Transmath 1ère S
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RE
S
PROGRAMME
2011
f(x) =
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
x2 + 5
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
S
re
programme
2011
Raymond Barra
Jean-Michel Barros
Patrick Bénizeau
Jean Morin
avec la participation de Karine Liorit & David Nivaud
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
SOMMAIRE
Débuter en algorithmique .. . . . . . . . 10
Thème 1. Qu'est-ce qu'un algorithme ?.. . . . 10
Thème 2. Variables et affectation .. . . . . . . . . . . . . 12
Thème 3. L'instruction conditionnelle . . . . . . 14
Thème 4. La boucle itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Thème 5. La boucle conditionnelle .. . . . . . . . . . 18
1
second degré.
équations et inéquations .. . . . . . . . . . . 21
Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . . . 43
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2
Variations des fonctions
associées .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Activités ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . . . 67
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3
Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Activités ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . . . 88
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4
Fonctions dérivées.
applications .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 113
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5
Suites. suites arithmétiques.
suites géométriques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 137
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6
7
comportement d'une suite .. . . . . . . 141
Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 162
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
vecteurs. colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 187
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
© Nathan 2011 - ISBN : 978-2-09-172446-1
ISBN numérique : 978-2-09-110550-5
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
8
angles orientés
et trigonométrie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 210
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9
produit scalaire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 235
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
scalaire :
10 produit
applications
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 312
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
:
13 probabilités
loi binomiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 343
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
239
Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 262
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
11 statistiques
:
12 probabilités
variable aléatoire
265
Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 288
Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Le vocabulaire de la logique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Quelques types de raisonnement . . . . . . . . . . 352
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Corrigés des questions-tests .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Corrigés des « Pour se tester » .. . . . . . . . . . . . . . . . 366
Corrigés des exercices .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Coups de pouce .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Sur les rabats de la couverture
Calculatrices Casio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I - I II
Calculatrices Texas Instrument . . . . . . . . . . . . . . I V-VI
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
DÉCOUVREZ VOTRE MANUEL
Une ouverture
qui relie
les mathématiques
au monde
d'aujourd'hui.
Des rappels,
des activités courtes
et un problème ouvert.
Le cours,
adapté, simple
et efficace,
présente l’essentiel
à savoir.
Des résultats bien
mis en évidence.
Des démonstrations
pour initier
au raisonnement.
Les connaissances utiles
sont rappelées au début
de l’objectif.
Les exercices
d’application
s’organisent
en objectifs
pour un travail
en autonomie.
Elles suivent
les capacités
attendues.
La page « Pour se tester »
permet à chaque élève d'évaluer
l'acquisition des connaissances.
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Des exercices
de narration
de recherche.
Les « Activités
de recherche » permettent
d'aborder la résolution
de problèmes de diverses
façons : exercices guidés,
narration de recherche,
utilisation des TICE.
Une frise présente
des mathématiciens
à connaître.
Les exercices d’entraînement sont
classés par thèmes et sont de difficulté progressive.
Des exercices
« de tête » à faire
sans les mains.
Des exercices d’algorithmique et
de logique dans chaque chapitre.
Des exercices corrigés
en fin de manuel.
Ils ont une boîte
blanche 75 .
Des exercices
« Avec les TICE ».
Des exercices
de prise d’initiative.
Les exercices d'approfondissement nécessitent
une maîtrise du calcul et du raisonnement un peu plus affirmée.
Des exercices
de prise d'initiative
plus difficiles.
une page
de travail en
autonomie, avec
des coups de pouce.
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Des outils pour
travailler avec les TICE
Dans le manuel, le logo outil 3
signale qu’un diaporama
est disponible sur le site compagnon de votre manuel
www.transmathlycee.net/eleve-1reS
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Liste des outils
Tableurs
GeoGebra
outil 1
Prise en main de GeoGebra
outil 9
Prise en main d'un tableur
outil 2
Utiliser et paramétrer la grille
outil 10
Utiliser le symbole $ dans
les formules
outil 3
Créer un curseur
outil 11
Insérer un diagramme type XY
outil 12
Créer la table d'une loi
binomiale
outil 13
Représenter une loi binomiale
par un diagramme en bâtons
outil 4
Utiliser le tableur de GeoGebra
outil 5
Autour d'une fonction
outil 6
Tangente à une courbe,
à un cercle
outil 7
Avec les vecteurs
outil 8
Angle de vecteurs
Algorithmique
outil 14
Prise en main d’AlgoBox
Ressources du manuel numérique enrichi
Dans le manuel, des logos signalent des ressources
du manuel numérique enrichi.
Des animations
pour mieux comprendre.
Des exercices interactifs.
es compléments :
D
des exercices supplémentaires,
des ressources pour travailler
avec les TICE, …
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
PROGRAMME
D'après le B.O. n° 9 du 30 septembre 2010
1. Analyse
CONTENUS
Second degré
Forme canonique d'une fonction polynôme
de degré deux.
Équation du second degré, discriminant.
Signe du trinôme.
Étude de fonctions
Fonctions de référence x 1x et x |x|.
Sens de variation des fonctions u + k, lu,
1u et 1 , la fonction u étant connue, k étant
u
une fonction constante et l un réel.
Dérivation
Nombre dérivé d'une fonction en un point.
Tangente à la courbe représentative d'une
fonction dérivable en un point.
Dérivée des fonctions usuelles : x 1x,
x 1 et x xn (n entier naturel non nul).
x
Dérivée d'une somme, d'un produit et d'un
quotient.
Lien entre signe de la dérivée et sens de
variation.
Extremum d'une fonction.
Suites
Modes de génération d'une suite numérique.
Suites arithmétiques et suites géométriques.
Sens de variation d'une suite numérique.
Approche de la notion de limite d'une suite
à partir d'exemples.
CAPACITÉS ATTENDUES
Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d'une fonction polynôme de degré deux
en vue de la résolution d'un problème : développée, factorisée, canonique.
●
Connaître les variations de ces fonctions et leur représentation graphique.
Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + ∞[.
Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x x, x x2
et x 1x.
● Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples.
●
●
Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.
●
Calculer la dérivée de fonctions.
●
Exploiter le sens de variation pour l'obtention d'inégalités.
Modéliser et étudier une situation à l'aide de suites.
Mettre en œuvre des algorithmes permettant :
– d'obtenir une liste de termes d'une suite ;
– de calculer un terme de rang donné.
Établir et connaître les formules donnant 1 + 2 + … + n et 1 + q + … + qn.
● Exploiter une représentation graphique des termes d'une suite.
●
2. Géométrie
CONTENUS
Géométrie plane
Condition de colinéarité de deux vecteurs :
xy' – yx' = 0.
Vecteur directeur d'une droite.
Équation cartésienne d'une droite.
Expression d'un vecteur du plan en fonction
de deux vecteurs non colinéaires.
CAPACITÉS ATTENDUES
Utiliser la condition de colinéarité pour obtenir une équation cartésienne de droite.
● Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un
point.
● Déterminer un vecteur directeur d'une droite définie par une équation cartésienne.
● Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes.
Trigonométrie
● Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour :
Cercle trigonométrique.
– déterminer les cosinus et sinus d'angles associés ;
Radian.
– résoudre dans R les équations d'inconnue x : cos x = cos a et sin x = sin a.
Mesure d'un angle orienté, mesure principale.
Produit scalaire dans le plan
Définition, propriétés.
Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes :
– projection orthogonale ;
– analytiquement ;
– à l'aide des normes et d'un angle ;
– à l'aide des normes.
● Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d'un problème.
●
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
CONTENUS
Vecteur normal à une droite.
Application du produit scalaire :
– calculs d'angles et de longueurs ;
– formules d'addition et de duplication des
cosinus et sinus.
CAPACITÉS ATTENDUES
Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur
normal.
● Déterminer un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne.
Déterminer une équation de cercle défini par son centre et son rayon ou par son
diamètre.
Démontrer que :
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
●
3. Statistiques et probabilités
CONTENUS
Statistique descriptive, analyse de données
Caractéristiques de dispersion : variance,
écart-type.
Diagramme en boîte.
Probabilités
Variable aléatoire discrète et loi de probabilité.
Espérance, variance et écart-type.
Modèle de la répétition d'expériences
identiques et indépendantes à deux ou trois
issues.
Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du
nombre de succès).
Coefficients binomiaux, triangle de Pascal.
Espérance, variance et écart-type de la loi
binomiale.
Échantillonnage
Utilisation de la loi binomiale pour une prise
de décision à partir d'une fréquence.
CAPACITÉS ATTENDUES
Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une
série statistique : (moyenne, écart-type) et (médiane, écart interquartile).
● Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries
statistiques à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice.
●
Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire.
Interpréter l'espérance comme valeur moyenne dans le cas d'un grand nombre de
répétitions.
●
●
Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes par un arbre
pondéré.
● Utiliser cette représentation pour déterminer la loi d'une variable aléatoire associée à
une telle situation.
●
●
Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.
Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale.
Démontrer que :
n
n
n+1
1 k 2 + 1k + 12 = 1k + 1 2
● Représenter graphiquement la loi binomiale.
● Utiliser l'espérance d'une loi binomiale dans des contextes variés.
●
Exploiter l'intervalle de fluctuation à un seuil donné, déterminé à l'aide de la loi
binomiale, pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion.
●
Algorithmique
[…] Aucun langage, aucun logiciel n'est imposé. […]
Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).
Les élèves, dans le cadre d'une résolution de problèmes, doivent être capables :
– d'écrire une formule permettant un calcul ;
– d'écrire un programme calculant et donnant la valeur d'une fonction ;
– ainsi que les instructions d'entréees et sorties nécessaires au traitement.
Boucle et itérateur, instruction conditionnelle
Les élèves, dans le cadre d'une résolution de problèmes, doivent être capables de :
– programmer un calcul itératif, le nombre d'itérations étant donné ;
– programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle.
Notations et raisonnement mathématiques
Cette rubrique, consacrée à l'apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l'objet de séances de cours
spécifiques, mais doit être répartie sur toute l'année scolaire.
En complément des objectifs rappelés ci-dessous, un travail sur la notion d'équivalence doit naturellement être mené en série
scientifique (propriété caractéristique, raisonnement par équivalence).
Notations mathématiques
Les élèves doivent connaître les notions d'élément d'un ensemble, de sous-ensemble, d'appartenance et d'inclusion, de réunion,
d'intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant : , , , ainsi que la notation des ensembles
de nombres et des intervalles.
Pour le complémenaire d'un ensemble A, on utilie la notation des probabilités wA.
Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples, à :
– utiliser correctement les connecteurs logiques « et », « ou » et à distinguer leur sens des courants de « et », « ou » dans le langage usuel ;
– utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles ", $ ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications
implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles ;
– distinguer, dans le cas d'une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ;
– utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante » ;
– formuler la négation d'une proposition ;
– utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ;
– reconnaître et utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée,
raisonnement par l'absurde.
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Débuter en
ALGORITHMIQUE
Activité 1
THÈME 1. Qu’est-ce qu’un algorithme ?
Qu’est-ce qu’un algorithme ?
A, B et C sont trois points non alignés. On considère la suite d’instructions :
dessinez le triangle ABC ;
●● placez le milieu A’ du segment [BC] ;
●● tracez la droite (AA’) ;
●● placez le milieu B’ du segment [AC] ;
●● tracez la droite (BB’) ;
●● placez le point d’intersection des droites (AA’) et (BB’).
●●
1 Quel est l’objectif de ce « programme de dessin » ?
2 Peut-on changer l’ordre des étapes ? Précisez.
A
B’
C
B
A’
3 Proposez un « programme de dessin » dont l’objectif est de tracer le cercle passant par les trois
points A, B et C, c’est-à-dire le cercle circonscrit au triangle ABC.
Activité 2
Les étapes d’une résolution
La résolution de l’ inéquation 3x – 5 7 nécessite plusieurs étapes.
3x – 5 7
↓ On ajoute 5 aux deux membres.
3x 12
↓ On divise par 3 les deux membres.
x 4
↓On précise l’ensemble des solutions.
S = [4 ; + ∞[
1 Peut-on changer l’ordre des étapes ?
2 a) Détaillez les étapes nécessaires à la résolution de
x–5
= 3x + 1.
3
b) Auriez-vous pu choisir un ordre différent pour
ces étapes ? Précisez.
l’équation
Vocabulaire
Définition. Un algorithme est une suite finie d’opérations élémentaires,
à appliquer dans un ordre déterminé, à des données.
Les trois phases d’un algorithme sont :
1 l’entrée de données ;
2 le traitement des données ;
3 la sortie de résultats.
Entrée
Sortie
Exemple. L e fonctionnement d’un navigateur GPS utilise un processus algorithmique
:
algo_fig02
– en entrée, il reçoit un point d’origine et un point d’arrivée ;
28 x 30
– le traitement des données est réalisé par une succession programmée
d’instructions ;
– en sortie, il transmet le parcours à effectuer pour relier les deux points donnés.
Un peu d’histoire. Le mot algorithme vient du nom du mathématicien persan
al-KhuwarizmI (début du ixe siècle). En effet, il exposa le premier les méthodes de base
de la résolution pas à pas des équations.
Cependant, les algorithmes sont plus anciens. Déjà en 1 800 avant J.-C., les Mésopotamiens calculaient des valeurs approchées des racines carrées à l’aide d’algorithmes.
10
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« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Débuter en
ALGORITHMIQUE
Exercices
1 À faire « fonctionner » …
Choisir un nombre x.
Le multiplier par 2.
Ajouter 3 au résultat.
Élever le résultat au carré.
4 Calcul de l’hypoténuse
ABC est un triangle rectangle en A.
On note a, b et c les mesures des cotés opposés aux
sommets, comme indiqué ci-dessous.
C
a) Appliquez ce programme de calcul, en donnant à x
1
; 100.
2
b) Pouvez-vous choisir un nombre qui donne en sortie
0 ? 9 ? 100 ? – 9 ?
c) Donnez l’expression de la fonction correspondant à
ce programme de calcul.
a
b
les valeurs 5 ; –1 ;
2 Un peu de mémoire
Choisir un nombre.
Lui soustraire 2.
Garder en mémoire le résultat.
Reprendre le nombre de départ.
L'élever au carré.
Ajouter 1 au résultat.
Diviser par le nombre placé
en mémoire
A
5 Des chemins différents
Les deux algorithmes ci-dessous ont été écrits par
Clovis et Darius.
Clovis
Entrée des données
Le nombre x
Traitement des données
a reçoit x + 3
a reçoit a2
a reçoit a – 1
Sortie
Affichage du nombre a
Darius
3 Des nombres et des points
Dans un repère (O ; I, J), les points A, B et C ont pour
coordonnées respectives (xA ; yA), (xB ; yB) et (xC ; yC).
On s’intéresse à l’algorithme suivant.
Entrée des données
Le nombre x
Traitement
a reçoit x
a reçoit a
a reçoit a
Entrée des données
Les nombres xA, yA, xB, yB, xC, yC
Sortie des résultats :
Affichage de xD et yD
1. Choisissez les nombres xA, yA, xB, yB, xC et yC puis placez
les points A, B et C dans un repère.
2. Appliquez alors cet algorithme aux nombres choisis
et placez le point D de coordonnées (xD ; yD).
3. Précisez l’objectif de cet algorithme. Justifiez.
B
Écrivez en langage naturel, la suite d’instructions qui
permet d’obtenir le nombre a connaissant les nombres
b et c.
a) Appliquez ce programme de calcul, en donnant à x
les valeurs 8 ; 1 ; 0 ; 2.
b) Donnez l’expression de la fonction correspondant à
ce programme de calcul.
Traitement des données
x + xC
xA’ reçoit B
2
yB + yC
yA’ reçoit
2
xD reçoit 2xA’ – xA
yD reçoit 2yA’ – yA
c
des données
+ 6
× x
+ 8
Sortie
Affichage du nombre a
1. a) Complétez le tableau suivant.
Entrée
Sortie
Clovis
Darius
2
– 5
1/2
b) Que pouvez-vous conjecturer ? Démontrez- le.
2. a) Clovis et Darius ont obtenu les nombres 0, – 1 et
8 en sortie.
Pouvez-vous retrouver les nombres x qu’ils ont utilisés ?
b) Peuvent-ils obtenir en sortie le nombre –2 ?
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11
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ALGORITHMIQUE
THÈME 2. Variables et affectation
Activité 1
Respecter les consignes
On considère le programme de calcul ci-contre.
Enzo et Valentin avaient pour objectif de transcrire sur leurs calculatrices
l’algorithme ci-contre , dans lequel les nombres A et B sont compris entre
0 et 9.
Voici le programme d’Enzo sur sa Casio :
Entrée des données
Les nombres A et B
Traitement des données
C reçoit B
B reçoit A
A reçoit C
C reçoit 10A + B
Sortie
Affichage du nombre C
Valentin, sur sa TI, a inversé deux instructions :
A
B
1
2
C
Utilisez votre calculatrice ou le tableau ci-contre pour répondre aux questions suivantes.
1 Qu’obtiennent-ils après avoir saisi dans l’ordre les nombres 1 et 2 ?
2 Essayez avec d’autres couples. Qu’est-ce qui caractérise le programme d’Enzo ? celui de Valentin ?
3 a) Combien de variables ont été utilisées par chaque programme ?
b) Précisez pour chacune d’elles si son contenu a été :
●● initialement obtenu par saisie ;
●● affecté par une instruction du programme.
Vocabulaire
Dans tout algorithme, on commence par l’entrée des données nécessaires au traitement. Chacune
de ces données est stockée dans la mémoire de la calculatrice ou de l’ordinateur à un emplacement
nommé variable et repérée par un nom.
●● Dans le déroulement de l’algorithme, il s’avère souvent nécessaire d’utiliser de nouvelles variables :
pour des calculs intermédiaires, pour fournir les données en sortie, etc.
Les variables peuvent contenir des nombres, mais aussi des listes, des chaînes de caractères (notamment pour l’affichage de messages), …
●● En résumé, les instructions de base que l’on peut pratiquer avec une variable sont :
– la saisie : on demande à l’utilisateur de donner une valeur à la variable ;
– l’affectation : on donne à la variable le résultat d’un calcul, d’une suite d’instructions ;
– l’affichage : on affiche le contenu de la variable.
●●
Exemple. Dans l’activité, nous avons utilisé trois variables.
Pour A et B, nous avons saisi le premier contenu.
La variable C a été utilisée au cours du traitement ; elle a été affectée du contenu de B, puis du résultat
d’un calcul par l’instruction : C reçoit 10A + B. Enfin, son contenu a été affiché.
12
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ALGORITHMIQUE
Exercices
6 On considère l’algorithme ci-dessous.
Lire x
Lire y
a reçoit x + y
b reçoit x – y
c reçoit a × b
Afficher c
qui doivent apparaître sur la facture pour un achat
de n objets identiques de prix unitaire hors taxe P.
La taxe appliquée ici est de 19,6 %.
1. Précisez les variables utilisées.
2. Complétez les instructions relatives aux calculs de
prix.
1. Identifiez les parties « Entrée », « Traitement » et
« Sortie » de cet algorithme.
2. Identifiez les différentes variables utilisées et leurs
utilisations (Saisie –Affectation- Affichage).
3. Pouvait-on faire l’économie de variables ?
7 On considère le programme de calcul suivant.
Choisir un premier nombre
L’élever au carré
Choisir un second nombre
L’élever au carré
Faire la somme des carrés
Afficher cette somme
1. Identifiez et nommez les variables à utiliser.
2. a) Trouvez des couples de nombres dont la donnée
permet d’obtenir à l’affichage le nombre 1.
b) Associez à chaque couple trouvé précédemment
un point dans un repère orthonormé. Que pouvezvous conjecturer ?
11 Le point commun
a, b, c et d sont quatre nombres réels.
Les droites D1 et D2 ont pour équations respectives
y = ax + b et y = cx + d. On suppose a ≠ c.
On considère alors l’algorithme suivant (écrit avec
Algobox).
8 Autour d’un rectangle
Écrivez un programme de calcul qui donne en sortie
le périmètre et l’aire d’un rectangle après avoir
demandé sa longueur et sa largeur.
9 Une bonne résolution …
1. Proposez un programme de calcul ayant pour
3
= 5.
x+5
2. Le but de cette question est de construire un algorithme permettant de résoudre les équations de type
a
= c (E), avec a ≠ 0 et c ≠ 0.
x+b
a) Identifiez les variables à utiliser.
a
b) Vérifiez que le nombre – b est l’unique solution
c
de l’équation (E).
c) Écrivez un algorithme répondant au problème et
testez-le avec a = 3, b = 1 , c = 5.
d) Programmez-le sur votre calculatrice pour vérifier
son fonctionnement.
objectif la résolution de l’équation
10 Un problème de facturation
L’algorithme suivant a pour objectif de déterminer les
prix hors taxe (PHT) et toutes taxes comprises (PTTC)
1. Quel est l’objectif de cet algorithme ?
2. Pourquoi suppose-t-on a ≠ c ? Que se passe-t-il si
l’utilisateur attribue la même valeur à a et c ?
3. Faites l’inventaire des variables utilisées.
4. Programmez votre calculatrice et vérifiez alors le
bon fonctionnement en choisissant judicieusement
les valeurs à saisir.
12 Une équation de droite
A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points d’abscisses
distinctes dans un repère donné.
Écrivez un algorithme qui permet d’obtenir l’équation réduite y = mx + p de la droite (AB).
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13
Débuter en
ALGORITHMIQUE
THÈME 3. L’instruction conditionnelle
Activité 1
Choisir la bonne équation
y
On considère la fonction f définie sur l’intervalle I = [– 3 ; 5] , dont la
représentation graphique est donnée ci-contre.
1
5
1 a) On choisit un nombre x. À quelle condition utilise-t-on la y = – 2 x + 2
formule x + 1 pour calculer l'image de x ?
1
5
Et la formule – x + ?
2
2
b) À quelle condition le calcul n'est-il pas possible ?
2 Traduisez en langage naturel une méthode de calcul de l’image
d’un nombre x par la fonction f.
Activité 2
y = x +1
1
O
1
x
Rectangle ou pas ?
On envisage de créer un algorithme permettant de vérifier qu’un triangle est rectangle ou non,
en utilisant les mesures a, b et c de ses côtés (c étant supérieur à a et b).
1 Après avoir saisi a, b et c, que souhaitez-vous à l’affichage en sortie ?
2 Proposez un traitement des données approprié.
Vocabulaire
La résolution de certains problèmes conduit parfois à une situation dans laquelle la décision prise
est soumise à condition :
– si la condition est vérifiée, on effectue une tâche précise,
– si elle n’est pas vérifiée, on effectue une autre tâche.
Instructions pour la calculatrice
●● Cela se traduit dans un algorithme
Langage Casio
Langage T.I.
par le schéma ci-dessous :
●●
Si condition
alors tâche 1
sinon tâche 2
FinSi
Instructions à effectuer si la
condition est vérifiée.
Instructions à effectuer si la
condition n’est pas vérifiée.
●● Le « sinon » n’est pas systématique. Sans cette instruction, si la condition n’est pas vérifiée, la tâche
n’est pas effectuée et l’algorithme passe à l’instruction suivante.
Exemple. Écrire un algorithme qui précise l’appartenance (ou non) d’un point, choisi par l’utilisateur, à la parabole d’équation y = x2 – 5x + 6 .
Protocole
Algorithme
● On utilise trois variables :
Variables
x, y, fx du type nombre
Entrée
Saisir x
Saisir y
fx reçoit x2 – 5x + 6
Traitement
Si y = fx
Alors afficher « Le point appartient à la courbe. »,
Sinon afficher « Le point n’appartient pas à la
courbe. »
FinSi
x et y, coordonnées
du point choisi et fx,
ordonnée du point
d’abscisse x de la
parabole.
● On teste l’appartenance
du point à la parabole :
si y est égal à fx,
alors le point appartient
à la parabole,
sinon il n’appartient pas.
14
Avec Algobox
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Débuter en
ALGORITHMIQUE
Exercices
13 Sécantes ou parallèles ?
a, b, c et d sont quatre nombres réels.
Les droites D1 et D2 ont pour équations respectives
y = ax + b et y = cx + d.
Écrivez un algorithme précisant la position relative des
deux droites.
au et av, non nuls, définis par leurs coordonnées dans un
repère.
14 À la piscine
Lucie a pris pour l’année un abonnement à la piscine
lui donnant droit à 25 entrées. Son abonnement coûte
30 € et chaque entrée supplémentaire 1,50 €.
Écrivez un algorithme lui permettant de calculer sa
dépense annuelle en fonction du nombre d’entrées.
Entrée des données
Les nombres xu, yu, xv, yv
Traitement des données et affichage
A reçoit xu × yv – xv × yu
Si …
Alors…
Sinon…
FinSi
15 Les résultats de l’examen
Le tableau suivant indique la situation d’un candidat à
l’issue des épreuves d’un examen.
b) Complétez l’algorithme afin qu’il affiche, dans le cas
de la colinéarité de au et av, le réel k tel que av = k au.
x
Remarque. au est non nul, si xu ≠ 0 alors k = v , sinon
xu
y
k = v .
yu
Moyenne M (sur 20)
M<8
8 < M < 10
10 < M
Résultat
Refusé
Oral de rattrapage
Admis
Écrivez un algorithme permettant d’afficher le résultat
correspondant à une moyenne donnée.
Rappel
Dire que au et av sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre k
tel que av = k au ou encore que leurs coordonnées sont proportionnelles.
19 Pile ou Face
L’algorithme suivant (programmé sur calculatrice) est
consacré au jeu de Pile ou Face.
●
Casio
16 La taxe sur les émissions de CO2
Lors de l’achat d’un véhicule d’occasion, le propriétaire
doit acquitter une taxe suivant la quantité de CO2 émise
par km.
Émission CO2 (g/km)
< 200
de 200 à 250
> 250
Taxe (€) / gramme de CO2
0
2€
4€
Écrivez un algorithme permettant de calculer la taxe à
acquitter suivant la quantité de CO2 par km émise.
17 Quel est l’objectif de l’algorithme ci-dessous, écrit
avec Algobox ?
Remarque. floor(10*random()) donne, au hasard, un
nombre entier compris entre 0 et 9.
18 Colinéaires ou pas ?
a) Complétez l’algorithme suivant qui a pour objectif
de déterminer la colinéarité (ou non) de deux vecteurs
L’instruction Ran# génère un nombre aléatoire appartenant à l’intervalle [0 ; 1[ et Int (x) donne la partie entière
de x, c'est-à-dire le nombre entier n tel que n < x < n + 1,
donc, ici, 0 ou 1.
●
T.I.
L’instruction entAléat(n,p) – ou randInt(n,p)– génère
un nombre aléatoire entier compris entre n et p.
a) Que doit saisir le joueur ?
b) Ajoutez une instruction pour que le joueur soit
informé du tirage simulé par la calculatrice ?
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15
Débuter en
ALGORITHMIQUE
THÈME 4. La boucle itérative
Activité 1
Des carrés imbriqués
On envisage de décrire la figure ci-contre construite à partir du grand
carré dont le côté mesure 10 cm. Tous les reports mesurent 1 cm.
1 Décrivez la séquence nécessaire à la construction de l’un de
ces carrés.
2 Combien de fois a-t-on répété cette séquence ?
Activité 2
Combien de « tours » ?
1
1 1 1
Dans cet organigramme, les variables S et i sont affectées au
départ, respectivement par les valeurs 0 et 1.
a) Précisez le rôle de la variable i et le nombre de fois où le
test (i < 6) est réalisé.
b) Qu’obtient-on finalement à l’affichage ?
S=0
i=1
i + 1 i
S + 2i S
Oui
i≤6
Non
Afficher S
Vocabulaire
Dans l’exécution d’un programme, on est parfois amené à réaliser plusieurs fois de suite la même
tâche.
En algorithmique, on dit qu’on exécute plusieurs fois la
Instructions calculatrice
même boucle et on utilise les instructions suivantes :
Langage Casio
Langage T.I.
●●
Pour i de 1 jusque N
faire tâche
FinPour
●● Avec cette instruction, on répète donc un nombre (fixé) de fois la même tâche. Ici, de 1 à N, soit N fois.
La variable i est un compteur. Si le pas n’est pas précisé (step), elle augmente de 1 à chaque « tour ».
Pour préciser, par exemple, un pas de 2 (i augmente de 2 à chaque tour), on note :
pour Casio : For 1 → To N Step 2 et pour T.I. : For(I, 1, N, 2).
Exemple. Écrire un algorithme qui permet de calculer la somme des N premiers nombres entiers
naturels non nuls.
Protocole
Les variables sont :
– N : le nombre de termes de la somme ;
– S : la somme ;
– i : le compteur.
● On choisit le nombre N d’entiers à ajouter :
1+2+3+…+N
(en fait N est le dernier de la somme).
On « initialise » la variable S à 0.
● à chaque tour, on ajoute à S le nombre
contenu dans le compteur i, puis on affecte
cette somme à S.
● On affiche la dernière valeur de S.
●
16
Algorithme
Variables
N, S, i
Entrée
Saisir N.
S reçoit 0.
Avec sa calculatrice
Avec une
Casio
Avec une TI
Traitement
Pour i de 1 jusque N faire
S reçoit S + i
FinPour
Sortie
Afficher S
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Débuter en
ALGORITHMIQUE
Exercices
20 Choisir le nombre de termes
●
Casio
●
26 a) Précisez ce que l’on obtient en exécutant
l’algorithme suivant.
T.I.
a) Traduisez le programme ci-dessus en langage courant.
b) Que permet-il de calculer ?
c) Qu’obtient-on à l’affichage pour N = 8 ?
21 Une suite « logique » (1)
Écrivez un algorithme qui donne en sortie l’affichage des
quinze premiers nombres de la suite « logique » :
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…
22 Une suite « logique » (2)
Écrivez un algorithme qui donne en sortie l’affichage du
vingtième nombre de la suite « logique » :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
23 La table d’addition
Complétez l’algorithme suivant dont l’objectif est
d’afficher la table d’addition de (0 à 9) d’un nombre
entier N saisi par l’utilisateur.
Variables
N, i, S
Algorithme
Afficher « Choisissez un entier N »
Saisir N
Pour i de 0 à …
S reçoit …
Afficher … « + »… « = » …
FinPour
24 La table de multiplication
Écrivez un algorithme donnant la table de multiplication
par 3 (de 1 × 3 à 10 × 3).
25 Les économies
Mara ouvre un livret d’épargne. Elle envisage de placer
chaque année, au 1er janvier, la même somme de 300 €.
Chaque année les intérêts de 2 % s’ajoutent, à cette
même date, à son capital.
a) Complétez le tableau suivant traduisant le capital
acquis au cours des années, à la date du 2 janvier.
Année 0
300 e
Année 1
606 e
Année 2
Année 3
b) Justifiez que si C est le capital de l’année n, celui de
l’année n +1 est alors C × 1,02 + 300.
c) Écrivez un algorithme lui permettant de calculer le
capital acquis au bout de 10 ans, à la date du 2 janvier.
Variables
a, b, i, y
Algorithme
Saisir a, b
Pour i de 0 à 10
y reçoit a × i + b
Dessiner le point de coordonnées (i, y)
FinPour
b) Le fait d’inverser l’ordre des deux dernières instructions modifie-t-il le résultat ?
27 Représenter point par point
On souhaite représenter point par point, la fonction f
définie par f(x) = x2 – x + 5 sur un intervalle [a ; b].
Pour cela, on partage le segment [a ; b] en N segments
b–a
.
