DS2 continuite derivabilite-3

Telechargé par Jovany Ghislain Diyema
Devoir surveillé 2 : Continuité et dérivabilité
Exercice 1
On considère la fonction
f
définie sur
par
f
x
=x34
x21
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose
g
x
=x33x8
a) Étudier le sens de variation de
g
, et montrer que l'équation
g
x
=0
admet sur
une unique solution
dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1 (à justifier).
b) Préciser le signe de
g
x
selon la valeur de
.
2) a) Calculer
f '
x
et étudier le sens de variation de
b) Étudier les limites de
en
et en
, puis dresser le tableau de variations de
3) a) Montrer que
f
x
=xx4
x21
b) En déduire que Cf admet une asymptote oblique
, et étudier la position de Cf par rapport à
.
Vérifier en particulier que Cf rencontre
en un unique point
A
.
4) Déterminer les abscisses des points
B
et
B '
de Cf admettant une tangente parallèle à
.
5) Montrer que
f
=3
2
et en déduire une valeur approchée de
f
.
Exercice 2
On considère la fonction
f
définie sur
par
f
x
=
{
x2sin
1
x
si x0
0 si x=0
1) Montrer que
f
est continue sur
?
2)
f
est elle dérivable en 0 ?
3)
f '
est elle continue en 0 ?
Devoir surveillé 2 : Continuité et dérivabilité
Exercice 1
On considère la fonction
f
définie sur
par
f
x
=x34
x21
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose
g
x
=x33x8
a) Étudier le sens de variation de
g
, et montrer que l'équation
g
x
=0
admet sur
une unique solution
dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1 (à justifier).
b) Préciser le signe de
g
x
selon la valeur de
.
2) a) Calculer
f '
x
et étudier le sens de variation de
b) Étudier les limites de
en
et en
, puis dresser le tableau de variations de
3) a) Montrer que
f
x
=xx4
x21
b) En déduire que Cf admet une asymptote oblique
, et étudier la position de Cf par rapport à
.
Vérifier en particulier que Cf rencontre
en un unique point
A
.
4) Déterminer les abscisses des points
B
et
B '
de Cf admettant une tangente parallèle à
.
5) Montrer que
f
=3
2
et en déduire une valeur approchée de
f
Exercice 2
On considère la fonction
f
définie sur
par
f
x
=
{
x2sin
1
x
si x0
0 si x=0
1) Montrer que
f
est continue sur
?
2)
f
est elle dérivable en 0 ?
3)
f '
est elle continue en 0 ?
Correction
Exercice 1
On considère la fonction
f
définie sur
par
f
x
=x34
x21
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
On pose
g
x
=x33x8
a) Étudions le sens de variation de
g
, et montrons que l'équation
g
x
=0
admet sur
une unique solution
dont on donnera un
encadrement d'amplitude 0,1.
g
est un polynôme donc est une fonction dérivable sur
. On a alors
g '
x
=3x230
sur
(Un carré est toujours positif)
Il me semble important de rappeler que l'utilisation des formules du discriminant doit se faire de façon raisonnée et non pas instantanée.
Il est tout à fait inutile d'utiliser un
pour montrer que
3x23
est toujours positif.
Autre chose de très important, le
ne se calcule que pour une expression polynomiale du second degré et uniquement de cette forme.
On ne peut pas calculer de
pour
x33x8
puisque cette expression n'est pas du second degré.
Il s'en suit que
g
est une fonction strictement croissante sur
.
On remarque alors que
g
change de signe puisque
g
1,5
=0,125
et
g
1,6
0,896
.
g étant dérivable donc continue sur
, le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu'il existe une unique solution
à l'équation
g
x
=0
et que
1,6 −1,5
Par suite on tire le tableau de signes suivant :
x
g(x)
0 +
2) a) Calculons
f '
x
et étudions le sens de variation de
est dérivable sur
comme quotient de fonctions dérivables sur
dont le dénominateur ne s'annule pas.
