Les nombres premiers - site de Vincent obaton

2007 – 2008
Les nombres premiers
Classe de Terminale S (Option Maths)
Les nombres premiers
( Spécialité Maths)
Terminale S
Dernière mise à jour : Mercredi 23 Avril 2008
Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008)
Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )
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Les nombres premiers
Classe de Terminale S (Option Maths)
J’aimais
et
j’aime
encore les mathématiques pour elles-mêmes
comme
n’admettant
pas l’hypocrisie et le
vague, mes deux bêtes
d’aversion.
Stendhal
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Les nombres premiers
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Table des matières
1 Définition
4
2 Décomposition des entiers en produits de facteurs premiers
5
3 Petit théorème de Fermat
6
4 Applications
4.1 Le codage RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Définition
Définition 1 :
On dit qu’un nombre entier naturel st premier s’il admet exactement
deux diviseurs entiers naturels distincts : 1 et lui même.
Notation :
Dans la suite de ce cours, on note P l’ensemble des nombres premiers.
Théorème 1 :
Tout entier naturel n distinct de 1 admet au moins un diviseur premier.
Démonstration :
• Si n = 0 alors le théorème est vrai car 2 divise 0.
• On note n un entier naturel ≥ 2 et Dn = {p ∈ N, p 6= 1 tel que p|n}
n ∈ Dn donc Dn n’est pas vide.
Dn admet un plus petit élément que l’on note p1 .
Démontrons que p1 est premier.
On note d un diviseur entier naturel 6= 1 de p1 . Il en existe au moins un p1 lui même.
On a donc d|p1 et p1 |n donc d|n or p1 est le plus petit diviseur de n donc d ≥ p1
De plus comme d|p1 alors d ≤ p1
D’après les deux remarques précédentes, d = p1 .
p1 admet donc d et 1 comme seul diviseur donc p1 ∈ P
Théorème 2 :
L’ensemble P est un ensemble infini.
Démonstration :
Démontrons ce théorème par l’absurde.
On suppose que P est un ensemble fini et on note P = {p1 , p2 , p3 , . . . , pn }.
n
Y
Soit d =
pi + 1
i=1
d n’est pas premier car il est plus grand que tous les pi pour i ∈ [|1, .., n|]
Il a donc un diviseur premier m d’après le théorème précédent. m est dans l’ensemble
P = {p1 , p2 , p3 , . . . , pn }.
n
Y
Comme m ∈ {p1 , p2 , p3 , . . . , pn } alors m divise d et m divise
pi donc m divise 1. Ce qui est
i=1
absurde.
Donc l’ensemble des nombres premiers est infini.
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Décomposition des entiers en produits de facteurs premiers
Théorème 3 :
Tout entier naturel non nul m distincts de 1 se décompose de façon uniqe sous la forme :
(1)
m = pα1 1 × pα2 2 × . . . × pαnn
avec pi des nombres premiers tels que 0 < p1 < p2 < . . . < pn et αi ∈ N∗
Démonstration :
. Existence de la décomposition :
Récurrence sur m ≥ 2 :
On note Pm la propriété : Tout entier naturel k ( 2 ≤ k ≤ m) admet une décomposition de la forme
(1).
Initialisation :
P2 est vraie car 2 = 21 .
Hérédité :
On suppose que Pm est vraie :
1. Si m + 1 ∈ P alors m + 1 = (m + 1)1 donc Pm+1 est vraie.
2. Si m + 1 6∈ P :
D’après le théorème 1 m + 1 admet un diviseur premier p et m + 1 = pq avec q ∈ N et
2≤q≤m
On a q 6= 0 car m + 1 6= 0 et q 6= 1 car m + 1 6∈ P .
On applique alors l’hypothèse de récurrence sur q et donc Pm+1 est vraie.
Conclusion :
Tout entier naturel non nul m distincts de 1 se décompose sous la forme :
m = pα1 1 × pα2 2 × . . . × pαnn
avec pi des nombres premiers tels que 0 < p1 < p2 < . . . < pn et αi ∈ N∗
. Démontrons maintenant l’unicité d’une telle décomposition :
Les seuls nombres premiers divisant m d’après le théorème de Gauss, sont p1 , 2 . . ., pn .
Pour tout i ∈ [|1; n|], pαi i divise m mais pαi i +1 ne divise pas m.
En effet, si pαi i +1 divise m alors il existe q ∈ N tel que m = pαi i +1 × q
et en simplifiant on aurait :
pα1 1 × pα2 2 × pα2 i . . . × pα2 i +2 × pαnn = p1i × q et donc pi = p1 ou pi = p2 . . . ou pi = pn ce qui n’est pas le
cas.
Donc les αi sont les exposants des plus grande puissances de pi , divisant m.
Donc la décomposition est unique car nous n’avons pas le choix des pi et des αi .
Proposition 1 :
On note m un entier dont la décomposition en facteurs premiers est m = pα1 1 × pα2 2 × . . . × pαnn
Les diviseurs (positifs)de m sont les entiers de la forme :
pβ1 1 × pβ2 2 × . . . ×pβnn
avec pour tout i ∈ [|1; n|], 0 ≤ βi ≤ αi
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Théorème 4 :
Tout entier naturel n ≥ 2 non premier admet au moins un diviseur premier p tel que p ≤
√
n
Démonstration :
On note n un entier naturel ≥ 2 et n 6∈ P .
On note p1 le plus petit des diviseurs premiers de n.
alors il existe k ∈ N tel que n = p1 × k avec k ≤ p1
On a donc n = p1 ×√k ≥ p21
Or la √
fonction x 7→ x est strictement croissante sur R+
donc n ≤ p1 .
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Petit théorème de Fermat
Théorème 5 :
Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p.
Alors ap−1 − 1 est divisible par p
ap−1 ≡ 1 [p]
Démonstration :
1. Expliquez pourquoi p ne divise aucun de la suite a, 2a, . . ., (p − 1)a.
2. Démontrer par l’absurde, que le reste des divisions de a, 2a, . . ., (p − 1)a par p sont tous
différents.
3. En déduire les restes possibles de la division de a, 2a, . . ., (p − 1)a par p.
4. En déduire que ap−1 × 1 × 2 × 3 . . . (p − 1) ≡ 1 × 2 × 3 . . . (p − 1) [p]
5. En déduire que ap−1 ≡ 1 [p]
Corollaire :
Si p est un nombre premier et a un entier quelconque
Alors ap − a est divisible par p
ap ≡ a [p]
Démonstration :
A faire ...
Propriété 1 :
Si p est un nombre premier et a un entier, alors
p divise a
ou
p et a sont premiers entre eux
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Démonstration :
A faire ...
Propriété 2 :
Si p est un nombre premier et a et b deux entiers, alors
Si p divise ab
Alors p divise a ou p divise b.
Démonstration :
A faire ...
4
4.1
Applications
Le codage RSA
Voir prochain DM
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