N
On obtient ainsi N + 1 nombres régulièrement répartis
de a à b :
a < a + p < a + 2p < … < a + (N – 1)p < b.
de même longueur p =
En vous inspirant de l’exercice précédent, écrivez un
algorithme dont l’objectif est de représenter les points
de la courbe représentative de f ayant pour abscisses
les (N + 1) nombres déterminés plus haut.
28 Avec une pièce
Une expérience consiste à lancer 10 fois de suite une
pièce équilibrée et à dénombrer les sorties Pile ou Face.
On se propose de simuler N fois cette expérience (de
10 lancers). Pile est associé à 0 et Face à 1.
a) Analysez l’algorithme suivant et précisez ce qu’il
affiche en sortie.
b) Répondez à la même question après avoir remplacé
« Si S = 5 » par « Si S < 3 ».
Variables
c, N, i, k, r, S
Algorithme
Afficher « Nombre d’expériences ? »
Saisir N
c reçoit 0
Pour i de 1 à N
S reçoit 0
Pour k de 1 à 10
r reçoit 0 ou 1 au hasard
S reçoit S + r
FinPour
Si S = 5 alors c reçoit c + 1
FinSi
FinPour
c
Afficher
N
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17
Débuter en
THÈME 5. ALGORITHMIQUE
La boucle conditionnelle
Activité
Combien de temps ?
On revient à la situation de Mara évoquée dans l’exercice 25 page 17.
Elle place 300 € le 1er janvier de chaque année et les intérêts acquis pendant l’année précédente (taux
de 2 % par an) s’ajoutent à cette même date au capital.
On rappelle que si C est le capital de l’année n, celui de l’année n + 1 est alors C × 1,02 + 300.
Elle souhaite savoir combien de temps elle doit épargner de cette manière afin d’obtenir un capital d’au
moins 5 000 €.
1 Aidez-la à résoudre son problème en complétant un tableau semblable à celui-ci :
Année 0
Année 1
Année 2
Année 3
…
…
…
…
300 e
606 e
…
…
…
…
…
…
2 Le caractère répétitif des calculs nous invite à utiliser un tableur ou à écrire un programme.
a) Dans un programme, l’usage d’une boucle vous paraît-il adapté ?
b) Pouvez-vous prévoir le nombre de fois que vous devrez utiliser cette boucle ?
c) Le nombre d’utilisations de cette boucle a-t-il un rapport avec la question que se pose Mara ?
Vocabulaire
●● Dans l’exécution d’un programme, on est parfois amené à réaliser plusieurs fois de suite la même
tâche, sans savoir a priori combien de fois on doit l’exécuter.
On répète les mêmes instructions tant qu’une condition est remplie.
●● On utilise alors une boucle conditionnelle : le passage par cette boucle s’arrête quand la condition
n’est plus remplie. On utilise pour cela les instructions suivantes :
Instructions calculatrice
Langage Casio
Tant que condition faire
tâche
FinTant
Langage T.I.
Exemple. Écrire un algorithme qui permet de calculer le nombre d’années nécessaires à Mara
(voir l’activité) pour obtenir un capital d’au moins 5 000 €.
Protocole
18
Algorithme
●● On utilise deux variables :
C le capital acquis et l'année n.
●● On affecte 300 à la variable C,
valeur initiale du capital, et 0 à la
variable n.
●● On calcule le capital obtenu un
an plus tard et on incrémente le
compteur n.
Variables
C et n du type nombre
●● On
Sortie
Afficher : « Dans n années,
le capital sera de C euros. »
affiche le résultat.
Avec Algobox
Traitement
Tant que C < 5 000,
C reçoit 1.02*C + 300
n reçoit n + 1
Débuter en algorithmique
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Débuter en
Exercices
29 On considère la suite « logique » des nombres
suivants : 10, 17, 24, 31, …, 80, …
a) Comment passe-t-on d'un nombre au suivant ?
b) Écrivez un algorithme qui affiche les nombres inférieurs à 300 de cette suite.
30 La partie « entière »
Écrivez un algorithme qui permet de répondre à la question suivante : étant donné un nombre positif x, quel est
le plus grand entier inférieur ou égal à x ?
Exemple
3 est le plus grand entier inférieur ou égal à π. Ce nombre est appelé
partie entière de x.
Les calculatrices contiennent un tel programme : Ia fonction Int pour
Casio, et int pour T.I., de integer, nombre entier, en anglais.
ALGORITHMIQUE
Exemple. Si N = 17, on obtient les nombres : 17, 52, 26,
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
b) Vous êtes très certainement arrivé à obtenir 1, car il
a été prouvé que l'on finit par obtenir le nombre 1 pour
tous les nombres N jusqu’à 3,2 × 1016… .
Écrivez un algorithme indiquant, pour un nombre N
choisi, le nombre de fois où la procédure a été effectuée
pour obtenir le nombre 1.
33 Un classique
Le but est de trouver, avec au plus cinq propositions,
un nombre entier compris entre 1 et 100. On considère
l'algorithme ci-dessous, dans lequel l’instruction a !=N
signifie « a différent de N ».
31 Une opération « euclidienne »
On considère l’algorithme suivant, dans lequel les
nombres a et b sont des entiers naturels (b ≠ 0).
a) Testez cet algorithme pour a = 28 et b = 5, puis pour
des valeurs de votre choix.
b) Que se passe-t-il lorsque a < b ? Lorsque a = b ?
c) Quel est l’objectif de cet algorithme ?
32 Conjecture de Syracuse
a) Choisissez un nombre N entier naturel.
S’il est pair, divisez le par 2.
S’il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1 au résultat.
Si le nombre obtenu est différent de 1, recommencez la
procédure avec ce nouveau nombre.
a) Comment modifier l’algorithme pour que le joueur
ait au plus 6 coups à jouer ?
b) Comment modifier l’algorithme pour que son objectif
soit de trouver un nombre entier compris entre 1 et 10
en, au plus, trois coups ?
34 Un lancer de dé
On lance un dé cubique parfait jusqu’à l’obtention
d’un 6.
a) On suppose que l'on finit par obtenir un 6… Le
nombre de lancers nécessaires est donc un entier non
nul. Peut-on être plus précis ?
b) On fixe une condition supplémentaire : le nombre de
lancers ne peut excéder 10.
Débuter en algorithmique
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
19
Débuter en
ALGORITHMIQUE
On envisage de simuler cette expérience à l’aide de
la calculatrice programmable ou d’un logiciel.
Écrivez un algorithme indiquant :
– l’échec si aucun lancer n’a fait apparaître un 6 ;
– le nombre de coup(s) nécessaire(s) pour obtenir
un 6.
Aide
Pour générer un nombre entier au hasard entre 1 et 6 :
– avec Casio : Int(6×Ran#) + 1
– avec T.I. : entAléat(1,6)
– avec Algobox : floor(6*random()) + 1
35 Des chemins aléatoires
On considère, dans un repère orthonormé d’origine O,
le carré OABC dont les sommets A, B et C ont pour
coordonnées : A(10 ; 0), B (10 ; 10) et C(0 ; 10).
On définit un chemin dans ce carré de la manière
suivante :
– le chemin commence au point O ;
– les déplacements successifs, de longueur 1, ne se
font que sur les mailles du quadrillage 10 × 10 du
carré. Ils ne peuvent se faire que vers la droite ou
vers le haut ;
– le chemin se termine sur le pourtour du carré, c'està-dire sur l'un des côtés [AB] ou [BC].
10
C
1
O
1
B
A
10
1. a) Justifier que la longueur , d’un chemin ainsi
défini est telle que 10 < , < 20.
b) Quel est le lien entre la longueur , du chemin et
les coordonnées du point d’arrivée ?
2. L’algorithme suivant, écrit avec Algobox, a pour
but la construction aléatoire d’un tel chemin et du
calcul de sa longueur.
La direction à prendre est fixée par la donnée d’un
nombre au hasard par le logiciel : random() renvoie
un nombre de l’intervalle [0 ; 1[.
a) Repérez dans l’algorithme la direction prise suivant
la valeur obtenue au hasard.
b) Complétez alors l’algorithme.
20
***Algorithme lancé***
La longueur du chemin est : 19
***Algorithme terminé***
3. a) Compte tenu de la remarque faite à la question 1.b), proposez une autre façon de calculer la
longueur du chemin.
b) À quel endroit de l’algorithme devez-vous placer
l’instruction concernant ce nouveau mode de calcul ?
4. Comment compléter cet algorithme afin qu’il
indique aussi l’aire de la partie du carré située en
dessous du chemin ?
Aide
Cette partie peut être considérée comme un « entassement » de
rangées horizontales…
Débuter en algorithmique
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
CHAPITRE
Second degré.
Équations
et inéquations
D’un siècle
à un autre
Pendant toute la partie aérienne de son saut, le skieur
n’est soumis qu’à son propre poids : il est en chute libre.
L’équation de son mouvement est de degré 2
et la courbe qu’il décrit est une parabole
(chronophotographie ci-dessus).
La découverte de la trajectoire parabolique est
attribuée à Galilée, mais les travaux d’al-Khuwārizmī
ont été déterminants pour la résolution des équations
de degré 2.
En savoir plus sur
al-Khuwārizmī
Chercheurs d’hier p. 35
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Rappels
& Questions-tests
Identités remarquables
l
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b)2
=
a2
– 2ab +
b2
l
(a –
l
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Pour tout nombre k positif :
(1k)2 = k.
On en déduit la factorisation de certaines
expressions. Ainsi :
x2 – 3 = x2 – (13)2 = (x – 13)(x + 13).
l
1 Factorisez.
a) x2 – 9
b) x2 – 5
e) (x + 1)2 – 7
d) x2 – 3 4
2 Développez.
a) (x + 3)2
c) 36x2 – 25
b) (2x – 3)(4x + 5)
3 Justifiez que pour tout nombre x :
c) x – 4
7
1
2
2
a) (x + 6)2 – 10 = x2 + 12x + 26 ;
2
b) x2 + 3x – 19 = x + 3 – 7.
4
2
1
2
Comparaison
l
l
Pour tous nombres a et b positifs :
« a < b » équivaut à « a2 < b2 ».
4 a) Prouvez que pour tout x > 13, x2 + 5 > 8.
b) Prouvez que pour tout x < –15, x2 – 1 > 4.
Pour tous nombres a et b négatifs :
« a < b » équivaut à « a2 > b2 ».
Équations
1. « A(x) × B(x) = 0 » équivaut à « A(x) = 0 ou B(x) = 0 ». 5 Résolvez les équations suivantes.
2. a est un nombre donné. L’équation x2 = a :
a) (3x – 4)(–2x + 5) = 0
b) –3(x – 1)(x + 2) = 0
2
l ne possède aucune solution si a < 0 ;
c) x = 8
d) x2 = –9
l
possède une seule solution 0, si a = 0 ;
l
possède deux solutions, 1a et –1a, si a > 0.
e) 2x2 + 3x = 0
f) x2 – 9 = 0
g) (x + 3)2 – 4 = 0
I néquations
liées à la fonction carré
l k est un nombre donné.
Pour résoudre des inéquations du type x2 > k ou
x2 < k, on peut utiliser la parabole représentant
la fonction carré.
y
2
l Ainsi pour résoudre
y=x
x2 > 3, on utilise
la figure ci-contre.
3
On lit l’ensemble
des solutions sur
l’axe des abscisses
1
(en bleu) :
x
– 3 O 1 3
]– ∞, –13[ ∪ ]13 ; + ∞[.
6 Résolvez les inéquations suivantes.
a) x2 > 5
b) x2 < 3
c) x2 8
d) x2 < –2
e) x2 – 9 < 0
f) x2 > –12
7 Vrai ou faux ?
a) Si x2 > 1, alors x > 1.
b) Si x2 4 et x négatif, alors x < –2.
Voir les corrigés p. 363
22
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
ACTIVITÉS
Activité 1
Résolution d’équations du second degré
Vous avez déjà résolu des équations du second degré en utilisant une factorisation.
Examinons des cas plus complexes.
1 Résolution de l’équation x2 + 2x – 8 = 0
Notre premier objectif est d’essayer de factoriser le trinôme x2 + 2x – 8.
a) x2 + 2x est le début du développement d’un carré de la forme (x + α)2. Déterminez α.
b) Déduisez-en une expression du trinôme de la forme (x + α)2 + b.
c) Vérifiez que le nombre b est négatif et donc que le trinôme peut s’écrire sous la forme d’une différence
de deux carrés. Factorisez alors le trinôme et résolvez l’équation.
2 Résolution de l’équation 2x2 – 8x – 10 = 0
On souhaite se ramener à une situation proche de la situation précédente. On observe que le
coefficient 2 peut se mettre en facteur et que le trinôme peut s’écrire 2(x2 – 4x – 5).
a) En utilisant la méthode vue précédemment, vérifiez que le trinôme peut s’écrire 2[(x – 2)2 – 32].
b) Factorisez alors le trinôme et résolvez l’équation.
3 Résolution de l’équation x2 + 4x + 5 = 0
a) En utilisant la même méthode, justifiez que : x2 + 4x + 5 = 0 équivaut à (x + 2)2 + 1 = 0.
b) Expliquez pourquoi cette équation n’a pas de solution.
Activité 2
Fonction trinôme et parabole
TICE
1 Dans GeoGebra, créez trois curseurs :
l
a, dans l’intervalle [–10 ; 10] avec un incrément égal à 0,2 ;
l α et b, dans l’intervalle [–30 ; 30] avec un incrément égal
à 0,5.
2 Dans la fenêtre de saisie, tapez f(x) = a*(x – α)2 + b.
Quelle est la nature de la courbe lorsque a est non nul ?
3 Faites alors varier les trois curseurs et observez le comportement de la représentation graphique de f.
Que pouvez-vous conjecturer sur le lien entre :
a) la valeur de a et l’allure de la courbe ?
b) la valeur de α et la position du sommet de la courbe ?
c) la valeur de b et la position du sommet de la courbe ?
outil 1
outil 3
d) les valeurs de a et de b et le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 ?
Problème ouvert
Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?
Les mesures des côtés d’un triangle sont 3, 4 et 6. Est-il possible d’ajouter une même longueur à chacun
de ses côtés pour obtenir un triangle rectangle ?
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
23
COURS
1
Fonction trinôme du second degré
1.1 Rappels
Définition
1 On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur par f(x) = ax2 + bx + c
où a, b et c sont trois nombres connus, et a ≠ 0.
Représentation graphique. Sens de variation
l
La courbe représentative d’une fonction trinôme est une parabole.
l Pour le sens de variation, on admet les résultats suivants.
Vous trouverez dans le chapitre 4 les outils pour les démontrer.
Cas a > 0
x
– –∞
f(x)
Cas a < 0
b
2a
x
+∞
b
2a
M
– –∞
f(x)
m
+∞
1.2 Forme canonique
En classe de Seconde, vous avez rencontré diverses écritures d’un même polynôme du second
degré. Par exemple :
l
2x2 – 4x – 6 l
2(x + 1)(x – 3) l
2(x – 1)2 – 8
Nous verrons page 28 l’exploitation de la forme la plus adéquate en vue de la résolution d’un
problème. On s’intéresse ici à la troisième forme, dite canonique.
Théorème
1 Tout trinôme du second degré f(x) = ax2 + bx + c (avec a ≠ 0) s’écrit sous la forme a(x – α)2 + b,
avec α = – b
. Cette forme est appelée forme canonique.
2a
b
x + c.
a
b 2
. En effet :
Entre parenthèses, on reconnaît le début du développement de x +
2a
2
b 2 2 b
b
x+
= x + x +
.
2a
a
4a2
b
b 2 b2
–
.
On en déduit que x2 + x = x +
a
2a
4a2
b 2 b2
–
+c
Il en résulte que f(x) = a x +
2a
4a2
b 2 b2
–
=a x+
+c
2a
4a
b 2 –b2 + 4ac
+
.
=a x+
2a
4a
b
–b2 + 4ac
, on obtient f(x) = a(x – α)2 + b.
En posant α = – et b =
2a
4a
1
Démonstration. Puisque a ≠ 0, f(x) = a x2 +
1
1
2
2
1
2
2
31
2
1
2
1
2
4
Remarque. Le sommet de la parabole représentative de la fonction trinôme f a pour
coordonnées (α ; b).
24
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
COURS
2
Équation du second degré
Résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0), c’est trouver (s’il en existe) tous les nombres qui
vérifient cette égalité. Un tel nombre est dit solution de l’équation et racine du trinôme ax2 + bx + c.
2.1 Approche graphique
On se limite ici au cas a > 0.
y
y
y
1
5
O
1
x
1
O
x
1
O
1
x
1
f(x) = x2 + 2x + 2
(x – 2)2
2
La représentation graphique d’une fonction trinôme f permet de conjecturer le nombre de solutions
de l’équation f(x) = 0. Dans ces trois exemples, par simple lecture, on conjecture respectivement
deux solutions, une solution et aucune solution.
f(x) = 2x2 + 4x – 6
f(x) =
2.2 Résolution de l’équation ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)
Théorème
2 Le nombre de solutions de l’équation ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0), dépend du signe du nombre
∆ égal à b2 – 4ac. Ce nombre ∆ est appelé discriminant du trinôme ax2 + bx + c.
∆<0
∆=0
pas de solution
Une solution dite « double » :
b
x0 = – = α
2a
∆>0
Deux solutions distinctes :
–b – 1∆
–b + 1∆
x1 =
et x2 =
2a
2a
Démonstration.
Posons ∆ = b2 – 4ac et reprenons la forme canonique vue au paragraphe 1.2.
b 2 –b2 + 4ac
b 2 b2 – 4ac
b 2 b2 – 4ac
f(x) = a x +
+
–
–
=a x+
=a x+
2a
4a
2a
4a
2a
4a2
2
b
∆
f(x) = a x +
–
. Cette forme a[(x – α)2 + g] est aussi appelée forme canonique.
2a
4a2
∆
l Si ∆ < 0, alors – est strictement positif. Il en est de même pour l’expression entre crochets.
4a2
f(x) est le produit de deux facteurs non nuls : l’équation f(x) = 0 n’a pas de solution.
b 2
b
l Si ∆ = 0, alors f(x) = a x +
. Ainsi, puisque a ≠ 0, f(x) = 0 équivaut à x +
= 0. L’équation
2a
2a
b
f(x) = 0 a une solution et une seule : x = – .
2a
2
(1∆)2
1∆
1∆
b
b
b
2
l Si ∆ > 0, alors ∆ = (1∆) et f(x) = a x +
–
=a x+
x+
.
+
–
2
2a
2a
4a
2a
2a
2a
1∆
1∆
b
b
Ainsi, puisque a ≠ 0, f(x) = 0 équivaut à x +
= 0 ou x +
= 0. L’équation
+
–
2a
2a
2a
2a
–b – 1∆
–b + 1∆
f(x) = 0 a deux solutions x1 =
et x2 =
.
2a
2a
1
31
2
2
1
2
31
2
4
4
1
2
31
2
1
4 1
2
21
1
2
2
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
25
COURS
Forme factorisée.
Cette démonstration nous permet d’obtenir une factorisation de f(x)
lorsque ∆ 0 :
3
l
si ∆ = 0, f(x) = a(x – x0)2 ;
l
si ∆ > 0, f(x) = a(x – x1)(x – x2).
Signe du trinôme
3.1 Approche graphique
On se limite, ici, au cas a < 0.
y
1
1
O
O 1
y
3
x
f(x) = –2x2 + 8x – 6
O y
x
–1
1
f(x) = –x2 – 4x – 4
1
x
f(x) = –x2 + 2x – 3
Ces représentations graphiques nous permettent de conjecturer que :
l
les solutions de l’inéquation –2x2 + 8x – 6 > 0 sont les nombres de l’intervalle [1 ; 3] ;
l
l’inéquation –x2 – 4x – 4 > 0 n’a qu’une solution : le nombre –2 ;
l
le trinôme –x2 + 2x – 3 est toujours strictement négatif.
3.2 Résolution algébrique
On sait étudier le signe d’un produit de facteurs (du premier degré). Or nous avons vu, dans la
démonstration du théorème 2, les cas où la factorisation de f(x) est possible.
∆<0
∆=0
ax2
pas de factorisation
Théorème
ax2 + bx + c = a(x – x0)2
b
avec x0 = – 2a
∆>0
+ bx + c = a(x – x1)(x – x2)
–b – 1∆
2a
–b + 1∆
et x2 =
2a
avec x1 =
3 Signe du trinôme
f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0), est un trinôme du second degré.
26
∆<0
∆=0
f(x) est du signe de a
f(x) est du signe de a
b
(et nul pour x0 = – )
2a
∆>0
f(x) est du signe de a sauf
lorsque x est entre les racines
x1 et x2, auquel cas f(x) et a
sont de signes contraires.
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
COURS
Démonstration.
b 2
∆
–
.
2a
4a2
l Si ∆ < 0, alors l’expression entre crochets est strictement positive donc f(x) est du signe de a.
b 2
b
l Si ∆ = 0, alors f(x) = a x +
. Pour tout x ≠ – , l’expression entre parenthèses est strictement
2a
2a
positive, donc f(x) est du signe de a.
31
Reprenons la forme du trinôme : f(x) = a x +
1
2
4
2
Si ∆ > 0, alors f(x) = a(x – x1)(x – x2) ; f(x) est un produit de trois facteurs.
L’un est constant et les deux autres sont des binômes du premier degré dont on sait étudier
le signe selon la valeur x.
l
En notant x1 la plus petite des racines, on obtient le tableau suivant :
x
x1
–∞
a
signe de a
x – x1
–
x – x2
–
(x – x1)(x – x2)
+
f(x)
signe de a
x2
+ ∞
signe de a
signe de a
+
+
0
0
–
0
+
–
0
+
signe de a
signe de (–a)
En résumé, le trinôme ax2 + bx + c est toujours du signe de a, sauf pour les valeurs de x comprises
entre les racines, lorsqu’il en possède.
3.3 Application à la résolution d’inéquations
Pour résoudre une inéquation du second degré, on détermine le signe du trinôme associé.
Exemple. Résolution de –x2 + 3x – 2 > 0
Graphiquement, à l’aide de la représentation de la fonction trinôme f(x) = –x2 + 3x – 2, on peut
conjecturer que les solutions de l’inéquation sont les nombres de l’intervalle [1 ; 2].
1
y
O
1
x
2
Le calcul du discriminant conduit à ∆ = 1. Le trinôme a deux racines, x1 = 1 et x2 = 2.
Le coefficient a est négatif (a = –1). Le trinôme est donc positif (du signe contraire de a) entre les
racines.
–x2
x
+ 3x – 2
–∞
–
1
0
+
2
0
+ ∞
–
Ceci confirme que l’ensemble des solutions est l’intervalle fermé [1 ; 2].
Chapitre 1 ● Second degré
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27
EXERCICES
Application
Objectif
1
Utiliser les différentes formes d’un trinôme
l La forme réduite et développée : ax2 + bx + c.
Un trinôme du second degré peut
l La forme canonique :
a(x – α)2 + b.
s’écrire sous plusieurs formes.
l La forme factorisée (si elle existe) : a(x – x1)(x – x2) ou a(x – x0)2.
5
Exercice résolu A
Choisir une forme appropriée pour résoudre un problème
La courbe ci-contre est la représentation graphique de la fonction f
définie sur par f(x) = –2x2 + 4x + 2.
y
1. a) Déterminez la forme canonique de f(x).
b) Déduisez-en une forme factorisée.
A
2. Choisissez la forme la plus appropriée de f(x) pour répondre aux
questions suivantes.
a) Calculez les coordonnées des points A, B et C.
b) Calculez les abscisses des points I et J.
1
O
C
1
I
x
J
Solution
Méthode
1. a) f(x) = –2[x2 – 2x – 1].
x2 – 2x = (x – 1)2 – 1.
1. a) On met a = –2 en facteur.
2
l On considère x – 2x comme le début
du développement d’un carré.
l On en déduit la forme canonique.
b) (x – 1)2 – 2 est de la forme :
a2 – b2 = (a – b)(a + b).
Donc f(x) = –2[(x – 1)2 – 2] (1).
b) (x – 1)2 – 2 = [(x – 1) – 12][(x – 1) + 12] donc :
f(x) = –2(x – 1 – 12)(x – 1 + 12) (2).
2. a) La forme développée donne f(0) = 2.
2. a) On connaît l’abscisse de A, qui est zéro,
donc l’ordonnée de A est f(0).
l Les points B et C ont pour ordonnée zéro.
b) Les points I et J ont pour ordonnée –2.
l Graphiquement, on voit que la plus petite
des deux solutions est l’abscisse du point I.
B
xB et xC sont les solutions de l’équation
f(x) = 0. La forme factorisée (2) donne :
xB = 1 – 12 et xC = 1 + 12 (car xB < xC).
b) xI et xJ sont les solutions de l’équation
f(x) = –2. Soit avec la forme canonique (1) :
–2[(x – 1)2 – 2] = –2
2
donc (x – 1) – 2 = 1 ou (x – 1)2 – 3 = 0.
Il en résulte que x – 1 = –13 ou x – 1 = 13 soit :
xI = 1 –13 et xJ = 1 + 13.
Mise en pratique
1 Dans chacun des cas suivants, écrivez le 3 est la courbe représentative de la fonctrinôme f(x) sous sa forme canonique.
tion f définie sur par f(x) = x2 – 4x + 2.
a) f(x) = x2 + 6x.
b) f(x) = –3x2 + 6x – 2.
1. a) Quelle est la forme
I y
J
2
canonique de f(x) ?
c) f(x) = x + x – 1. d) f(x) = 2x(x – 3).
A
b) Déduisez-en une forme
2 f est la fonction définie sur par :
1
factorisée.
B
f(x) = x2 + 3x – 2.
C
x
2.
Calculez
les
coordonO
1
1. Écrivez f(x) sous sa forme canonique.
17 nées des points A, B, C, I
2. Déduisez-en que pour tout nombre x, f(x) – .
et J.
4
28
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
2
EXERCICES
Objectif
Résoudre une équation du second degré
Théorème 2. Le nombre de solutions de l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0),
dépend du signe du discriminant ∆ = b2 – 4ac.
–b – 1∆
–b + 1∆
l Si ∆ > 0, l’équation a deux solutions : x =
et x2 =
.
1
2a
2a
–b
.
l Si ∆ = 0, l’équation a une solution « double » : x =
0
2a
l Si ∆ < 0, l’équation n’a pas de solution.
Exercice résolu B
1. Résolvez les équations suivantes.
a) x2 – 3x = 0 b) 2x2 – 12x + 18 = 0 y
c) x2 – 3x + 7 = 0
J
2. Sur la figure ci-contre, on a tracé la parabole d’équation
y = x2 et la droite d d’équation y = 2x + 2.
Quelles sont les coordonnées des points I et J ?
I 1
O
Méthode
x
1
Solution
1. a) et b) Le calcul de ∆ ne doit pas se
faire de manière systématique. Il est inutile
si, dans l’équation ax2 + bx + c = 0, b = 0
ou c = 0 ou encore si l’on reconnaît
une identité remarquable.
c) On calcule ∆ = b2 – 4ac.
1. a) Après factorisation, l’équation s’écrit
x(x – 3) = 0. D’où les solutions x = 0 et x = 3.
b) 2x2 – 12x + 18 = 2(x2 – 6x + 9) = 2(x – 3)2
donc l’équation a une seule solution x = 3.
c) ∆ = (–3)2 – 4 × 1 × 7 = 9 – 28 = –19.
∆ < 0, l’équation n’a donc pas de solution.
2. On utilise les équations des courbes.
2. I et J appartiennent à la fois à et d donc
leurs coordonnées vérifient le système :
y = x2
y = x2
soit
y = 2x + 2
x2 – 2x – 2 = 0
5
5
Pour résoudre l’équation x2 – 2x – 2 = 0,
on calcule ∆.
l
On conclut. En observant la figure, on
en déduit que la plus petite solution est
l’abscisse de I.
l
On résout l’équation x2 – 2x – 2 = 0.
∆ = (–2)2 – 4 × 1 × (–2) = 4 + 8 = 12 = (213)2.
L’équation a donc deux solutions :
2 + 213
2 – 213
x1 =
= 1 + 13 et x2 =
= 1 – 13.
2
2
I a pour abscisse 1 – 13 et pour ordonnée
2(1 – 13) + 2, soit 4 – 213. De même, J a pour
abscisse 1 + 13 et pour ordonnée 4 + 213.
Mise en pratique
4 Résolvez les équations suivantes, sans calculer le discriminant.
a) 7x2 + 8x = 0
b) 6 – x2 = 0
c) (x + 3)2 = 25
d) x2 – 10x + 25 = 0
5 Résolvez les équations suivantes.
a) x2 – 5x + 2 = 0
b) –3t2 – 8t + 2 = 0
c) –7t2 + t – 1 = 0
d) –3x2 + 213 x – 1 = 0
6 ABC est un triangle
C
rectangle isocèle tel que :
AB = AC = 6.
M est un point du segP
ment [AB] tel que BM = x,
avec 0 < x < 6.
Pour quelles valeurs de x A
l’aire du rectangle AMNP
1
est-elle égale à aire (ABC) ?
3
N
M
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
B
6
29
EXERCICES
Objectif
3
Étudier le signe d’un trinôme. Résoudre une inéquation
Le trinôme ax2 + bx + c, (a ≠ 0), est du signe de a, sauf entre les racines lorsqu’il en possède.
Exercice résolu C
Exploiter une factorisation
Résolvez chacune des inéquations du second degré suivantes.
a) 4x – 2x2 < 0
b) (x + 3)(x + 1) < 2x + 6
Méthode
Solution
Pour ces inéquations du second degré,
une factorisation s’obtient sans calcul de ∆.
a) Notons f(x) = 4x – 2x2.
Résoudre l’inéquation 4x – 2x2 < 0 revient à
déterminer les valeurs de x pour lesquelles
f(x) est strictement négatif.
f(x) = 2x(2 – x), produit nul pour 0 et 2.
Le coefficient de x2 est négatif (a = –2).
On résume le signe de f(x) ainsi :
a) On factorise f(x) et on en déduit
ses racines.
On cherche le signe du coefficient de
et on en déduit le signe de f(x).
l On conclut.
l
x
f(x)
x2
l En développant mentalement le produit
de facteurs, on trouve le signe du coefficient
de x2.
On conclut.
–
0
0
+
2
0
+ ∞
–
L’inéquation 4x – 2x2 < 0 a pour ensemble
des solutions S = ]– ∞ ; 0[ ∪ ]2 ; + ∞[.
b) L’inéquation est équivalente à :
(x + 3)(x + 1) – (2x + 6) < 0 (1).
Notons f(x) = (x + 3)(x + 1) – (2x + 6).
Résoudre l’inéquation (1) revient à
déterminer les valeurs de x pour lesquelles
f(x) est négatif ou nul.
f(x) = (x + 3)(x + 1) – (2x + 6)
= (x + 3)(x + 1) – 2(x + 3)
= (x + 3)(x + 1 – 2) = (x + 3)(x – 1),
produit nul pour –3 et 1.
Le coefficient de x2 est positif, (a = 1).
On en déduit le signe de f(x).
b) On reconnaît un facteur commun : (x + 3).
On factorise et on en déduit les racines.
l
– ∞
x
f(x)
– ∞
+
–3
0
1
0
–
+ ∞
+
L’ensemble des solutions est S = [–3 ; 1].
