Cours-Mecanique-Vibrations

ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE MONASTIR
Mécanique Vibratoire
Tronc Commun
Tarek Hassine
2009-2010
0
l
l
0
=0
c
k
F(t)
m

Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir Tarek Hassine
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Sommaire
1 Introduction générale ....................................................................................................................... 3
2 Modélisation d'un système linéaire à un degré de liberté ................................................................ 4
2.1 Modèle réel et modèle physique .............................................................................................. 4
3 Mouvement vibratoire libre ............................................................................................................. 6
3.1 Système libre non amorti ......................................................................................................... 6
3.1.1 Modèle masse-ressort ...................................................................................................... 6
3.1.2 Solution de l'équation de mouvement .............................................................................. 8
3.1.3 Etude énergétique du modèle masse-ressort .................................................................. 10
3.1.4 Montage de ressorts (ou d'amortisseurs) ....................................................................... 11
3.2 Système libre amorti .............................................................................................................. 12
3.2.1 Modèle masse-ressort-amortisseur ................................................................................ 12
3.2.2 Solution de l'équation de mouvement ............................................................................ 12
3.2.3 Décrément logarithmique .............................................................................................. 16
3.3 Stabilité d'un système vibratoire ............................................................................................ 17
3.3.1 Etude d'un pendule inversé (petites oscillations) ........................................................... 17
4 Mouvement vibratoire forcé .......................................................................................................... 19
4.1 Forme de la réponse d'un mouvement vibratoire forcé ......................................................... 19
4.2 Réponse à une excitation harmonique ................................................................................... 20
4.2.1 Tracé de l'amplitude et du déphasage de la solution permanente .................................. 21
4.3 Réponse à une excitation due au déséquilibre du rotor
......................................................... 25
4.3.1 Tracé de l'amplitude et du déphasage de la solution permanente .................................. 26
4.4 Réponse à une excitation par déplacement imposé du support ............................................. 28
4.4.1 Tracé de transmissibilité du déplacement (TR) ............................................................. 29
4.4.2 Force transmise de la base à la masse ............................................................................ 31
4.5 Isolation d'un système vibratoire ........................................................................................... 32
4.5.1 Exemple traité ................................................................................................................ 32
4.6 Réponse à une excitation périodique ..................................................................................... 36
4.6.1 Procédure de résolution ................................................................................................. 36
4.7 Réponse à une excitation quelconque .................................................................................... 38
4.7.1 Réponse à une impulsion ............................................................................................... 38
4.7.2 Réponse à une excitation quelconque ............................................................................ 40
4.7.3 Exemples corrigés ......................................................................................................... 42

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1 Introduction générale
La mécanique vibratoire est l’étude des mouvements répétitifs par apport à une position de référence,
généralement la position d’équilibre.
Définition : Tout mouvement oscillatoire, d'un système mécanique, autour de sa position d'équilibre
est appelée mouvement vibratoire.
Les vibrations peuvent être nuisibles et doivent être évitées comme elles peuvent être utiles, et dans
ce cas, souhaitées. Dans tous les cas, la maîtrise des vibrations : comment les analyser ; les
mesurer et les contrôler est toujours souhaitée. Ce qui est l’objet de ce cours.
Exemples de vibrations familières :
• les vibrations des cordes d’une guitare ;
• Le confort de conduite d’une automobile ou d’un motocycle ;
• Le mouvement des ailes d’un avion ;
• Un tremblement de terre ;
• Le mouvement des grands immeubles à cause des vents violents ;
Modélisation d'un système
Définition : La modélisation permet d'analyser des phénomènes réels et de prévoir des résultats à
partir de l'application d'une ou plusieurs théories à un niveau d'approximation donné.
La description mathématique d'un problème d'ingénierie est réalisée en appliquant les lois physiques
connues. Ces lois ne peuvent pas être appliquées directement sur le système réel. Il est nécessaire
d'introduire des hypothèses qui simplifieront le problème pour que ces lois puissent être appliquées.
C'est la partie création du modèle physique. L'application des lois physiques donne des descriptions
mathématiques : c'est le modèle mathématique.
Les vibrations peuvent être modélisées mathématiquement, en se basant sur les principes
fondamentaux comme les principes d’équilibres dynamiques, et analysées à travers les résultats des
équations différentielles (équations de mouvements).
Remarque : Durant un mouvement vibratoire il y a un transfert d’énergie continu entre l’énergie
potentielle et l’énergie cinétique.
Position
d'équilibre de
la masse m
m
m
Em, EC, Ep
Temps
m
m
m
m

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2 Modélisation d'un système linéaire à un degré de liberté
Les vibrations peuvent se manifester dans toutes les directions et peuvent résulter de l’interaction de
plusieurs objets. Pour simplifier la compréhension du phénomène des vibrations, seul le mouvement
dans une seule direction et d’une seule composante (masse) va être abordé.
2.1 Modèle réel et modèle physique
L'action de la barre sur la masse R dépend du déplacement et de la vitesse : =(,)
La force R est appelée aussi force de restauration. Elle tend à ramener la barre à sa forme initiale.
=(,)=+
Fk : la partie de R qui modélise la force de rappel qui est due à la rigidité de la barre.
Fv : la partie de R qui modélise la force visqueuse qui est due au frottement visqueux dans la barre.
Remarque : Le signe "-" signifie que la force R est toujours opposée au sens du mouvement.
On modélise la rigidité de la barre par un ressort linéaire sans masse de longueur initiale l0 et de
rigidité k:
===(0)
On modélise le frottement visqueux interne de la barre par un amortisseur linéaire de constante
d'amortissement visqueux c: =
On se limite aux parties linéaires
l0
k
c
Barre
()
t
Modèle réel
Poids
R : action de la barre sur la masse

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5
Généralement la masse m est considérée ponctuelle et =0+
3
()
t
Modèle réel
()
t
Modélisation
c
k
m
m0
mbarre
Modèle physique