LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES ASSOCIATION DES IMPEDANCES 1 - Etude d'un circuit R, L et C série 1.1 - Montage i(t) u(t) R L C UR UL UC 1.2 - Constitution de Fresnel (méthode graphique) On considère le courant comme origine de phase : i(t) = I 2 sin ωt LωI I Cω 0 LωI X ϕ RI ϕ 0 I Cω X RI I LωI I Circuit inductif ϕ=0 0 I Cω LωI X I Circuit capacitif RI Circuit résistif 1.3 - Méthode complexe I 1 ⎤ ⎡ ) = I ⎢R + j (Lω Cω Cω ⎥⎦ ⎣ 1 ⎤ ⎡ Z = ⎢R + j (Lω ) Cω ⎥⎦ ⎣ U = U R + U L + U C = R I + j Lω I - j On a : U = Z I ⇒ • Module : Z = R 2 + (Lω - • Phase : ϕ = arctg 1 2 ) Cω 1 Cω R Lω - 1.4 – Résonance En général pour un circuit RLC série, le phénomène de la résonance est due au passage du courant efficace par un maximum : I= U = Z U 1 2 ) Cω 1 2 Le courant I admet un maximum IRes lorsque ( Lω0 ) = 0 ⇒ LCω0 = 1 Cω0 On appelle ω0 pulsation propre avec : ω0 = 2 R + (Lω - 1 LC CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 42 LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES Courbe I=f(ω) I Pic de résonance U R ω ω0 0 1.5 - Facteur de surtension A la résonance si R est très faible devant XL et XC, on aura UC = UL >> UR, On dit qu'il y a une surtension aux bornes de l'inductance et de la capacité par rapport à la tension d'alimentation, Le coefficient de surtension (ou facteur de qualité) est : UL UC L ω0 1 = = = UR UR R R C ω0 Q= 1.6 - Application : On considère un circuit comportant une inductance L, une résistance R et un condensateur C montés en série, le tout alimenté par une tension sinusoïdale : u(t) = 200 2 sin 100πt . On donne C = 31,8 μF, R = 100 Ω et L = 637 mH, On demande : 1. Le courant fournie par le générateur et son déphasage par rapport à la tension du générateur, 2. Les tensions aux bornes de la bobine et de la capacité ainsi que leurs déphasages par rapport au courant, 3. La fréquence de résonance, le coefficient de surtension et le courant efficace de résonance, N.B : Il est recommandé d'arrondir les résultats des calculs des réactances à fin d'obtenir des calculs simples, Solution : 1) Calcul de I : On a : I= U = Z. I et Z = R + j (L ω - 1 ) Cω 200 1 100 + j(0,637 × 314 ) 31,8 × 10 - 6 × 314 • Module de I : I= 2 π • Phase de I : ϕ = 4 ⇒ = ⇒ I= U R + j (L ω - 1 ) Cω 200 = 1- j 100 + j 100 π i(t) = 2 sin (100πt = ) 4 CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 43 LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES 2.1) Calcul de UL On a : UL = ZL . I et ZL = jLω ⇒ UL = jLω (1 - j) = Lω (1 + j) = 200 ( 1 + j) ⇒ uL (t) = 400 sin (100πt + π ) par rapport à u(t) 4 ⇒ uL (t) = 400 sin (100πt + π ) par rapport à i(t) 2 2.2) Calcul de UC On a : UC = Z C . I et ⇒ uC (t) = 200 sin (100πt − ZC = -j Cω ⇒ UC = -j -1 (1 - j) = (1 + j) = - 100 ( 1 + j) Cω Cω 3π ) par rapport à u(t) 4 π ⇒ uC (t) = 200 sin (100πt − ) par rapport à i(t) 2 3.1) Calcul de f0 f0 = ω 1 = = 35,36 Hz 2π 2π LC 3.2) Calcul de Q Q= UC LC 1 = = = 1,415 RC U RCω0 3.3) Calcul de IRes IRes = U =2A R 2 - Etude d'un circuit R, L et C parallèle 2.1 - Montage iR(t) i(t) iC(t) u(t) On a : iL(t) R L C i(t) = iR (t) + iL (t) + iC (t) u(t) = U 2 sin ωt U 2 sin ωt R π U 2 sin (ωt - ) iL (t) = Lω 2 iR (t) = Avec : i C (t) = CωU 2 sin (ωt + π ) 2 2.2 - Constitution de Fresnel (méthode graphique) On considère la tension comme origine de phase : u(t) = U 2 sin ωt CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 44 LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES U Lω 0 UCω I U R UCω ϕ ϕ U Lω I U 0 U Lω X ϕ=0 X 0 I= U R Circuit capacitif UCω U R Circuit résistif Circuit capacitif 2.3 - Méthode complexe I = IR + IL + IC = G U + j Cω U - j On a : I = Ŷ U • Module : • Phase : 1 ⎤ ⎡ Y = ⎢GR + j (Cω ) Lω ⎥⎦ ⎣ ⇒ 2 Y = G + (Cω - ϕ = arctg Û 1 ⎤ ⎡ = U ⎢G + j (Cω ) Lω Lω ⎥⎦ ⎣ Cω - 1 2 ) Lω 1 Lω G 2.4 – Résonance En général pour un circuit RLC parallèle, le phénomène de la résonance est due au passage de la tension efficace par un maximum : U= I = Y U 2 G + (Cω - La tension admet un maximum URes lorsque ( Cω0 - On appelle ω0 pulsation propre avec : ω0 = Courbe U=f(ω) 1 2 ) Lω 1 )=0 Lω0 ⇒ LCω02 = 1 1 LC U Pic de résonance I G 0 ω0 ω 2.5 - Facteur de surintensité A la résonance si R est très grande devant XL et XC, on aura IC = IL >> IR, On dit qu'il y a une surintensité aux bornes de l'inductance et de la capacité par rapport au courant total, CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 45 LECON 3 : ASSOCIATION DES IMPEDANCES Le coefficient de surintensité (ou facteur de qualité) est : I I R Q= L = C = = RCω0 IR IR Lω0 3 - Méthode de calcul des circuits sinusoïdaux Pour résoudre les circuits à courant sinusoïdal nous pouvons appliquer toutes les méthodes considérées dans les circuits à courant continu, Toujours au lieu des résistances il faut mettre l'impédance de chaque branche, on peut faire la transformation étoile triangle et vis versa, CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 46
