DS2 continuite derivabilite-3

Devoir surveillé 2 : Continuité et dérivabilité
Exercice 1
On considère la fonction
f
définie sur
ℝ
par
f x =x3−4
x21
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose
g x =x33x8
a) Étudier le sens de variation de
g
, et montrer que l'équation
g x =0
admet sur
ℝ
une unique solution
dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1 (à justifier).
b) Préciser le signe de
g x
selon la valeur de
.
2) a) Calculer
f ' x
et étudier le sens de variation de
f
b) Étudier les limites de
f
en
∞
et en
−∞
, puis dresser le tableau de variations de
f
3) a) Montrer que
f x =x−x4
x21
b) En déduire que Cf admet une asymptote oblique
, et étudier la position de Cf par rapport à
.
Vérifier en particulier que Cf rencontre
en un unique point
A
.
4) Déterminer les abscisses des points
B
et
B '
de Cf admettant une tangente parallèle à
.
5) Montrer que
f =3
2
et en déduire une valeur approchée de
f
.
Exercice 2
On considère la fonction
f
définie sur
ℝ
par
f x =
{
x2sin
1
x
si x≠0
0 si x=0
1) Montrer que
f
est continue sur
ℝ
?
2)
f
est elle dérivable en 0 ?
3)
f '
est elle continue en 0 ?
Devoir surveillé 2 : Continuité et dérivabilité
Exercice 1
On considère la fonction
f
définie sur
ℝ
par
f x =x3−4
x21
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose
g x =x33x8
a) Étudier le sens de variation de
g
, et montrer que l'équation
g x =0
admet sur
ℝ
une unique solution
dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1 (à justifier).
b) Préciser le signe de
g x
selon la valeur de
.
2) a) Calculer
f ' x
et étudier le sens de variation de
f
b) Étudier les limites de
f
en
∞
et en
−∞
, puis dresser le tableau de variations de
f
3) a) Montrer que
f x =x−x4
x21
b) En déduire que Cf admet une asymptote oblique
, et étudier la position de Cf par rapport à
.
Vérifier en particulier que Cf rencontre
en un unique point
A
.
4) Déterminer les abscisses des points
B
et
B '
de Cf admettant une tangente parallèle à
.
5) Montrer que
f =3
2
et en déduire une valeur approchée de
f
Exercice 2
On considère la fonction
f
définie sur
ℝ
par
f x =
{
x2sin
1
x
si x≠0
0 si x=0
1) Montrer que
f
est continue sur
ℝ
?
2)
f
est elle dérivable en 0 ?
3)
f '
est elle continue en 0 ?

