F.S.T. ;
B.P. : 577 route de Casablanca – Settat ;
(023) 40 07 36 ; Fax : (023) 40 09 69
UNIVERSITE HASSAN 1er
Faculté des Sciences et Techniques de Settat
Département de Mathématiques et Informatique A. U. : 2023-2024
Module : Analyse Numérique- MIP S4
Travaux Dirigés n° 2
Exercice 1 :
On se propose de résoudre numériquement l’équation :
.
- Montrer que cette équation admet une solution unique sur l’intervalle .
- Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver la racine de cette équation sur
l’intervalle . Effectuer trois itérations, avec une précision de 10-4.
- Combien d’itérations est nécessaire pour avoir une erreur inférieure à 10-4.
Exercice 2 :
Soit une fonction continue strictement décroissante telle que et
.
1- Sachant que , déterminer la suite des premiers quatre itérés de la méthode
de dichotomie dans l’intervalle pour l’approximation du zéro de f en étudiant le
signe de f (utiliser jusqu’à 5 chiffres après la virgule).
2- Combien d’itérations faut il effectuer pour approcher le zéro de f à près ?
Exercice 3 :
On cherche à résoudre numériquement l’équation :
dont les racines sont et par la méthode des points fixes.
On transforme cette équation sous la forme : .
- Appliquer l’algorithme de la méthode des points fixes aux fonctions :
1-
2-
3-
effectuer cinq itérations et prendre , avec une précision de 10-4.
- Etudier la convergence de cet algorithme.
Exercice 4 :
Le polynôme possède une seule racine réelle . Pour trouver une
approximation de cette racine, on se propose d’utiliser une méthode de point fixe avec l’une
des trois fonctions suivantes :
-
-
-
Question : Laquelle des fonctions serait la plus adéquate ? pourquoi ?
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Exercice 5 :
Soit l’équation (1)
1- Montrer que cette équation admet une racine unique r dans .
2- Proposer une itération de point fixe pour l’équation (1).
3- Montrer que cette itération converge vers la solution r.
4- Ecrire la méthode de Newton pour cette équation. Pour , calculer et en
prenant 4 chiffres après la virgule.
Exercice 6 :
On veut résoudre (E)
en posant et
a- Montrer que
b- Montrer que la suite converge vers solution de l’équation (E),
.
Exercice 7 :
On cherche à résoudre l’équation :
au moyen de la méthode des points fixes :
où est une constante.
- Pour quelles valeurs de cette méthode de points fixes est-elle convergente vers ?
Exercice 8 :
On pose la fonction f définie sur R par : f (x) = x3 − 2 x − 5.
1. Donner le tableau de variation de f
2. Montrer que f admet une racine unique α [
, + ∞ [
3. Montrer α [2, 3]
4. Posons x0 = 3. Utiliser la méthode de Newton en dressant dans un tableau les quatre
premières itérations avec l’erreur et une précision de 10-4.
5. Tracer la fonction f (sur l’intervalle [2, 3]) et les quatre premières itérations de la question
précédente.
Exercice 9 :
1) Montrer que les courbes des fonctions f et g définie respectivement par
et
se coupent en un point d’abscisse .
2) Trouver à 10-4 près en utilisant la méthode de Newton pour x0 = -1 et en faisant trois
itérations.
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Exercice 10 :
Soit la courbe .
- Ecrire l’équation de la tangente à cette courbe au point d’abscisse .
- Donner l’abscisse du point d’intersection de cette tangente avec l’axe ox.
- Exprimer en fonction de et donner le nom de cette méthode.
- Appliquer cette méthode à la fonction , effectuer trois itérations et
prendre et
, avec une précision de 10-4.
Exercice 11 :
Soit la courbe .
- Ecrire l’équation de la droite passant par les points et .
- Donner l’abscisse de l’intersection de cette droite avec l’axe ox.
- Exprimer en fonction de et donner le nom de cette méthode.
- Appliquer cette méthode à l’équation : , effectuer trois itérations et
prendre et , avec une précision de 10-4.
Exercice 12 :
Soit la fonction continûment dérivable, telle que ,
. On suppose que la fonction g admet deux points fixes dans . Montrer en utilisant
le théorème des accroissements finis, que l’on arrive à une contradiction.
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