḣ − mS̈
À l’équilibre sans tremblement de terre :
0 = −mg + k D − heq − 0
On fait la différence et on pose : H = h − heq . On en déduit :
mḦ = −kH − λḢ + mω2 S0 cos (ωt)
ω0
λ
k
= .
On pose : ω02 =
et
m
Q
m
L’équation différentielle s’écrit sous forme canonique :
ω0
Ḧ +
Ḣ + ω02 H = ω2 S0 cos (ωt)
Q
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Chapitre 1 . Référentiels non galiléens
Q est le facteur de qualité. ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur.
Pour un système très faiblement amorti (Q 1), la pseudo-pulsation des
oscillations est très proche de la pulsation propre.
2. On note le second membre : e(t) = ω2 S0 cos(ωt). La représentation
complexe s’écrit :
e = ω2 S0 exp (iωt)
En régime sinusoïdal forcé, on cherche H(t) sous la forme : H(t) =
Hm cos(ωt + ψ). La représentation complexe s’écrit :
H(t) = Hm exp (i (ωt + ψ))
On en déduit alors :
−ω2 H +
ω0
jωH + ω02 H = ω2 S0 exp (iωt)
Q
Soit :
H=
ω2 S0 exp (iωt)
ω02 − ω2 + jωQ0 ω
H Le graphe donné dans l’énoncé représente en fonction de ω. Pour avoir
S
une réponse uniforme de l’appareil, il faut avoir une courbe la plus plate
possible.
1
On peut choisir Q ≥ √ et se placer à une pulsation telle que ω ω0 . Les
2
périodes vont de 1 à 10 s, ce qui correspond à des pulsations entre 0,63 et
6,3 rad.s−1 . Il faut donc avoir ωmin ω0 , soit
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
ω0
0,63 rad.s−1
Dans ce cas, toutes les composantes spectrales sont amplifiées de la même
façon avec un facteur d’amplification égal à 1.
L’inconvénient majeur est que ce facteur d’amplification vaut 1. C’est donc
difficile d’enregistrer des vibrations de faibles amplitudes.
k
Comme ω02 = , il faut donc une masse m élevée pour avoir ω0 faible.
m
Exercice 1.3 : Circonférence en rotation et anneau (MP)
Une circonférence (C) de centre O et de rayon a, située dans un plan vertical,
tourne autour d’une de ses tangentes verticales Oz, d’un mouvement de rotation
uniforme défini par le vecteur rotation ω.
Un anneau M de masse m, assimilé à un
point matériel, est mobile sans frottement sur cette circonférence. On désigne par
θ l’angle que fait O M avec la verticale descendante passant par O . θ est compté
positivement dans le sens indiqué sur les schémas ci-dessous.
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Partie 1 . Mécanique
z
z
z'
z'
w
w
y'
y'
O
y
O'
x
uy'
O
uq
q
M
ur
ux'
O'
q
x'
Position quelconque de
la circonference
M
x
x'
y
uq
ur
Cas ou le plan de la circonference
est confondu avec le plan (yOz)
1. Écrire le principe
fondamental de la dynamique en projection sur uθ dans le
référentiel = O ; ux , uy , uz , t lié au cercle et en rotation dans le référentiel galiléen = O ; ux , uy , uz , t . En déduire l’équation différentielle vérifiée
par l’angle θ .
2. Retrouver l’équation différentielle par une méthode énergétique.
3. Montrer que les positions d’équilibre dans vérifient : aω2 (1 + sin θ ) =
g tan θ . On désire que l’équilibre stable corresponde à θ = θ0 = 30◦ . Quelle doit
être la valeur de la vitesse angulaire ω sachant que a = 0,2 m et g = 9,8 m.s−2 ?
Analyse du problème
Cet exercice traite du mouvement relatif d’un point matériel. Il faut bien définir
le référentiel absolu (considéré comme galiléen) et le référentiel relatif (considéré
comme non galiléen). Le bilan des forces se fait en travaillant d’abord dans le référentiel galiléen. Il faut rajouter ensuite les forces d’inertie d’entraînement et de
Coriolis pour appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel
non galiléen.
