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LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES
ASSOCIATION DES IMPEDANCES
1 - Etude d'un circuit R, L et C série
1.1 - Montage
i(t)
u(t)
R
L
C
UR
UL
UC
1.2 - Constitution de Fresnel (méthode graphique)
On considère le courant comme origine de phase : i(t) = I 2 sin ωt
LωI
I
Cω
0
LωI
X
ϕ
RI
ϕ
0
I
Cω
X
RI
I
LωI
I
Circuit inductif
ϕ=0
0
I
Cω
LωI
X
I
Circuit capacitif
RI
Circuit résistif
1.3 - Méthode complexe
I
1 ⎤
⎡
)
= I ⎢R + j (Lω Cω
Cω ⎥⎦
⎣
1 ⎤
⎡
Z = ⎢R + j (Lω )
Cω ⎥⎦
⎣
U = U R + U L + U C = R I + j Lω I - j
On a : U = Z I
⇒
• Module : Z = R 2 + (Lω -
• Phase :
ϕ = arctg
1 2
)
Cω
1
Cω
R
Lω -
1.4 – Résonance
ƒ
En général pour un circuit RLC série, le phénomène de la résonance est due au passage du courant
efficace par un maximum :
I=
ƒ
ƒ
U
=
Z
U
1 2
)
Cω
1
2
Le courant I admet un maximum IRes lorsque ( Lω0 ) = 0 ⇒ LCω0 = 1
Cω0
On appelle ω0 pulsation propre avec : ω0 =
2
R + (Lω -
1
LC
CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE
42
LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES
ƒ
Courbe I=f(ω)
I
Pic de résonance
U
R
ω
ω0
0
1.5 - Facteur de surtension
ƒ
ƒ
ƒ
A la résonance si R est très faible devant XL et XC, on aura UC = UL >> UR,
On dit qu'il y a une surtension aux bornes de l'inductance et de la capacité par rapport à la tension
d'alimentation,
Le coefficient de surtension (ou facteur de qualité) est :
UL UC L ω0
1
=
=
=
UR UR
R
R C ω0
Q=
1.6 - Application :
On considère un circuit comportant une inductance L, une résistance R et un condensateur C montés
en série, le tout alimenté par une tension sinusoïdale : u(t) = 200 2 sin 100πt . On donne C = 31,8 μF, R
= 100 Ω et L = 637 mH,
On demande :
1. Le courant fournie par le générateur et son déphasage par rapport à la tension du générateur,
2. Les tensions aux bornes de la bobine et de la capacité ainsi que leurs déphasages par rapport au
courant,
3. La fréquence de résonance, le coefficient de surtension et le courant efficace de résonance,
N.B : Il est recommandé d'arrondir les résultats des calculs des réactances à fin d'obtenir des calculs
simples,
Solution :
1) Calcul de I :
On a :
I=
U = Z. I
et
Z = R + j (L ω -
1
)
Cω
200
1
100 + j(0,637 × 314 )
31,8 × 10 - 6 × 314
• Module de I :
I= 2
π
• Phase de I : ϕ = 4
⇒
=
⇒
I=
U
R + j (L ω -
1
)
Cω
200
= 1- j
100 + j 100
π
i(t) = 2 sin (100πt = )
4
CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE
43
LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES
2.1) Calcul de UL
On a :
UL = ZL . I
et
ZL = jLω
⇒
UL = jLω (1 - j) = Lω (1 + j) = 200 ( 1 + j)
⇒ uL (t) = 400 sin (100πt +
π
) par rapport à u(t)
4
⇒ uL (t) = 400 sin (100πt +
π
) par rapport à i(t)
2
2.2) Calcul de UC
On a :
UC = Z C . I
et
⇒ uC (t) = 200 sin (100πt −
ZC =
-j
Cω
⇒
UC =
-j
-1
(1 - j) =
(1 + j) = - 100 ( 1 + j)
Cω
Cω
3π
) par rapport à u(t)
4
π
⇒ uC (t) = 200 sin (100πt − ) par rapport à i(t)
2
3.1) Calcul de f0
f0 =
ω
1
=
= 35,36 Hz
2π 2π LC
3.2) Calcul de Q
Q=
UC
LC
1
=
=
= 1,415
RC
U RCω0
3.3) Calcul de IRes
IRes =
U
=2A
R
2 - Etude d'un circuit R, L et C parallèle
2.1 - Montage
iR(t)
i(t)
iC(t)
u(t)
On a :
iL(t)
R
L
C
i(t) = iR (t) + iL (t) + iC (t)
u(t) = U 2 sin ωt
U
2 sin ωt
R
π
U
2 sin (ωt - )
iL (t) =
Lω
2
iR (t) =
Avec :
i C (t) = CωU 2 sin (ωt +
π
)
2
2.2 - Constitution de Fresnel (méthode graphique)
On considère la tension comme origine de phase : u(t) = U 2 sin ωt
CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE
44
LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES
U
Lω
0
UCω
I
U
R
UCω
ϕ
ϕ
U
Lω
I
U
0
U
Lω
X
ϕ=0
X
0
I=
U
R
Circuit capacitif
UCω
U
R
Circuit résistif
Circuit capacitif
2.3 - Méthode complexe
I = IR + IL + IC = G U + j Cω U - j
On a : I = Ŷ U
• Module :
• Phase :
1 ⎤
⎡
Y = ⎢GR + j (Cω )
Lω ⎥⎦
⎣
⇒
2
Y = G + (Cω -
ϕ = arctg
Û
1 ⎤
⎡
= U ⎢G + j (Cω )
Lω
Lω ⎥⎦
⎣
Cω -
1 2
)
Lω
1
Lω
G
2.4 – Résonance
ƒ
En général pour un circuit RLC parallèle, le phénomène de la résonance est due au passage de la
tension efficace par un maximum :
U=
I
=
Y
U
2
G + (Cω -
ƒ
La tension admet un maximum URes lorsque ( Cω0 -
ƒ
On appelle ω0 pulsation propre avec : ω0 =
ƒ
Courbe U=f(ω)
1 2
)
Lω
1
)=0
Lω0
⇒ LCω02 = 1
1
LC
U
Pic de résonance
I
G
0
ω0
ω
2.5 - Facteur de surintensité
ƒ
ƒ
A la résonance si R est très grande devant XL et XC, on aura IC = IL >> IR,
On dit qu'il y a une surintensité aux bornes de l'inductance et de la capacité par rapport au courant
total,
CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE
45
LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES
ƒ
Le coefficient de surintensité (ou facteur de qualité) est :
I
I
R
Q= L = C =
= RCω0
IR IR Lω0
3 - Méthode de calcul des circuits sinusoïdaux
ƒ
ƒ
Pour résoudre les circuits à courant sinusoïdal nous pouvons appliquer toutes les méthodes
considérées dans les circuits à courant continu,
Toujours au lieu des résistances il faut mettre l'impédance de chaque branche, on peut faire la
transformation étoile triangle et vis versa,
CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE
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