Exercices Nombres Premiers TS spécialité Maths 1 × × pr

Exercices  Nombres Premiers TS spécialité Maths
Déterminer à l'aide des divisions successives (cf cours 1) propriété) si les entiers suivants sont
premiers ou pas : 97, 109, 117, 271, 323, 401, 527, 719.
Soit
a
et
b
deux entiers naturels non nuls.
1. Montrer que
a44b4=a22b22–4a2b2
.
2. A quelles conditions
a44b4
est-il premier ?
Dans les Inédits de Marcel Pagnol, l' écrivain indique que, pour tout
n
entier impair
n1
,
le nombre
N=nn2nn2
est premier. Qu'en pensez-vous ?
Vérifier ce résultat dû à Euler (1772)
" le nombre
n2n41
est premier pour
n=0,1 ,2 ,...,39
."
Et pour
n=40
?
Comment étudier ce dernier cas sans la calculatrice ?
On note
n!=1×2×3××n
et
n!
se lit "factorielle
n
"
Est-ce que le nombre
2011
est un diviseur de
2010!
?
Soit
n
un entier donné
n1
. Montrer que la liste suivante comporte
n
entiers naturels
consécutifs dont aucun n'est premier :
n1!2
;
n1!3
; ... ;
n1!n
;
n1!n1
.
Nombres de Mersenne
Pour
n1
, le n-ième nombre de Mersenne est le nombre
Mn=2n–1
1. Quels sont les nombres premiers parmi les nombres
Mn
pour
n6
?
2. Montrer que, si
d
est un diviseur de
n
,
Mn
est divisible par
2d–1
. En déduire que si
Mn
est
premier, alors
n
est premier.
3. Si
p
est premier,
Mp
est-il également premier ?
4. Montrer que, si
an–1
est premier, alors nécessairement
a=2
et
n
est premier.
De la forme
4n3
Soit
q
un nombre premier tel que
q5
et
5×7××q
le produit de tous les nombres premiers
entre 5 et
q
. On pose
N=22×5×7××q3
.
1. Soit
p
un nombre premier divisant
N
. Montrer que
pq
et que
p
est de la forme
4n1
ou
4n3
.
2. Soit
N=p1
1×× pr r
la décomposition de
n
en facteurs premiers.
Montrer qu'il existe
k
1kr
tel que
pk
soit de la forme
4n3
.
3. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme
4n3
.
2009©My Maths Space Page 1/1
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