USTHB - Faculté de Mathématiques - 2 Lic TELECOM - Sections A & B - MNA - 2017/2018 TD1: Equations non linéaires Exercice 1: On considère les équations suivantes a) x3 3 = 0 c) exp( x) ln(x) = 0 b) x3 3x + 1 = 0 d) x + ln x = 0 1- Séparer leurs racines et mettez chacune d’elles dans un intervalle de la forme [k; k + 1] ; k 2 Z: 2- Faire quatre itérations par la méthode de dichotomie, quel est le seuil d’erreur commise? p Exercice 2: On voudrait calculer 2 avec une calculatrice dotée seulement des quatre opérations élémentaires. 1- Utiliser la méthode de dichotomie avec un seuil d’erreur = 0:5 10 2 : 1 2 x+ avec un seuil 2- Utiliser la méthode de point …xe en prenant comme fonction ' (x) = 3 x d’erreur = 0:5 10 2 : 3- Faire quatre itérations avec la méthode de Newton. Exercice 3: On considère l’équation algébrique x3 x2 x (1) 1=0 1- Montrer que l’équation (1) admet une unique racine dans [1; 2] : 2- a) Si on voulait appliquer la méthode de dichotomie dans [1; 2], quel serait le nombre N d’itérations su¢ sant à partir duquel on a jxn j 0:05 8n N ? 2- b) Calculer xN et donner un encadrement de la racine : 3- a) Montrer que l’équation (1) est équivalente à x = ' (x) où i) ' (x) = x3 x2 1; ii) ' (x) = 1 + 1 1 + 2; x x iii) ' (x) = p 3 1 + x + x2 3- b) Dans chacun des trois cas, voir s’il existe un voisinage V de ; V [1; 2] ; tel que la suite (xn )n dé…nie par: xn+1 = '(xnp) converge vers , et ce pour toute donnée initiale x0 2 V? 3-c) Dans le cas où ' (x) = 3 1 + x + x2 ; x0 = 1:5; trouver le nombre N d’itérations su¢ sant pour avoir jxn j 10 2 ; 8n N ? 3 4-a) Montrer que le schéma itératif de Newton converge pour toute donnée initiale x0 2 ; 2 : 2 3 4- b) Pour x0 = , calculer x2 ainsi que l’erreur d’approximation jx2 j. Encadrer cette racine. 2 Exercice 4: On considère la fonction f (x) = x + ln x 1- Montrer que la fonction f admet un seul zéro noté ; 2- Soient les fonctions suivantes a) '1 (x) = ln x 2 [k; k + 1] où k 2 N à déterminer: b) '2 (x) = exp( x) Les schémas itératifs de point …xe qui leur correspondent convergent-ils vers ? Justi…er. 3- On considère le schéma itératif correspondant à '2 : Calculer x3 puis estimer l’erreur commise en approchant par x3 : Exercice 5: On considère l’équation f (x) = 0 où 3x2 f (x) = exp ( 2x) 1- Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une racine unique dans un intervalle du type [n; n + 1] (n 2 N) que l’on déterminera. 2- Après véri…cation des conditions de convergence, calculer cette racine par la méthode de Newton en prenant x0 = 1 avec une erreur 0:5 10 3 . Exercice 6: On considère l’équation algébrique x sin x 1 =0 4 (2) i h : dans 0; 2 2- Méthode de point …xe: L’équation (2) est équivalente à x = ' (x) où 1- Montrer que l’équation (2) admet une unique racine ' (x) = sin x + 1 4 h i a) Choisir un sous-intervalle J de 0; sur lequel ' est contractante. 2 b) Faire quatre itérations en estimant l’erreur à chaque étape. 3- Méthode de Newton: a) Véri…er les hypothèses de convergence de la méthode de Newton. 0 " b) Calculer m = min " # f (x) et M = max " # f (x) : x2 0; x2 0; 2 2 c) Calculer les quatre premiers termes du schéma en estimant à chaque itération l’erreur commise. Exercice 7: On considère le processus itératif 8 < x0 2 [0; 1] (P) : xn+1 = ' (xn ) = ' (x) = 1 2 (x2 x + 1) 1- Montrer que le processus (P) converge vers l’unique point …xe l’intervalle [0; 1] : 1 2- Pour x0 = ; calculer x2 et déduire un encadrement de . 2 Exercice 8: On considère le processus itératif 8 < x0 2 [1; 2] 1 (P) x = ' (xn ) : n+1 = 1 + p 1 + x2n de la fonction ' dans 1- Montrer que le processus (P) converge, pour tout x0 2 [1; 2] ; vers l’unique point …xe de la fonction ' dans l’intervalle [1; 2] : 2- Pour x0 = 2; calculer x3 et estimer l’erreur d’approximation. 3- Montrer que est l’unique racine d’une équation f (x) = 0; x 2 [1; 2] ; où f est un polynôme de degré 3 à trouver.