1. Système : Point matériel M de masse m.
Référentiels : = O ; ux , uy , uz , t référentiel terrestre galiléen et
= O ; ux , uy , uz , t référentiel lié au cercle non galiléen avec
ω
/ = ωuz .
Bilan des forces :
= mg.
• Poids : P
−
→
. Il n’y a pas de frottement, donc R
⊥ dl , c’est-à• Réaction du support : R
dire :
⊥uθ
R
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Chapitre 1 . Référentiels non galiléens
→
ie = mω2 −
• Force d’inertie d’entraînement : F
HM avec H projeté ortho−→
gonal de M sur l’axe Oz. On a HM = HM ux = (a + a sin θ ) ux =
a (1 + sin θ ) ux , d’où :
ie = mω2 a (1 + sin θ ) ux
F
ic = −2mωuz ∧ vr . La vitesse relative de M
• Force d’inertie de Coriolis : F
ic ⊥uz et F
ic ⊥uθ , donc F
ic //uy . On
vaut : vr = aθ̇ uθ . On en déduit que F
a alors :
ic = −2mωvr cos θ uy
F
Principe fondamental de la dynamique dans :
+R
+F
ie + F
ic
ma = P
Le mouvement relatif de M est circulaire. L’accélération relative est donc :
ar = −aθ̇ 2 ur + aθ̈ uθ
La projection du PFD sur uθ donne :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
m(aθ̈ ) = −mg sin θ + mω2 a (1 + sin θ ) cos θ
2. L’énergie potentielle de la force centrifuge vaut :
1
1
Ep1 = − mω2 HM 2 + cte = − mω2 x 2 + cte avec x = a (1 + sin θ ).
2
2
1
1
On choisit Ep1 (θ = 0) = − mω2 a2 + cte = 0, d’où cte = mω2 a2 .
2
2
1
2
2
2
On a donc Ep1 = mω a 1 − (1 + sin θ ) , soit :
2
1
Ep1 = mω2 a2 −2 sin θ − sin2 θ
2
L’énergie potentielle de pesanteur est :
Ep2 = mgz + cte = −mga cos θ + cte
On choisit Ep2 (θ = 0) = 0. D’où :
Ep2 = mga (1 − cos θ )
Remarque : L’énoncé n’impose pas de référence pour les énergies potentielles.
On peut laisser les constantes indéterminées puisqu’elles n’interviennent pas par
la suite.
est orthogonale au
Il n’y a pas de frottement, donc la réaction du support R
−
→
−
→
⊥ dl = 0 avec dl = adθ uθ . La réaction du
petit déplacement : δW = R
support ne travaille pas.
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Partie 1 . Mécanique
−
→
−
→
Il faut bien écrire le déplacement relatif dl et non le déplacement absolu dl puisqu’on applique les théorèmes fondamentaux de la mécanique dans le référentiel
non galiléen.
ic · vr =
La puissance de la force de Coriolis est nulle : P = F
− 2mω
/ ∧ vr · vr = 0 puisque la force est orthogonale à la vitesse
relative. La force de Coriolis ne travaille pas.
Le poids et la force d’inertie d’entraînement sont des forces conservatives car
elles dérivent d’une énergie potentielle.
Le système est donc conservatif. On a conservation de l’énergie mécanique
dans le référentiel :
Em = Ec + Ep1 + Ep2 = cte
On a donc :
1 Em = m aθ̇
2
2
1
+ mω2 a2 −2 sin θ − sin2 θ + mga (1 − cos θ )
2
Soit :
dEm
1
= 0 = ma2 θ̇ θ̈ + mω2 a2 θ̇ (−2 cos θ − 2 sin θ cos θ ) + mgaθ̇ (sin θ )
dt
2
Si on divise par θ̇, on obtient :
1
ma2 θ̈ + mω2 a2 (−2 cos θ − 2 sin θ cos θ ) + mga (sin θ ) = 0
2
On retrouve bien la même équation différentielle que dans la question 1.