On peut donc calculer
f '
x
pour tout
x
.
On a alors
f=u
v
{
u
x
=x34
v
x
=x21
et
{
u '
x
=3x2
v
x
=2x
ce qui donne, puisque
f '
x
=
u
v
'
x
=u '
x
v
x
u
x
v '
x
v2
x
On en déduit que :
f '
x
=x
x33x8
x21
2=xg
x
x21
2
Remarque : L'expression de
f '
x
doit toujours faire appel à celle de la fonction auxiliaire ici
g
x
.
Si ce n'est pas le cas c'est que vous avez fait une erreur quelque part
Et finalement le tableau de variations suivant :
x−∞
0+
signe de g
0++
Signe de x
0 +
Signe de f'(x)
+
+
f
f(x)
4
En l'infini, un polynôme, se comporte comme son terme de plus haut degré.
Il s'en suit une détermination aisée des limites en
et
de
f
x
lim
x −
f
x
=lim
x−
x3
x2=lim
x −
x=
et
lim
x 
f
x
=lim
x
x3
x2=lim
x 
x=∞
3) a) Montrons que
f
x
=xx4
x21
On a
xx4
x21=x
x21
x21
x4
x21=x3xx4
x21=x34
x21=f
x
b) Montrons que Cf admet une asymptote oblique
, et étudions la position de Cf par rapport à
.
Rappelons l'essentiel :
Méthode sur les asymptotes.
Si
lim
xa
f
x
=
alors Cf admet une asymptote verticale d'équation
x=a
Si
lim
x 
f
x
=b
fini alors Cf admet une asymptote horizontale d'équation
y=b
en
Si
lim
x −
f
x
=b
fini alors Cf admet une asymptote horizontale d'équation
y=b
en
Pour démontrer que la droite d'équation
y=ax b
est une asymptote oblique à Cf il faut et il suffit de montrer que
lim
x ∞
[
f
x
axb
]
=0
ce qui traduit que la distance entre Cf et la droite D tend vers 0 lorsque
x
tend vers l'infini.
Pour étudier la position relative de Cf et de son asymptote il faut et il suffit d'étudier le signe de
f
x
axb
Si
f
x
axb
0
alors
f
x
ax b
et donc Cf et au dessus de D
Si
f
x
axb
0
alors
f
x
ax b
et donc Cf est en dessous de D
On a
f
x
x=x4
x21
et donc
lim
x ±
[
f
x
x
]
=lim
x±
x4
x21=lim
x ±
x
x2=lim
x±
1
x=0
Ce qui prouve que la droite
d'équation
y=x
est une asymptote oblique à Cf en
et en
Pour ce qui est de la position de
et de Cf, il nous suffit d'étudier le signe de
f
x
x
Or
f
x
x=x4
x21
, est du signe de
x4
donc :
Si
x4
0
x40
x−4
on a que
f
x
x0
et donc que
f
x
x
soit que Cf est au dessus de
Et donc Cf est au dessous de
si, et seulement si,
x4
En particulier Cf ne rencontre
qu'en un unique point
A
d'abscisse
x=4
4) Déterminons les abscisses des points
B
et
B '
de Cf admettant une tangente parallèle à
.
Pour cela il nous suffit de résoudre l'équation
f '
x
=1
puisque
f '
x
est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse
x
et que
1
est le coefficient directeur de la droite
.
Rappelons que deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur.
f '
x
=1
xg
x
x21
2=1
xg
x
=
x21
2
x43x28x=x42x21
x28x1=0
On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant.
 =b24ac=824=680
il y a donc deux solutions distinctes :
x1=b
2a=8
68
2=4
17
et
x2=b
2a=8
68
2=4
17
Les abscisses des points
B
et
B '
cherchées sont donc
4
17
et
4
17
5) Exprimons
f
en fonction de
.