Mise en pratique
7 Résolvez les inéquations suivantes.
a) (1 – 2x)(3 + 5x) 0
b) (2x – 3)(x + 2) < 0
c) –3x2 – 5x < 0
8 Résolvez les inéquations suivantes :
30
9 #f et #g sont les
représentations graphiques
des fonctions f et g définies sur par :
f(x) = x2 et g(x) = 6x – 2x2.
y
f
g
1
a) 16 – (2x – 1)2 < 0
1. Conjecturez graphiquement l’ensemble des
b) (2x – 1)(x + 5) < 3x + 15
réels x pour lesquels #g est au-dessus de #f .
c) (x – 7)2 < (2x – 1)2
2. Résolvez le problème par le calcul.
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
O
1
x
EXERCICES
Exercice résolu D
Signe d’un trinôme et résolution d’une inéquation
f est la fonction définie sur par f(x) = 2x2 – 9x + 4.
1. Conjecturez le signe de f(x) puis étudiez ce signe.
2. Résolvez l’inéquation f(x) < 0.
Méthode
Solution
1. On conjecture que f(x) < 0 pour
x ∈ ]x1 ; x2[ où x1 et x2 sont les racines de f(x).
1. On peut utiliser la calculatrice pour
tracer la parabole représentant la fonction
et conjecturer la réponse.
∆ = (–9)2 – 4 × 2 × 4 = 81 – 32 = 49.
∆ > 0, donc le trinôme f(x) a deux racines :
9–7
1
9+7
x1 =
=
et x2 =
= 4.
4
2
4
2
l Le coefficient de x est positif (a = 2) donc :
On détermine le signe du discriminant
∆ = b2 – 4ac.
l
l
On connaît le signe du coefficient de x2
donc on peut dresser le tableau du signe
de f(x).
l
x
signe de f(x)
l
1
2
0
– ∞
+
4
–
+ ∞
0
+
1
4 2 3 ∪ ]4 ; + ∞[.
1
f(x) < 0 pour x ∈ 3 ; 44.
2
f(x) > 0 pour x ∈ – ∞ ;
On conclut.
2. D’après le tableau, f(x) < 0 signifie que
1
1
< x < 4. Donc f(x) < 0 équivaut à x ∈
; 4 .
2
2
L’ensemble des solutions est :
1
S=
; 4 .
2
2. Pour connaître l’ensemble des solutions
de l’inéquation f(x) < 0, on exploite
le tableau donnant le signe de f(x).
4
4
3
3
Mise en pratique
10 Dans chacun des cas suivants, dressez le 13 # est la représentation graphique
tableau du signe du trinôme.
d’une fonction trib) –x2 + 2x – 3
a) x2 + x – 2
nôme définie sur
c) 100t2 – 60t + 9 d) –2x2 + 5x – 3
par f(x) = ax2 + bx + c.
1. Quel est le signe
de a ? Quel est le signe
du discriminant ?
11 Résolvez les inéquations suivantes.
a) x2 + x – 2 0 < 0
b) x2 – x + 1 < 0
c) x2 + 7x + 12 0 d) 7x2 – 5x + 1 > 0
12 Sur la figure, on a tracé
la parabole d’équation
y = x2 et la droite d d’équation y = x + 2.
Quel est l’ensemble des
nombres x pour lesquels la
parabole est en dessous
de la droite d ?
y
2
1
–1
y
O
1 2
x
2. Résolvez graphiquement f(x) 0.
3
3. Expliquez pourquoi f(x) = – (x + 1)(x – 2).
2
d
14 1. Résolvez l’inéquation x2 – 40x + 384 < 0.
2. Application
1
O
1
x
Une pelouse de forme rectangulaire a pour périmètre 80 m. Quelles sont les dimensions possibles de cette pelouse pour que sa superficie soit
supérieure ou égale à 384 m2 ?
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
31
EXERCICES
Exercice résolu E
Résoudre une équation et une inéquation où l’inconnue figure au dénominateur
Sur la vue d’écran ci-contre apparaissent (en partie) les courbes f et g
représentatives des fonctions f et g définies par :
3
f(x) = x + 2 et g(x) = (x ≠ 0).
x
Déterminez par le calcul :
a) les abscisses des points communs aux deux courbes ;
b) les valeurs de x pour lesquelles la courbe f est au-dessus de g.
Méthode
Solution
a) On traduit algébriquement le problème.
a) Les abscisses des points communs
aux deux courbes sont les solutions
3
de l’équation x + 2 = , avec x ≠ 0.
x
x est un nombre non nul.
3
x(x + 2) – 3
x + 2 – = 0 équivaut à
=0
x
x
2
x + 2x – 3
soit encore à
= 0.
x
2
Notons A(x) = x + 2x – 3. Le discriminant
de A(x) est 16 d’où les solutions :
x = 1 et x = –3.
B(x) = x donc B(x) ≠ 0 (car x ≠ 0).
Les abscisses cherchées sont donc –3 et 1.
b) Dire que f est au-dessus de g équivaut
3
à dire que f(x) g(x), x ≠ 0, soit x + 2 ,
x
x ≠ 0.
D’après les résultats de la question a),
x2 + 2x – 3
l’inéquation s’écrit :
0.
x
x – ∞
–3
0
1
+ ∞
A(x)
+ 0 –
– 0 +
l On transpose dans le premier membre
et on réduit au même dénominateur.
Aide
Pour résoudre une équation où l’inconnue figure au
A(x)
dénominateur, on peut se ramener à
= 0, qui
B(x)
équivaut à A(x) = 0 et B(x) ≠ 0.
l On conclut.
b) On traduit algébriquement le problème.
On se ramène à une inéquation du type :
A(x)
0, c’est-à-dire à une inéquation dont
B(x)
le second membre est zéro.
l
l
l
On dresse un tableau de signes.
On conclut.
B(x)
–
A(x)
B(x)
–
–
0
+
0
+
–
L’ensemble des solutions est :
S = [–3 ; 0[ ∪ [1 ; + ∞[.
Mise en pratique
Pour les exercices 15 à 17
Pour les exercices 18 à 21
a) Déterminez les abscisses des points d’inter- Résolvez l’inéquation proposée.
section des courbes représentatives des foncx2 + x – 2
tions f et g.
18 2
< 0.
x –9
b) Étudiez leur position relative.
x+1
1
19 2
< 1.
15 f(x) = x + 1 et g(x) = (x ≠ 0).
x
–
3x + 2
x
1
3
1
20 + < –2.
16 f(x) = 3x – 4 et g(x) = (x ≠ 0).
x
+
2
x
x
1
x+1
x–1
2x – 5
17 f(x) =
21 et g(x) =
(x ≠ 1 ; x ≠ 2).
>
.
x–1
x–2
x+1
x–1
32
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
+
0
+
Po u r
22 Questions sur le cours
EXERCICES
se tester
23 Vrai ou faux
Complétez les propositions suivantes.
f est la fonction définie sur par :
f(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0.
1. Le nombre b2 – 4ac s’appelle ……
2. La courbe représentative de f est une ……
3. L’équation ax2 + bx + c = 0 possède une seule
solution si ∆ est ……
4. Toute solution de l’équation f(x) = 0 est une
…… du trinôme ax2 + bx + c.
5. ∆ = b2 – 4ac ; si ∆ < 0, le signe de f(x) est le même
que celui de ……
Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ?
Justifiez votre réponse.
1. 2 et –3 sont les racines du trinôme –5x2 + 13x – 6.
2. Le trinôme ax2 + x – a (a ≠ 0) possède toujours
deux racines distinctes.
3. La parabole d’équation y = 10x2 – x – 0,2 est située
entièrement au-dessus de l’axe des abscisses.
4. La forme canonique du trinôme –2x2 + 2x – 5 est
1 2 11
–2 x –
.
+
2
2
1
2
24 QCM Une seule réponse exacte
Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse.
1. ]– ∞ ; 2] ∪ [5 ; + ∞[ est l’ensemble des solutions de
l’inéquation :
a) (x – 2)(x – 5) > 0
b) –x2 + 7x – 10 0
c) (x – 2) (x – 5) 0
2. L’ensemble des solutions de 6x2 + x – 2 < 0 est :
2 1
a) – ;
3 2
3
4
1 2
b) – ;
2 3
4
3
2 1
c) – ;
.
3 2
4
3
3. a est un réel (a > 0). Le trinôme ax2 – 6x – 6 :
a) a deux racines distinctes.
3 2
9
b) a pour forme canonique a x –
–6+ 2 .
2
a
1
c) a pour racine – si a = 10.
2
9
4. L’équation 5x2 – 6x + = 0 :
5
a) n’a pas de solution. b) a une solution.
c) a deux solutions.
31
2
4
25 QCM Au moins une réponse exacte
Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.
1. f est la fonction définie sur par f(x) = –10x2 + 5x – 1.
a) Pour tout nombre x, f(x) < –0,375.
b) Le discriminant ∆ est négatif.
c) Le sommet de la parabole représentative de f a
1
pour abscisse .
4
d) La forme canonique de f(x) est –10(x + 0,25)2 – 65.
2. f est la fonction définie par f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0).
a) Si ac < 0, alors le trinôme f(x) a deux racines.
b) Si b = 0, le trinôme f(x) a deux racines opposées.
c) Si a + b + c = 0, alors x = 1 est solution de l’équation
f(x) = 0.
3. 3 est la courbe représeny
tative d’une fonction f.
a) f(x) est de la forme :
1
O
a(x2 – 2x – 3) avec a > 0.
–1
1
3 x
b) La valeur minimale de f(x)
est –4a.
c) Si le point A(0 ; –1) est un point de la parabole, alors
(x + 1)(x – 3)
f(x) =
.
3
4. Le trinôme –3x2 + x – 1 est strictement négatif pour :
a) tout nombre x. b) aucun nombre x.
c) tout nombre de l’intervalle ]–5 ; 4[.
Voir les corrigés p. 366
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
33
EXERCICES
Apprendre à chercher
26 Position relative de deux courbes
Dans un repère (O ; I, J), d est la droite d’équation y = 3x – 5
2
et l’hyperbole d’équation y = , (x ≠ 0).
x
Objectif Étudier suivant les valeurs de x la position
relative de et d.
1. Une représentation graphique de et de d, éventuellement à l’aide de la calculatrice, permet de conjecturer
la réponse.
Objectif Trouver les valeurs de x pour lesquelles
l’aire du quadrilatère MNPQ est minimale.
1. Il faut exprimer en fonction de x.
L’aire est égale à l’aire de ABCD privée de la somme
des aires des domaines non coloriés.
Démontrez que = 2x2 – 12x + 32.
2. On est donc amené à s’intéresser à la fonction f définie sur [0 ; 4] par f(x) = 2x2 – 12x + 32.
a) Donnez la forme canonique de f(x).
b) Déduisez-en que pour tout x de [0 ; 4], f(x) 14.
c) Pour quelle valeur de x, f(x) = 14 ?
activités de recherche
d) Concluez.
Quelle conjecture faites-vous concernant la position
relative de ces deux courbes ?
2. Dire que d est au-dessus de équivaut à dire que
2
3x – 5 . On est donc amené à résoudre cette
x
inéquation sur privé de zéro.
3. Pour étudier le signe d’un quotient, on dresse un
tableau où sont indiqués le signe du numérateur et du
dénominateur.
a) Quel est le signe du trinôme 3x2 – 5x – 2 ?
b) Recopiez le tableau et complétez-le.
– ∞
0
+ ∞
3x2 – 5x – 2
3x2 – 5x – 2
x
d B
A
4
J
O
I
2
2. En général, d recoupe 3 en un second point B. Ainsi A
et B ont des coordonnées qui vérifient le système :
y = x2
y = x2
équivalent à
y = mx + 4 – 2m
x2 – mx + 2m – 4 = 0
Dire que « d et 3 ont un seul point commun » revient à
dire que « l’équation x2 – mx + 2m – 4 = 0 a une solution
double. »
5
c) Concluez.
27 Une aire minimale
ABCD est un rectangle tel que AB = 8 et AD = 4.
M est un point de [AD] tel que DM = x, avec 0 < x < 4.
On construit les points N, P et Q tels que :
DM = AN = BP = CQ.
D
Q C
M
P
34
1. Une droite d non parallèle à
l’axe des ordonnées est de la
forme y = mx + p. Or d passe
par A donc, en traduisant le
fait que A appartient à d, on
écrit une relation entre les
coefficients m et p.
Démontrez que d a pour équation y = mx + 4 – 2m.
x
A N
Dans un repère orthonormé (O ; I, J), 3 est la parabole
d’équation y = x2. A est le point de 3 d’abscisse 2. d est
une droite quelconque passant par A, non parallèle à
l’axe des ordonnées.
Objectif Trouver, parmi les droites d, une droite
passant par A qui coupe 3 en un seul point.
On dit dans ce cas que d est tangente à la parabole 3.
Démontrez que pour tout nombre x ≠ 0 :
2
3x2 – 5x – 2
3x – 5 équivaut à
0.
x
x
x
28 Droite tangente à une parabole
B
5
a) Justifiez cette affirmation.
b) Pour quelle valeur de m l’équation :
x2 – mx + 2m – 4 = 0
a-t-elle une solution double ?
c) Vérifiez que la droite d obtenue pour cette valeur
de m a bien le seul point A en commun avec 3.
Concluez.
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous
devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas
permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé
de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.
d’aire . Les points M, N, P
et Q sont tels que :
AM = BN = CP = DQ.
Où doit-on placer M sur le
côté [AB] afin que l’aire de
MNPQ soit comprise entre
5
2
et
?
8
3
D
C
P
30 f est la fonction
définie par :
–5x + 1
.
f(x) = 2
2x + x + 1
Q
N
A
M
B
Eux aussi,avant
erché
ils ont chro
t
de uver !
Archimède
Chap. 5
– 200
800
ANTIQUITÉ
MOYEN ÂGE
Après avoir justifié que f est définie pour tout nombre x,
démontrez que la représentation graphique de f dans
un repère orthonormé est entièrement contenue dans
une bande de plan de largeur 5.
Chercheurs d’hier
Voici quelques mathématiciens importants
qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.
1600
Isaac Newton Leonhard Euler
Chap. 4
Chap. 2
1700
1800
ÉPOQUE MODERNE
1900
ÉPOQUE CONTEMPORAINE
Gottfried Leibniz
Chap. 3
Benoît Mandelbrot
Chap. 6
al-Khuwārizmī
(788-850)
activités de recherche
29 ABCD est un carré
EXERCICES
Narration de recherche
Mathématicien, géographe, astronome,
il se consacra aux mathématiques à Bagdad.
Son apport est particulièrement important
en algèbre, notamment sur les techniques
de résolution des équations de degré 1 et 2.
Il accompagne toujours celles-ci
de méthodes géométriques.
ur le Web http://www.bibmath.net/bios/
S
index.php3?action=affiche&quoi=khwarizmi
Première page de l’Abrégé du calcul
par la restauration et la comparaison,
publié en 825.
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
35
EXERCICES
Utiliser sa calculatrice
our « approcher » les solutions éventuelles
P
d’une équation du second degré
31 Résolution d’une équation du second degré
La fonction f est définie sur par f(x) = 3x2 + (1 – 418)x – 12.
1. Faites afficher la courbe représentative de f, pour x compris entre –3 et 3 et y compris entre –5 et 10.
2. Utiliser ce graphique pour déterminer des valeurs approchées des solutions éventuelles de l’équation f(x) = 0.
3. Utilisez le menu Équation (Casio) ou l’éditeur de résolution d’équation (TI) pour confirmer vos
résultats.
Avec une Casio
activités de recherche
1. Voir le rabat de couverture I.
2. ● Utilisez les touches
sélectionnez ROOT F1 .
shift F5
(G-Solv) puis
F2
puis
● Entrez les coefficients du trinôme et appuyez
sur EXE .
Déplacez le curseur vers la droite pour faire
afficher le deuxième point.
●
Avec une TI
1. Voir le rabat de couverture IV.
2. Appuyez sur trace pour lire les valeurs
approchées des solutions cherchées.
3. ● Appuyez sur math .
● Sélectionnez
et appuyez
sur entrer .
● Saisissez l’équation désirée et appuyez sur
entrer .
36
3. ● Allez dans le menu ÉQUATION.
● Sélectionnez l’instruction POLY
Degree F1 .
Donnez alors à x une valeur initiale pour
démarrer la recherche, puis saisissez alpha
entrer (résol).
●
Vous obtenez une valeur « approchée » d’une
des solutions.
● Modifiez la valeur initiale pour obtenir l’autre
solution.
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
our programmer
P
la résolution d’une équation du second degré
EXERCICES
Utiliser sa calculatrice
TP 32 Un algorithme pour résoudre une équation du second degré
L’intérêt de ce TP réside dans l’analyse d’un algorithme qui permet de déterminer les racines d’un trinôme du second degré. Les calculatrices récentes contiennent de tels programmes.
▼Variables
a, b, c, ∆
Traitement
Saisir…
∆ reçoit…
DébutSi
Si ∆ < 0 alors afficher “…”
Si … alors afficher “l’équation a une seule solution x0 = …”
Si …
FinSi
2. L’algorithme précédent a été programmé pour deux calculatrices.
Avec une TI
Saisissez ce programme dans votre
calculatrice et utilisez-le pour résoudre
les équations suivantes.
2x2 + 4x + 1 = 0.
1 2
25
x + 5x –
= 0.
l – 2
2
l
–x2 + x – 1 = 0.
1 2
x – 2x – 5 = 0.
l – 3
l
3. a) Complétez l’algorithme pour qu’il
affiche un message d’erreur lorsque la
valeur saisie pour a est 0.
b) Modifiez en conséquence le programme de votre calculatrice.
Avec une Casio
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
activités de recherche
1. Complétez l’algorithme suivant dont l’objectif est de résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0.
37
EXERCICES
Entraînement
de tête
33 –2 est-il solution de l’équation x2 – 5x – 14 ?
34 –1 est-il solution de l’inéquation –2x2 + 4x – 1 > 0 ?
35 Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation
–2(x – 1)(x – 3) > 0 ?
36 Quel est le discriminant du trinôme x2 – 2x – 3 ?
37 Pourquoi l’équation x2 –2x + 3 = 0 n’a-t-elle pas de
solution ?
38 Comment choisir m pour que x = –1 soit solution
de l’équation 2x2 + x – m = 0 ?
+ .
39 On sait que – 4x = (x –
Quels nombres faut-il écrire à la place de
x2
d’équation y =
et
?
– 3x + 5 ?
41 Trouvez un trinôme admettant 4 pour racine
double.
42 Un polynôme du second degré de la forme
ax2 + bx + c s’écrit (2x – 3)(2 – x).
Trouvez a, b, c.
Polynôme du second degré.
Forme canonique
43 Donnez la forme canonique des trinômes suivants.
a) 2x2 – 8x + 1
b) –3x2 + 2x + 4
c) x2 + 5x – 7
d) –x2 + 3x
44 f est la fonction polynôme définie sur par :
f(x) = –2x2 + 3x + 5.
1. a) Quelle est la forme canonique de f(x) ?
49
.
b) Déduisez-en que pour tout nombre x, f(x) <
8
2. Déduisez de la question précédente une forme factorisée de f(x).
45 On donne le trinôme :
f(x) = (x2 – 9) – 2(x – 3)(x + 2).
–1
J
O
3
I
Racines d’un trinôme.
équation du second degré
46 Résolvez les équations suivantes sans calculer le
discriminant.
b) 5(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 2).
c) (7 – 2x)2 + 1 = 0.
d) 9 – (3x – 1)2 = 0.
e) x2 – 26x + 169 = 0.
Pour les exercices 47 à 52
Résolvez les équations données.
47 a) 2x2 – 2x – 12 = 0
b) –x2 + x + 2 = 0
48 a) –3x2 + 7x + 1 = 0
b) 3x2 + 412 x + 1 = 0
49 a) 2x2 + 12x + 18 = 0
b) –4x + 2x2 + 4 = 0
50 a) x2 – 312 x + 4 = 0
b) x(x + 4) + 8 = 0
51 a) 1,8t + t2 = 3,6
b) 12 t2 – 3t + 12 = 0
52 a) 2(1 – 3u) = u2 – 3(2u + 1)
b) 3u2 – 417 u – 12 = 0
53 Écrivez chacun des trinômes suivants sous la
forme d’un produit de facteurs du premier degré.
a) A(x) = 12x2 + 5x – 2
b) B(x) = –3x2 + 4x + 4
c) C(x) = 4x2 – 20x + 25
54 1. Développez (2 – 13)2.
2. Résolvez l’équation :
x2 – (2 + 13)x + 213 = 0.
55 1. m est un nombre quelconque. Comment choisir m pour que l’équation 3x2 – 2mx + m = 0 admette x = 2
pour solution ?
1. a) Développez et réduisez f(x).
2. Calculez alors l’autre solution.
b) Quelle est sa forme canonique ?
56 Comment choisir le nombre a pour que le trinôme
ax2 + 6x + 1 possède une racine double ? Calculez cette
racine.
2. a) Factorisez f(x).
b) Résolvez l’équation f(x) = 0.
38
4
3
a) x2 – 9 + 4(x + 3) = 0.
)2
40 Quelle est l’abscisse du sommet de la parabole
2x2
3. En exploitant les résultats
des questions précédentes,
précisez quels sont les arguments qui vous permettent
de conjecturer que la parabole ci-contre est une représentation graphique de la
fonction f.
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
58 Un cube
Si on augmente de deux centimètres la longueur de l’arête
d’un cube, son volume augmente alors de 2 402 cm3.
Combien mesure l’arête de ce
cube ?
53 cm
93 cm
x
59 Gagnants du Loto
Des amis ont gagné le gros
lot du Loto, dont le montant s’élève à 2 000 000 �.
Si ce groupe d’amis avait
compté cinq personnes de
moins, chacun aurait touché 20 000 � de plus.
Combien sont-ils ?
60 63 L’écran d’un téléviseur
Les dimensions de l’écran d’un téléviseur sont, en
centimètres, 93 et 53.
Le cadre doit être de largeur constante x.
EXERCICES
57 Déterminez les valeurs du réel m pour lesquelles
l’équation 2x2 + mx + 2 = 0 n’a pas de solution.
Calculez cette largeur pour que l’aire du cadre soit égale
au cinquième de l’aire de l’écran. Vous donnerez le
résultat à un millimètre près.
64 Remembrement
Un agriculteur, propriétaire d’un champ rectangulaire
ABCD d’une superficie de 4 ha 32 a, doit, dans le cadre
d’un remembrement, céder une bande AEFD de largeur
24 m et recevoir en échange une bande FCHG de largeur
20 m de façon à conserver la même superficie.
A
E
B
Pourquoi le trinôme ax2 + x – a (a ≠ 0) possède-t-il
deux racines distinctes pour tout nombre a ?
24 m
d’équation y = x2 et la droite d’équation y = 1,9x + 8,4.
Quelles sont les coordonnées exactes des points d’intersection A et B de ces deux courbes ?
y
B
20 m
61 Sur la figure ci-dessous, on a tracé la parabole
C
F
G
H
Quelles étaient les dimensions initiales de son terrain ?
D
65 Variation d’une aire
A
2
O
x
1
On a partagé un carré de 1 m
de côté en deux domaines.
La partie coloriée en bleu
est une bande de largeur x.
Comment choisir x pour que
les parties bleues et mauves
aient la même aire ?
62 Sur la figure ci-dessous, on a tracé les paraboles
d’équations respectives y = 2x2 + x – 11 et y = x2 – x – 8.
Quelles sont les coordonnées des points d’intersection
A et B de ces deux courbes ?
y
A
5
O
1
x
x
x
x
x
66 En électricité
On dispose de deux conducteurs ohmiques de résistance R1 et R2.
Si on les monte en série (figure 1), on obtient un dipôle
de résistance équivalente R = R1 + R2.
Si on les monte en dérivation (figure 2), on obtient un
dipôle de résistance équivalente R telle que :
1
1
1
=
+
R
R1
R2
R1
R1
B
R2
R2
figure 1
figure 2
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
39
EXERCICES
Applications
69 Les fonctions f et g sont définies sur par :
1. Déterminez la valeur x de la résistance pour que la
résistance équivalente de ce montage soit 6 Ω.
1. Quelles sont les coordonnées des sommets S et S’ des
paraboles 3 et 3’ ?
4Ω
xΩ
2. Dressez les tableaux de variation de f et g.
xΩ
2. Déterminez la valeur x de la résistance pour que la
résistance équivalente de ce montage soit 4,5 Ω.
2Ω
xΩ
xΩ
3Ω
67 Chacune des courbes ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction trinôme f définie sur
par f(x) = ax2 + bx + c.
Précisez dans chaque cas le signe du discriminant, ainsi
que celui de a et c.
y
1. On considère les propositions A et B suivantes :
A « Le trinôme g(x) n’a pas de racine. »
B « c < –1. »
Les propositions A et B sont-elles équivalentes ?
2. On considère les propositions A et B suivantes :
B « Le maximum de g est strictement positif. »
Les propositions A et B sont-elles équivalentes ?
Justifiez en examinant chaque implication.
x
O
figure 1
f désigne une fonction trinôme.
L’énoncé « f(x) possède deux racines distinctes » équivaut à « ∆ > 0 » est une équivalence.
Cela signifie que :
Si « f(x) possède deux racines », alors « ∆ > 0 ».
Et réciproquement :
Si « ∆ > 0 », alors « f(x) possède deux racines distinctes ».
A « c > 0. »
x
O
LOGIQUE
70 Équivalence
g est la fonction trinôme définie par g(x) = –x2 + 2x + c,
où c est un nombre quelconque.
Fonctions trinômes
y
f(x) = 3x2 – 12x + 5 et g(x) = –5x2 + 8x – 10.
On note 3 et 3’ leurs représentations graphiques.
figure 2
y
71 f est la fonction trinôme définie sur par :
f(x) = 3x2 + 4x – 4.
On note 3 la parabole représentant f.
y
1. Quelles sont les coordonnées de son sommet S ?
x
O
x
O
figure 3
68 f et g sont deux fonctions trinômes définies sur
. Le discriminant de f(x)
est positif et celui de g(x) est
nul. On a tracé ci-contre les
courbes représentatives de f
et g.
3. Vérifiez à l’aide de votre calculatrice.
figure 4
1
y
1 2
x
O
2. 3 coupe l’axe des abscisses en I et J et l’axe des
ordonnées en K.
Quelles sont les coordonnées des points I, J et K ?
72 Les deux cubes sont tels que la somme des
mesures de leurs côtés est égale à dix centimètres.
On note x la mesure du côté de l’un d’entre eux.
x
–2
–4
1. Attribuez sa courbe à
chaque fonction.
2. a) Pourquoi f(x) est de la forme ax(x – 4) ?
b) À l’aide des renseignements portés sur la figure,
trouvez la valeur de a.
3. a) Pourquoi g(x) est-il de la forme a(x –
b) Calculez a.
40
1)2 ?
10 cm
Déterminez la valeur de x pour laquelle la somme des
volumes des deux cubes est minimale.
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Pour les exercices 73 à 76
Étudiez le signe de chacun des trinômes suivant les
valeurs de x.
73 a) A(x) = (x – 5)(x + 2).
b) B(x) = (1 + 3x)(6 + x).
c) C(x) = (2 – 6x)(1 + x).
d) D(x) = –9x(2 + 7x).
A
ABCD est un carré de 10 cm de
côté et AMPN un carré de côté x
tel que x appartient à l’intervalle
I = [0 ; 10]. On désigne par S(x)
l’aire en cm2 de la partie coloriée
en bleu.
x M
N
B
P
74 a) A(x) = (x2 – 4) – 3(x + 2)(x – 1).
D
1. Démontrez que pour tout nombre x de I :
S(x) = –x2 + 5x + 50.
b) B(x) = (x – 5)2 – 16.
2. a) Construisez le tableau de variation de S sur I.
c) C(x) = 4(x +
2)2
– 9(3 –
2x)2.
75 a) f(x) = x2 + x – 2.
b) g(x) = –3x2 + 6x – 2.
c) h(x) = x2 – 2x + 3.
d) k(x) = 5x2 + 41x + 80.
1
76 a) f(x) = – 2 x2 + 6x + 16. b) g(x) = x2 – x + 1.
c) h(x) = –x2 + x12 – 1.
Pour les exercices 77 à 80
Résolvez chacune des inéquations.
77 a) x2 + 3x + 2 > 0.
b) t2 + t + 1 > 0.
c) x2 – 7x + 12 < 0.
d) –5t2 – t – 2 < 0.
c) –64x2 + 48x + 7 < 0.
79 a) (2 – x)(4x + 3) 0.
b) x2 – 6 > 0.
c) (3 + 2x)2 – 16 0.
d) 7x(3 + 2x) 0.
3+x
c)
81 Chacune des courbes ci-dessous représente une
fonction trinôme. Dans chaque cas, résolvez l’inéquation
proposée.
exercice résolu E, page 32.
a) f(x) 0
y
1
O
b) f(x) > 0
y
3
x
1
–1
–2
83 La méthode
d’al-Khuwarizmī
x
A L G O R IT
H M IQ U E
b) Utilisez la même méthode pour déterminer la
solution positive de l’équation x2 + 16x = 80.
2. a) Prouvez que toute équation du type x2 + bx = c
où c > 0 admet deux racines de signes contraires.
Pour cela, étudiez le signe du produit des racines en
utilisant le théorème démontré dans l’exercice 87 ,
page 42.
b) Complétez cet algorithme qui donne la racine
positive d’une telle équation.
1
3
1
x
1 2
x
O
3. Quel est l’ensemble des nombres x de I pour lesquels
S(x) < aire(AMPN) ?
1. a) Vérifiez que l’équation x2 + 12x = 108 admet
deux solutions de signes contraires et que l’algorithme proposé donne la solution positive.
b)
x
> 0.
5–x
b) Pour quelle valeur de x l’aire S(x) est-elle maximale ?
Que vaut alors cette aire ?
Diviser 12 par 2.
Élever ce quotient au carré.
Ajouter ce carré à 108.
Prendre la racine carrée de cette somme.
Retrancher à cette racine carrée le
quotient du début.
b) –3t2 –
7 – 4x
< 0.
x+3
3
d) < x + 2.
x
80 a) x – 3 0.
C
Pour déterminer la solution positive de l’équation :
x2 + 12x = 108,
voici comment procédait Al-Khuwarizmī,
mathématix
cien arabe du ixe siècle (voir page 10).
9
t + 3 < 0.
2
2
d) 4t + 12t + 9 > 0.
78 a) 9x2 + 30x + 25 < 0.
EXERCICES
82 Optimisation
Signe du trinôme
c) f(x) < 0
y
4
3
2
1
O
d) f(x) > 0
1
x
y
1
–2
O
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
41
EXERCICES
84 Variation d’une aire. Inéquation
ABC est un triangle rectangle C
isocèle tel que :
K
M
AB = AC = 5 cm.
AHMK est un rectangle. On
pose AH = x, 0 < x < 5.
1. Prouvez que l’aire S(x) du
domaine coloré est égale à : A
x H
25
x2 – 5x +
.
5 cm
2
2. a) Étudier sens de variation de S.
ROC
Restitution organisée
de connaissances
87 Prérequis. Le trinôme ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0),
B
b) Pour quelle valeur de x cette aire est-elle minimale ?
Calculez ce minimum.
75
3. Trouvez les valeurs de x de [0 ; 5] telles que S(x) <
.
8
Avec les tice
85 Travailler avec un paramètre
Dans un repère orthornormé (O ; I, J), est la parabole
d’équation y = x2, et pour tout nombre m, dm est la droite
d’équation y = 2x + m.
On considère le cas où la droite dm coupe la parabole
en deux points A et B. Le but de l’exercice est de savoir
sur quelle ligne se déplace le point C, milieu du segment
[AB], lorsque m varie dans .
lorsque le discriminant ∆ est strictement positif, admet
deux racines distinctes :
–b – 1∆
–b + 1∆
x1 =
et x2 =
.