Correction
Exercice 1
On considère la fonction
f
définie sur
ℝ
par
f x =x3−4
x21
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose
g x =x33x8
a) Étudions le sens de variation de
g
, et montrons que l'équation
g x =0
admet sur
ℝ
une unique solution
dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1.
g
est un polynôme donc est une fonction dérivable sur
ℝ
. On a alors
g ' x =3x230
sur
ℝ
(Un carré est toujours positif)
Il me semble important de rappeler que l'utilisation des formules du discriminant doit se faire de façon raisonnée et non pas instantanée.
Il est tout à fait inutile d'utiliser un
pour montrer que
3x23
est toujours positif.
Autre chose de très important, le
ne se calcule que pour une expression polynomiale du second degré et uniquement de cette forme.
On ne peut pas calculer de
pour
x33x8
puisque cette expression n'est pas du second degré.
Il s'en suit que
g
est une fonction strictement croissante sur
ℝ
.
On remarque alors que
g
change de signe puisque
g −1,5 =0,125
et
g −1,6 ≈−0,896
.
g étant dérivable donc continue sur
ℝ
, le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu'il existe une unique solution
à l'équation
g x =0
et que
−1,6 −1,5
Par suite on tire le tableau de signes suivant :
x
−∞
∞
g(x)
−
0 +
2) a) Calculons
f ' x
et étudions le sens de variation de
f
f
est dérivable sur
ℝ
comme quotient de fonctions dérivables sur
ℝ
dont le dénominateur ne s'annule pas.
On peut donc calculer
f ' x
pour tout
x∈ℝ
.
On a alors
f=u
v
où
{
u x =x3−4
v x =x21
et
{
u ' x =3x2
v x =2x
ce qui donne, puisque
f ' x =
u
v
' x =u '
x v x −u x v ' x
v2 x
On en déduit que :
f ' x =x
x33x8
x21
2=xg
x
x21
2
Remarque : L'expression de
f ' x
doit toujours faire appel à celle de la fonction auxiliaire ici
g x
.
Si ce n'est pas le cas c'est que vous avez fait une erreur quelque part
Et finalement le tableau de variations suivant :
x−∞
0+∞
signe de g
−
0++
Signe de x
−
−
0 +
Signe de f'(x)
+
−
+
f
∞
f(x)
−∞
−4
En l'infini, un polynôme, se comporte comme son terme de plus haut degré.
Il s'en suit une détermination aisée des limites en
∞
et
−∞
de
f x
lim
x −∞
f x =lim
x−∞
x3
x2=lim x −∞
x=−∞
et
lim
x ∞
f x =lim
x∞
x3
x2=lim x ∞
x=∞
3) a) Montrons que
f x =x−x4
x21
On a
x−x4
x21=x
x21
x21
−x4
x21=x3x−x−4 x21=x3−4 x21=f
x
b) Montrons que Cf admet une asymptote oblique
, et étudions la position de Cf par rapport à
.
Rappelons l'essentiel :
Méthode sur les asymptotes.
Si
lim
xa
f x =∞
alors Cf admet une asymptote verticale d'équation
x=a
Si
lim
x ∞
f x =b
fini alors Cf admet une asymptote horizontale d'équation
y=b
en
∞
Si
lim
x −∞
f x =b
fini alors Cf admet une asymptote horizontale d'équation
y=b
en
−∞
Pour démontrer que la droite d'équation
y=ax b
est une asymptote oblique à Cf il faut et il suffit de montrer que
lim
x ∞
[ f x − axb ] =0
ce qui traduit que la distance entre Cf et la droite D tend vers 0 lorsque
x
tend vers l'infini.

