
Pour étudier la position relative de Cf et de son asymptote il faut et il suffit d'étudier le signe de
et donc Cf et au dessus de D
Si
et donc Cf est en dessous de D
On a
lim
x ±∞
[
f
x
−x
]
=lim
x±∞
−x4
x21=lim
x ±∞
−x
x2=lim
x±∞
−1
x=0
Ce qui prouve que la droite
est une asymptote oblique à Cf en
Pour ce qui est de la position de
et de Cf, il nous suffit d'étudier le signe de
soit que Cf est au dessus de
Et donc Cf est au dessous de
En particulier Cf ne rencontre
4) Déterminons les abscisses des points
de Cf admettant une tangente parallèle à
.
Pour cela il nous suffit de résoudre l'équation
est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse
est le coefficient directeur de la droite
.
Rappelons que deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur.
On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant.
il y a donc deux solutions distinctes :
x1=−b
2a=−8
68
2=−4
17
x2=−b−
2a=−8−
68
2=−4−
17
f
=3−4
21=−3 −8−4
21=−3 4
21
Cependant nous n'avons pas fini puisque on nous demande d'exprimer
.
Il nous faut donc éliminer le
, mais comment ? En utilisant toujours la même relation
Exercice 2
On considère la fonction
f
x
=
{
x2sin
1
x
si x≠0
0 si x=0
Avant de commencer, rappelons que :
Continuité et dérivabilité en un point
lim
xa
xa
f
x
=lim
xa
xa
f
x
=f
a
lim
xa
xa
f
x
−f
a
x−a=lim
xa
xa
f
x
−f
a
x−a
est finie.
Dans ce cas la limite est notée
Continuité et dérivabilité sur un intervalle
est composée de fonctions continues sur
cet intervalle (somme, produit, quotient (dénominateur ne s'annule
pas), composition (attention aux enchaînement et aux intervalles))
est composée de fonctions dérivables sur
cet intervalle (somme, produit, quotient (dénominateur ne s'annule
pas), composition (attention aux enchaînement et aux intervalles))
1) Montrons que
est le produit des fonctions
qui est la composée des fonctions
Reste à étudier la continuité en 0.
Or
0
∣
f
x
∣
=
∣
x2sin
1
x
∣
∣
sin
∣
1
x2