2a
2a
1. Démonstration
b
c
Démontrez que x1 + x2 = – et x1x2 = .
a
a
2. Application
1
a) Vérifiez que x = est solution de l’équation :
2
4x2 + 4x – 3 = 0.
Calculez l’autre racine sans calculer ∆.
b) Sans aucun calcul, trouvez les solutions de l’équation
x2 + 5x – 6 = 0.
Pour aller plus loin
Utilisez le résultat démontré à l’exercice 87 pour
résoudre les exercices 88 à 91.
88 1. a) Vérifiez que 4 est solution de l’équation :
–7x2 + 9x + 76 = 0.
1. Expérimenter
a) Avec GeoGebra, créez un curseur m.
Réglages : mini –5, maxi 10, incrément 0,1.
b) Saisissez y = x2 et y = 2x + m. Lorsque dm coupe en
A et B, créez le point C, milieu de [AB].
c) Affichez la trace de C et déplacez m à l’aide du curseur. Que conjecturez-vous :
l sur la trace du point C ?
l sur le nombre de points d’intersection ?
2. Démontrer
b) Quelle est l’autre solution ?
89 Chacune des équations suivantes admet une
solution évidente. Trouvez cette solution, puis l’autre,
sans calculer le discriminant ∆.
a) 3x2 – 5x + 2 = 0.
b) 7x2 + 6x – 1 = 0.
c) x2
d) 8x2 + 7x – 15 = 0.
+ x – 6 = 0.
90 Trouvez deux nombres (s’ils existent) dont la
somme est 12 et le produit –85.
a) Démontrez que la droite dm coupe en deux points
A et B, distincts ou non, si et seulement si m –1.
b) Calculez, en fonction de m, les abscisses de A et B.
c) Déduisez-en l’abscisse du point C et concluez.
86 Nombre de racines d’un trinôme
On souhaite déterminer le nombre de racines du
trinôme f(x) = ax2 + bx + c en fonction du signe de a × yS,
où yS est l’ordonnée du sommet de la parabole (a ≠ 0).
1. Utiliser GeoGebra
pour conjecturer la
réponse.
2. Exprimez a × yS en
fonction de a, b et c
pour démontrer (ou
infirmer) la conjecture.
42
Prendre toutes
les initiatives
91 Déterminez trois entiers consécutifs dont la
somme est égale au produit.
92 # est la courbe d’équa-
1
tion y = avec x > 0.
x
M et N sont deux points de #
d’abscisses respectives m et n.
Calculez les valeurs exactes de
m et n lorsque A est le milieu
du segment [MN].
y M
1
O
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
A
1 2
N x
93 Déterminez le nombre m pour que le trinôme
f(x) = –x2 + 3x – m soit négatif pour tout nombre x.
94 On donne le trinôme f(x) = x2 – (m + 1)x + 4.
1. Pour quelles valeurs de m l’équation f(x) = 0 a-t-elle
une seule solution ? Calculez alors cette solution.
2. Pour quelles valeurs de m l’équation f(x) = 0 n’a-t-elle
aucune solution ?
95 On donne le trinôme f(x) = mx2 + 4x + 2(m – 1).
1. Pour quelles valeurs de m l’équation f(x) = 0 a-t-elle
une seule solution ? Calculez alors cette solution.
2. a) Quel est l’ensemble des nombres m pour lesquels
l’équation f(x) = 0 a deux solutions distinctes ?
b) Quel est l’ensemble des nombres m pour lesquels
f(x) < 0 pour tout nombre x ?
96 Si on augmente les arêtes d’un cube de 2 cm de
côté, alors son volume augmente de 488 cm3.
Que vaut l’arête de ce cube ?
97 La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur par :
f(x) = (x2 + x – 2)(x2 – 2x – 1).
y
1
O
1
x
L’équation s’écrit (x + 1)(x – 1) = x + 1. On simplifie par
(x + 1) et l’équation devient x – 1 = 1, soit x = 2. »
2. « Pour résoudre l’inéquation (x + 1)2 x + 1, on pose
y = x + 1. L’inéquation devient y2 y.
Or ceci est toujours vrai donc l’ensemble des solutions
est . »
x2 – 1
3. « L’inéquation
< x s’écrit x2 – 1 < x2 + 2x, soit
x+2
1
–1 < 2x et x – . »
2
EXERCICES
Approfondissement
99 La vitesse du vent et l’ULM
La vitesse vraie d’un ULM s’obtient :
– en additionnant sa vitesse
propre à celle du vent lorsque le
vent est favorable ;
– en retranchant de sa vitesse
propre la vitesse du vent lorsque
le vent est contraire.
Un ULM dont la vitesse propre
est 90 km · h–1 s’est rendu d’une
ville A à une ville B, et est revenu
aussitôt de la ville B à la ville A.
La distance AB est 108 km. On
admet que, pendant toute la
durée du vol, le vent a soufflé à
vitesse constante dans la direction (AB) et dans le sens de A vers B.
1. a) Vérifiez que le temps mis à l’aller s’exprime en
108
fonction de la vitesse v du vent par taller = 90 + v .
b) Exprimez de même le temps tretour mis au retour.
2. Sachant que le temps mis pour faire l’aller-retour est
de 2 h 30, déterminez la vitesse v du vent.
1. a) Graphiquement, conjecturez le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0.
100 Implication réciproque
LOGIQUE
A. g est la fonction trinôme définie par :
g(x) = mx2 + 4x + 4 (m ≠ 0).
b) Résolvez l’équation f(x) = 0.
1. Parmi ces implications, lesquelles sont vraies ?
2. a) Utilisez la représentation graphique de la fonction f pour conjecturer l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) < 0.
a) « m = 2 » ⇒ « Pour tout x, g(x) > 0. »
b) « m < 0 » ⇒ « L’équation g(x) = 0 a deux solutions
distinctes. »
b) Résolvez l’inéquation f(x) < 0 à l’aide d’un tableau de
signes.
c) « Le trinôme g(x) a deux racines distinctes. » ⇒
« m < 0 »
98 Trouver des erreurs
Sur des copies d’élèves, un professeur de mathématiques
a trouvé les raisonnements suivants, qui contiennent
chaque fois une erreur. Trouvez cette erreur et proposez
une solution correcte.
1. « Pour résoudre l’équation x2 – 1 ≠ x + 1, on utilise
l’identité x2 – 1 = (x + 1)(x – 1).
2. L’implication c) est la réciproque de b). Ces propositions sont-elles équivalentes ?
B. On donne l’implication : « ax2 + bx + c = 0 a deux
solutions distinctes » ⇒ « a et c sont de signes
contraires ».
Cette implication est-elle vraie ? Sa réciproque estelle vraie ?
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
43
EXERCICES
101 Signe d’un trinôme
A L G O R IT
H M IQ U E
Cet algorithme permet de déterminer le signe d’un
trinôme ax2 + bx + c, (a ≠ 0).
a, b, c, d, x1 et x2 sont des variables de type nombre.
1. Quel est le rôle des lignes 2 à 6 (de lire a jusqu’à
Fin_tant_que) ?
2. Complétez cet algorithme.
3. Dans cet algorithme, on a commencé par étudier
le signe du discriminant. Écrivez un algorithme ayant
le même objectif, mais dans lequel on commence par
étudier le signe du coefficient a.
3
103 Dans un repère, # est la courbe d’équation y = x
et d la droite d’équation y = 2x + 1.
La droite d coupe # en A et B, et les axes en C et D.
Démontrez que les segments [AB] et [CD] ont le même
milieu.
104 Une pyramide
SABC est une pyramide dont la base ABC est un triangle
équilatéral et dont l’arête (SA) est perpendiculaire aux
droites (AB) et (AC). On sait que AB = 4 cm et SA = 2 cm.
M est un point de [AB]. À partir de ce point on construit
le rectangle MNPQ comme indiqué sur la figure : (MN)
est parallèle à (AS) et (MQ) est parallèle à (BC).
L’objectif est de choisir
S
le point M tel que l’aire
du rectangle MNPQ soit
4
N
P
égale à 3 cm2.
1. On pose AM = x.
A
M
Q
Démontrez que :
2
x
C
aire (MNPQ) = – 2 + 2x. B
4 cm
2. Déduisez-en la ou les solutions du problème.
105 On se place dans un
repère orthonormé (O ; I, J).
OABC est un carré de côté 4.
1
d a pour équation y = x + m
2
avec m appartenant à l’intervalle [2 ; 4[.
d
E
C
B
F
J
1. Justifiez que pour tout
O I
nombre m de [2 ; 4[, d coupe
le segment [OC] en F et le segment [BC] en E.
A
2. a) Démontrez que aire(ECF) = (4 – m)2.
b) Déduisez-en l’ensemble des nombres m de l’intervalle [2 ; 4[ pour lesquels :
8 × aire (ECF) < aire (OABC).
106 Le poids de l’astronaute
102 Un jardin de forme rectangulaire a une superficie
totale de 805 m2, allée comprise.
Cette allée de 1,5 mètre de large permet d’en faire le
tour. Cette allée a une superficie de 165 m2.
Le poids diminue avec l’altitude. Ainsi, si la masse d’un
astronaute est 60 kg, son poids (en N) à l’altitude x
(en km) au-dessus du niveau de la mer est donné par :
6 400 2
P = 60 × 9,8 × 6 400 + x .
À quelle altitude le poids de l’astronaute sera-t-il inférieur à 25 N ?
1
2
1,5
1,5
Quelles sont les dimensions du jardin ?
44
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
pour coordonnées (3 ; 2).
M est un point de l’axe des abscisses de coordonnées
(m ; 0) avec m > 3. La droite (AM) coupe l’axe des
ordonnées en N.
N
3. Dans cette question, on ne connaît pas la valeur de
p, mais on sait que l’entreprise réalise un bénéfice maximal lorsqu’elle fabrique 300 appareils. Calculez p.
110 ABC est un triangle rectangle tel que AB = 12 et
AC = 5. M est un point de [AC] tel que AM = x, avec x
appartenant à l’intervalle I = [0 ; 5].
À chaque point M, on associe le point N du segment [AB]
tel que BN = 2x. On note !(x) l’aire du triangle AMN.
A
2
J
O
b) Déterminez algébriquement le nombre d’appareils à
fabriquer pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif ou nul.
I
C
M
3
2m
.
m–3
b) Déduisez-en que l’aire du triangle OMN est égale à :
m2
.
m–3
2. Quel est l’ensemble des nombres m pour lesquels
aire(OMN) < 16 ?
1. a) Démontrez que ON =
108 f et g sont deux fonctions définies sur par :
f(x) = 2x2 + 8x + 4 et g(x) = x2 – 3.
y 4
2
1
O
5 M
x
A
B
N
12
1. Démontrez que !(x) = 6x – x2.
2. On note f la fonction définie sur par f(x) = 6x – x2 et
la parabole représentative de f.
a) Quelle est la forme canonique de f ? Quelles sont les
coordonnées du sommet S de ?
b) Tracez dans un repère orthonormé et déduisez-en
la courbe représentative de ! définie sur I par :
!(x) = 6x – x2.
1
–2
EXERCICES
107 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), le point A a
1 2
x
3. On cherche l’ensemble des nombres x de I tels que
6 < !(x) < 8.
a) Graphiquement, quelle conjecture faites-vous ?
–3
–4
b) Trouvez cet ensemble par le calcul.
Aide
Résoudre !(x) < 8 puis !(x) 6 et conclure.
1. Attribuez à chaque fonction sa courbe.
2. Calculez les coordonnées des points d’intersection de
ces deux paraboles.
3. Quel est l’ensemble des nombres x pour lesquels 1
est en dessous de 2 ?
109 Coût de fabrication et bénéfices
Dans une usine, on fabrique des appareils ménagers.
Le coût total de fabrication de n appareils est donné par :
C(n) = 0,02n2 + 8n + 500, pour n ∈ [0 ; 600].
Le coût C(n) est exprimé en euros.
1. Déterminez la quantité à partir de laquelle le coût
total est supérieur à 4 700 �.
2. On appelle p le prix de vente (en euros) d’un appareil.
Dans cette question, p = 17,5.
a) Exprimer le bénéfice B(n) en fonction de n et vérifiez
que :
B(n) = –0,02n2 + 9,5n – 500.
Prendre toutes
les initiatives
111 Une ficelle longue de 20 cm est fixée
à ses extrémités par
deux clous A et B distants de 13 cm.
C
A
13 cm
B
Est-il possible de tendre la ficelle de manière à ce que
le triangle ABC soit rectangle en C ?
112 Dans un cercle de rayon 4 cm, peut-on inscrire
un triangle AMB isocèle, de sommet principal M, tel
que MA soit le double de AB ?
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
45
EXERCICES
Travail en autonomie
L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes
de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme,
en utilisant si besoin les coups de pouce
page 381.
A Les deux carrés
D Les disques emboîtés
Deux terrains ayant la forme d’un carré sont disposés
comme l’indique la figure ci-dessous.
D
C
G
A
F
B
x
Du tissage
10 cm
Deux cônes de révolution identiques (même rayon de
base R = 3 cm et même hauteur h = 12 cm) sont disposés
comme l’indique la figure ci-dessous.
S2
O1
h
I2
I1
ABCD est un carré.
x
x
A
B
O2
S1
10 cm
x
D
C
a) Exprimez l’aire de la partie colorée en vert en fonction
de la variable x. 2
b) Déterminez la mesure x en cm pour laquelle les aires
des parties coloriées en jaune et en vert sont égales.
3
C Pas vraiment un losange…
ABCD est un parallélogramme d’aire 52 cm2 et de
périmètre 42 cm.
D
A
B
46
4
On a indiqué en rouge la section de ces cônes par un
plan parallèle aux bases de manière que S1I1 = O2I2 = x.
a) Déterminez les rayons r1 et r2 des disques colorés en
fonction de x. 6
b) Déterminez x pour que la somme des aires de ces
27p
deux sections soit inférieure à
. 7
4
F Dans le « couloir »
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la
fonction f définie par :
2x – 1
.
f(x) = 2
x –x+2
y
1
x
O
1
C
α = 30°
Calculez AB et AD.
O
E Deux cônes
E
G est un point du segment [BC]. L’aire totale est de
21 800 m2 et le périmètre de l’ensemble est de 660 m.
a) Exprimez l’aire totale et le périmètre de l’ensemble en
fonction des mesures x et y des côtés des carrés.
b) Déduisez-en la mesure du côté de chacun des carrés.
1
B
On note ! l’aire du grand
disque ci-contre.
Pour quelles valeurs de x
(rayon du disque rouge) la
somme des aires des deux
disques intérieurs est-elle
5
supérieure ou égale à ! ?
8
5
a) Pourquoi f est-elle définie sur R ? 8
b) Pourquoi la courbe est-elle entièrement dans la
bande de plan délimitée par les droites d’équation
y = –1 et y = 1 ? 9
Chapitre 1 ● Second degré
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
CHAPITRE
Variations
des fonctions
associées
D’un siècle
à un autre
Lors de la Coupe du monde de football de 2010
en Afrique du Sud, les vuvuzelas sont venues perturber
les retransmissions télévisées. Pour pouvoir
se débarrasser de ce bruit, il faut réussir à séparer
un signal indésirable d’un signal utile.
Pour cela, les ingénieurs réalisent une opération
de « démixage » qui revient à faire une soustraction
de signaux, c’est-à-dire une soustraction de fonctions. Cela
n’aurait pas été possible sans les travaux de Leonhard
Euler, qui a introduit le concept de « fonction ».
En savoir plus sur
Leonhard Euler
Chercheurs d’hier p. 59
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Rappels
& Questions-tests
ésoudre graphiquement
R
une inéquation
Résoudre l’inéquation f(x) > g(x), c’est chercher
les nombres x dont l’image par f est supérieure
à l’image par g.
y
Graphiquement, cela
g
f
revient à trouver les
abscisses des points
1
de la courbe #f situés
x
O 1
au-dessus de la courbe
#g.
Sur cet exemple, f(x) est supérieur à g(x) pour
x < –2 et pour x ∈ ]0 ; 2[.
1 Résolvez graphiquement
les inéquations suivantes.
a) x2 < x
1
b) x >
x
1
2
<0
c) x –
x
y
y = x2
y=x
1
O
1
y= 1
x
x
Sens de variation
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que f est strictement croissante sur I
signifie que pour tous nombres a et b de I :
si a < b, alors f(a) < f(b).
On dit que f conserve l’ordre.
l
l Dire que f est strictement décroissante sur I
signifie que pour tous nombres a et b de I :
si a < b, alors f(a) > f(b).
On dit que f inverse l’ordre.
La fonction affine définie sur par x ax + b
est strictement croissante sur si a > 0.
Elle est strictement décroissante sur si a < 0.
La fonction carré définie sur par x x2 est
strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
Elle est strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0].
1
La fonction inverse définie sur * par x
x
est strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0[
et sur ]0 ; + ∞[.
l
2 Les fonctions suivantes sont définies
sur l’intervalle I = [–1 ; 5].
Précisez leur sens de variation sur I.
a) f(x) = 3x + 2.
b) g(x) = 5.
x
c) h(x) = – + 3.
2
d) k(x) = x2.
3 Comparez les nombres A et B.
2
2
et B = .
π
3
3
1
4
et B = , avec x > .
b) A =
4
x
3
1
1
et B =
, avec x > 0.
c) A =
x+2
x+3
4 Vrai ou faux ?
f est une fonction strictement croissante sur [0 ; + ∞[
et f(5) = 0.
a) Si 4 < x < 5, alors f(x) ∈ ]f(4) ; 0[.
b) f(2) × f(3) > 0.
a) A =
ur une droite graduée : distance
S
à l’origine
Les points M et N, d’abscisses respectives x et –x,
sont à la même distance de l’origine O. Cette
distance est égale à x si x est positif, et à –x si x est
négatif.
–x
N
x
O
I
5 a) Sur une droite graduée, de repère (O, I), M est
le point d’abscisse x.
Trouvez l’ensemble des nombres x tels que :
a) OM 5.
b) 2 < OM < 3.
M
Voir les corrigés p. 363
48
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
ACTIVITÉS
Activité
Des paraboles et des opérations
TICE
1 a) Avec GeoGebra, tracez la parabole représentative de la fonction
outil 1
f : x x2 + 3x – 4.
b) Créez un curseur k. Réglages : –10 k 10 ; incrément 0,1 ; largeur 300.
outil 3
c) Tracez la parabole représentative de la fonction g :
g(x) = f(x) + k.
d) Faites varier k. Observez les deux paraboles.
Que constatez-vous ?
e) k étant fixé (k différent de 0 et de 1), créez deux points
de même abscisse : A sur une des paraboles et B sur l’autre.
Créez le segment [AB].
Aide
Tracez la perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par A afin de créer le point B.
f) Dans la fenêtre Algèbre, repérez la longueur du segment [AB], nommée b. Déplacez A et surveillez
l’évolution de b. Que constatez-vous ?
g) Faites varier k. Dans la fenêtre algèbre, observez les variations de k et de b. Que constatez-vous ?
si k est positif, b = ……
Complétez :
si k est négatif, b = ……
5
Vocabulaire
b est la valeur absolue de k.
2 a) Effacez la fonction g et créez la fonction h en saisissant h(x) = k*f(x).
La parabole représentative de la fonction h s’affiche.
b) Faites varier k, (k ≠ 0) et observez les deux paraboles. Que constatez-vous ?
c) Pourquoi les deux paraboles se coupent-elles toujours sur l’axe des abscisses ?
d) Pour quelle valeur de k les courbes sont-elles symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?
Problème ouvert
Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?
Virgile affirme qu’il est en mesure de proposer deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I,
toutes les deux strictement croissantes sur I, telles que la fonction h « produit de f et g » définie sur I
par h(x) = f(x) × g(x) est strictement décroissante sur I. Qu’en pensez-vous ?
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
49
COURS
1
Fonction racine carrée
1.1 Étude de la fonction racine carrée
Tout nombre positif x a une racine carrée notée 1x : c’est le nombre positif dont le carré est x.
La fonction f : x 1x est donc définie sur [0 ; + ∞[.
Théorème
1 La fonction f : x 1x, définie sur [0 ; + ∞[, est strictement croissante sur [0 ; + ∞[.
x
f(x)
0
+ ∞
0
Démonstration
Exercice 63,
Logique
➜ p. 64
●
Pour démontrer que f est strictement croissante sur l’intervalle I = [0 ; + ∞[, il suffit de prouver
que si u et v sont deux nombres de I tels que 0 u < v, alors f(u) < f(v).
Autrement dit, si u – v < 0, alors f(u) – f(v) < 0 ou encore 1u – 1v < 0.
u et v étant positifs :
u – v = (1u)2 – (1v)2 = (1u + 1v)(1u – 1v).
Par hypothèse, 0 u < v, ainsi, v > 0 d’où 1v > 0 et comme 1u > 0, alors 1u + 1v > 0.
D’après la règle des signes :
u – v = (1u + 1v)(1u – 1v).
5
positif
u – v et 1u – 1v sont de même signe. En conclusion, si u – v < 0 alors 1u – 1v < 0.
Représentation graphique
3
2
1
Un tableau de valeurs permet de tracer la courbe.
x
1x
0
0
1
4
1
2
1
1
4
2
9
1
2
O
3
y
1
1
1
4
9 x
4
1.2 Comparaison de x, 1x et x2 (pour x positif)
Sur l’intervalle [0 ; + ∞[, les trois fonctions :
f : x 1x, g : x x et h : x x2
ont le même tableau de variation.
x
f(x)
g(x)
h(x)
0 1
+ ∞
1
0
Graphiquement, on constate que :
l
les trois courbes ont en commun les points O(0 ; 0) et A(1 ; 1) ;
pour x ∈ ]0 ; 1[, la courbe f est au-dessus de g , elle-même
au-dessus de h ;
y
l
pour x > 1, la courbe h est au-dessus de g , elle-même
au-dessus de f ;
h
2
f
l
l dans un repère orthonormé, les courbes et
f
h sont
symétriques par rapport à g.
Le théorème qui suit permet de justifier ces constatations.
50
1
O
g
A
1
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
4 x
COURS
Théorème
2 x est un nombre positif. l
Pour tout x ∈ [0 ; 1], x2 x 1x. l
Pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[ , 1x < x < x2.
Démonstration
Exercice 41
➜ p. 62
●
l
0 x 1. En multipliant chacun des membres par x (positif ), on obtient :
0 × x x × x 1 × x, donc 0 x2 x. (1)
La croissance de la fonction racine carrée sur [0 ; + ∞[ nous permet alors d’affirmer que :
10 2x2 1x, donc que 0 x 1x.
Finalement, on déduit de (1) et (2) que
l
x2
(2)
x 1x.
1 < x. On multiplie chacun des membres par x :
1 × x < x × x donc x < x2.
Puisque la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, 1x < x. Ainsi, 1x < x < x2.
2
Fonction valeur absolue
2.1 Valeur absolue d’un nombre
Définition
1 Pour tout nombre x, la valeur absolue de x est égale à x si x est positif, à (–x) si x est négatif.
x lorsque x > 0
Elle se note |x|.
|x| =
–x lorsque x 0
5
Remarques. Pour tout nombre x :
l
|x| = |–x| ;
l
|x| = 0 équivaut à x = 0.
2.2 Étude de la fonction valeur absolue
La fonction f : x |x|, définie sur , est, par définition de la valeur absolue d’un nombre, une
fonction affine « par morceaux ». En effet :
l
sur l’intervalle ]– ∞ ; 0], f est égale à la fonction affine strictement décroissante x –x ;
l
sur l’intervalle [0 ; + ∞[, f est égale à la fonction strictement croissante x x.
Il en résulte le théorème suivant.
Théorème
3 La fonction f : x |x| définie sur est :
l
strictement décroissante sur l’intervalle ]– ∞ ; 0] ;
l
strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
x
– ∞
f(x)
Représentation graphique. Dans un repère orthonormé,
la représentation graphique de la fonction valeur absolue est
la réunion de deux demi-droites d’origine O. Pour tout nombre
x, |x| = |–x|, soit f(x) = f(–x). Ainsi, les points M(x ; f(x)) et
M’(–x ; f(–x)) sont symétriques par rapport à l’axe (Oy).
En conséquence, les deux demi-droites sont symétriques par
rapport à l’axe des ordonnées.
0
+ ∞
0
M’
y
Ω–xΩ
ΩxΩ
M
1
–x
O
1
x
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
51
COURS
3
Sens de variation des fonctions associées
3.1 Variations de x u(x) + k
Théorème
4 u est une fonction définie sur un intervalle I et k est un nombre fixé.
v est la fonction définie sur I par v(x) = u(x) + k.
Les fonctions u et v varient dans le même sens sur l’intervalle I.
Démonstration. Supposons la fonction u strictement croissante sur I.
y
Pour tous nombres a et b de l’intervalle I, si a < b, alors u(a) < u(b),
d’où u(a) + k < u(b) + k, soit encore v(a) < v(b). La fonction v est strictement
croissante sur l’intervalle I.
On démontre de la même manière que si u est strictement décroissante
sur I, alors v l’est aussi.
w
v
u
1
O
x
1
Remarque. Dans un repère, la représentation graphique de v se déduit de celle de u par la
translation de vecteur rw de coordonnées (0 ; k).
3.2 Variations de λu, (λ ≠ 0)
λ est un nombre non nul. λu est la fonction définie sur l’intervalle I par λu : x λ × u(x).
Par exemple, si u(x) = x2 + 3, la fonction 5u est définie sur par 5u(x) = 5(x2 + 3).
Théorème
5 u est une fonction définie sur un intervalle I et λ un nombre fixé non nul :
l
si λ est positif, u et λu varient dans le même sens sur I ;
l
si λ est négatif, u et λu varient en sens contraires sur I.
Démonstration. Prouvons le résultat dans le cas où u est strictement croissante sur I et λ < 0.
Prenons les nombres a et b dans l’intervalle I tels que a < b. Puisque la fonction u est strictement
croissante, u(a) < u(b).
En multipliant les deux membres par λ (négatif ), on obtient λu(a) > λu(b), ce qui montre que la
fonction λu est strictement décroissante.
On démontre les autres cas de manière analogue.
Exemple. La fonction u est définie sur par u(x) =
1
1
– u est la fonction définie sur par x – x2.
2
2
x
– ∞
u(x)
Pour l’étude de
contre-exemples :
exercices 25
et 26, TP
➜ p. 60 et 61
52
1
– u(x)
2
0
+ ∞
x2
y
1
et λ = – .
2
1
O
0
0
y = x2
1
x
y = – 1 x2
2
Attention. Il n’existe pas de théorème général donnant le sens de variation de la somme ou
du produit de deux fonctions.
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
COURS
3.3 Variation de 1u
Théorème
6 u est une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x de I, u(x) est positif.
v est la fonction définie par v(x) = 5u(x).
Les fonctions u et v varient dans le même sens sur l’intervalle I.
Démonstration. Prouvons le résultat dans le cas où la fonction u est strictement croissante sur
l’intervalle I.
Prenons les nombres a et b dans l’intervalle I tels que a < b. Puisque la fonction u est strictement
croissante, 0 < u(a) < u(b).
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, donc 5u(a) < 5u(b), soit encore
v(a) < v(b).
On conclut que la fonction v est aussi strictement croissante sur l’intervalle I.
On démontre de manière analogue le cas où la fonction u est strictement décroissante sur
l’intervalle I.
Exemple. La fonction u est définie sur l’intervalle 4– ∞ ;
1
par u(x) = –2x + 1. Cette fonction est
2
4
strictement décroissante sur cet intervalle.
1
Pour tout nombre x de l’intervalle – ∞ ;
, u(x) est positif.
2
1
La fonction v : x 9–2x + 1 est donc définie et strictement décroissante sur l’intervalle – ∞ ;
.
2
4
4
4
4
1
3.4 Variations de —
u
Théorème
7 u est une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x de I, u(x) est non nul
et de signe constant.
v est la fonction définie sur l’intervalle I par v(x) =
1
.
u(x)
Les fonctions u et v varient en sens contraire sur l’intervalle I.
Démonstration. Prenons les nombres a et b dans l’intervalle I :
1
1
u(b) – u(a)
v(a) – v(b) =
–
=
.
u(a) u(b)
u(a) · u(b)
Pour tout nombre x de I, u(x) est non nul et de signe constant, le produit u(a) · u(b) est donc
strictement positif. Il en résulte que v(a) – v(b) et u(b) – u(a) sont de même signe sur I et donc que
v(a) – v(b) et u(a) – u(b) sont de signes contraires.
En conclusion, les fonctions u et v varient en sens contraire sur I.
Exemple.
Sur l’intervalle ]2 ; + ∞[, la fonction u définie par u(x) = 2x – 4 est strictement
croissante.
y
Pour tout nombre x de l’intervalle ]2 ; + ∞[, u(x) est strictement
1
positif. La fonction v : x
est donc définie et strictement
2x – 4
décroissante sur ]2 ; + ∞[.
x
u(x)
v(x)
2
0
y = 2x – 4
+ ∞
+
y=
1
O
1
2x – 4
1
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
x
53
EXERCICES
Application
Objectif
1
Étudier une fonction du type 1u
u est une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x de I, u(x) est positif.
Les fonctions u et 1u varient dans le même sens sur I.
Exercice résolu A
Étudier une fonction du type 1u sur un intervalle
On étudie la fonction f définie par f(x) = 82x – 5.
1. Vérifiez que la fonction f est définie sur l’intervalle I =
2. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle I.
5
3 2 ; + ∞3.
3
3. Déduisez-en un encadrement de f(x) lorsque x appartient à l’intervalle J = 7 ;
Méthode
21
.
2
4
Solution
1. La racine carrée d’un nombre n’a de sens
que si ce nombre est positif ou nul.
1. La fonction f est définie pour toute valeur
5
de x telle que 2x – 5 > 0, c’est-à-dire x > .
2
La fonction f est définie sur l’intervalle I.
2. Les fonctions u et 1u varient
dans le même sens. On étudie d’abord
les variations de la fonction (affine)
définie sur l’intervalle I par u(x) = 2x – 5.
2. La fonction u : x 2x – 5 est affine.
Le terme en x a pour coefficient 2 (positif ).
donc u est croissante sur l’intervalle I.
Sur I, les fonctions u et 1u varient
dans le même sens, donc la fonction f
est croissante sur I.
D’où le tableau de variation :
l On conclut et on vérifie
à l’aide de la calculatrice graphique.
5
2
x
f(x)
3. On utilise le sens de variation
de la fonction f sur l’intervalle J.
l
0
7
21
2
3
4
+ ∞
5
, donc l’intervalle J est contenu
2
dans l’intervalle I.
l La fonction f est donc croissante sur J.
21
21
Puisque 7 x
alors, f(7) f(x) f 2
2
et donc 3 f(x) 4.
3. 7 >
Une fonction croissante conserve l’ordre.
1 2
Mise en pratique
Dans chacun des exercices 1 à 5
a) Vérifiez que la fonction f est définie sur
l’intervalle I.
3 f(x) = 92x2 + 1, I = [0 ; + ∞[.
b) Étudiez les variations de f sur I.
5 f(x) = 1 + , I = ]– ∞ ; –1].
x
6 La fonction f est définie pour tout nombre
c) Utilisez votre calculatrice pour représenter f
et vérifier vos résultats.
1
8
x
+ 1, I = [–3 ; + ∞[.
f(x) =
3
2 f(x) = 8–x + 3, I = ]– ∞ ; 3].
54
4 f(x) = 3|x|, I = ]– ∞ ; 0].
8
1
x –3 par f(x) =
8 x +2 3 . Utilisez le tableau de
variation de cette fonction pour donner un
x+3
encadrement de
lorsque x ∈ [–1 ; 5].