Pour étudier la position relative de Cf et de son asymptote il faut et il suffit d'étudier le signe de
f x − axb
Si
f x − axb 0
alors
f x ax b
et donc Cf et au dessus de D
Si
f x − axb 0
alors
f x ax b
et donc Cf est en dessous de D
On a
f x −x=− x4
x21
et donc
lim
x ±∞
[ f x −x ] =lim
x±∞
−x4
x21=lim x ±∞
−x
x2=lim x±∞
−1
x=0
Ce qui prouve que la droite
d'équation
y=x
est une asymptote oblique à Cf en
∞
et en
−∞
Pour ce qui est de la position de
et de Cf, il nous suffit d'étudier le signe de
f x −x
Or
f x −x=− x4
x21
, est du signe de
− x4
donc :
Si
− x4 0
⇔
x40
⇔
x−4
on a que
f x −x0
et donc que
f x x
soit que Cf est au dessus de
Et donc Cf est au dessous de
si, et seulement si,
x−4
En particulier Cf ne rencontre
qu'en un unique point
A
d'abscisse
x=−4
4) Déterminons les abscisses des points
B
et
B '
de Cf admettant une tangente parallèle à
.
Pour cela il nous suffit de résoudre l'équation
f ' x =1
puisque
f ' x
est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse
x
et que
1
est le coefficient directeur de la droite
.
Rappelons que deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur.
f ' x =1
⇔
xg x
x21
2=1
⇔
xg x = x21
2
⇔
x43x28x=x42x21
⇔
x28x−1=0
On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant.
 =b2−4ac=824=680
il y a donc deux solutions distinctes :
x1=−b
2a=−8
68
2=−4
17
et
x2=−b−
2a=−8−
68
2=−4−
17
Les abscisses des points
B
et
B '
cherchées sont donc
−4 17
et
−4− 17
5) Exprimons
f
en fonction de
.
On sait que
g =0
donc que
338=0
donc
3=−3 −8
, par suite
f =3−4
21=−3 −8−4 21=−3  4 21
Cependant nous n'avons pas fini puisque on nous demande d'exprimer
f
uniquement à l'aide de
.
Il nous faut donc éliminer le
2
au profit d'un simple
, mais comment ? En utilisant toujours la même relation
g =0
.
338=0
⇔
328=0
⇔
21 2  4 =0
⇔
21 =−2  4
⇔
 4
21=−
2
car
21≠0
Finalement
f =3
2
et comme
−1,6 −1,5
on en déduit que
−2,4f −2,25
Exercice 2
On considère la fonction
f
définie sur
ℝ
par
f x =
{
x2sin
1
x
si x≠0
0 si x=0
Avant de commencer, rappelons que :
Continuité et dérivabilité en un point
a
f
est continue en
a
⇔
lim
xa
f x =f a
⇔
lim
xa
xa
f x =lim
xa
xa
f x =f a
f
est dérivable en
a
⇔
lim
xa
f x −f a
x−a
est finie
⇔
lim
xa
xa
f x −f a
x−a=lim
xa
xa
f x −f a
x−a
est finie.
Dans ce cas la limite est notée
f ' a
Continuité et dérivabilité sur un intervalle
I
f
est continue sur
I
⇔
f
est composée de fonctions continues sur
cet intervalle (somme, produit, quotient (dénominateur ne s'annule
pas), composition (attention aux enchaînement et aux intervalles))
f
est dérivable sur
I
⇔
f
est composée de fonctions dérivables sur
cet intervalle (somme, produit, quotient (dénominateur ne s'annule
pas), composition (attention aux enchaînement et aux intervalles))
1) Montrons que
f
est continue sur
ℝ
?
Sur
ℝ*
,
f
est le produit des fonctions
xx2
(continue) et
xsin
1
x
qui est la composée des fonctions
xsin x
et
x1
x
toutes
deux continues.
x1
xsin
1
x
ℝ*
ℝ*
f
est donc continue sur
ℝ*
Reste à étudier la continuité en 0.
Or
0
∣
f x
∣
=
∣
x2sin
1
x
∣
∣ sin ∣ 1
x2
on en déduit (puisque
lim
x0
x2=0
) que
lim
x0
f x =0=f 0
, ce qui prouve que
f
et continue en 0.
f
est donc continue sur
ℝ

2)
f
est elle dérivable en 0 ?
On a
f x −f 0
x−0=f
x
x=xsin
1
x
or
0
∣
xsin
1
x
∣
∣ sin ∣ 1
∣
x
∣
et comme
lim
x0
∣
x
∣
=0
on en déduit que
lim
x0
f x −f 0
x−0=0
Ce qui prouve que
f
est dérivable en 0 et que
f ' 0 =0
3)
f '
est elle continue en 0 ?
Il nous faut établir l'expression de
f ' x
.
D'après la question précédente on a que
f ' 0 =0
, il nous ne reste plus qu'à déterminer l'expression de
f ' x
pour
x≠0
Or sur
ℝ*
,
f
est le produit de deux fonctions dérivables (idem que pour la continuité sur
ℝ*
) on peut donc calculer
f ' x
pour
x≠0
.
f=uv
où
{
u x =x2
v x =sin
1
x
donc
{
u ' x =2x
v ' x =− 1
x2cos
1
x
rappelons que
fog '=g ' ×f ' og
Il s'en suit que
f ' x =2xsin
1
x
−x21
x2cos
1
x
=2xsin
1
x
−cos
1
x
Remarque : L'expression de
f ' x
n'est valable que sur
ℝ*
, on ne peut donc pas calculer
f ' 0
à l'aide de cette expression. Le calcul de
f ' 0
ne peut donc se faire qu'à partir du taux d'accroissement de
f
en 0.
Pour montrer que
f '
est continue en 0 il faudrait prouver que
lim
x0
f ' x =f ' 0 =0
Or on peut voir que ce ne peut être le cas puisque, si
lim
x0
2xsin
1
x
=0
il n'en est pas de même de
lim
x0
cos
1
x
qui n'existe pas.
Finalement
lim
x0
f ' x
n'existe pas,
f '
n'est donc pas continue en 0.
Représentation graphique de l'exercice 1
Représentation graphique de l'exercice 2

Ci dessous la représentation graphique de la dérivée de
f
.