3. Le point M est en équilibre relatif pour θ̈ = 0, soit aω2 (1 + sin θ ) =
g tan θ . On a alors :
ω=
g tan θ
= 4,35 rad.s−1
a (1 + sin θ )
Exercice 1.4 : Dynamique en référentiel tournant (MP)
La tige OA se trouve dans le plan horizontal (x O y) et tourne autour de l’axe
vertical () à la vitesse angulaire constante ω. L’anneau est libéré sans vitesse
initiale par rapport à la tige à une distance r0 du point O. On repère la position de
l’anneau sur la tige par la distance r = OM. L’étude est menée dans le référentiel
lié à la tige. L’anneau glisse sans frottement sur la tige.
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Chapitre 1 . Référentiels non galiléens
z
z
w
w
a
g
g
uT
A
O
M
x
q = wt
A
(Δ)
up
ur
Schema avec a = p
2
M
O
y
up
q = wt
x
(Δ)
y
ur
Schema avec a < p
2
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
1. Déterminer le temps que va mettre l’anneau pour quitter la tige. Déterminer
la vitesse absolue lorsqu’il quitte la tige.
π
constant avec l’axe ().
2. La tige O A fait maintenant un angle α <
2
Déterminer r(t). On posera ω = ω sin α.
3. Déterminer la position d’équilibre req de l’anneau sur la tige. Montrer qu’il ne
peut exister une position d’équilibre de l’anneau sur la tige que si ω > ω0 .
4. On se place dans le cas où ω > ω0 , l’anneau étant dans sa position d’équilibre.
On écarte légèrement l’anneau de cette position d’équilibre. L’équilibre est-il
stable ?
Analyse du problème
Cet exercice traite du mouvement relatif d’un point matériel. Il faut bien définir
le référentiel absolu (considéré comme galiléen) et le référentiel relatif (considéré
comme non galiléen). Le bilan des forces se fait en travaillant d’abord dans le référentiel galiléen. Il faut rajouter ensuite les forces d’inertie d’entraînement et de
Coriolis pour appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel
non galiléen.
1. Système : Point matériel M de masse m.
Référentiels : G = O ; ux , uy , uz , t référentiel terrestre galiléen et
= (O ; ur , uθ , uz , t) référentiel non galiléen. Le vecteur rotation instantané de par rapport à G est : ω
/G = ωuz . Le mouvement relatif
de M est rectiligne. La vitesse relative est vr (M) = ṙur et l’accélération
relative est ar (M) = r̈ur .
Bilan des forces :
= mg = −mguz .
• Poids : P
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Partie 1 . Mécanique
→
⊥−
• Réaction du support : il n’y a pas de frottement, donc R
dl . D’où :
= Rθ uθ + Rz uz
R
−→
• Force d’inertie d’entraînement : fie = mω2 OM.
• Force d’inertie de Coriolis :
fic = −2mω
/G ∧ vr (M) = −2mωuz ∧ ṙur = −2mωṙuθ
Principe fondamental de la dynamique dans :
+R
+ fie + fic
ma (M) = P
On projette dans la base (ur ,
uθ , uz ) :
mr̈ = mω2 r
0 = Rθ − 2mωṙ
0 = Rz − mg
La projection sur ur fournit directement l’équation différentielle :
r̈ − ω2 r = 0
L’équation caractéristique est : x2 − ω2 = 0, soit x = ±ω.
La solution de l’équation différentielle s’écrit :
r = Ach (ωt) + Bsh (ωt)
La dérivée par rapport au temps est : ṙ = Aωsh (ωt) + Bωch (ωt) .
Remarque : On pourrait utiliser la forme r = A exp (ωt) + B exp (−ωt). La forme
en ch et sh est plus simple ici compte tenu des conditions initiales.