2
8
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
2
1
Étudier une fonction du type —
u
u est une fonction définie sur un intervalle I tel que pour tout nombre x de I, u(x) est non nul et de
1
signe constant. Les fonctions u et varient en sens contraire sur I.
u
Exercice résolu B
EXERCICES
Objectif
1
Étudier une fonction du type —
u sur un intervalle
On étudie la fonction f définie par f(x) =
1
.
x–4
1. Justifiez que la fonction f est définie sur l’intervalle I = ]4 ; + ∞[.
2. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle I.
3. Déduisez-en un encadrement de f(x) lorsque x appartient à J = [5 ; 7].
Solution
Méthode
1. f est définie pour toute valeur de x telle
que x – 4 ≠ 0, c’est-à-dire x ≠ 4.
f est donc bien définie sur I = ]4 ; + ∞[.
1. Tout nombre non nul a un inverse.
Seul zéro n’a pas d’inverse.
1
varient en sens
u
contraire (théorème 7). On étudie d’abord
les variations de la fonction (affine)
définie sur I par u(x) = x – 4.
2. Les fonctions u et
2. La fonction u : x x – 4 est affine.
Le terme en x a pour coefficient 1 (positif )
donc u est croissante sur l’intervalle I.
1
Sur l’intervalle I, u et varient en sens
u
contraire, donc f est décroissante sur I.
D’où le tableau de variation :
l On conclut et on vérifie
à l’aide de la calculatrice graphique.
3. On utilise le sens de variation
de la fonction f sur J.
l
Une fonction décroissante inverse l’ordre.
x
4
f(x)
5
7
1
3
1
+ ∞
3. 4 < 5, donc l’intervalle J est contenu dans
l’intervalle I.
La fonction f est donc décroissante sur J.
Puisque 5 x 7, alors f(7) f(x) f(5)
1
et donc x 1.
3
Mise en pratique
Pour les exercices 7 à 11
a) Vérifiez que la fonction f est définie sur
l’intervalle I.
b) Étudiez les variations de f sur I.
c) Utilisez votre calculatrice pour représenter f
et vérifier vos résultats.
1
7 f(x) =
, I = ]3 ; + ∞[.
3–x
1
8 f(x) = 2 , I = ]– ∞ ; 0[.
x
1
9 f(x) = , I = ]– ∞ ; 0[.
|x|
10 f(x) =
2
, I = ]–1 ; + ∞[.
x+1
1
5
11 f(x) =
, I = 4 ; + ∞3.
82x – 5
2
12 La fonction f est définie pour tout nombre
x > 3 par :
1
f(x) =
.
6x – 3
Utilisez le tableau de variation de cette fonction
1
lorsque
pour donner un encadrement de
6x – 3
x ∈ [4 ; 19].
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
55
EXERCICES
Objectif
3
Étudier les variations d’une fonction sur une réunion d’intervalles
l u est une fonction, k un nombre. v est la fonction définie par v(x) = u(x) + k.
Les fonctions u et v ont le même sens de variation.
l λ est un nombre non nul,
l Si λ > 0, les fonctions u et λu varient dans le même sens.
l Si λ < 0, les fonctions u et λu varient en sens contraire : ces résultats s’appliquent sur tout
intervalle I sur lequel les fonctions utilisées sont définies.
Exercice résolu C
Étudier une fonction de la forme λu + k
2
+ 3.
x
1. Justifiez que la fonction f est définie sur I ∪ J avec I = ]– ∞ ; 0[ et J = ]0 ; + ∞[.
On étudie la fonction f définie par f(x) = – 2. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle I, puis sur l’intervalle J.
Méthode
Solution
1. On repère les valeurs de x pour lesquelles
f(x) n’est pas calculable. Seule la division
par x peut poser problème.
1. La division par zéro est impossible : f est
définie pour toute valeur de x non nulle.
f est définie sur I ∪ J.
2. On analyse la suite d’opérations
à effectuer pour le calcul de f(x). On peut
ainsi remarquer que f est de la forme λu + k
1
avec u(x) = , λ = –2 et k = 3.
x
2. Sur l’intervalle I, comme sur l’intervalle J,
f se décompose de la manière suivante :
1
1
2
f : x –2 × – + 3.
x
x
x
1
est décroissante sur I.
x
Les fonctions u et –2u varient en sens
contraire, donc sur l’intervalle I,
2
la fonction –2u : x – est croissante.
x
Enfin, comme f(x) = –2u(x) + 3, f et –2u
varient dans le même sens :
la fonction f est croissante sur I.
1
Sur l’intervalle J, la fonction u : x
x
est encore décroissante.
On arrive donc à la même conclusion :
la fonction f est croissante sur J.
l D’où le tableau de variation :
On étudie les variations de la fonction f,
séparément, sur chacun des intervalles I et J.
l
l
l On conclut par un tableau de variation
et on vérifie à l’aide de la calculatrice
graphique.
La fonction u : x
x
– ∞
0
+ ∞
f(x)
Mise en pratique
Dans chacun des exercices 13 à 16
a) Justifiez que la fonction f est définie sur D.
b) Étudiez les variations de f sur chacun des
intervalles qui composent D.
c) Donnez le tableau de variation de f.
1
13 f(x) =
– 5 ; D = ]– ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[.
3x
56
2
14 f(x) = ; D = ]– ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[.
|x|
1
15 f(x) =
+ 4 ; D = ]– ∞ ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[.
x–1
1
16 f(x) =
; D = [0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[.
1x – 1
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Po u r
17
Questions sur le cours
EXERCICES
se tester
18 Vrai ou faux
Complétez les expressions suivantes.
1. La fonction f : x 1x est :
a) définie sur l’intervalle I = …… ;
b) strictement …… sur I.
2. La fonction g : x |x| est :
a) strictement …… sur ]– ∞ ; 0] ;
b) strictement …… sur [0 ; + ∞[.
3. Si 0 < x < 1, alors x, 1x et x2 sont rangés dans
l’ordre : …… < …… < ……
4. a est un nombre non nul. La fonction f définie
1
est croissante sur l’intervalle ]0 ; + ∞[
par f(x) =
ax
si a est ……
Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ?
Justifiez votre réponse.
a) f : x x2 et g : x x, alors, pour tout x ∈ ,
f(x) > g(x).
b) Pour tout nombre x, –x x2.
c) La fonction définie sur l’intervalle I = [0 ; + ∞[ par
f(x) = –21x est strictement décroissante sur I.
d) Les nombres x et y sont non nuls.
1 1
Si x < y alors > .
x
y 3
e) La fonction x 2 – est strictement croissante
x
sur l’intervalle ]– ∞ ; 0[.
f) La fonction x 4|x| est définie pour tout
nombre x.
g) La fonction x 1 – 1x atteint son minimum en 0.
19 QCM Une seule réponse exacte
Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse.
1. La fonction définie, pour tout nombre x > 0, par
|x|
est :
f(x) =
2x
a) constante
b) croissante
c) décroissante
3. La fonction définie, pour tout nombre x > –1, par
2. a est un nombre non nul. La fonction définie sur
1
l’intervalle I = ]0 ; + ∞[, par f(x) = 2 est :
ax
a) croissante sur I si a > 0 ;
b) décroissante sur I si a > 0 ;
c) ni croissante ni décroissante.
4. Dans un même repère, les représentations des
f(x) = –26x + 1 est :
a) constante
b) croissante
c) décroissante
fonctions f(x) = |x| et g(x) = –|x| :
a) n’ont aucun point commun ;
b) forment deux droites sécantes ;
c) sont confondues.
20 QCM Au moins une réponse exacte
Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.
1. La fonction f définie par :
f(x) = x2 + 1 est strictement croissante sur l’intervalle :
a) [0 ; + ∞[ b) ]–1 ; + ∞[ c) [1 ; 3]
2. La fonction f est strictement
croissante sur ]0 ; + ∞[, avec :
1
a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = + 1
x
c) f(x) = |x| – 1
3. La fonction f est strictement
décroissante sur [2 ; 5], avec :
1
b) f(x) = 2x2 – 10
a) f(x) =
x
1
c) f(x) = 2
x +1
4. Pour tout nombre x appartenant à l’intervalle [2 ; 5] :
1
a) < 0,2 b) 1x < x2 c) x < 1x
x
4
5. Pour tout nombre x > 1 :
1
1
a) 2
<
x + 1 1x + 1
b)
1
1
<
x2 + 1
x+1
c)
1
1
<
x+1
1x + 1
Voir les corrigés p. 366
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
57
EXERCICES
Apprendre à chercher
21 Modéliser une situation
22 Utiliser une transformation d’écriture
Dans un repère orthonormé (O ; A, B), M est un point
(variable) d’abscisse x sur l’axe des abscisses.
1
B
O
A
1
M
x
activités de recherche
Objectif Étudier les variations de la longueur BM
lorsque M décrit l’axe (O ; A).
1. Intuitivement, on remarque, par exemple, que
lorsque M s’éloigne de O, la distance BM augmente.
Cette distance BM dépend du nombre x.
Dans un tableau, indiquez les variations de la fonction
x BM (croissance, décroissance, maximum, minimum).
2. Pour démontrer cette conjecture, on exprime BM « en
fonction » de l’abscisse x du point M.
Justifiez que BM = 8x2 + 1.
3. L’objectif est donc maintenant d’étudier les variations
de la fonction f : x 8x2 + 1.
Expliquez pourquoi f(x) existe quel que soit le nombre x.
La fonction f est du type 1u. Les variations de f dépendent
de celles de la fonction u.
a) Établissez le tableau de variation de la fonction
définie sur par :
u : x x2 + 1.
Objectif Étudier les variations sur l’intervalle I = [0 ; 5]
3x – 2
de la fonction définie par f(x) =
, puis préciser
x+1
la position de sa courbe représentative f par rapport
à la droite ∆ d’équation y = 3.
1. Sous cette forme, l’expression de f ne nous permet
pas, en utilisant les fonctions de référence, de préciser
les variations de f.
Transformons l’écriture de f(x) pour essayer de résoudre
le problème. Une méthode consiste à faire apparaître
l’expression (x + 1) au numérateur.
a) Trouvez les nombres a et b tels que, pour tout
nombre x de l’intervalle [0 ; 5],
3x – 2 = a(x + 1) + b.
b) Déduisez-en l’expression de f(x) sous la forme :
b
.
f(x) = a +
x+1
2. Pour calculer l’image de x par f, sous cette forme, on
commence nécessairement par calculer x + 1.
Complétez le programme de calcul donnant une
décomposition de la fonction f.
1
…
xx+1
x+1
3. La fonction x x + 1 est strictement croissante sur I.
On peut, avec le programme de calcul précédent,
terminer, de proche en proche, l’étude du sens de
variation de la fonction f.
Faites un tableau puis concluez.
Commentaire
Les chapitres 3 et 4 vous apporteront de nouveaux outils pour étudier les
variations d’une fonction homographique.
Retenez cependant que la transformation d’une expression peut
permettre de résoudre des problèmes.
b) Déduisez-en les variations de f.
c) Vos conjectures sont-elles ainsi prouvées ?
Commentaire
Le repère étant orthonormé, le minimum de la fonction f est la distance
du point B à l’axe des abscisses.
Les outils du chapitre 9 vous permettront de calculer, dans un repère
orthonormé, la distance d’un point B à une droite quelconque d en
déterminant les coordonnées du projeté orthogonal du point B sur la
droite d (voir l’exercice 95, page 236).
58
4. Pour savoir si la courbe f est au-dessus ou audessous de la droite ∆, il faut comparer f(x) et 3 suivant
les valeurs de x.
Notons d la fonction « différence » définie sur I par :
d(x) = f(x) – 3.
a) Choisissez la forme la plus adaptée de f(x) et calculez
d(x).
b) Étudiez le signe de d(x) et concluez.
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous
devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas
permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé
de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.
24 Les points A, B et C sont alignés et sont tels que :
y
fonction f représentée ci-dessous en décomposant en
1
quatre intervalles et en exprimant f(x) sur chacun de ces
x
O 1
intervalles, mais essayez de
trouver une expression unique valable pour tout
nombre x.
Eux aussi,avant
erché
ils ont chro
t
de uver !
Archimède
Chap. 5
– 200
ANTIQUITÉ
AB = 2 cm
et
A
BC = 1 cm.
B
C
Où placer le point M sur la droite (AB) pour que
MA + MB – MC = 4 cm ?
Chercheurs d’hier
Voici quelques mathématiciens importants
qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.
al-Khuwārizmī
Chap. 1
800
Gottfried Leibniz
Chap. 3
1700
1600
MOYEN ÂGE
ÉPOQUE MODERNE
1800
Benoît Mandelbrot
Chap. 6
1900
ÉPOQUE CONTEMPORAINE
Isaac Newton
Chap. 4
Leonhard Euler
(1707-1783)
activités de recherche
23 Vous pouvez définir la
EXERCICES
Narration de recherche
Parallèlement à des études de philosophie et de droit,
il s’intéresse aux mathématiques, domaine dans lequel
ses talents lui valent d’être remarqué par Jean Bernoulli.
Sa notoriété et l’aide de la famille Bernoulli lui permettent
d’obtenir un poste de professeur de mathématiques
à l’université de Saint-Pétersbourg, où il terminera sa carrière
après un passage en Prusse à l’invitation de Frédéric le Grand.
Son œuvre concerne tous les domaines des mathématiques.
« Une méthode
Ses contemporains le considéraient comme le plus
pour trouver les lignes
grand mathématicien de tous les temps.
ur le Web http://www.bibmath.net/bios/
S
index.php3?action=affiche&quoi=euler
courbes jouissant de propriétés
de maximum ou de minimum ».
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
59
EXERCICES
Utiliser sa calculatrice
Pour analyser les variations de fonctions
TP 25 Étude des variations de la somme de deux fonctions monotones
Dire que f est monotone sur l’intervalle I signifie que f varie toujours dans le même sens sur I : elle est
toujours croissante (ou toujours décroissante, ou toujours constante).
1. Tracer les courbes
Faites afficher les représentations graphiques des fonctions f et g
définies par :
1
f(x) = x et g(x) = .
x
Dans un premier temps, on ne s’intéresse qu’aux valeurs positives
de x.
2. Conjecturer
activités de recherche
a) Les fonctions f et g sont-elles monotones sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ ?
b) Faites afficher maintenant la fonction h définie sur l’intervalle
1
]0 ; + ∞[ par h(x) = x + , c’est-à-dire h(x) = f(x) + g(x).
x
La fonction h est appelée somme de f et de g.
Elle peut être notée f + g.
La fonction h semble-t-elle monotone sur ]0 ; + ∞[ ?
c) Observez les variations de ces mêmes fonctions sur l’intervalle
]– ∞ ; 0[, et rassemblez vos résultats dans un tableau.
d) Après avoir effacé les courbes précédentes, faites afficher les
représentations graphiques des fonctions f, g et f + g, définies sur
l’intervalle [0 ; + ∞[ par : f(x) = x2, g(x) = –x et (f + g)(x) = x2 – x.
l Étudiez les variations de ces trois fonctions sur l’intervalle
[0 ; + ∞[ et rassemblez vos résultats dans un tableau.
l Faites de même sur l’intervalle ]– ∞ ; 0].
e) Quelles conjectures pensez-vous pouvoir émettre après ces
études ?
3. Démontrer
a) f et g sont deux fonctions définies et croissantes sur un intervalle I.
a et b sont deux nombres de I tels que a < b.
Traduisez la croissance de f et de g. Que pouvez-vous en déduire pour la fonction f + g ? Énoncez la
propriété établie.
b) Que se passe-t-il si l’on remplace l’hypothèse « f et g croissantes » par « f et g décroissantes » ?
Énoncez la propriété établie.
l
c) Expliquez pourquoi vous pouvez affirmer que l’énoncé suivant est faux :
« La somme de deux fonctions monotones sur un intervalle I est une fonction monotone sur I ».
4. Application
a) Étudiez les variations :
l de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par f(x) = 2x + 1 + 1x ;
1
– x.
l de la fonction g définie sur l’intervalle ]1 ; + ∞[ par g(x) =
x–1
b) Vérifiez vos résultats en représentant à la calculatrice les fonctions f et g.
60
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Pour analyser les variations de fonctions
TP 26 Étude des variations du produit de deux fonctions monotones
EXERCICES
Utiliser sa calculatrice
Si f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I, la fonction x f(x) × g(x) définie sur I est appelée
produit de f et de g.
On la note f × g.
1. Tracer les courbes
2. Conjecturer
a) Les fonctions f, g et f × g sont-elles monotones sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ ?
b) Étudiez les variations de ces mêmes fonctions sur l’intervalle ]– ∞ ; 0[, et rassemblez vos résultats
dans un tableau.
c) Après avoir effacé les courbes précédentes, faites afficher les représentations graphiques des
fonctions f, g et f × g, définies sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :
2
3
l f(x) = x ;
l g(x) ; = –x
l (f × g)(x) = f(x) × g(x) = –x .
Observez les variations de ces trois fonctions sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
l Rassemblez vos résultats dans un tableau.
l Faites de même sur l’intervalle ]– ∞ ; 0].
l
d) Les études précédentes vous permettent-elles de conjecturer :
le sens de variation du produit d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante ?
l le sens de variation du produit de deux fonctions décroissantes ?
activités de recherche
Faites afficher les représentations graphiques des fonctions f et g définies par :
1
2
;
l f(x) = x ;
l g(x) =
l (f × g)(x) = f(x) × g(x) = x.
x
Dans un premier temps, on ne s’intéresse qu’aux valeurs positives de x.
l
3. Démontrer
f et g sont deux fonctions définies et croissantes sur un intervalle I.
a et b sont deux nombres de I tels que a < b.
a) Traduisez la croissance de f et de g sur I.
b) Prouvez que la propriété suivante est fausse :
« m, n, p et q sont des nombres. Si m n et p q, alors m × p n × q. »
c) Pouvez-vous énoncer une règle générale donnant le sens de variation du produit de deux fonctions
croissantes sur un intervalle ?
d) Avez-vous maintenant une idée de réponse au problème ouvert de la page 49 ?
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
61
EXERCICES
Entraînement
1
de tête
1
38 f : x x – 1 , –f, 2f et f .
y
Pour les exercices 27 à 30
Donnez le sens de variation de la fonction f sur
l’intervalle I.
27 f : x x2 + 1 ; I = [0 ; + ∞[.
1
28 f : x 6x + 1 ; I = [–1 ; + ∞[.
O
x
1
29 f : x 8x2 + 1 ; I = .
1
30 f : x 1 – x ; I = ]– ∞ ; 1[.
Pour les exercices
Comparez A et B.
1
39 f : x x2 + 1, 1f et f .
31 à 33
y
31 A = 82x + 3 et B = 82y + 3, avec 0 < x < y.
1
1
32 A = 6x + 1 et B = 6y + 1 , avec 0 < x < y.
1
1
1
33 A = 2x – 5 et B = 2y – 5 , avec 3 < x < y.
O
34 Encadrer |x| pour x ∈ [–2 ; 0].
1
36 f est la fonction définie sur l’intervalle 3 2 ; + ∞3
par :
f(x) = 82x – 1.
Donnez un encadrement de f(x) pour x ∈ [5 ; 41].
Dans les exercices 37 à 40
Associez à chaque fonction sa représentation.
1
f : x x2 + x – 1, –f, 2f et .
f
1
1
O
Quelle courbe ne correspond à aucune de ces trois
fonctions ?
x
tation graphique des fonctions suivantes :
1
1
1
l x l x 2
lx
x
x
1x
a et b sont deux nombres tels que 1 < a < b.
Associez à chaque courbe sa fonction.
h
f
g
a
62
x
y
41 La figure ci-dessous est un extrait de la représen-
y
1
1
f, g et h sont trois fonctions.
2
lf:xx
2
lg:xx +2
2
l h : x (x + 2)
D’une courbe à l’autre :
reconnaître
O
x
40 Cherchez l’intrus
35 Encadrer |x| pour x ∈ [–2 ; 3].
37
1
b
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
47 Le tableau de variation suivant est celui d’une
fonction f définie sur l’intervalle I = [–4 ; 4].
x
’
f(x)
0
2
2
0
4
1
1. Dressez le tableau de variation des fonctions définies
sur l’intervalle I par :
l g(x) = f(x) + 2 ; l h(x) = –f(x) ; l k(x) = 5f(x).
J
O
2. a) Tracez une courbe susceptible de représenter f sur
l’intervalle I.
I
Précisez, parmi les fonctions suivantes, celle qui est
représentée par la courbe #, image de par la translation de vecteur –YOJ, et celle qui est représentée par la
courbe ’, image de par la translation de vecteur YOI :
2
2
l f(x) = (x + 1) ;
l g(x) = x + 1 ;
2
2
l h(x) = (x – 1) ;
l k(x) = x – 1.
D’une courbe à l’autre :
construire
43 On appelle f la fonction représentée ci-dessous,
dans un repère orthonormé, par le demi-cercle de
centre A(2 ; 0).
y
b) Dans le même repère, tracez des courbes susceptibles
de représenter g, h et k.
48 Le tableau de variation suivant est celui d’une
fonction f définie sur l’intervalle I = [–5 ; 3].
x
–5
f(x)
0
–3
1
–1
0
0
–1
1
0
2
3
3
1
1. Dressez le tableau de variation des fonctions définies
sur I par :
l g(x) = f(x) – 1 ; l h(x) = –2 f(x).
2. a) Tracez une courbe susceptible de représenter f sur
l’intervalle I.
b) Dans le même repère, tracez des courbes susceptibles
de représenter g et h.
3. a) Précisez sur quel ensemble E le calcul de 5f(x) est
possible.
1
A
O
–4
3
EXERCICES
42 La parabole est la représentation de la fonction
carré dans un repère orthonormé (O ; I, J).
1
2
b) Dressez alors le tableau de variation de la fonction
définie sur E par k(x) = 5f(x).
x
Construisez les courbes représentatives des fonctions :
l g(x) = –f(x) l h(x) = 2f(x) l k(x) = f(x) + 2.
44 Tracez, dans un repère orthonormé, la courbe
représentative de la fonction définie sur par f(x) = x2.
Déduisez-en les représentations graphiques des fonctions suivantes :
2
2
2
l g : x x – 2 ; l h : x –2x ; l k : x |x – 2|.
c) Dans le même repère, tracez une courbe susceptible
de représenter la fonction k.
49 f est la fonction définie sur l’intervalle [–3 ; 3]
représentée ci-dessous.
y
1
O
1
45 Tracez, dans un repère orthonormé, la courbe
représentative de la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par :
1
f(x) = .
x
Déduisez-en les représentations graphiques des fonctions suivantes :
1
1
1
+ 2 ; l h : x – ; l k : x
+2.
lg:x
x
x
x
|
|
46 Tracez, dans un repère orthonormé, la courbe
représentative # de la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par
f(x) = 1x. Déduisez-en les représentations graphiques
des fonctions suivantes :
1x
l g : x 1x – 1 ; l h : x
.
2
x
1. Dressez le tableau de variation de f.
2. On note g la fonction définie sur [–3 ; 3] par g(x) = |f(x)|.
a) Représentez la fonction g.
b) Déterminez graphiquement le nombre de solutions
de l’équation g(x) = 1.
3. m est un nombre quelconque. Discutez, selon les
valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation
g(x) = m.
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
63
EXERCICES
Avec
la calculatrice
61
Décomposition et sens
de variation
Pour les exercices 50 à 57
Décomposez la fonction f à l’aide de fonctions
usuelles et déduisez-en le sens de variation de f sur
chacun des intervalles donnés.
Utilisez votre calculatrice pour représenter f et vérifier vos résultats.
50 f(x) = x2 + 3 ; I = ]– ∞ ; 0] ; J = [0 ; + ∞[.
2. Déduisez-en l’ensemble D des valeurs de x pour
lesquelles la fonction f : x 9x2 – 2x – 3 est définie.
3. Étudiez les variations de f sur chacun des intervalles
qui composent l’ensemble D.
4. Établissez le tableau de variation de f et vérifiez à
l’aide de votre calculatrice graphique.
62 1. Vérifiez que la fonction f :
x 9x2 – 2x + 2 est définie pour tout nombre x.
51 f(x) = 8x2 + 3 ; I = ]– ∞ ; 0] ; J = [0 ; + ∞[.
1
52 f(x) = x2 + 3 ; I = ]– ∞ ; 0] ; J = [0 ; + ∞[.
2. Étudiez les variations de la fonction f.
3. Déduisez de ce qui précède un encadrement de f(x)
pour x ∈ [0 ; 5].
53 f(x) = 6x – 4 ; I = [4 ; + ∞[.
1
54 f(x) = 7x – 4 ; I = ]4 ; + ∞[.
63 Démonstration par l’absurde
55 f(x) = 2|x| – 1 ; I = .
–2
57 f(x) = x2 ; I = ]– ∞ ; 0[ ; J = ]0 ; + ∞[.
2x + 1
sur .
x
1. Trouvez les nombres a et b tels que f(x) = a +
LOGIQUE
Démontrer que la fonction x 1x est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[ revient à démontrer que :
si a et b sont deux nombres tels que 0 < a < b, alors
1a < 1b.
Raisonner par l’absurde consiste à ajouter une
nouvelle hypothèse, la négation de la conclusion, et
à en déduire qu’on arrive alors à une absurdité.
56 f(x) = 75 – x ; I = ]– ∞ ; 5].
58 f(x) =
1. Étudiez le signe du trinôme.
x2 – 2x – 3 suivant les valeurs de x.
b
.
x
a) Exprimez la négation de la conclusion (1a < 1b).
b) Utilisez alors une propriété de la fonction carré
sur [0 ; + ∞[ pour montrer qu’on arrive, avec cette
nouvelle hypothèse, à une absurdité et concluez.
2. Étudiez le sens de variation de f sur .
Aide
Voir l’exercice résolu B p. 55 et l’exercice 22 p. 58.
64 Une question de signe
Avec
la calculatrice
59
1. Utilisez votre calculatrice graphique pour représenter
la fonction f définie sur par f(x) = 3x2.
A L G O R IT
H M IQ U E
L’algorithme suivant, écrit avec AlgoBox, traduit un
programme de calcul définissant une fonction f.
2. Quelle courbe pensez-vous reconnaître ? Quelle égalité pouvez-vous conjecturer ?
3. Démontrez que cette égalité est vraie pour tout
nombre x.
60 Des chemins différents ?
A L G O R IT
H M IQ U E
Comparez les programmes de calcul suivants.
P1 : x multiplier … soustraire 1 … élever … prendre la …
l
au carré
par 2
l
P2 : x
l
P3 : x
l
64
P4 : x
…
multiplier
par –2
soustraire
soustraire
1
2
1
2
…
…
ajouter 1
…
prendre la valeur
absolue
prendre la valeur
absolue
élever
au carré
…
racine carrée
…
…
multiplier
par 2
prendre la
racine carrée
…
…
multiplier
par 2
…
Reconnaissez-vous la fonction f ainsi définie ? Utilisez
une fonction déjà programmée dans le logiciel pour
simplifier l’écriture de cet algorithme.
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
A L G O R IT
H M IQ U E
Écrivez un programme définissant la fonction qui au
nombre x associe 8x2 + 1 si x est négatif et |1 – 2x| si
x est positif.
P
J
Note
En général, la fonction racine carrée se note sqrt (de square root, en
anglais) et la fonction valeur absolue, abs.
66 A et B sont deux points distincts appartenant à la
courbe représentant la fonction définie sur l’intervalle
[0 ; + ∞[ par f(x) = 1x.
J
A
a
B
B
–2
A
–1
O
M
x
I
L’objectif est de déterminer un encadrement de la
longueur du segment [AP] lorsque x ∈ [0 ; 3].
1. Utilisez les triangles PAB, PAM et PBM pour démontrer
que :
AP = 7x + 1.
I
2. Utilisez les variations de la fonction f définie sur [0 ; 3]
par f(x) = 7x + 1 pour résoudre le problème posé.
xi
69 Une personne est chargée de la surveillance d’un
domaine ayant la forme d’un carré d’un kilomètre de
côté.
b
1. Montrer que le milieu I du segment [AB] est situé
« en dessous » du point J de la courbe ayant la même
abscisse, c’est-à-dire que yI < yJ.
Aide
EXERCICES
65 Par morceaux
Si a ≠ b, alors (1a – 1b)2 > 0.
2. Exprimez (en terme de moyennes) la propriété ainsi
démontrée.
Avec
la calculatrice
67
On affiche sur l’écran de la calculatrice la partie obtenue
pour 0 < x < 5 de chacune des courbes des fonctions :
x x, x x + 1, x 8x2 + 1.
Le croquis ci-dessous représente le domaine ABCD, et le
point M indique la position du gardien lorsqu’il en fait
le tour.
D
C
1. Repérez chacune des fonctions.
2. Une des courbes semble « bloquée » entre les deux
autres. Par quel encadrement pouvez-vous traduire ce
phénomène ?
3. Cet encadrement est-il vérifié pour tout nombre x
positif ?
68 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), les points A, B
et M sont les points de l’axe (O ; I) d’abscisses respectives
–1, –2 et x (x 0).
Le demi-cercle de diamètre [BM] (dans le demi-plan
d’équation y > 0) coupe la droite d’équation x = –1 au
point P.
A
M
B
Le gardien part du point A et tourne dans le sens indiqué par la flèche.
Pour chaque position de M, on note x la distance parcourue depuis le départ de A.
À chaque instant, on note d la distance (en km) qui
sépare M, à vol d’oiseau, du sommet D.
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
65
EXERCICES
1. Conjecturez les variations de d en fonction de x et
notez-les dans le tableau suivant :
Sommet
A
B
C
D
A
x
0
1
2
3
4
d
1
…
…
0
1
2. Pour chaque côté du carré, donnez l’expression de d
en fonction de x.
Exemple : pour 3 < x < 4, d(x) = 3 – x.
3. Vérifiez l’exactitude de vos conjectures en étudiant
les variations de d.
ROC
Restitution organisée
de connaissances
71 Prérequis
Une fonction u est définie sur un intervalle I et pour tout
nombre x de I, u(x) > 0.
1
Les fonctions u et varient en sens contraire.
u
1. Démonstration
k est un nombre strictement positif, f est une fonction
strictement croissante sur un intervalle I, et pour tout
nombre x de I, f(x) 0.
1
est strictement
Prouvez que la fonction x
f(x) + k
décroissante sur l’intervalle I.
2. Application
Une fonction f définie sur l’intervalle I = [1 ; + ∞[ est
strictement croissante sur I et f(1) = 0.
Démontrez que, pour tout nombre x appartenant à
1
l’intervalle I, la fonction g : x
est définie sur I
f(x) + 1
et que pour tout nombre x de I, g(x) < 1.
Prendre toutes
les initiatives
Avec les tice
70 Conjecturer puis démontrer
Aide
Voir l’exercice 22 p. 58.
f est la fonction définie sur l’intervalle ]–2 ; + ∞[ par :
2x – 1
.
f(x) =
x+2
72 Précisez le sens de variation de la fonction f
définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :
1
f(x) = 1x – .
x
73 Le plan est rapporté à un repère orthonormé
d’origine O.
La courbe est la représentation graphique de la
fonction racine carrée.
1. Expérimenter avec GeoGebra ou la calculatrice
y
A
a) Construisez la courbe de la fonction f.
N
b) Conjecturez la valeur d’un nombre A tel que pour
tout nombre x de l’intervalle ]–2 ; + ∞[, f(x) < A.
c) Conjecturez les variations de la fonction f.
