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2 TEL MNA équations algebriques 17 18

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USTHB - Faculté de Mathématiques - 2 Lic TELECOM - Sections A & B - MNA - 2017/2018
TD1: Equations non linéaires
Exercice 1: On considère les équations suivantes
a) x3 3 = 0
c) exp( x) ln(x) = 0
b) x3 3x + 1 = 0
d) x + ln x = 0
1- Séparer leurs racines et mettez chacune d’elles dans un intervalle de la forme [k; k + 1] ; k 2 Z:
2- Faire quatre itérations par la méthode de dichotomie, quel est le seuil d’erreur commise?
p
Exercice 2: On voudrait calculer 2 avec une calculatrice dotée seulement des quatre opérations élémentaires.
1- Utiliser la méthode de dichotomie avec un seuil d’erreur = 0:5 10 2 :
1
2
x+
avec un seuil
2- Utiliser la méthode de point …xe en prenant comme fonction ' (x) =
3
x
d’erreur = 0:5 10 2 :
3- Faire quatre itérations avec la méthode de Newton.
Exercice 3: On considère l’équation algébrique
x3
x2
x
(1)
1=0
1- Montrer que l’équation (1) admet une unique racine dans [1; 2] :
2- a) Si on voulait appliquer la méthode de dichotomie dans [1; 2], quel serait le nombre N
d’itérations su¢ sant à partir duquel on a jxn
j 0:05 8n N ?
2- b) Calculer xN et donner un encadrement de la racine :
3- a) Montrer que l’équation (1) est équivalente à x = ' (x) où
i) ' (x) = x3
x2
1;
ii) ' (x) = 1 +
1
1
+ 2;
x x
iii) ' (x) =
p
3
1 + x + x2
3- b) Dans chacun des trois cas, voir s’il existe un voisinage V de ; V
[1; 2] ; tel que la suite
(xn )n dé…nie par: xn+1 = '(xnp) converge vers , et ce pour toute donnée initiale x0 2 V?
3-c) Dans le cas où ' (x) = 3 1 + x + x2 ; x0 = 1:5; trouver le nombre N d’itérations su¢ sant
pour avoir jxn
j 10 2 ; 8n N ?
3
4-a) Montrer que le schéma itératif de Newton converge pour toute donnée initiale x0 2 ; 2 :
2
3
4- b) Pour x0 = , calculer x2 ainsi que l’erreur d’approximation jx2
j. Encadrer cette racine.
2
Exercice 4: On considère la fonction
f (x) = x + ln x
1- Montrer que la fonction f admet un seul zéro noté ;
2- Soient les fonctions suivantes
a) '1 (x) =
ln x
2 [k; k + 1] où k 2 N à déterminer:
b) '2 (x) = exp( x)
Les schémas itératifs de point …xe qui leur correspondent convergent-ils vers ? Justi…er.
3- On considère le schéma itératif correspondant à '2 : Calculer x3 puis estimer l’erreur commise
en approchant par x3 :
Exercice 5: On considère l’équation f (x) = 0 où
3x2
f (x) = exp ( 2x)
1- Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une racine unique dans un intervalle du type [n; n + 1]
(n 2 N) que l’on déterminera.
2- Après véri…cation des conditions de convergence, calculer cette racine par la méthode de
Newton en prenant x0 = 1 avec une erreur 0:5 10 3 .
Exercice 6: On considère l’équation algébrique
x
sin x
1
=0
4
(2)
i
h
:
dans 0;
2
2- Méthode de point …xe: L’équation (2) est équivalente à x = ' (x) où
1- Montrer que l’équation (2) admet une unique racine
' (x) = sin x +
1
4
h
i
a) Choisir un sous-intervalle J de 0;
sur lequel ' est contractante.
2
b) Faire quatre itérations en estimant l’erreur à chaque étape.
3- Méthode de Newton:
a) Véri…er les hypothèses de convergence de la méthode de Newton.
0
"
b) Calculer m = min
"
# f (x) et M = max
"
# f (x) :
x2 0;
x2 0;
2
2
c) Calculer les quatre premiers termes du schéma en estimant à chaque itération l’erreur commise.
Exercice 7: On considère le processus itératif
8
< x0 2 [0; 1]
(P)
: xn+1 = ' (xn ) = ' (x) =
1
2 (x2
x + 1)
1- Montrer que le processus (P) converge vers l’unique point …xe
l’intervalle [0; 1] :
1
2- Pour x0 = ; calculer x2 et déduire un encadrement de .
2
Exercice 8: On considère le processus itératif
8
< x0 2 [1; 2]
1
(P) x
= ' (xn )
: n+1 = 1 + p
1 + x2n
de la fonction ' dans
1- Montrer que le processus (P) converge, pour tout x0 2 [1; 2] ; vers l’unique point …xe de la
fonction ' dans l’intervalle [1; 2] :
2- Pour x0 = 2; calculer x3 et estimer l’erreur d’approximation.
3- Montrer que est l’unique racine d’une équation f (x) = 0; x 2 [1; 2] ; où f est un polynôme
de degré 3 à trouver.
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