UNIVERSITE HASSAN 1er Faculté des Sciences et Techniques de Settat Département de Mathématiques et Informatique Module : Analyse Numérique- MIP S4 A. U. : 2023-2024 Travaux Dirigés n° 2 Exercice 1 : On se propose de résoudre numériquement l’équation : . - Montrer que cette équation admet une solution unique sur l’intervalle . - Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver la racine de cette équation sur l’intervalle . Effectuer trois itérations, avec une précision de 10-4. Combien d’itérations est nécessaire pour avoir une erreur inférieure à 10-4. Exercice 2 : Soit une fonction continue strictement décroissante telle que et . 1- Sachant que , déterminer la suite des premiers quatre itérés de la méthode de dichotomie dans l’intervalle pour l’approximation du zéro de f en étudiant le signe de f (utiliser jusqu’à 5 chiffres après la virgule). 2- Combien d’itérations faut il effectuer pour approcher le zéro de f à près ? Exercice 3 : On cherche à résoudre numériquement l’équation : dont les racines sont et par la méthode des points fixes. On transforme cette équation sous la forme : . - Appliquer l’algorithme de la méthode des points fixes aux fonctions : 123effectuer cinq itérations et prendre - , avec une précision de 10-4. Etudier la convergence de cet algorithme. Exercice 4 : Le polynôme possède une seule racine réelle . Pour trouver une approximation de cette racine, on se propose d’utiliser une méthode de point fixe avec l’une des trois fonctions suivantes : Question : Laquelle des fonctions serait la plus adéquate ? pourquoi ? F.S.T. ; B.P. : 577 route de Casablanca – Settat ; (023) 40 07 36 ; Fax : (023) 40 09 69 UNIVERSITE HASSAN 1er Faculté des Sciences et Techniques de Settat Exercice 5 : Soit l’équation 1234- (1) Montrer que cette équation admet une racine unique r dans Proposer une itération de point fixe pour l’équation (1). Montrer que cette itération converge vers la solution r. Ecrire la méthode de Newton pour cette équation. Pour prenant 4 chiffres après la virgule. Exercice 6 : On veut résoudre . , calculer et en (E) en posant et a- Montrer que b- Montrer que la suite . converge vers solution de l’équation (E), Exercice 7 : On cherche à résoudre l’équation : au moyen de la méthode des points fixes : où est une constante. - Pour quelles valeurs de cette méthode de points fixes est-elle convergente vers ? Exercice 8 : On pose la fonction f définie sur R par : f (x) = x3 − 2 x − 5. 1. Donner le tableau de variation de f 2. Montrer que f admet une racine unique α [ ,+∞[ 3. Montrer α [2, 3] 4. Posons x0 = 3. Utiliser la méthode de Newton en dressant dans un tableau les quatre premières itérations avec l’erreur et une précision de 10-4. 5. Tracer la fonction f (sur l’intervalle [2, 3]) et les quatre premières itérations de la question précédente. Exercice 9 : 1) Montrer que les courbes des fonctions f et g définie respectivement par et se coupent en un point d’abscisse . 2) Trouver à 10-4 près en utilisant la méthode de Newton pour x0 = -1 et en faisant trois itérations. F.S.T. ; B.P. : 577 route de Casablanca – Settat ; (023) 40 07 36 ; Fax : (023) 40 09 69 UNIVERSITE HASSAN 1er Faculté des Sciences et Techniques de Settat Exercice 10 : Soit la courbe . - Ecrire l’équation de la tangente à cette courbe au point d’abscisse . - Donner l’abscisse du point d’intersection de cette tangente avec l’axe ox. - Exprimer en fonction de et donner le nom de cette méthode. - Appliquer cette méthode à la fonction , effectuer trois itérations et -4 prendre et , avec une précision de 10 . Exercice 11 : Soit la courbe . - Ecrire l’équation de la droite passant par les points et . - Donner l’abscisse de l’intersection de cette droite avec l’axe ox. - Exprimer en fonction de et donner le nom de cette méthode. - Appliquer cette méthode à l’équation : , effectuer trois itérations et -4 prendre et , avec une précision de 10 . Exercice 12 : Soit la fonction continûment dérivable, telle que , . On suppose que la fonction g admet deux points fixes dans . Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis, que l’on arrive à une contradiction. F.S.T. ; B.P. : 577 route de Casablanca – Settat ; (023) 40 07 36 ; Fax : (023) 40 09 69