2. Démontrer
a) Vérifiez que pour tout nombre de l’intervalle ]–2 ; + ∞[,
5
f(x) = 2 –
.
x+2
b) Déduisez-en que pour tout nombre x appartenant à
l’intervalle ]–2 ; + ∞[, f(x) < 2.
c) Exploitez les résultats des questions précédentes
pour déterminer le sens de variation de la fonction f sur
l’intervalle ]–2 ; + ∞[.
66
1
O
M
P
1
x
A est un point de la courbe .
La perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par
le milieu M du segment [OA] coupe en un point N
et l’axe des abscisses en un point P.
PM
Prouvez que le rapport
est constant quelle que
PN
soit la position du point A sur la courbe .
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
74 Produit de fonctions monotones et positives
1. Démontrer
f et g sont deux fonctions positives sur un intervalle I, ce
qui signifie que pour tout nombre x appartenant à I, f(x)
et g(x) sont positifs.
On suppose de plus que les fonctions f et g sont croissantes sur l’intervalle I.
On note p la fonction « produit de f et g » définie sur I par :
p(x) = f(x) × g(x).
Prouvez que la fonction p est croissante sur l’intervalle I.
2. Conjecturer
Que pouvez-vous conjecturer sur le produit de deux
fonctions positives et décroissantes sur un intervalle I ?
Démontrez-le.
Exercice 26, page 61.
3. Applications
Trouvez le sens de variation de chacune des fonctions
suivantes sur l’intervalle I donné.
a) f(x) = x7x + 3 ; I = [1 ; + ∞[.
1
b) g(x) =
; I = ]0 ; + ∞[.
x(x + 1)
75 Sur le graphique ci-dessous sont représentées les
fonctions définies sur l’intervalle I = [0 ; 1] par : f(x) = 1x
et g(x) = x.
1
1
76 1. Vérifiez que la fonction définie par f(x) = x – x
est définie sur ]– ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[.
2. On s’intéresse, dans un repère orthonormé, à la
représentation de f pour les valeurs de x strictement
positives.
Justifiez que est toujours située en dessous de la
droite d d’équation y = x.
EXERCICES
Approfondissement
3. On note A le point de d’abscisse x et B celui de d
ayant la même abscisse x.
1
Justifiez que la longueur AB est égale à .
x
1
La fonction x
est strictement décroissante sur
x
]0 ; + ∞[. Que pouvez-vous en déduire pour la courbe ?
4. Tracez la droite d puis la courbe , pour x > 0.
77 À l’intérieur ?
A L G O R IT
H M IQ U E
Les courbes représentatives des fonctions f et g sont
définies sur ]0 ; + ∞[ par :
x–2
f(x) = x2 – 5x + 4 et g(x) =
.
x
Elles déterminent une région du plan colorée en
orange sur la figure ci-dessous.
1
O
y
1
x
B
A
O
x
1
A et B sont des points des deux courbes ayant la même
abscisse x.
L’objectif est de déterminer la longueur maximale du
segment [AB] lorsque x parcourt l’intervalle [0 ; 1].
1. Après avoir associé à chaque courbe sa fonction,
exprimez la longueur AB en fonction de x.
2. On note g la fonction définie sur I par :
g : x AB.
Par des considérations graphiques, établissez le tableau
de variation de la fonction g.
3. Vérifiez que pour tout x de l’intervalle I :
1
1
1
g(x) < et que g
= .
4
4
4
1 2
Aide
1 2
2
1
Développez — – 1x .
2
4. Concluez.
1. Attribuez à chaque fonction sa courbe.
2. Écrivez un algorithme qui permet de préciser si
un point défini par ses coordonnées appartient à la
partie colorée (frontière comprise).
3. Réalisez le programme et testez-le en choisissant
des points pour lesquels une simple lecture du
graphique ne suffit pas (exemple : A(1,2 ; –0,5)).
78 Distance d’un point à une droite
Dans un repère orthonormé, on considère les points
A(0 ; 1) et M(x ; y). M est un point de la droite d d’équation
y = x – 4.
L’objectif est d’étudier les variations de la distance
AM lorsque M parcourt la droite d, et en particulier de
déterminer la distance AM minimale.
1. a) Exprimez la distance AM en fonction des coordonnées x et y de M.
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
67
EXERCICES
b) Justifiez ensuite que AM = 02x2 – 10x + 25.
y
2. À chaque nombre réel x correspond un unique
point M de la droite d et réciproquement, chaque point
de d est associé un unique réel x.
L’objectif est donc maintenant d’étudier les variations
de la fonction :
f : x 02x2 – 10x + 25.
1
O
x
1
a) Justifiez que f(x) existe quel que soit le nombre x.
b) Établissez le tableau de variation de la fonction u
définie sur par :
u : x 2x2 – 10x + 25.
c) Énoncez le théorème qui vous permet de déduire des
variations de u celles de f.
d) Déduisez-en la valeur minimale de la distance AM.
Remarque
Cette valeur est, par définition, la distance du point A à la droite d (voir
exercice 95, page 236 du chapitre 9).
79 Représentation de | f |
Reproduisez le dessin. En vous inspirant de l’exercice 79 ,
construisez la représentation de la fonction g définie
sur I par g(x) = |f(x)|.
83 1. Étudiez les variations de la fonction f définie
sur par f(x) = 2x2 + 2x – 4.
2. Étudiez le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
3. Représentez la fonction f et déduisez-en la représentation de la fonction g définie pour tout nombre x par
g(x) = |2x2 + 2x – 4|.
84 Démontrer une équivalence
LOGIQUE
1. Dans un repère orthonormé, représentez la fonction
affine f définie sur par :
f(x) = 2x – 4.
Deux propositions (P) et (Q) sont équivalentes
lorsque (P) implique (Q) et (Q) implique (P).
a et b sont deux nombres réels.
2. On note g la fonction définie sur I par g(x) = |f(x)|.
1. a) Pourquoi l’égalité 1a = b implique-t-elle b 0
et a = b2 ?
a) Justifiez que g(x) =
2x – 4 si x 2
5 –2x + 4 si x < 2.
b) Indiquez un moyen de placer le point de coordonnées
(x, g(x)), lorsque :
l x ∈ ]– ∞ ; 2] ;
l x ∈ [2 ; + ∞[.
c) Construisez la représentation de la fonction g définie
sur par g(x) = |2x – 4|.
80 1. Dans un repère orthonormé, représentez la
fonction trinôme f définie sur par f(x) = x2 – 3.
2. En vous inspirant de l’exercice précédent, construisez
la représentation de la fonction g définie sur par :
g(x) = |x2 – 3|.
81 Donnez une expression « simple » de la fonction h
représentée ci-dessous :
y
b) Pourquoi, réciproquement, les conditions b 0 et
a = b2 impliquent-elles 1a = b ?
c) Énoncez l’équivalence ainsi démontrée.
2. Démontrez l’équivalence :
(1a < 1b) ⇔ (0 < a et a < b).
3. Donnez une proposition équivalente à :
1a < b.
Pour les exercices 85 à 91
Résolvez dans l’équation ou l’inéquation proposée
(en utilisant les résultats de l’exercice 84 ) et vérifiez
à l’aide de la calculatrice graphique.
85 6x – 1 = 3 – x.
86 7x + 7 = x + 1.
87 t + 81 – 2t = 2.
88 71 – u = u – 1.
89 1x 82x – 1.
90 82x + 1 < 1 +
x
.
3
91 4 + 76 – x < x.
92 1. Représentez les fonctions f et g définies par :
1
O
f(x) = 82x – 1
1
x
82 La courbe ci-après représente, dans un repère
orthonormé, une fonction f définie sur l’intervalle
I = [–4 ; 4].
68
et
g(x) = x.
2. Graphiquement quelles sont les solutions de l’équation 82x – 1 = x ?
3. L’écran de la calculatrice ou du grapheur n’étant
qu’une fenêtre, vérifiez par le calcul l’exactitude de
votre conjecture.
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
EXERCICES
93 f est la fonction définie sur l’intervalle [–1 ; + ∞[
par f(x) = 81 + x. On a construit ci-dessous la courbe f
représentative de f.
y
f
1
O
x
1
1. a) Sur l’intervalle [–1 ; + ∞[, comparez les nombres 61 + x
x
et 1 + .
2
b) Pour quelle valeur de x obtient-on :
x
71 + x = 1 + ?
2
2. a) Représentez sur le même graphique f et la droite d
x
d’équation y = 1 + .
2
b) Déduisez de la question 1. la position de la droite d
par rapport à la courbe f .
94 Les segments [AB] et [CD], de longueur 6, sont
perpendiculaires en A, avec AD = 2.
M et N sont variables respectivement sur [AB] et [CD]
tels que AM = CN = x, 0 < x < 6.
C
4 N
P
1. Construire avec GeoGebra
Créez le demi-cercle de diamètre [AB], et le point M.
Créez la parallèle à l’axe des abscisses passant par M puis
le point N. Créez le périmètre p, somme des mesures
des côtés affichées dans la fenêtre Algèbre.
2. Conjecturer
Déplacez le point M sur le demi-cercle (l’abscisse x de M
restant positive). Pour quelle(s) valeur(s) de x le périmètre
semble-t-il maximum. Quelle est alors sa valeur ?
3. Démontrer
Dans cette partie, on envisage de résoudre algébriquement le problème suivant :
Pour quelles valeurs de x le périmètre est-il égal à 5 ?
a) Démontrez que le point M a pour ordonnée 81 – x2.
l Déduisez-en que :
AM = 92(1 – x) et que P(x) = 2 + 2x + 292(1 – x).
l Vérifiez que répondre à la question posée revient à
3
résoudre dans [0 ; 1] l’équation : 92(1 – x) = – x. (E)
2
b) Cette équation est dite irrationnelle parce qu’il y
figure un radical que l’on ne peut pas simplifier.
l L’équation (E), de la forme 1a = b, n’a de sens que si
a et b sont positifs. Vérifiez que pour x ∈ [0 ; 1], les
conditions sont respectées.
Exercice 84, Logique, page 68.
A
x
M
6
B
2
l Expliquez pourquoi, ces conditions étant remplies,
résoudre l’équation (E) revient à résoudre l’équation (E’) :
2
3
–x .
2(1 – x) =
2
c) Résolvez l’équation (E’) puis répondez à la question
posée au début de cette partie 3.
1
D
a) Exprimez en fonction de x l’aire f(x) du rectangle
AMPN (vous distinguerez deux cas suivant la place de N
par rapport à A).
b) Représentez graphiquement la fonction f.
c) Utilisez le graphique pour déterminer les valeurs de x
pour lesquelles l’aire du rectangle est supérieure à 3.
95 Résoudre une équation irrationnelle TICE
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Par un point M (d’abscisse positive) du demi-cercle de
centre O, de rayon 1 et de diamètre [AB], on trace la
parallèle (MN) à l’axe des abscisses.On note x l’abscisse
du point M(0 < x < 1) et on s’intéresse aux variations
du périmètre p du trapèze isocèle AMNB en fonction de
l’abscisse x du point M.
2
Prendre toutes
les initiatives
96 (O ; I, J) est un repère orthonormé. Déterminez
les points M(x ; y) du plan tels que |x| + |y| = 1.
97 (O ; I, J) est un repère orthonormé. A a pour
coordonnées (0 ; 2) et B(1 ; 0).
Déterminez tous les points C de l’axe des abscisses
tels que le triangle ABC soit isocèle.
98 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé,
17
coupe-t-il la
le cercle de centre A(2 ; 0) et de rayon
2
courbe d’équation y = 1x ?
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
69
EXERCICES
Travail en autonomie
L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes
de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme,
en utilisant si besoin les coups de pouce
page 381.
A Variations de f et 1f
D Des courbes symétriques
f est la fonction définie sur par :
f(x) = x2 – 2x + 3.
1. Dressez le tableau de variation de f.
2. a) Pourquoi la fonction g : x 4f(x) est-elle définie
pour tout nombre de ? 1
b) Dressez le tableau de variation de g.
La courbe ci-dessous est la représentation graphique,
dans un repère orthonormé, de la fonction f définie
sur par :
1
3
f(x) = x3 + x2.
2
2
y
2
c) Si x appartient à l’intervalle [0 ; 2], à quel intervalle
appartient g(x) ?
B Des fonctions associées
1
O
3
La courbe ci-dessous est la représentation graphique,
dans un repère orthonormé, de la fonction f définie sur
l’intervalle I = ]– ∞ ; 3] par :
f(x) = –x3 + 3x2.
y
x
1
1. a) Construisez la courbe 1 , symétrique de par rapport à l’axe des ordonnées, et la courbe 2 , symétrique
de par rapport à l’axe des abscisses.
b) 1 est la courbe représentative d’une fonction f1 et
2 celle d’une fonction f2.
Exprimez f1(x) et f2(x), et dressez le tableau de variation
des fonctions f1 et f2.
1
O
5
2. a) Construisez la courbe 3 représentative de la fonction g définie par g(x) = |f(x)|.
x
1
1. Dressez le tableau de variation de f.
b) Donnez le tableau de variation de g.
2. Déduisez-en le tableau de variation de chacune des
fonctions g, h et k définies par :
l g(x) = f(x) + 4 ; l h(x) = –f(x) ; l k(x) = 4f(x).
C Autour d’une fonction affine par morceaux
E Un problème de distance
Dans un repère orthonormé d’origine O, un point M
décrit la droite d d’équation y = x + 2.
4
y
La courbe ci-dessous est la représentation graphique
dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie sur
l’intervalle I = [–1 ; 2].
y
d
1
6
M
1
O
x
1
–1
1
O
2
x
–1
Dans des repères orthonormés différents, tracez les
représentations graphiques des fonctions g, h et k définies sur l’intervalle I par :
l g(x) = –f(x) ; l h(x) = |f(x)| ; l k(x) = f(x) + 1.
70
1. Démontrez que OM = 02x2 + 4x + 4.
2. a) Pourquoi la fonction f : x 0x2 + 2x + 2 est-elle
définie pour tout nombre de ? 7
b) Dressez le tableau de variation de f.
3. a) Déduisez-en que OM 12.
8
b) Retrouvez géométriquement ce résultat.
Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
9
CHAPITRE
Dérivation
D’un siècle
à un autre
Les infographistes et les web designers
connaissent bien les courbes de Bézier :
ils les manipulent à longueur de journée.
Elles furent mises au point en 1962 par l’ingénieur
français Pierre Bézier. Ces courbes sont construites
par morceaux et leur raccordement continu est réalisé
grâce à des calculs de dérivées.
Cette notion de dérivée a vu le jour au xviie siècle
dans les écrits de Leibniz et de Newton,
qui s’en disputèrent la paternité.
En savoir plus sur
Gottfried Leibniz
Chercheurs d’hier p. 81
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Rappels
& Questions-tests
Équations de droites
Dans un repère, toute
droite non parallèle
à l’axe des ordonnées a
une équation de la forme :
y = mx + p.
m est le coefficient
directeur de la droite
et p l’ordonnée à l’origine.
Suivant le signe de m,
on distingue trois cas :
l
2
m=0
l
m<0
3
p
m=
p
1
p
m>0
l
1 Par lecture graphique, donnez une équation
m>0
y
de chacune des droites d1, d2, d3.
y
1
m=0
O
O
x
1
m = –2
1
d2
d1
2
3
–2
m<0
1 d3
x
2 Dans un même repère, tracez les droites ∆1, ∆2, ∆3
et ∆4 qui passent par le point A(2 ; 3) et de coefficients
1
2
directeurs respectifs –2, – , 0, .
2
3
Appartenance d’un point à une droite
y = mx + p est une équation de la droite d.
3 d est la droite d’équation y = –2x + 3.
Si le point A(α ; b) appartient à d, alors b = mα + p. Parmi les points suivants, lesquels appartiennent à d ?
1
1
l A – l B(0,6 ; 1,8)
lC
; 4 ; 2,34
l Si b = mα + p, alors le point A(α ; b) appartient à d.
2
3
y
d
4 A est le point de coordonnées (–4 ; 7).
y = mx + p
Parmi les droites suivantes, lesquelles passent par A ?
β = mα + p
x
A (α ; β)
ld :y=
+ 8 l d2 : y = –2x + 5 l d3 : 3x + 2y – 2 = 0.
1
4
5 Dans les deux cas suivants, le point A(3 ; –2)
appartient à la droite d.
a) d a pour équation y = –4x + p. Calculez p.
x
α
O
b) d a pour équation y = mx + 6. Calculez m.
l
2
2
6 Les points A(a ; –4) et B(1 ; b) appartiennent
à la droite d’équation y = 4x + 7. Calculez a et b.
Coefficient directeur
A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points (xA ≠ xB).
La droite (AB) a pour coefficient directeur :
y –y
m= B A.
xB – xA
Exemple : A(2 ; 3) et B(–1 ; 4). On a xA ≠ xB.
La droite (AB) a pour coefficient directeur :
4–3
1
m=
= – .
–1 – 2
3
La droite admet donc une équation de la forme :
1
y = – x + p.
3
1
Elle passe par A, donc yA = – xA + p.
3
1
2 11
Soit 3 = – × 2 + p d’où p = 3 + =
.
3
3
3
1
11
.
La droite (AB) a pour équation y = – x +
3
3
72
7 La droite d passe par le point M(12 ; –9) et a pour
coefficient directeur –6.
Déterminez une équation de cette droite.
8 Dans chaque cas, déterminez une équation
de la droite (AB).
a) A(–3 ; –4) et B(3 ; 2).
b) A(0 ; –2) et B(–8 ; 5).
1
c) A ; 5 et B(3 ; 5).
2
2
Voir les corrigés p. 363
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
ACTIVITÉS
Activité
Notion de tangente à une courbe
TICE
Intéressons-nous au cas de la parabole d’équation y = 2x2 – x + 3 au point A(1 ; 4).
1 a) Ouvrez une feuille de travail GeoGebra.
Paramétrez les axes comme indiqué ci-contre.
b) Créez la parabole.
c) Créez le point A.
d) Créez ensuite un point mobile, sur la parabole , distinct de A.
Aide
Sélectionnez l’icône, puis cliquez sur la parabole .
Renommez ce point M puis créez la droite (AM).
Cette droite est dite sécante à la parabole .
2 a) Dans la fenêtre Algèbre, faites afficher
l’équation réduite de la droite (AM).
Aide
Un clic droit sur l’équation de la droite (AM) permet de
sélectionner son équation réduite.
b) Déplacez le point M et observez le coefficient
directeur de (AM) lorsque M se rapproche de A.
De quelle valeur ce coefficient directeur semble-t-il « s’approcher » ? On note m cette valeur.
3 a) Déterminez une équation de la droite d passant par le point A et de coefficient directeur m.
b) Créez cette droite en notant son équation dans la zone de saisie.
c) Quelle propriété pouvez-vous attribuer à cette droite ?
4 a) Faites disparaître la droite d en utilisant
.
b) Créez la tangente en A à la courbe. Quel est son coefficient directeur ?
Ce résultat vous conforte-t-il dans votre conjecture ?
outil 6
Aide
Sélectionnez l’icône,
, cliquez sur A puis sur .
5 Recommencez l’activité en prenant un point de votre choix, autre que A, sur la parabole.
Pour une parabole, intuitivement, lorsque M « se rapproche »
de A, la sécante (AM) « se rapproche » de la tangente en A.
Problème ouvert
Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?
1
La trajectoire d’un mobile est portée par la courbe d’équation y = 1 +
t
avec t > 0. Il quitte sa trajectoire tangentiellement en P(1 ; 2).
À quel endroit touchera-t-il le sol, représenté par l’axe (O ; t) ?
y
2
1
O
P
1
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
t
73
COURS
1
Nombre dérivé et tangente
1.1 Taux d’accroissement
Définition
1 La fonction f est définie sur un intervalle I et α est un nombre de I.
À tout nombre h non nul, tel que (α + h) appartient à I, on peut associer le nombre
appelé taux d’accroissement de f entre α et (α + h).
f(α + h) – f(α)
h
Exemple et interprétation graphique. f est la fonction définie sur par f(x) = x2.
h désigne un nombre quelconque, non nul.
l
y
Le taux d’accroissement de f entre 1 et (1 + h) est égal à :
f(1 + h) – f(1)
(1 + h)2 – 12
=
h
h
1 + 2h + h2 – 1
=
h
h(2 + h)
=
h
= 2 + h.
A et M sont les points de la courbe représentative de f
d’abscisses respectives 1 et (1 + h).
M
f(1 + h)
f(1 + h) – f(1)
A
f(1)
h
l
1 1+h
O
x
Le taux d’accroissement de f entre 1 et (1 + h) est le coefficient directeur de la droite (AM) :
yM – yA f(1 + h) – f(1) f(1 + h) – f(1)
=
=
.
xM – xA
(1 + h) – 1
h
1.2 Nombre dérivé
Dans l’exemple précédent, lorsque h prend des valeurs de plus en plus proches de 0, les nombres
(2 + h) « s’accumulent » autour de 2.
On dit alors que la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0 est 2 et on écrit :
lim (2 + h) = 2.
h→0
On dit aussi que le taux d’accroissement tend vers 2 lorsque h tend vers 0.
On s’intéresse donc au problème suivant :
« Pour une fonction f donnée, le taux d’accroissement de f entre α et (α + h) a-t-il une limite lorsque h
tend vers 0 ? »
Définition
2 f est une fonction définie sur un intervalle I. Les nombres α et (α + h) appartiennent à I.
Dire que f est dérivable en α signifie que le taux d’accroissement
nombre L lorsque h tend vers 0.
f(α + h) – f(α)
tend vers un
h
Ce nombre L est appelé nombre dérivé de f en α. Il est noté f’(α).
f(α + h) – f(α)
f’(α) = lim = L.
h→0
h
Exemple. La fonction f : x x2 vue précédemment est telle que
est dérivable en 1 et f’(1) = 2.
74
lim h→0
f(1 + h) – f(1)
= 2, donc f
h
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
COURS
1.3 Tangente à une courbe
A et M sont deux points de la courbe représentative d’une
fonction f dérivable en α.
Le fait que le nombre h tende vers zéro se traduit graphiquement par le fait que le point M se « rapproche » du point A.
y
Les sécantes (AM) ont pour position limite la droite passant
par A et de coefficient f’(α).
Cette droite correspond à l’idée intuitive que l’on se fait d’une
tangente à une courbe.
Définition
M
f(_ + h)
f(_ + h) – f(_)
A
f(_)
h
O
x
_+ h
_
3 f est une fonction définie sur un intervalle I. #f est sa courbe représentative. α est un nombre de
l’intervalle I. f est dérivable en α.
La droite qui passe par A(α ; f(α)) et de coefficient directeur f’(α) est la tangente à #f au point A.
Équation de la tangente à une courbe en un point
y
Une équation de la tangente à f au point A(α ; f(α)) est :
y = f’(α)(x – α) + f(α)
En effet, cette tangente a pour coefficient directeur f’(α), elle a
donc une équation du type y = f’(α) × x + p. Comme elle passe
par A, alors f(α) = f’(α) × α + p, donc p = f(α) – f’(α) × α. Ainsi cette
tangente a pour équation y = f’(α) × x + f(α) – f’(α) × α soit :
y = f’(α) × (x – α) + f(α).
f(_)
O
A
1
f’(_)
x
_
Exemple. Dans l’exemple du paragraphe 1.1, la tangente à la parabole d’équation y = x2 au
point A(1 ; 1) a pour équation :
y = 2(x – 1) + 1 soit y = 2x – 1.
2
Fonctions dérivées
2.1 Fonction dérivée
Définition
4 f est une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout nombre x de I.
Alors la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé f’(x) est appelée la fonction dérivée
de f. On la note f’.
2.2 Dérivées de fonctions usuelles
Pour les démonstrations de ce paragraphe, on calcule le taux d’accroissement
puis on détermine sa limite lorsque h tend vers 0.
Théorème
f(α + h) – f(α)
,
h
1 Toute fonction affine f définie par f(x) = mx + p est dérivable sur .
Sa fonction dérivée est définie sur par f’(x) = m.
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
75
COURS
Démonstration. Quels que soient les nombres α et h (h ≠ 0) :
f(α + h) – f(α) m(α + h) + p – mα – p mh
=
=
= m.
h
h
h
Ainsi, le taux d’accroissement lorsque h tend vers 0, a pour limite m.
Quel que soit le nombre α, f est dérivable en α et f’(α) = m : la fonction dérivée est définie sur
par f’(x) = m (fonction constante).
Exemples. Lorsque m = 1 et p = 0, f(x) = x et f’(x) = 1. Lorsque m = 0, f(x) = p et f’(x) = 0. Ainsi,
toute fonction constante sur a pour dérivée la fonction nulle.
Théorème
2 Toute fonction trinôme f définie sur par f(x) = ax2 + bx + c est dérivable sur .
Sa fonction dérivée est définie par f’(x) = 2ax + b.
Idée de la démonstration.
f(α + h) – f(α) a(α + h)2 + b(α + h) + c – aα2 – bα – c
=
h
h
aα2 + 2aαh + ah2 + bα + bh + c – aα2 – bα – c ah2 + 2aαh + bh
=
= ah + 2aα + b.
=
h
h
Le taux d’accroissement est égal à ah + 2aα + b. Lorsque h tend vers 0, ce taux d’accroissement
a pour limite 2aα + b.
Quels que soient α et h (h ≠ 0),
Ainsi, quel que soit le nombre α, f est dérivable en α et f’(α) = 2aα + b.
La fonction dérivée est définie sur par f’(x) = 2ax + b.
Théorème
3 Pour tout entier naturel non nul n, la fonction f définie sur par f(x) = xn est dérivable sur .
Sa fonction dérivée est définie sur par f’(x) = nx n–1.
Admis
Théorème
4
1
La fonction inverse f définie sur – {0} par f(x) =
est dérivable sur chacun des intervalles
x
]– ∞ ; 0[ et ]0 ; + ∞[.
1
Sa fonction dérivée est définie sur chacun de ces intervalles par f’(x) = – 2 .
x
Idée de la démonstration. Quels que soient les nombres α > 0 et h tels que α + h > 0,
1
1
–h
–
f(α + h) – f(α)
1
α+h α
α(α + h)
=
.
=
= – h
h
h
α(α + h)
1
Lorsque h tend vers 0, le taux d’accroissement a pour limite – 2 . Ainsi, quel que soit le nombre
α
1
α > 0, f est dérivable en α et f’(α) = – 2 . On obtient le même résultat lorsque α < 0.
α
1
La fonction dérivée est définie sur chacun des intervalles ]– ∞ ; 0[ et ]0 ; + ∞[ par f’(x) = – 2 .
x
Théorème
5 La fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = 1x est dérivable sur l’intervalle ouvert ]0 ; + ∞[.
Sa fonction dérivée est définie sur ]0 ; + ∞[ par f’(x) =
Attention
La fonction f
n’est pas dérivable
en zéro.
76
1
.
21x
Idée de la démonstration. Quels que soient les nombres α > 0 et h tels que α + h > 0,
α+h–α
1
8α + h – 1α2 8α + h + 1α2
8α + h – 1α
f(α + h) – f(α)
=
=
.
=
=
h
h
h8α + h + 1α2
8α + h + 1α
h8α + h + 1α2
1
Lorsque h tend vers 0, le taux d’accroissement a pour limite
.
21α
1
Ainsi, quel que soit le nombre α > 0, f est dérivable en α et f’(α) =
.
21α
1
.
La fonction dérivée est définie sur ]0 ; + ∞[ par f’(x) =
21x
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Objectif
1
Associer tangente et nombre dérivé
Si f est une fonction dérivable en α, sa courbe
représentative admet au point A(α ; f(α)) une
tangente T de coefficient directeur f’(α).
y
1
1
_
O
Exercice résolu A
T
f’(_)
A
f(_)
1
EXERCICES
Application
x
Exploiter graphiquement le nombre dérivé
La courbe ci-contre représente une fonction f
dérivable pour tout nombre a. En chacun des points A,
B et C la courbe admet une tangente.
Déterminez graphiquement les nombres suivants :
l f(0) l f(3) l f(–2) l f’(0) l f’(3) l f’(–2).
Méthode
7
y
F
–2
E 3
1
B
A
O
1
–2
C
3
5
x
Solution
l On lit sur la figure les ordonnées
des points A, B et C.
l On lit les coefficients
directeurs des tangentes
+1
–2
directement sur la figure.
E
B
O
l On peut aussi déterminer, par exemple,
le coefficient directeur f’(3) de la droite (CF)
par le calcul.
On peut, de la même façon, déterminer
le coefficient directeur f’(0) de la droite (BE).
Graphiquement, on lit :
f(0) = 1 ; f(3) = 2 ; f(–2) = –2.
l Graphiquement, on lit :
5
f’(0) = –2 ; f’(3) = .
2
La tangente à en A est horizontale donc
son coefficient directeur est nul. f’(–2) = 0.
l
La tangente à en C(3 ; 2) passe par
le point F(5 ; 7).
7–2
5
=
Son coefficient directeur est m =
5
–
3
2
5
donc f’(3) = .
2
l
Mise en pratique
Pour les exercices
1 à 3 Les fonctions étudiées sont dérivables pour tout nombre de .
1 La courbe cicontre est celle d’une
fonction f.
Utilisez le quadrillage pour donner le
nombre dérivé associé à la tangente en A
et en B.
y
B
1
A
O
1
x
3 est la courbe représentative d’une fonction f.
On donne :
l f(0) = 2
l f(4) = 5
l f(7) = 3
l f(10) = 5
l f’(0) = 1
l f’(4) = 0
l f’(7) = 0
l f’(10) = 2
1. a) Placez les points A, B, C et D d’abscisses
respectives 0 ; 4 ; 7 ; 10.
b) Tracez les tangentes à la courbe en ces
2 La courbe représentative d’une fonction f points.
passe par le point A(2 ; 3). La tangente à la courbe 2. Dessinez une allure possible de dans l’interen A passe par le point B(4 ; –1). Calculez f’(2).
valle [0 ; 10].
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
77
EXERCICES
Objectif
2
Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé
Les dérivées des fonctions usuelles sont à connaître. Voir théorèmes 2 à 5.
f est une fonction dérivable sur un intervalle I. a est un nombre de I. La tangente à la courbe
représentative de f, au point A de coordonnées (a ; f(a)), admet pour équation :
y = f’(a)(x – a) + f(a).
l
l
Exercice résolu B
Tangente en un point d’une courbe
La courbe ci-contre est la courbe représentative de la fonction f définie sur
1
par f(x) = – x2 + 2x + 3.
2
Le point A d’abscisse 4 est un point de .
y
5
A
3
1. Exprimez f’(x).
2. Calculez f’(4) et tracez la tangente T à en A.
1
3. Déterminez une équation de T.
O
x
1 2
4
Solution
Méthode
1. On exprime la dérivée de la fonction
trinôme en appliquant le théorème 2.
1. f’(x) = – 2. l On calcule f’(4).
l La tangente en A a pour coefficient
directeur –2. D’où sa construction.
1
× 2x + 2 = –x + 2.
2
2. l f’(4) = –4 + 2 = –2.
y
l
d
5
3
A
1
–2
1
O
3. l On applique la formule
y = f’(a)(x – a) + f(a).
l On calcule f(4).
1 2
4
x
3. l La tangente en A à la courbe
a pour équation y = f’(4)(x – 4) + f(4).
l f(4) = –8 + 8 + 3 = 3. La tangente en A
a donc pour équation :
y = –2(x – 4) + 3, soit y = –2x + 11.
Mise en pratique
4 f est la fonction définie sur ]– ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[
6 f est la fonction
définie sur par f(x) = x3
et est sa courbe représentative.
A et B sont les points de
d’abscisses respectives
1 et –1.
