Exercices Nombres Premiers TS spécialité Maths 1 × × pr

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Exercices  Nombres Premiers
TS spécialité Maths
1 Déterminer à l'aide des divisions successives (cf cours 1) propriété) si les entiers suivants sont
premiers ou pas : 97, 109, 117, 271, 323, 401, 527, 719.
2 Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
1. Montrer que a 44 b4 =a 22 b2 2 – 4 a 2 b2 .
2. A quelles conditions a 44 b4 est-il premier ?
3
Dans les Inédits de Marcel Pagnol, l' écrivain indique que, pour tout n entier impair n1 ,
le nombre N =nn2n n2 est premier. Qu'en pensez-vous ?
Vérifier ce résultat dû à Euler (1772)
" le nombre n2n41 est premier pour n=0,1 ,2 ,... ,39 ."
Et pour n=40 ?
Comment étudier ce dernier cas sans la calculatrice ?
4 On note n!=1×2×3××n et n! se lit "factorielle n "
Est-ce que le nombre 2011 est un diviseur de 2010! ?
5 Soit n un entier donné n1 . Montrer que la liste suivante comporte n entiers naturels
consécutifs dont aucun n'est premier : n1!2 ; n1!3 ; ... ; n1!n ; n1!n1 .
6 Nombres de Mersenne
n
Pour n1 , le n-ième nombre de Mersenne est le nombre M n=2 – 1
1. Quels sont les nombres premiers parmi les nombres M n pour n6 ?
2. Montrer que, si d est un diviseur de n , M n est divisible par 2d – 1 . En déduire que si M n est
premier, alors n est premier.
3. Si p est premier, M p est-il également premier ?
4. Montrer que, si a n – 1 est premier, alors nécessairement a=2 et n est premier.
7 De la forme 4 n3
Soit q un nombre premier tel que q5 et 5×7××q le produit de tous les nombres premiers
entre 5 et q . On pose N =22×5×7××q3 .
1. Soit p un nombre premier divisant N . Montrer que pq et que p est de la forme 4 n1 ou
4 n3 .


2. Soit N = p1 ×× pr la décomposition de n en facteurs premiers.
Montrer qu'il existe k 1kr  tel que pk soit de la forme 4 n3 .
3. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n3 .
1
2009©My Maths Space
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