On sait que
g
=0
donc que
338=0
donc
3=3 −8
, par suite
f
=34
21=3 −84
21=3  4
21
Cependant nous n'avons pas fini puisque on nous demande d'exprimer
f
uniquement à l'aide de
.
Il nous faut donc éliminer le
2
au profit d'un simple
, mais comment ? En utilisant toujours la même relation
g
=0
.
338=0
328=0
21
2
 4
=0
21
=2
4
4
21=
2
car
210
Finalement
f
=3
2
et comme
1,6 1,5
on en déduit que
2,4f
2,25
Exercice 2
On considère la fonction
f
définie sur
par
f
x
=
{
x2sin
1
x
si x0
0 si x=0
Avant de commencer, rappelons que :
Continuité et dérivabilité en un point
a
est continue en
a
lim
xa
f
x
=f
a
lim
xa
xa
f
x
=lim
xa
xa
f
x
=f
a
est dérivable en
a
lim
xa
f
x
f
a
xa
est finie
lim
xa
xa
f
x
f
a
xa=lim
xa
xa
f
x
f
a
xa
est finie.
Dans ce cas la limite est notée
f '
a
Continuité et dérivabilité sur un intervalle
I
est continue sur
I
est composée de fonctions continues sur
cet intervalle (somme, produit, quotient (dénominateur ne s'annule
pas), composition (attention aux enchaînement et aux intervalles))
est dérivable sur
I
est composée de fonctions dérivables sur
cet intervalle (somme, produit, quotient (dénominateur ne s'annule
pas), composition (attention aux enchaînement et aux intervalles))
1) Montrons que
f
est continue sur
?
Sur
*
,
est le produit des fonctions
xx2
(continue) et
xsin
1
x
qui est la composée des fonctions
xsin
x
et
x1
x
toutes
deux continues.
x1
xsin
1
x
*
*
est donc continue sur
*
Reste à étudier la continuité en 0.
Or
0
f
x
=
x2sin
1
x
sin
1
x2
on en déduit (puisque
lim
x0
x2=0
) que
lim
x0
f
x
=0=f
0
, ce qui prouve que
et continue en 0.
est donc continue sur
2)
est elle dérivable en 0 ?
On a
f
x
f
0
x0=f
x
x=xsin
1
x
or
0
xsin
1
x
sin
1
x
et comme
lim
x0
x
=0
on en déduit que
lim
x0
f
x
f
0
x0=0
Ce qui prouve que
est dérivable en 0 et que
f '
0
=0
3)
f '
est elle continue en 0 ?
Il nous faut établir l'expression de
f '
x
.
D'après la question précédente on a que
f '
0
=0
, il nous ne reste plus qu'à déterminer l'expression de
f '
x
pour
x0
Or sur
*
,
est le produit de deux fonctions dérivables (idem que pour la continuité sur
*
) on peut donc calculer
f '
x
pour
x0
.
f=uv
{
u
x
=x2
v
x
=sin
1
x
donc
{
u '
x
=2x
v '
x
=1
x2cos
1
x
rappelons que
fog
'=g ' ×f ' og
Il s'en suit que
f '
x
=2xsin
1
x
x21
x2cos
1
x
=2xsin
1
x
cos
1
x
Remarque : L'expression de
f '
x
n'est valable que sur
*
, on ne peut donc pas calculer
f '
0
à l'aide de cette expression. Le calcul de
f '
0
ne peut donc se faire qu'à partir du taux d'accroissement de
en 0.
Pour montrer que
f '
est continue en 0 il faudrait prouver que
lim
x0
f '
x
=f '
0
=0
Or on peut voir que ce ne peut être le cas puisque, si
lim
x0
2xsin
1
x
=0
il n'en est pas de même de
lim
x0
cos
1
x
qui n'existe pas.
Finalement
lim
x0
f '
x
n'existe pas,
f '
n'est donc pas continue en 0.
Représentation graphique de l'exercice 1
Représentation graphique de l'exercice 2
Ci dessous la représentation graphique de la dérivée de
.
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