1. Calculez f’(1) et f’(–1).
5 f est la fonction définie sur [0 ; + ∞[
2. Tracez les tangentes
par f(x) = 1x. est sa courbe représentative.
en A et B à .
1. a) Calculez f’(1) et f’(4).
3. a) Quelle conjecture
b) Tracez la tangente à aux points A et B faites-vous concernant
d’abscisses respectives 1 et 4.
ces tangentes ?
b) Prouvez-le.
2. Déterminez une équation de ces tangentes.
1
par f(x) = . est sa courbe représentative.
x
1
1. a) Calculez f’(1) et f’ – .
2
b) Tracez la tangente à la courbe aux points A
1
et B d’abscisses respectives 1 et – .
2
2. Déterminez une équation de ces tangentes.
y
1
78
A
1
–1
B
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
O
1
–1
x
Po u r
7
Questions sur le cours
Complétez les propositions suivantes.
1. f est une fonction définie et dérivable sur un
intervalle I. a et (a + h) sont deux nombres de I,
(h ≠ 0).
f(a + h) – f(a)
s’appelle ……
a) Le nombre
h
f(a + h) – f(a)
b) Si
tend vers L lorsque h tend
h
vers 0, alors L s’appelle ……
2. A est le point d’abscisse a de la courbe représentative de f.
a) f(a) est …… du point A.
b) f’(a) s’appelle ……
c) L’équation de la tangente en A à est ……
9
QCM
8
EXERCICES
se tester
Vrai ou faux
Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ?
Justifiez votre réponse.
a) Si g est la fonction définie sur par g(x) = 2x + 5,
alors g’(x) = 7.
b) Si g est une fonction dérivable en 3, alors sa
courbe admet une tangente au point d’abscisse 3.
c) f est la fonction définie sur par f(x) = 3x2, alors
f’(2) = 12.
d) La fonction f est définie sur par f(x) = x13. Pour
x
.
tout nombre x, f’(x) =
213
e) f est définie pour tout nombre x non nul par
1
f(x) = . La tangente au point A d’abscisse 2 à la
x
1
courbe représentant f a pour équation y = – x + 1.
4
Une seule réponse exacte
Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse.
1. f est la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + 2x + 4.
a) f’(x) = 6x + 6. b) f’(x) = 6x + 4. c) f’(x) = 6x + 2.
2. est la courbe représentative de la fonction
« carré ». La tangente au point d’abscisse –3 a pour
équation :
a) y = –6x – 27. b) y = –6x – 9. c) y = 9x + 3.
3. f est la fonction définie sur par f(x) = –x2 + x + 1.
Le taux d’accroissement de f entre 1 et 1 + h est :
1
b) –1 – h.
c) –2 – h – .
a) –h2 – h.
h
4. est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = 1x. La tangente à au point
d’abscisse 16 a pour équation :
1
1
1
a) y = x.
b) y = x – 2. c) y = x + 2.
4
8
8
10 QCM Au moins une réponse exacte
Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.
1. représente une fonction
y dérivable pour tout a de .
On a tracé en A et E les tan1E
gentes à .
A
On peut affirmer que :
x
O 1
a) f(0) = 1 et f’(0) = –1.
b) f(1) = 0 et f’(1) = –1.
c) f(1) = 1 et f’(1) = –1.
d) f(1) = 1 et f’(1) = 2.
1
2. f est la fonction définie sur par f(x) = x2 – 2x + 3.
2
est sa courbe représentative.
a) La tangente à au point d’abscisse 4 passe par le
point A(–3 ; 5).
b) Il existe un seul point de en lequel la tangente a
pour coefficient directeur 1.
c) La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation
y = –2x + 3.
y d
3. f est une fonction trinôme.
5
La courbe représentative
passe par les points A et B. La
droite d est tangente en A
A 2
B
à .
a) f(x) = –x2 + x + 4.
1
O
b) La tangente en B a pour
x
–1
1
équation y = –3x + 8.
1
c) La tangente au point d’abscisse est horizontale.
2
Voir les corrigés p. 366
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
79
EXERCICES
Apprendre à chercher
11 Tangentes à une courbe passant par un point
Dans un repère orthonormé (O ; I, J), est la courbe
représentative de la fonction f définie sur – {0} par
1
f(x) = . A est le point de coordonnées (1 ; –1).
x
Objectif Déterminez, si elles existent, les tangentes
à passant par A.
1. Réaliser une figure aide à bien visualiser la situation.
a) Tracez l’hyperbole et placez le point A.
activités de recherche
b) Conjecturez le nombre de tangentes passant par A.
2. Cela revient à trouver les points de en lesquels la
tangente à passe par A. Pour connaître un point de
il suffit de connaître son abscisse. On choisit donc pour
inconnue l’abscisse m (non nulle) d’un point M de .
Deux droites d’équations respectives y = mx + p et y = m’x + p’ sont
confondues si et seulement si m = m’ et p = p’.
a) Trouvez une équation de Ta, puis une équation de Tb.
b) Déduisez-en que les droites « Ta et Tb sont confondues » équivaut à « Il existe des nombres a et b tels que
1
2
2a = – 2 et –a2 = ».
b
b
c) Calculez a et b et concluez.
Aide
(–2) est le seul nombre dont le cube est (–8).
13 Position d’une courbe et d’une tangente en
l’un de ses points
Dans un repère, on a tracé la courbe représentative de
la fonction f définie sur par f(x) = x3 et T la tangente à
au point A d’abscisse 1.
a) Trouvez, en fonction de m, une équation de la tangente Tm en M à .
y b) Démontrez que « La tangente en M passe par A »
équivaut à « m2 + 2m – 1 = 0 ».
T
1 A
c) Résolvez cette équation. Combien trouvez-vous de
tangentes Tm ? Concluez en plaçant sur les points
trouvés et en traçant les tangentes.
O
1
x
12 Tangentes communes à deux courbes
Dans un repère (O ; I, J), 3 et sont les courbes représentatives des fonctions f et g définies respectivement
1
par f(x) = x2 et g(x) = , (x ≠ 0).
x
Objectif Trouver les tangentes communes à ces
deux courbes.
1. Une tangente commune à deux courbes * et 3 est
une droite tangente à la fois en A à 3 et en B à .
A priori les points A et B sont distincts.
Pour se faire une idée et suivre le raisonnement, on peut
faire une figure.
a) Construisez 3 et dans le repère (O ; I, J).
b) Essayez de construire une tangente commune.
Semble-t-il y en avoir une seule ? plusieurs ?
2. A est un point de 3 d’abscisse a et B un point de
d’abscisse b (b ≠ 0). L’idée est d’écrire :
l une équation T de la tangente en A à 3 ;
a
l une équation T de la tangente en B à .
b
On voit ensuite s’il est possible de choisir a et b de façon
que Ta et Tb soient confondues.
80
Aide
Objectif Étudier les positions relatives de et T.
1. Notons g la fonction affine dont la représentation
graphique est T. Dire que « est au-dessus de T »
équivaut à dire que « f(x) > g(x) » ou « f(x) – g(x) > 0 ».
Ainsi, étudier les positions relatives de et T revient à
étudier le signe de f(x) – g(x).
a) Trouvez une équation de la droite T.
b) Démontrez que :
« f(x) – g(x) > 0 » équivaut à « x3 – 3x + 2 > 0 ».
2. Il reste à résoudre cette inéquation de degré 3. Pour
résoudre une telle inéquation, on factorise l’expression
puis on étudie son signe dans un tableau.
a) Vérifiez que pour tout nombre x,
x3 – 3x + 2 = (x – 1)(x2 + x – 2).
b) À l’aide d’un tableau, donnez le signe de ce produit.
c) Déduisez-en la résolution de l’inéquation x3 – 3x + 2 > 0.
d) Concluez.
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous
devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas
permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé
de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.
y
15 Circuit automobile
La figure ci-contre est le
profil d’une voûte d’ogive
constituée par deux arcs
de parabole parfaitement
C
K
symétriques.
l AB = 12 m.
l OH = 4 m.
J
l OK = 7 m.
x
La tangente en C à la
A H
O I
B
voûte a un coefficient
directeur égal à 3. Dans
le repère orthonormé indiqué, l’équation du demi-profil
gauche est :
y = ax2 + bx + c.
Quelle est la hauteur totale de la voûte ?
Eux aussi,avant
erché
ils ont chro
de t uver !
Archimède
Chap. 5
– 200
800
ANTIQUITÉ
MOYEN ÂGE
y
La figure ci-contre est
B
une partie d’un plan qui
représente un circuit
automobile (en rouge).
Un observateur placé
en P n’aperçoit dans son
champ de vision que le
A
« virage AB ».
1
Sur ce plan, dans le repère
orthonormé indiqué (unix
O 1 P
té graphique 25 m),
1
l’arc symbolisant le virage a pour équation y = x2 + 2
4
et P a pour coordonnées (2 ; 0). À quelle distance l’observateur aperçoit-il la voiture à l’entrée du virage et la
perd-il de vue à la sortie du virage ?
Chercheurs d’hier
Voici quelques mathématiciens importants
qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.
1600
Isaac Newton Leonhard Euler
Chap. 4
Chap. 2
1700
1800
ÉPOQUE MODERNE
1900
ÉPOQUE CONTEMPORAINE
al-Khuwārizmī
Chap. 1
Benoît Mandelbrot
Chap. 6
Gottfried Leibniz
(1646-1716)
activités de recherche
14 Voûte d’ogive et parabole
EXERCICES
Narration de recherche
Chargé par les princes allemands d’une mission
diplomatique auprès de Louis XIV pour éviter
un conflit, il rencontre Huygens, à Paris, qui l’incite
à étudier les mathématiques. Dans ses travaux qui
posent les bases du calcul différentiel, il s’intéresse
notamment au lien entre l’équation d’une courbe
et la pente de la tangente à cette courbe en un point.
dy
On lui doit de nombreuses notations, en particulier ,
dx
ainsi que les termes « fonction » et « coordonnées ».
ur le Web http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/
S
viemaths/hist/mthacc/leibniz.htm
Machine à calculer
conçue par Leibniz, qui permet
d’effectuer les quatre opérations.
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
81
EXERCICES
Utiliser GeoGebra
our étudier des tangentes
P
à des courbes de référence
16 Tangentes à une parabole et à une hyperbole
Compétences
Mathématiques
TICE
activités de recherche
Émettre et tester des conjectures.
Animer une configuration.
Créer et utiliser des curseurs.
Déterminer des équations de tangentes.
Déterminer des intersections de courbes
et de droites.
On note 3 et les courbes représentatives des fonctions de référence
1
x x2 et x , et A(1 ; 1) leur point commun.
x
La tangente T1 à en A recoupe la parabole 3 au point B.
La tangente T2 à 3 en A recoupe l’hyperbole au point C.
L’objectif est dans un premier temps d’étudier la position de la droite
(BC) par rapport aux deux courbes 3 et .
Dans un second temps, de façon plus générale, on s’intéresse aux
b
courbes d’équations y = ax2 et y = (a > 0 et b > 0).
x
1. Réaliser la figure
a) Créez les courbes 3 et en saisissant successivement, f(x) = x2 et
g(x) = 1/x.
b) Sélectionnez l’icône
puis créez le point commun A.
c) Sélectionnez l’icône
puis créez les tangentes T1 et T2.
Créez les points B et C et enfin la droite (BC).
outil 6
2. Conjecturer
a) Que pouvez-vous conjecturer concernant la position de la droite (BC) par rapport aux deux courbes
3 et ?
Aide
b) Créez la tangente en B à 3. Que constatez-vous ? Vérifiez
votre conjecture à l’aide des équations dans la fenêtre Algèbre.
outil 3
Si nécessaire, cliquez sur les équations pour
afficher les équations réduites des droites.
c) On envisage maintenant d’observer si la propriété est conservée pour les courbes d’équations y = ax2
b
et y = où a et b sont deux nombres strictement positifs.
x
l Créez deux curseurs a et b avec les paramètres suivants.
l Par un clic droit sur les équations, accédez au menu « propriétés » et modifiez les fonctions f et g pour
b
obtenir f(x) = ax2 et g(x) = .
x
Aide
l Faites varier alternativement les nombres a et b. Que constatez-vous ?
Pour modifier f, saisissez a*x2.
3. Démontrer
On se limitera dans cette partie au cas a = b = 1, c’est-à-dire à la situation initiale.
a) Déterminez les équations des tangentes T1 et T2. Déduisez-en les coordonnées de B et de C et
l’équation de la droite (BC) du type y = mx + p. Vous pouvez vérifier l’exactitude de vos calculs dans la
fenêtre Algèbre.
b) Précisez par le calcul les éléments qui vous permettent d’affirmer que la droite (BC) est tangente aux
deux courbes 3 et . Concluez.
82
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Pour calculer un nombre dérivé
Pour tracer une tangente à une courbe
EXERCICES
Utiliser sa calculatrice
TP 17 Vérifier des résultats avec la calculatrice
La fonction f est définie sur par f(x) = 2x2 – 3x – 1. # est sa courbe représentative.
1. f est dérivable sur . Exprimez f’(x).
2. Calculez f(2) et f’(2), puis déterminez une équation de la tangente au point d’abscisse 2.
3. Vérifiez vos résultats avec une calculatrice.
Avec une Casio
Sélectionnez le menu GRAPH, puis utilisez
l’instruction DRAW ( F6 ) pour afficher la courbe.
●
Appuyez sur F4 (Sketch), puis sélectionnez
l’instruction Tang ( F2 ).
●
Déplacez le curseur jusqu’au point de la courbe
d’abscisse 2 et appuyez sur EXE .
●
Image
Variable
Nombre
dérivé
Sélectionnez x = 2 pour obtenir f(2) et f’(2).
Cela confirme-t-il vos résultats ?
Avec une TI
En mode Calcul, appuyez sur math puis dans le
menu, sélectionner l’option 8 : nbreDérivé ( 8 ).
● Complétez comme
indiqué ci-contre.
● Appuyez sur entrer . Vous obtenez f’(2).
●
Tapez 2nde trace (calculs), puis sélectionnez
l’option 6 : dy/dx ( 6 ).
● Appuyez sur 2 et validez par entrer .
●
activités de recherche
Sélectionnez le menu GRAPH puis entrez l’expression de f dans Y1.
F3
● Paramétrez la fenêtre d’affichage SHIFT
(V-Window) : –2 < x < 5 et –8 < y < 10
● Sélectionnez le menu
TABLE, appuyez sur
SHIFT MENU (SET UP)
et activez la commande « Derivative ».
● Appuyez sur EXE . Dans le menu TABLE, F5
(SET), réglez start : –2, End : 5, Step : 0,1.
● Utilisez l’instruction TABL ( F6 ) pour afficher
les valeurs de x, de f(x) et de f’(x).
●
Note
L’instruction nbreDérivé( s’utilise ainsi :
nbreDérivé(expression, variable, valeur).
Autre méthode
● Appuyez sur f(x) , puis entrez l’expression de f
dans Y1.
● Appuyez sur fenêtre pour
paramétrer la fenêtre d’affichage.
Appuyez sur graph pour afficher l’écran graphique avec la courbe de f.
● Tapez 2nde prgm (dessin), puis sélectionnez
l’option 5 : Tangente(( 5 ).
● Appuyez sur 2 et validez par entrer .
●
Cela confirme-t-il vos résultats ?
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
83
EXERCICES
Entraînement
de tête
18 f est la fonction définie sur par f(x) = x2. est sa
30 Les fonctions suivantes sont dérivables en x = 1.
Lire f’(1).
a)
courbe représentative.
1. Calculez f(2) et f’(2).
2. La tangente à au point d’abscisse 2 a-t-elle pour
équation y = 4x – 4 ?
19 f est la fonction définie sur par f(x) = x3. Les
affirmations suivantes sont-elles vraies ?
b)
y
2 A
2 A
1
1
O
c)
x
1
a) La tangente au point d’abscisse 0 est « horizontale ».
2 A
b) La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation
y = 3x – 2.
1
O
O
d)
y
20 Quel est le nombre dérivé en 0 de la fonction f
y
y
A
2
1
x
1
x
1
O
1
3
x
définie sur par f(x) = 3x2 – 5x + 1 ?
21 Le taux d’accroissement d’une fonction f, dérivable en 1, est tel que
h ≠ 0 et 1 + h ≠ 0.
Calculez f’(1).
f(1 + h) – f(1)
3h + 2
=
, avec
h
(1 + h)2
Nombre dérivé
Pour les exercices 22 à 27
Utilisez la définition 2 pour prouver l’existence du
nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée,
puis calculez sa valeur.
Tangente et nombre dérivé
Pour les exercices 31 et 32
Les fonctions sont dérivables pour tout nombre a.
Par lecture graphique donnez le coefficient directeur
de la tangente aux points indiqués puis trouvez une
équation de cette tangente.
31 y
A
1
; a = –1.
x
f(x) = x2 – 5x + 3 ; a = 2.
6
5
22 f(x) =
23
24 f(x) = x3 + 1 ; a = 2.
1
; a = 2.
1–x
f(x) = x3 – 3x ; a est un nombre donné.
3
; a est un nombre donné.
x
1
28 f est la fonction définie sur – {0} par f(x) = x – .
x
1. Vérifiez que pour tout h tel que h ≠ 0 et 1 + h > 0 :
2h + h2
.
f(1 + h) =
1+h
2. Déduisez-en que f est dérivable en 1 et calculez f’(1).
27 f(x) =
32 A
84
6
x
5 6
x
C
y
5
C
2
1
–2
5
1
–2
29 f est la fonction définie sur par f(x) = (x – 3)3.
a) Démontrez que pour h ≠ 0 :
f(h) – f(0)
= h2 – 9h + 27.
h
b) Déduisez-en que f est dérivable en 0 et calculez f’(0).
D
3
O
–2
25 f(x) =
26
B
2
1
O
–2
3
1
B
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
1. Placez les points A, B, C et D d’abscisses respectives
–3 ; 0 ; 3 et 6.
42 1 et 2 sont les courbes représentatives des
fonctions f et g définies sur par f(x) = –x2 + 6x – 2 et
g(x) = x2 + 2x.
y
1
EXERCICES
33 est la courbe représentative d’une fonction f
définie et dérivable sur . On donne :
l f(–3) = –1
l f(0) = –2
l f(3) = 0
l f(6) = 4
l f’(–3) = 0
l f’(0) = –1
l f’(3) = 3
l f’(6) = 0,5
2. Construisez les tangentes aux points A, B, C et D.
3. Dessinez une allure possible de la courbe sur l’intervalle [–3 ; 6].
1
.
x
1. Trouvez une équation de la tangente à la courbe
représentative de h au point d’abscisse 2 et au point
d’abscisse –2.
2
34 h est la fonction définie sur – {0} par h(x) =
2. a) Tracez et les deux tangentes.
b) Quelle particularité présente ces deux tangentes ?
Pour les exercices 35 à 39
f est une fonction et a un nombre donné. f est dérivable en a. Déterminez une équation de la tangente
à la courbe représentative de f au point d’abscisse a.
35 f(x) =
36
37
3x2
x
1
2
1. Attribuez à chaque fonction sa courbe.
2. a) Démontrez que ces courbes ont un unique point
commun A.
b) Démontrez qu’en ce point, les deux courbes ont une
tangente commune.
LOGIQUE
43 Implication réciproque.
+ 5x – 2 et a = –2.
Contre-exemple
La phrase « si f(x) = x2 + 10 alors f’(x) = 2x » est une
implication.
1
f(x) = 1–7x + 5 + x22 et a = 5.
2
f(x) = 1x et a = 9.
a) Énoncez l’implication réciproque.
b) À l’aide d’un contre-exemple, prouvez que cette
implication réciproque est fausse.
38 f(x) = x3 et a = 2.
39 f(x) = (2x + 1)2 et a = 0.
40 3 est la parabole d’équation y = 2x2 – 5x – 3.
d est la droite d’équation y = x + p.
1. Pour quelle valeur de p, 3 et d ont-elles un seul point
commun A ?
2. Démontrez que dans ce cas d est tangente à 3.
41 3 est la parabole d’équation y = x2 – 2x + 5 et d
la droite d’équation y = x.
44 Taux d’accroissement
A L G O R IT
H M IQ U E
1. f est la fonction définie par f(x) = 6x + 1.
Voici un algorithme incomplet, écrit avec AlgoBox.
Complétez-le afin d’obtenir les valeurs successives
du taux d’accroissement de la fonction f en a :
f(a + h) – f(a)
, pour des valeurs de h égales à 10–n, où n
h
est un entier naturel, 2 < n < 10.
y
4
1
O1
x
Existe-t-il des points de 3 en lesquels la tangente est
parallèle à la droite y = x ?
2. Testez cet algorithme
et conjecturez le nombre
dérivé de la fonction
définie par f(x) = 6x + 1
en 3 puis en 24.
Aide
Pour définir la fonction utilisée,
saisissez F1(x) = sqrt(x + 1).
x n s’obtient par l’instruction
pow(x, n).
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
85
EXERCICES
45 f est la fonction définie sur par f(x) = x2 – 4x + 1.
A est le point de la courbe représentative de f d’abscisse 0.
1. Quel est le point B de la courbe en lequel la tangente a pour coefficient directeur 6 ?
2. Quelles sont les coordonnées du point C de en
lequel la tangente est parallèle à la droite (AB) ?
46 est la courbe représentative de la fonction f
définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = 1x.
1
1. Résoudre l’équation f’(a) = , a ∈ ]0 ; + ∞[.
8
1
2. La droite d’équation y = x + 2 est-elle tangente à ?
8
47 3 est la parabole d’équation y = x2. Le point A
d’abscisse 2 appartient à 3.
Le point H est le projeté orthogonal de A sur l’axe des
ordonnées. Le point H’ est le symétrique de H par rapport à l’origine O du repère.
y
50 f est une fonction définie sur par f(x) = ax2 + c
(a ≠ 0).
Le point A(3 ; 2) est un point de sa courbe représentative
et la tangente en A à passe par l’origine O du repère.
y
d
A
2
1
3
O1
x
1. Démontrez que « d est tangente en A à » équivaut à
2
« f(3) = 2 et f’(3) = ».
3
2. Déduisez-en la valeur de a et de c, puis l’expression
de f(x).
f(x) = ax2 + bx + c.
est sa courbe représentative.
La droite d est tangente à à l’origine O du repère et
passe par le point A(2 ; 3).
1
O
2. Déduisez-en la valeur de a et de b et l’expression
de f(x).
51 f est une fonction trinôme définie sur par :
A
H
1. Démontrez que « d est tangente en B à » équivaut à
« f(1) = 3 et f’(1) = 1 ».
y
x
1 2
A
3
d
1
H’
O1 2
1. Quelles sont les coordonnées des points A, H et H’ ?
2. Démontrez que la droite (AH’) est tangente en A à 3.
48 f est la fonction définie sur par f(x) = –2x2 + 4x.
1. Démontrez que :
l f(0) = 0 x
1
l f(2) = 3.
2
2. a) Déduisez-en la valeur de c, de b et de a.
l
f’(0) =
est sa courbe représentative.
b) Quelle est l’expression de f(x) ?
1. Trouvez une équation de la tangente T à au point A
d’abscisse 3.
52 Point de chute
La trajectoire d’un mobile est portée par la courbe
1
d’équation y = dans un repère orthonormé.
t
y 2. a) Étudiez le signe de f(x) – (–8x + 18).
b) Déduisez-en la position de par rapport à T.
49 f est une fonction définie sur par f(x) = ax2 + bx.
B est le point de coordonnées (1 ; 3).
La droite d d’équation y = x + 2 est tangente en B à la
courbe représentative de f.
y
3
d
86
1
O
M
1
t
On admet que lorsqu’il quitte sa trajectoire en M, le
mobile poursuit son mouvement en ligne droite sur la
tangente en M.
À quel endroit doit-il quitter sa trajectoire pour passer
par le point A(4 ; 0) ?
B
1
O
1
x
Aide
On appelle t0 l’abscisse de M.
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
4x2
fonctions f définie sur par f(x) =
1
– {0} par g(x) = .
x
y
et g définie sur
2. a) Démontrez que N a pour coordonnées :
m–1
m–1 2
;
.
2
2
b) Sur quelle ligne se déplace N ?
1
O
22
c) Étudiez la position relative de la droite (AM) et de la
tangente en N à 3.
ROC
1
1
1
x
EXERCICES
53 3 et * sont les représentations graphiques des
Restitution organisée
de connaissances
55 Tangente passant par l’origine
f est une fonction définie et dérivable sur R. # est sa
courbe représentative dans un repère d’origine O.
A est un point de # d’abscisse a.
1. Démonstration
Démontrez que « La tangente en A passe par O » équivaut à « f(a) = af’(a) ».
1. Existe-t-il un nombre a tel que 3 et * aient des
tangentes parallèles en leurs points d’abscisse a ?
2. Trouvez une équation pour chaque tangente.
2. Application
f est la fonction définie sur par f(x) = 2x2 – 3x + 1. Quels
sont les points de sa courbe représentative en lesquels
la tangente passe par l’origine du repère ?
Trouvez une équation des tangentes. Vérifiez vos résultats à la calculatrice.
Avec les tice
54 Dans un repère, f est la fonction définie sur par
f(x) = x2. 3 est sa courbe représentative. A est le point
de 3 d’abscisse –1. M est un point variable de 3 d’abscisse m (m ≠ –1). Les tangentes à la courbe en A et M se
coupent en I. Les points J et N sont les milieux respectifs
des segments [AM] et [IJ].
On s’intéresse aux questions suivantes :
l À quelle ligne appartient le point N ?
l Quelle particularité présente la tangente en N à cette
ligne ?
1. Expérimenter avec GeoGebra
l Paramétrez les axes comme indiqué :
Saisissez la fonction f. Créez le point A et un point M.
l Créez les tangentes à 3 en A et M puis le point I.
l Créez J puis N.
Déplacez M sur 3. Quelle conjecture faites-vous concernant N ?
l Créez la tangente en N à 3 et déplacez M.
Quelle conjecture faites-vous concernant la tangente
en N ?
l
2. Démontrer
1. a) Démontrez que la tangente en M a pour équation
y = 2mx – m2.
b) Déduisez-en l’équation de la tangente en A.
c) Calculez les coordonnées de I et celles de J.
Prendre toutes
les initiatives
56 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), * est l’hy-
1
.
x
On donne les points A(1 ; –1), B(1 ; 2) et C(2 ; 0).
Trouvez, si elles existent, les équations des tangentes
à * passant respectivement par A, B et C.
perbole d’équation y =
57 Dans un repère orthonormé d’origine O, M est
le point de coordonnées (x ; y) avec x > 0 et y > 0. Le
rectangle OHMK a pour aire 16.
y
K
M
P
1
O
1
H
x
1. Démontrez que le point M appartient à un arc *
d’hyperbole que l’on tracera.
2. P est le centre du rectangle OHMK.
a) Pourquoi P appartient-il à la courbe *1 d’équation
4
y = avec x > 0 ?
x
b) Démontrez que la droite (KH) est tangente en P
à *1.
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
87
EXERCICES
Approfondissement
58 f est la fonction définie sur par :
1
f(x) = x2 – 2x + 3.
2
3 est sa courbe représentative. M est un point de 3
d’abscisse a.
Pour quelles valeurs de a la tangente en M passe-t-elle
par le point A(0 ; –3) ?
61 Une rampe de skateboard
59 Point de vue !
Sur la figure ci-dessous, « l’arc » de parabole ABC représente une colline, le sol est symbolisé par l’axe des abscisses. Un observateur est placé en E de coordonnées
11
–2 ;
dans le repère choisi.
4
Le but de l’exercice est de déterminer les points de la
colline et ceux du sol (au-delà de la colline) qui ne sont
pas visibles du point d’observation E.
2
On veut construire une rampe de skateboard. La figure
ci-après représente le plan de fabrication.
y
1
A
–2 –1 O
Sol
y
11
4
E
6m
B
1
C
3
1. On note f la fonction définie sur [–1 ; 3] par :
f(x) = ax2 + bx + c.
Déterminez a, b, c pour que « l’arc ABC » soit la représentation graphique de f.
2. a) Reproduisez le schéma ci-dessus et indiquez sur la
figure les points de la colline et ceux du sol qui ne sont
pas visibles en E.
b) Faites les calculs nécessaires pour trouver les abscisses de ces points.
60 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), 3 est la
parabole d’équation y = x2 et A est le point de coordon1
nées
; –2 .
2
On se propose de trouver les équations des tangentes
à 3 issues de A.
1
2
1. Conjecturez le nombre de tangentes que l’on peut
mener de A à la parabole.
2. M est un point de 3 d’abscisse m. Trouvez, en fonction
de m, une équation de la tangente T en M à 3.
3. Démontrez que « T passe par le point A » équivaut à
« m2 – m – 2 = 0 ».
4. Déduisez-en les équations des tangentes passant
par A ainsi que les coordonnées des points de tangence.
88
I
V
A
U
B
2m
1
x
La distance au sol entre A et B est de six mètres et le
dénivelé en B est de deux mètres. Le point I est le milieu
du segment [AB].
On réalise cette rampe à l’aide de deux arcs de parabole
AI et IB, avec les contraintes suivantes :
l ces deux arcs représentent une fonction f définie sur
l’intervalle [0 ; 6] .
l la tangente en I est commune aux deux arcs ;
l le repère indiqué d’origine A est orthonormé ;
l les tangentes en A et B sont horizontales.
Pour la réalisation de la rampe, certains éléments ont
besoin d’être précisés.
1. Trouvez une équation de la forme y = ax2 + bx + c
pour chacun des arcs de parabole.
2. Déduisez-en les expressions de f suivant les intervalles
[0 ; 3] et [3 ; 6].
62 Sur la figure ci-après on a tracé les paraboles 31
et 32 représentatives des fonctions f et g définies sur
par f(x) = x2 et g(x) = x2 + 2x + 3.
A est un point de 31 d’abscisse a et B un point de 32
d’abscisse b.
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
a) Ta en A à 31 ;
l
b) Tb en B à 32.
2. Démontrez que la
droite d est une tangente
commune aux deux courbes si et seulement si a
d
et b vérifient le système :
a = b + 1
(S)
a2 = b2 – 3.
y
1
2
5
2. On suppose que la fonction f’, dérivée de f, est définie
pour tout nombre x par :
f’(x) = ax2 + bx + c.
En utilisant les affirmations de la question 1., calculez a,
b, c et déterminez f’(x).
EXERCICES
1. Justifiez les affirmations suivantes :
f’(0) = –2 ;
l f’(–1) = 0 ;
l f’(2) = 0.
1. Trouvez une équation de la tangente :
3. Résolvez le système et
déduisez-en une équation
de d.
1
x
1
O
63 1. Vérifiez que :
y
x3 – 3x – 2 = (x + 1)(x2 – x – 2).
1
B
2. Dans un repère orthonormé
on a tracé les courbes représenx
O 1
tatives des fonctions :
A
1 2
f définie sur par f(x) = (x – 3)
2
1
et g définie sur – {0} par g(x) = .
x
a) Quelles sont les coordonnées des points A et B intersections de ces deux courbes ?
Prendre toutes
les initiatives
65 On a tracé ci-après les courbes représentatives
des fonctions f et g définies sur par :
2
l f(x) = –x + 8x ;
2
l g(x) = x – 4x.
y
2
64 La courbe ci-dessus est celle d’une fonction f
définie et dérivable sur . Les tangentes à la courbe en
A et B sont horizontales. La tangente en O, origine du
repère, passe par le point C(–1 ; 2).
y
–2
C
A
x
1
La droite d est tangente en A à 1.
La droite d’ est tangente en B à 2.
