USTHB - Faculté de Mathématiques - 2 Lic TELECOM - Sections A & B - MNA - 2017/2018
TD1:Equations non linéaires
Exercice 1: On considère les équations suivantes
a)x33 = 0 b)x33x+ 1 = 0
c) exp(x)ln(x) = 0 d)x+ ln x= 0
1- Séparer leurs racines et mettez chacune d’elles dans un intervalle de la forme [k; k + 1] ; k 2Z:
2- Faire quatre itérations par la méthode de dichotomie, quel est le seuil d’erreur commise?
Exercice 2: On voudrait calculer p2avec une calculatrice dotée seulement des quatre opéra-
tions élémentaires.
1- Utiliser la méthode de dichotomie avec un seuil d’erreur = 0:5102:
2- Utiliser la méthode de point …xe en prenant comme fonction '(x) = 2
3x+1
xavec un seuil
d’erreur = 0:5102:
3- Faire quatre itérations avec la méthode de Newton.
Exercice 3: On considère l’équation algébrique
x3x2x1 = 0 (1)
1- Montrer que l’équation (1) admet une unique racine dans [1;2] :
2- a) Si on voulait appliquer la méthode de dichotomie dans [1;2], quel serait le nombre N
d’itérations su¢ sant à partir duquel on a jxnj 0:05 8nN?
2- b) Calculer xNet donner un encadrement de la racine :
3- a) Montrer que l’équation (1) est équivalente à x='(x)où
i)'(x) = x3x21; ii)'(x) = 1 + 1
x+1
x2; iii)'(x) = 3
p1 + x+x2
3- b) Dans chacun des trois cas, voir s’il existe un voisinage Vde ; V [1;2] ;tel que la suite
(xn)ndé…nie par: xn+1 ='(xn)converge vers , et ce pour toute donnée initiale x02 V?
3-c) Dans le cas où '(x) = 3
p1 + x+x2; x0= 1:5;trouver le nombre Nd’itérations su¢ sant
pour avoir jxnj 102;8nN?
4-a) Montrer que le schéma itératif de Newton converge pour toute donnée initiale x023
2;2:
4- b) Pour x0=3
2, calculer x2ainsi que l’erreur d’approximation jx2j. Encadrer cette racine.
Exercice 4: On considère la fonction
f(x) = x+ ln x
1- Montrer que la fonction fadmet un seul zéro noté ; 2[k; k + 1] où k2Nà déterminer:
2- Soient les fonctions suivantes
a)'1(x) = ln x b)'2(x) = exp(x)
Les schémas itératifs de point …xe qui leur correspondent convergent-ils vers ? Justi…er.
3- On considère le schéma itératif correspondant à '2:Calculer x3puis estimer l’erreur commise
en approchant par x3:
1
Exercice 5: On considère l’équation f(x) = 0 où
f(x) = exp (2x)3x2
1- Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une racine unique dans un intervalle du type [n; n+1]
(n2N)que l’on déterminera.
2- Après véri…cation des conditions de convergence, calculer cette racine par la méthode de
Newton en prenant x0= 1 avec une erreur 0:5103.
Exercice 6: On considère l’équation algébrique
xsin x1
4= 0 (2)
1- Montrer que l’équation (2) admet une unique racine dans h0;
2i:
2- Méthode de point …xe: L’équation (2) est équivalente à x='(x)où
'(x) = sin x+1
4
a) Choisir un sous-intervalle Jde h0;
2isur lequel 'est contractante.
b) Faire quatre itérations en estimant l’erreur à chaque étape.
3- Méthode de Newton:
a) Véri…er les hypothèses de convergence de la méthode de Newton.
b) Calculer m= min
x2"0;
2#f0(x)et M = max
x2"0;
2#f"(x):
c) Calculer les quatre premiers termes du schéma en estimant à chaque itération l’erreur commise.
Exercice 7: On considère le processus itératif
(P)8
<
:
x02[0;1]
xn+1 ='(xn)= ' (x) = 1
2 (x2x+ 1)
1- Montrer que le processus (P)converge vers l’unique point …xe de la fonction 'dans
l’intervalle [0;1] :
2- Pour x0=1
2;calculer x2et déduire un encadrement de .
Exercice 8: On considère le processus itératif
(P)8
<
:
x02[1;2]
xn+1 = 1 + 1
p1 + x2
n
='(xn)
1- Montrer que le processus (P)converge, pour tout x02[1;2] ;vers l’unique point …xe de la
fonction 'dans l’intervalle [1;2] :
2- Pour x0= 2;calculer x3et estimer l’erreur d’approximation.
3- Montrer que est l’unique racine d’une équation f(x) = 0; x 2[1;2] ;où fest un polynôme
de degré 3à trouver.
2
1
/
2
100%