À t = 0, r = r0 et ṙ = 0. On a donc r0 = A et 0 = B. Finalement, on a :
r = r0 ch (ωt)
L’anneau quitte la tige lorsque r = , soit :
l
1
τ = argch
ω
r0
• La vitesse relative de M est : vr (M) = ṙur = r0 ωsh (ωt) ur . Pour t = τ ,
on a vr (M) = r0 ωsh (ωτ ) ur . Comme ch2 (ωτ ) − sh2 (ωτ ) = 1, on en
déduit que :
2
l
sh (ωτ ) = ch2 (ωτ ) − 1 =
−1
r0
D’où :
vr (M) = ω l2 − r02 ur
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TP16-0423-Book1
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Chapitre 1 . Référentiels non galiléens
• La vitesse d’entraînement de M est : ve (M) = rωuθ . Pour t = τ , on a :
ve (M) = lωuθ
On en déduit la vitesse absolue de M lorsqu’il quitte la tige :
va (M) = ω l2 − r02 ur + lωuθ
2.
z
ω
α
g
H
T
u
A
M
fie
O
u
r
P
(Δ)
Système : Point matériel M de masse m.
Référentiels : G = O ; ux , uy , uz , t référentiel terrestre galiléen et =
(O ; ur , uθ , uz , t) référentiel non galiléen. Le vecteur rotation instantané
de par rapport à G est : ω
/G = ωuz . Le mouvement relatif de M est
rectiligne. La vitesse relative est vr (M) = ṙuT et l’accélération relative est
ar (M) = r̈uT .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Bilan des forces :
= mg = −mguz .
• Poids : P
⊥uT .
• Réaction du support : il n’y a pas de frottement, donc R
−
→
2
• Force d’inertie d’entraînement : fie = mω HM. On a HM = r sin α. D’où :
fie = mω2 r sin αur
• Force d’inertie de Coriolis :
fic = −2mω
/G ∧ vr (M) = −2mωuz ∧ ṙuT
Principe fondamental de la dynamique dans :
+R
+ fie + fic
ma (M) = P
La projection sur uT fournit directement l’équation différentielle :
mr̈ = mω2 r sin α sin α − mg cos α
Soit : r̈ − ω2 sin2 α r = −g cos α. On pose ω = ω sin α. D’où :
r̈ − ω 2 r = −g cos α
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Partie 1 . Mécanique
• Solution générale de l’équation différentielle homogène : l’équation ca2
ractéristique est x2 − ω
= 0, soit x = ±ω . On en déduit que :
rSG = Ach ω t + Bsh ω t .
g cos α
• Solution particulière de l’équation avec second membre : rSP =
.
2
ω
• On en déduit la solution de l’équation différentielle : r (t) = Ach ω t +
g cos α
Bsh ω t +
et ṙ (t) = Aω sh ω t + Bω ch ω t .
2
ω
g cos α
• À t = 0, r = r0 et ṙ = 0. On a donc r0 = A +
et 0 = B.
ω2
Finalement, on a :
g cos α g cos α
r (t) = r0 −
ch ω t +
2
ω
ω2
Remarque : On retrouve bien le résultat de la question 1 avec α =
π
.
2
3. À l’équilibre relatif, on a r̈ = 0. On en déduit d’après l’équation
différentielle :
g
g cos α
req = 2 cos α =
ω
ω2 sin2 α
Il ne peut exister une position d’équilibre sur l’axe que si req ≤ l, soit
ω2 sin2 α
1
g cos α
≥ , d’où ω2 ≥
. Il faut donc que ω ≥ ω0 avec :
g cos α
l
l sin2 α
g cos α
ω0 =
l sin2 α
4. On se place dans le cas où ω > ω0 , l’anneau étant dans sa position
d’équilibre. Si on l’écarte légèrement de cette position d’équilibre :
• Si r > req , la force d’inertie d’entraînement augmente, l’anneau s’éloigne
de l’équilibre car les autres forces sont inchangées.
• Si r < req , la force d’inertie d’entraînement diminue, l’anneau s’éloigne de
l’équilibre car les autres forces sont inchangées.
On peut en conclure que la position d’équilibre est instable.
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