Les nombres premiers - site de Vincent obaton

2007 – 2008 Les nombres premiers Classe de Terminale S (Option Maths)
Les nombres premiers
( Sp´ecialit´e Maths)
Terminale S
Derni`ere mise `a jour : Mercredi 23 Avril 2008
Vincent OBATON, Enseignant au lyc´ee Stendhal de Grenoble (Ann´ee 2007-2008)
Lyc´ee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -1-

2007 – 2008 Les nombres premiers Classe de Terminale S (Option Maths)
J’aimais et j’aime
encore les math´ema-
tiques pour elles-mˆemes
comme n’admettant
pas l’hypocrisie et le
vague, mes deux bˆetes
d’aversion.
Stendhal
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2007 – 2008 Les nombres premiers Classe de Terminale S (Option Maths)
Table des mati`eres
1 D´efinition 4
2 D´ecomposition des entiers en produits de facteurs premiers 5
3 Petit th´eor`eme de Fermat 6
4 Applications 7
4.1 LecodageRSA........................................ 7
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2007 – 2008 Les nombres premiers Classe de Terminale S (Option Maths)
1 D´efinition
D´efinition 1 :
On dit qu’un nombre entier naturel st premier s’il admet exactement
deux diviseurs entiers naturels distincts : 1 et lui mˆeme.
Notation :
Dans la suite de ce cours, on note Pl’ensemble des nombres premiers.
Th´eor`eme 1 :
Tout entier naturel ndistinct de 1 admet au moins un diviseur premier.
D´emonstration :
•Si n= 0 alors le th´eor`eme est vrai car 2 divise 0.
•On note nun entier naturel ≥2 et Dn={p∈N, p 6= 1 tel que p|n}
n∈Dndonc Dnn’est pas vide.
Dnadmet un plus petit ´el´ement que l’on note p1.
D´emontrons que p1est premier.
On note dun diviseur entier naturel 6= 1 de p1. Il en existe au moins un p1lui mˆeme.
On a donc d|p1et p1|ndonc d|nor p1est le plus petit diviseur de ndonc d≥p1
De plus comme d|p1alors d≤p1
D’apr`es les deux remarques pr´ec´edentes, d=p1.
p1admet donc det 1 comme seul diviseur donc p1∈P
Th´eor`eme 2 :
L’ensemble Pest un ensemble infini.
D´emonstration :
D´emontrons ce th´eor`eme par l’absurde.
On suppose que Pest un ensemble fini et on note P={p1, p2, p3, . . . , pn}.
Soit d=
n
Y
i=1
pi+ 1
dn’est pas premier car il est plus grand que tous les pipour i∈[|1, .., n|]
Il a donc un diviseur premier md’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent. mest dans l’ensemble
P={p1, p2, p3, . . . , pn}.
Comme m∈ {p1, p2, p3, . . . , pn}alors mdivise det mdivise
n
Y
i=1
pidonc mdivise 1. Ce qui est
absurde.
Donc l’ensemble des nombres premiers est infini.
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2 D´ecomposition des entiers en produits de facteurs premiers
Th´eor`eme 3 :
Tout entier naturel non nul mdistincts de 1 se d´ecompose de fa¸con uniqe sous la forme :
m=pα1
1×pα2 2×. . . ×pαn
n(1)
avec pides nombres premiers tels que 0 < p1< p2< . . . < pnet αi∈N∗
D´emonstration :
Existence de la d´ecomposition :
R´ecurrence sur m≥2 :
On note Pmla propri´et´e : Tout entier naturel k( 2 ≤k≤m) admet une d´ecomposition de la forme
(1).
Initialisation :
P2est vraie car 2 = 21.
H´er´edit´e :
On suppose que Pmest vraie :
1. Si m+ 1 ∈Palors m+ 1 = (m+ 1)1donc Pm+1 est vraie.
2. Si m+ 1 6∈ P:
D’apr`es le th´eor`eme 1 m+ 1 admet un diviseur premier pet m+ 1 = pq avec q∈Net
2≤q≤m
On a q6= 0 car m+ 1 6= 0 et q6= 1 car m+ 1 6∈ P.
On applique alors l’hypoth`ese de r´ecurrence sur qet donc Pm+1 est vraie.
Conclusion :
Tout entier naturel non nul mdistincts de 1 se d´ecompose sous la forme :
m=pα1
1×pα2 2×. . . ×pαn
n
avec pides nombres premiers tels que 0 < p1< p2< . . . < pnet αi∈N∗
D´emontrons maintenant l’unicit´e d’une telle d´ecomposition :
Les seuls nombres premiers divisant md’apr`es le th´eor`eme de Gauss, sont p1,2. . .,pn.
Pour tout i∈[|1; n|], pαi
idivise mmais pαi+1 ine divise pas m.
En effet, si pαi+1
idivise malors il existe q∈Ntel que m=pαi+1 i×q
et en simplifiant on aurait :
pα1
1×pα2 2×pαi 2. . . ×pαi+2 2×pαn
n=p1 i×qet donc pi=p1ou pi=p2. . . ou pi=pnce qui n’est pas le
cas.
Donc les αisont les exposants des plus grande puissances de pi, divisant m.
Donc la d´ecomposition est unique car nous n’avons pas le choix des piet des αi.
Proposition 1 :
On note mun entier dont la d´ecomposition en facteurs premiers est m=pα1
1×pα2 2×. . . ×pαn
n
Les diviseurs (positifs)de msont les entiers de la forme :
pβ1
1×pβ2 2×. . . ×pβn
n
avec pour tout i∈[|1; n|], 0 ≤βi≤αi
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