Les droites d et d’ sont parallèles.
Quelle est l’abscisse commune des points A et B ?
f(x) = 4x2 – 6x + 2.
Démontrez que la courbe représentative de f est
au-dessus de n’importe laquelle de ses tangentes.
2
O
1
66 f est la fonction définie sur par :
1
–1
B
d’
c) Étudiez suivant les valeurs de x les positions relatives
de ces deux courbes.
x
O
d
b) Démontrez que ces courbes ont une tangente commune en A.
A
67 À tout nombre m ≠ 0, on associe la parabole
3m d’équation :
y = mx2 + (1 – 2m)x + m.
Démontrez que toutes ces paraboles sont tangentes
entre elles.
Note
B
On dit que deux paraboles 31 et 32 sont tangentes lorsqu’elles ont
un point commun A et une tangente commune en A.
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
89
EXERCICES
Travail en autonomie
L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes
de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme,
en utilisant si besoin les coups de pouce
page 381.
A Savoir lire un graphique
1
f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle
[0 ; 7]. est la courbe représentative de f. Trouvez une
équation des tangentes à la courbe en O, A et B.
y
A
5
4
3
2
1
B
O1
3
Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on a tracé la
parabole 3, courbe représentative de la fonction f
définie sur par :
1
f(x) = x2 – 2x + 3.
2
Le point A a pour coordonnées (0 ; –3) et M est
un point de 3 d’abscisse
m.
x
7
B Construire, conjecturer, démontrer
2
À la calculatrice, tracez la parabole 3 d’équation :
y = x2 + 2x – 1 et la droite d’équation y = – 4x – 10.
Que dire de d par rapport à 3 ? Prouvez-le.
C Tangente : la méthode de Torricelli
3
x
B
H
A
1
O
90
1
1
O
m x
1 2
–3 A
2. Pour quelles valeurs de m la tangente T passe-t-elle
par A ? 9
3. Reproduisez la figure. Placez le point A et tracez les
tangentes à 3 passant par A.
f est une fonction définie sur
par f(x) = ax2 + bx + c.
Sa courbe représentative 3 passe
par O, origine du repère.
De plus, la droite d est tangente
en A à 3.
Le but de l’exercice est de calculer a, b et c.
d
M
F À la recherche d’une parabole
D Une propriété remarquable de la parabole
y
y
1. a) Calculez f(m) et f’(m). 7
b) Déduisez-en une équation de la tangente T en M à la
parabole 3. 8
y
est la courbe représentative
de la fonction f définie sur
par f(x) = x3. A est le point de
1H A
d’abscisse 1. Le point H est
–1
le projeté orthogonal de A sur
O 1
l’axe des ordonnées.
–1
On note H’ le point tel que :
IOH’ = –2UOH.
Démontrez que la droite (AH’) est tangente à .
Dans un repère orthonormé, 3 est la parabole d’équation y = x2
et d la droite d’équation
y = 2x + 3.
La droite d coupe 3
en A et B. On note H le
milieu du segment [AB].
2. C est le point de 3 en lequel la tangente est parallèle
à (AB).
a) Quelle est le coefficient directeur de la droite
(AB) ? 5
b) Démontrez que C et H ont la même abscisse. 6
E Où passe-t-elle ?
5
1. a) Calculez les coordonnées des points A et B.
b) Déduisez-en les coordonnées de H. 4
x
y
2
1
O
d
A
1
x
1. a) Justifiez que f(0) = 0, f(1) = 2 et f’(1) = 1. 10
b) Déduisez-en que a, b et c sont solutions du système :
c = 0
a+b+c=2
2a + b = 1. 11
5
2. Quelle est alors l’expression de f(x) ?
Chapitre 3 ● Dérivation
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
12
CHAPITRE
Fonctions
dérivées.
Applications
D’un siècle
à un autre
Le Centre national de natation de Pékin, surnommé
Water Cube, a été inauguré pour les Jeux olympiques
de l’été 2008. Ce bâtiment écologique est un assemblage
complexe de plastique et d’acier, mais il est également
la solution à un vieux problème mathématique
d’optimisation de pavage de l’espace :
un maximum de volume pour un minimum de surface.
De nombreux problèmes d’optimisation peuvent être
résolus grâce aux résultats des travaux de Newton et
de Leibniz sur les dérivées.
En savoir plus sur
Isaac Newton
Chercheurs d’hier p. 103
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Rappels
& Questions-tests
Sens de variation d’une fonction
Dire qu’une fonction f est strictement croissante 1 Voici le tableau de variation d’une fonction f définie
sur un intervalle I signifie que f conserve l’ordre.
sur I = [–8 ; 10].
Pour tous nombres u et v de I :
x
–8
–1
0
3
10
si u < v, alors f(u) < f(v).
5
4
6
f(x)
l Dire qu’une fonction f est strictement
0
–2
décroissante sur un intervalle I signifie que f
Complétez les pointillés avec < ou >.
inverse l’ordre.
Pour tous nombres u et v de I :
a) f(–5) …… f(–4).
si u < v, alors f(u) > f(v).
b) f(6) …… f(7).
c) u et v sont deux nombres de l’intervalle [0 ; 3]
tels que u < v, alors f(u) …… f(v).
d) a et b sont tels que –1 < a < b < 0, alors f(a) …… f(b).
l
Nombre dérivé et tangente
Lorsque f est dérivable en α,
le nombre dérivé de f en α est :
f(α + h) – f(α)
f’(α) = lim .
h→0
h
l La tangente à la courbe représentative de f
au point d’abscisse α a pour coefficient directeur
f’(α) et pour équation réduite :
y = f’(α)(x – α) + f(α).
l
2 La fonction f, représentée par la courbe ci-dessous
est définie et dérivable sur l’intervalle I = ]0 ; + ∞[.
Sa fonction dérivée, f’, est définie par :
y
1
f’(x) = 2x – 2 .
x
Déterminez une équation
de la tangente à la courbe
représentative de f
A
au point A d’abscisse 1.
1
O
1
x
Minimum et maximum
f est une fonction définie sur un intervalle I
et a est un nombre appartenant à I.
l Dire que f(a) est le minimum de f sur I
signifie que f(a) est la plus petite valeur
prise par la fonction, soit :
pour tout nombre x de I, f(x) f(a).
l Dire que f(a) est le maximum de f sur I
signifie que f(a) est la plus grande valeur
prise par la fonction, soit :
pour tout nombre x de I, f(x) < f(a).
3 Reprenons le tableau de variation de la question 1.
a) Précisez le minimum et le maximum de f sur I.
b) Complétez le plus précisément possible :
Si –1 x 3, alors …… f(x) …… .
4 La courbe représente une fonction g définie sur [0 ; 6].
a) Précisez le minimum et le maximum de g sur [0 ; 6].
b) Précisez le minimum et le maximum de g sur [0 ; 2].
y
10
O
1
x
Voir les corrigés p. 363
92
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
ACTIVITÉS
Activité
dérivée et sens de variation
TICE
1 a) À l’aide de GeoGebra, tracez la courbe représentative de la fonction f définie par :
1 3
(x – 3x2).
4
b) Placez un point A, d’abscisse négative, sur la
courbe. Sélectionnez l’icône
et tracez la tangente à
la courbe en A.
f(x) =
2 a) Déplacez le point A et observez le signe du
coefficient directeur de la tangente dans la fenêtre
algèbre lorsque l’abscisse de A reste inférieure à 0.
b) Recommencez cette observation, mais en faisant
maintenant varier l’abscisse de A entre 0 et 2.
c) Enfin, déplacez A pour que son abscisse soit
supérieure à 2 et observez de nouveau le signe du coefficient directeur.
3 a) Pour quelles valeurs de l’abscisse de A la tangente à la courbe en A est-elle horizontale ?
b) On étudie le sens de variation de f sur l’intervalle [–2 ; 4].
Complétez le tableau suivant par lecture graphique.
x
Signe de f’(x)
–2
0
…
…
0
4
Sens de variation de f
Quelle conjecture pouvez-vous faire ?
4 a) Tracez la courbe représentative d’une nouvelle
Aide
x+1
.
x–4
Un clic droit sur l’équation de f vous permet de modifier
l’expression de f(x) (menu Propriétés, onglet Basique).
b) On étudie le sens de variation de f sur chacun
des intervalles ]–10 ; 4[ et ]4 ; 10[.
Déplacez le point A et construisez un tableau dans lequel vous ferez apparaître le signe de f’(x)
et les variations de f.
c) Quelle conjecture pouvez-vous émettre concernant le lien entre le signe de f’(x) et le sens de
variation de f sur un intervalle I ?
fonction f en remplaçant f(x) par
Problème ouvert
Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?
Dans un repère orthonormé, on a tracé la parabole 3 d’équation y = x2
et la droite d d’équation y = 4.
A et B sont deux points de 3 ayant la même ordonnée (inférieure à 4).
C et D sont les deux points de la droite d tels que ABCD est un rectangle.
Estimez la position de A pour laquelle l’aire du rectangle ABCD est
maximale.
y
C
D
B
A
–2
1
y = x2
O
1 2
y=4
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
x
93
COURS
1
Opérations sur les fonctions dérivées
1.1 Dérivée de la somme u + v
Théorème
1 u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u’ + v’.
Principe de la démonstration. Pour démontrer que u + v est dérivable sur I, on prouve que
pour tout nombre a de I, le taux d’accroissement de u + v entre a et a + h (où h ≠ 0 et a + h ∈ I) a
une limite finie lorsque h tend vers 0.
(u + v)(a + h) – (u + v)(a) u(a + h) + v(a + h) – u(a) – v(a) u(a + h) – u(a) v(a + h) – v(a)
=
=
+
h
h
h
h
u(a + h) – u(a)
v(a + h) – v(a)
Or lim
= u’(a) et lim
= v’(a).
h→0
h→0
h
h
On admet alors le résultat suivant.
Lorsque h tend vers 0, la limite du taux d’accroissement de u + v en a est u’(a) + v’(a) :
(u + v)(a + h) – (u + v)(a)
= u’(a) + v’(a).
lim
h→0
h
Ceci est vrai pour tout nombre a de l’intervalle I donc u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u’ + v’.
Exemple. Sur I = ]0 ; + ∞[, la fonction définie par f(x) = x +
1
est la somme des deux fonctions,
x
1
.
x
1
Leurs dérivées sont définies par u’(x) = 1 et v’(x) = – 2 .
x
1
Il en résulte que f est dérivable sur I et que f’(x) = u’(x) + v’(x) = 1 – 2 .
x
u et v, dérivables sur I telles que u(x) = x et v(x) =
1.2 Dérivée de lu
Théorème
2 u est une fonction dérivable sur un intervalle I et l est un nombre réel.
Alors la fonction lu est dérivable sur I et (lu)’ = lu’.
Principe de la démonstration. Pour démontrer que lu est dérivable sur I, on prouve que pour
tout nombre a de I, le taux d’accroissement de lu entre a et a + h (où h ≠ 0 et a + h ∈ I) a une
limite finie lorsque h tend vers 0.
(lu)(a + h) – (lu)(a) l × u(a + h) – l × u(a)
u(a + h) – u(a)
=
=l×
.
h
h
h
u(a + h) – u(a)
= u’(a). On admet alors le résultat suivant.
Or, par hypothèse, lim
h→0
h
Lorsque h tend vers 0, la limite du taux d’accroissement de lu en a est lu’(a) :
(lu)(a + h) – (lu)(a)
= lu’(a).
lim
h→0
h
Ceci est vrai pour tout nombre a de l’intervalle I donc lu est dérivable sur I et (lu)’ = lu’.
Remarque. Si l = –1, on obtient (–u)’ = –u’. On déduit alors du théorème 1 que si u et v sont
deux fonctions dérivables sur I, alors (u – v)’ = u’ – v’.
Conséquence. Dérivée des fonctions polynômes. Il résulte des théorèmes 1 et 2, ainsi que
du théorème 3 du chapitre 3, que :
94
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
COURS
Théorème
Admis
3 Toute fonction polynôme P : x anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 (avec an ≠ 0) est dérivable sur
et sa fonction dérivée est P’ :
P’ : x nanxn–1 + (n – 1)an–1xn–2 + … + a1.
Exemple. La fonction P définie sur par P(x) = 3x5 – 2x3 + 5x2 – 1 est dérivable sur et
P’(x) = 3(5x4) – 2(3x2) + 5(2x) = 15x4 – 6x2 + 10x.
1.3 Dérivée du produit uv
Théorème
4 u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’.
Principe de la démonstration. Pour démontrer que uv est dérivable sur I, on prouve que pour
tout nombre a de I, le taux d’accroissement de uv entre a et a + h (où h ≠ 0 et a + h ∈ I) a une
limite finie lorsque h tend vers 0.
(uv)(a + h) – (uv)(a) u(a + h) v(a + h) – u(a) v(a)
=
.
h
h
Un changement d’écriture permet de faire apparaître les taux d’accroissement de u et de v :
u(a + h) v(a + h) – u(a) v(a) u(a + h) v(a + h) – u(a) v(a + h) + u(a) v(a + h) – u(a) v(a)
=
h
h
u(a + h) – u(a)
v(a + h) – v(a)
× v(a + h) + u(a) ×
.
=
h
h
u(a + h) – u(a)
v(a + h) – v(a)
= u’(a) et lim
= v’(a).
Or lim
h→0
h→0
h
h
On admet alors le résultat suivant, lorsque h tend vers 0 : si v est dérivable en a, alors
lim v(a + h) = v(a).
h→0
Il en résulte que la limite, lorsque h tend vers 0, du taux d’accroissement de uv en a est :
(uv)(a + h) – (uv)(a)
= u’(a) v(a) + u(a) v’(a).
lim
h→0
h
Ceci est vrai pour tout nombre a de l’intervalle I donc uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’.
Exemple. Sur l’intervalle ]0 ; + ∞[, la fonction f définie par f(x) = x1x est le produit des deux
fonctions dérivables définies par u(x) = x et v(x) = 1x, dont les dérivées sont définies par u’(x) = 1 et
1
.
v’(x) =
21x
1
1x 3
f est dérivable sur I et f’(x) = 1 × 1x + x ×
= 1x +
= 1x.
2
2
21x
Conséquence. Si u est dérivable sur I, alors u2 est dérivable sur I et (u2)’ = u’u + uu’ = 2uu’.
1.4 Dérivée du quotient u
v
Théorème
Admis
5 u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et, pour tout nombre a de I, v(a) ≠ 0.
Alors la fonction
u
est dérivable sur I et u ’ = u’v –2uv’ .
v
v
v
1 2
2x + 1
est dérivable et :
x–3
2(x – 3) – (2x + 1) × 1
–7
=
.
f’(x) =
(x – 3)2
(x – 3)2
Conséquence. Si v est dérivable sur I et si, pour tout nombre a de I, v(a) ≠ 0, alors 1 est
v
1 ’ 0 × v – 1 × v’
v’
=
= – 2 . Ainsi, 1 ’ = – v’2
dérivable sur I et
2
v
v
v
v
v
Exemple. Sur I = ]3 ; + ∞[, la fonction f définie par f(x) =
1 2
1 2
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
95
COURS
2
Sens de variation
2.1 Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction
Théorème
Admis
6 f est une fonction dérivable sur un intervalle I et sa fonction dérivée est f’.
Si f’ est strictement positive sur I, sauf peut-être pour quelques valeurs où elle s’annule, alors
f est strictement croissante sur I.
l
l Si f’ est strictement négative sur I, sauf peut-être pour quelques valeurs où elle s’annule, alors
f est strictement décroissante sur I.
l
Si f’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Exemple. La fonction f définie sur par f(x) =
1 3
x est
8
y
3
dérivable sur et f’(x) = x2.
8
Donc f’ est strictement positive sur , sauf en 0 où elle
s’annule.
Ainsi, f est strictement croissante sur .
1
O
1
x
2.2 Extremum local
Définition
1 f est une fonction définie sur un intervalle I et c est un nombre de I.
Dire que f(c) est un maximum (resp. minimum) local de f signifie qu’il existe un intervalle
ouvert J contenant c et inclus dans I tel que, pour tout x de J, f(x) < f(c) (resp. f(x) f(c)).
Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local.
Exemple.
Pour tout nombre x de l’intervalle ouvert J,
f(x) < f(c) : f(c) est un maximum local de f.
y
f(c)
f(x)
Remarque. Pour une fonction dérivable f, s’il existe un
extremum local en c, alors f’(c) = 0.
Attention. La réciproque est fausse.
Dans l’exemple du 2.1, f’(0) = 0.
Cependant f(0) n’est pas un extremum local : la dérivée ne
change pas de signe donc la fonction ne change pas de sens
de variation.
96
cx
J
O
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
x
Objectif
1
Déterminer des fonctions dérivées
EXERCICES
Application
Théorèmes 1, 2 et 4. u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors :
2
l (u + v)’ = u’ + v’ l (lu)’ = lu’ l (uv)’ = u’v + uv’ l (u )’ = 2uu’.
l Théorème 5. u et v sont dérivables sur un intervalle I et pour tout nombre a de I, v(a) ≠ 0, alors :
u ’ u’v – uv’ 1 ’
v’
=
;
= – 2 .
v
v2
v
v
n
n–1 + … + a x + a est dérivable sur et
l Théorème 3. Toute fonction polynôme P : x a x + a
n
n–1x
1
0
n–1
n–2
sa fonction dérivée est P’ : x nanx + (n – 1)an–1x + … + a1.
l
1 2
Exercice résolu A
1 2
Dériver des fonctions du type u + v et lu
1. f est la fonction définie sur par f(x) = 5x3 – 3x2 + 6x – 7.
Justifiez que f est dérivable sur et calculez f’(x).
1 3 2
3
x + x + 1 – .
3
2x
Justifiez que g est dérivable sur l’intervalle I = ]0 ; + ∞[, puis calculez g’(x).
2. g est la fonction définie sur l’intervalle I = ]0 ; + ∞[ par g(x) =
Méthode
Solution
1. On applique le théorème 3.
l
On conclut.
2. On définit g comme étant la somme
de deux fonctions que l’on sait dériver sur
l’intervalle I.
1. f est une fonction polynôme, donc f est
dérivable sur .
f(x) =
5x3 – 3x2 + 6x –7.
↓
↓
↓ ↓
f’(x) = 5 × 3x2 – 3 × 2x + 6 × 1 – 0.
2
l f’ est définie sur par f’(x) = 15x – 6x + 6.
1
2. La fonction polynôme u : x x3 + x2 + 1
3
1
est dérivable sur , et la fonction v : x
x
est dérivable sur I. g est définie sur I par
3
g(x) = u(x) – v(x).
2
Les fonctions u et v étant dérivables sur I,
g est dérivable sur I.
1
3
1
l g’(x) =
– 2 .
× 3x2 + 2x –
3
2
x
3
2
l Pour tout x de I, g’(x) = x + 2x +
.
2x2
1
l On applique les théorèmes 1, 2 et 5
pour calculer g’(x).
l On conclut.
2
Mise en pratique
1 Déterminez les fonctions dérivées des fonc- 1. Démontrez que f et g sont dérivables sur I.
tions polynômes suivantes, définies sur par :
a) f(x) =
6x4
3x3
2x2
–
+
– 1.
1 3 1 2
b) g(x) = x + x – 4x + 2.
3
2
3x3 – 4x2 + 5x – 1
.
c) h(x) =
5
2 u et v sont deux fonctions définies sur
2. Calculez, pour tout nombre x de I, f’(x) et g’(x).
3 1. Pourquoi la fonction f définie sur l’inter-
1
3
valle I = ]0 ; + ∞[ par f(x) = x3 – x2 + 1x est-elle
4
2
dérivable sur I ?
2. Calculez, pour tout nombre x de I, f’(x).
1
4 f est la fonction définie sur I = ]0 ; + ∞[ par
.
x
f(x) = 41x + 2x2 – 1. # est sa courbe représentative.
On note f et g les fonctions définies sur I par
Trouvez une équation de la tangente à # au point
2
1
f = u + v et g = u – v.
3
4
d’abscisse 4.
I = ]0 ; + ∞[ par u(x) = 3x3 + 2x2 et v(x) =
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
97
EXERCICES
Exercice résolu B
Dériver des fonctions de type uv et u
v
Pour chacune des fonctions f suivantes dites si elle est dérivable sur I = ]0 ; + ∞[ puis calculez f’(x).
1. f(x) = (2x2 – 1) 1x.
2. f(x) =
x2 – 4x + 8
.
2x + 5
Solution
Méthode
1. f est de la forme uv avec u(x) = 2x2 –1 et
v(x) = 1x.
u et v sont dérivables sur ]0 ; + ∞[ donc f est
dérivable sur I.
1
l Pour tout x de I, u’(x) = 4x et v’(x) =
.
21x
l f’(x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x) soit :
1
f’(x) = 4x 1x + (2x2 – 1)
.
21x
2
8x 11x 2 + 2x2 – 1 10x2 – 1
l f’(x) =
=
.
21x
21x
u
2. f est de la forme avec u(x) = x2 – 4x + 8
v
et v(x) = 2x + 5.
u est une fonction dérivable sur donc sur I ;
v est dérivable sur I et pour tout x de I, v(x) ≠ 0
donc f est dérivable sur I.
l u’(x) = 2x – 4 et v’(x) = 2.
u’(x) v(x) – u(x) v’(x)
l f’(x) =
soit :
(v(x))2
(2x – 4)(2x + 5) – 2(x2 – 4x + 8)
f’(x) =
.
(2x + 5)2
2x2 + 10x – 36
l f’(x) =
.
(2x + 5)2
1. On définit f comme étant le produit
de deux fonctions dont on connaît
les fonctions dérivées.
On calcule u’(x) et v’(x).
l On calcule f’(x) en utilisant la formule
de dérivation :
(uv)’ = uv’ + u’v.
l On conclut.
l
2. On définit f comme étant le quotient
de deux fonctions dont on connaît
les fonctions dérivées.
l
On calcule u’(x) et v’(x).
On en déduit f’(x) en utilisant la formule
de dérivation :
u ’ u’v – uv’
=
.
v
v2
l
1 2
l On développe le numérateur puis
on conclut.
Mise en pratique
Pour les exercices 5 et 6
Calculez f’(x) en précisant sur quel(s) intervalle(s) votre calcul est valable.
5 a) f(x) = (2x – 1)(5x + 8).
b) f(x) = (1x + 1)2.
c) f(x) = (x2 – x) 1x.
6 a) f(x) = – 43 .
1 – 2x
.
b) f(x) =
x–2
98
c) f(x) =
2 – x2
.
2 + x2
d) f(x) =
2x2
.
1–x
x
7 f est la fonction définie sur par :
3x
.
x2 + 1
1. Démontrez que f est dérivable sur .
Calculez f’(x).
f(x) =
2. Déterminez une équation de la tangente à ,
courbe représentative de f, au point d’abscisse a,
où a est un nombre quelconque.
8 u et v sont les fonctions définies sur – {–1}
3x – 2
–5
et v(x) =
.
x+1
x+1
1. a) Démontrez que u et v sont dérivables sur
]– ∞ ; –1[ et sur ]–1 ; + ∞[.
par u(x) =
b) Calculez u’(x) et v’(x). Que remarquez-vous ?
2. Pour tout nombre x de – {–1}, calculez
f(x) = u(x) – v(x).
Justifiez alors la remarque de la question 1.
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
2
Exploiter le sens de variation d’une fonction
Théorème 6. f est une fonction dérivable sur un intervalle I et sa fonction dérivée est f’.
Si f’ est strictement positive (respectivement strictement négative) sur I, sauf peut-être pour
quelques valeurs où elle s’annule, alors f est strictement croissante (respectivement strictement
décroissante) sur I.
l Si f’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.
l
l
Exercice résolu C
EXERCICES
Objectif
Déterminer le sens de variation
f est la fonction polynôme définie sur par f(x) =
1. Donnez l’expression de f’(x).
2 3 3 2
x + x – 2x – 1.
3
2
2. Dressez un tableau dans lequel vous indiquerez le signe de f’(x) et les variations de f.
3. Déduisez-en les extremums locaux éventuels.
Solution
Méthode
2
3
(3x2) + (2x) – 2 × 1 = 2x2 + 3x – 2.
3
2
2. f’(x) est un trinôme du second degré.
Son discriminant ∆ étant positif
(∆ = 32 + 4 × 4 = 25), le trinôme 2x2 + 3x – 2
1
admet deux racines : x1 = –2 et x2 = .
2
l Le coefficient a est positif (a = 2) donc
1
f’(x) < 0 pour x ∈ –2 ; et f’(x) > 0 pour
2
1
x < –2 ou x > .
2
3. On dresse le tableau de variation de f.
1. f’(x) =
1. On utilise les règles de dérivation.
2. f’(x) est un trinôme du second degré.
Pour étudier son signe, on commence par
rechercher ses éventuelles racines.
l Le trinôme est du signe du coefficient
de x2 sauf entre ses racines.
4
3. On place les valeurs des racines dans
la 1re ligne du tableau.
e
l Dans la 2 ligne, on indique le signe
de la dérivé f’.
e
l Dans la 3 ligne, on indique les valeurs
remarquables de la fonction f ainsi que son
sens de variation en utilisant des flèches.
l
x – ∞
f’(x)
+
f(x)
La lecture du tableau permet de conclure.
–
1/2
0
– + ∞
+
37
24
11
, en –2 et
3
37
1
un minimum local, – , en .
24
2
l
–2
0
11
3
3
f admet un maximum local,
Mise en pratique
Pour les exercices 9 et 10
Les fonctions sont définies et dérivables sur .
11 Dans chacun des cas suivants, étudiez les
variations de la fonction f après avoir déterminé
son ensemble de définition.
1. Donnez l’expression de f’(x).
4
2
2. Déterminez son signe suivant les valeurs de x a) f(x) = 3 –
.
b) f(x) = 2x + 1 +
.
x–3
x+1
puis dressez le tableau de variation de f.
12 Déterminez les extremums locaux éven9 a) f(x) = –x3 + 3x2 + 9x – 4.
tuels des fonctions suivantes :
3
1
b) f(x) = x3 – x – .
a) f : x x(x2 – 1) ;
4
4
4
2
c) f(x) = –x – 4x + 5.
b) f : x 4x3 – 2x2 – 5x – 4.
2
2–x
10 a) f(x) = –3x 2 .
b) f(x) = 1 + 2
. c) f : x 2
.
1+x
x +4
x +1
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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99
EXERCICES
Utiliser le sens de variation pour optimiser et encadrer
Exercice résolu D
H
G
E
N
T
S
R
Q
A
F
1. Vérifiez que le pavé droit a pour volume V(x) = x2(6 – x), avec 0 x 6.
D
C
P
M
ABCDEFGH est un cube de côté 6 centimètres. M est un point de [AB] et N
est un point de [AE] tels que AM = EN = x, avec 0 x 6.
AMPQNRST est un pavé droit de base le carré de côté x et de hauteur [AN].
B
2. Étudiez les variations de la fonction V et dressez son tableau de variation.
3. a) Pour quelle valeur de x le volume est-il maximal ?
b) Déterminez un encadrement du volume V(x) lorsque 3 x 5.
Méthode
Solution
1. V(x) = AM2 × AN = x2(6 – x) = –x3 + 6x2.
1. On utilise la formule donnant le volume
d’un pavé droit.
Rappel
Le volume d’un pavé droit rectangle est V = B × h
où B est l’aire de la base et h la hauteur.
2. On calcule V’(x).
2. V est une fonction polynôme donc V est
dérivable sur I = [0 ; 6].
V’(x) = –3x2 + 12x = –3x(x – 4).
l V’(x) est un polynôme du second degré
dont les racines sont 0 et 4.
Le coefficient du terme en x2 est négatif
(a = –3) donc V’(x) > 0 pour 0 < x < 4 et
V’(x) < 0 pour 4 < x < 6.
l On étudie le signe de V’(x)
V’(x) est un polynôme du second degré.
On recherche ses racines éventuelles.
On détermine alors son signe.
l On dresse le tableau de variation de V
sur [0 ; 6]
On indique d’abord le signe de V’(x).
On en déduit le sens de variation de V.
x 0
V’(x) 0
3
+
V(x)
27
0
3. a) La lecture du tableau permet de
conclure.
b) On note dans le tableau V(3) et V(5), et on
conclut.
4
0
32
5
–
6
25
0
3. a) Le volume est maximal (32 cm3) pour
x = 4.
b) Si 3 x 5, alors 25 V(x) < 32.
Mise en pratique
13 Dans le département de Charente-Mari-
14 ABC est un triangle
rectangle en A.
AC = 4, AB = 3. P est un
point du segment [AC].
On construit le rectangle
1. a) Étudiez les variations de la fonction f définie APMN et on pose AP = x,
avec 0 x 4.
sur [0 ; 30] par :
time, lors d’une épidémie de grippe, le nombre
de personnes malades n jours après l’apparition
des premiers cas est estimée à 30n2 – n3.
n est un entier tel que 0 n 30.
f(x) = 30x2 – x3.
B
3 N
A
M
P
x
C
4
1. a) Calculez MP en fonction de x.
b) Déduisez-en que l’aire !(x) du rectangle
3
2
2. a) Déduisez de la question précédente le jour MNAP est égale à (4x – x ).
4
où le nombre de personnes malades est maximal 2. a) Étudiez les variations de la fonction ! sur
durant cette période de 30 jours.
l’intervalle [0 ; 4].
b) Dressez le tableau de variation.
b) Précisez le nombre de personnes malades ce b) Déduisez-en la valeur de x pour laquelle ! est
maximale.
jour-là.
100
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Po u r
15
Questions sur le cours
16 Vrai ou faux
Complétez les propositions suivantes.
1. u et v sont deux fonctions dérivables sur I.
a) (uv)’ = ……
b) (u + v)’ = ……
u ’
= ……
c) v ne s’annulant pas sur I,
v
2. Multiplier une fonction dérivable par une
constante l multiplie sa dérivée par ……
3. f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) Si, pour tout nombre x de I, f’(x) > 0, alors, sur I,
f est ……
b) Si, pour tout nombre x de I, f’(x) < 0, alors, sur I.
f est ……
4. f est une fonction définie sur et, pour tout
nombre x de ]–2 ; 1[, f(x) f(0). f(0) est un ……
Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ?
Justifiez votre réponse.
a) La fonction définie sur par f(x) = –2x3 + 6x – 3
est croissante sur [0 ; 1].
b) La dérivée d’une fonction polynôme de degré 3
est une fonction polynôme de degré 2.
c) Il existe des fonctions dérivables sur qui n’ont
pas de maximum sur .
d) Si f est dérivable et strictement croissante sur
alors, pour tout nombre x, f’(x) > 0.
e) Deux fonctions dérivables sur qui ont la même
fonction dérivée sont égales.
f) Ajouter une constante à une fonction ne change
pas sa dérivée.
1 2
17
QCM
EXERCICES
se tester
Une seule réponse exacte
Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse.
1. g est la fonction définie sur
par :
–2x3 + 6x – 4
,
3
alors g’(x) est égal à :
g(x) =
a) –6x + 6
b) –2x2 + 2
c) –6x2 + 6
4
d) –2x2 + 2x –
3
2. h est la fonction définie sur
– {–1} par :
x2 – 2x
h(x) =
.
x+1
a) h’(x) = 2x – 2.
b) Si –1 < a < b, alors h(a) > h(b).
c) La courbe représentative de h
admet deux tangentes horizontales.
d) La tangente à la courbe représentative de h au point d’abscisse 1
1
a pour coefficient directeur .
2
18 QCM Au moins une réponse exacte
Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.
1. La courbe ci-contre
y
représente une fonction f dérivable sur
I = [–1,5 ; 1,6].
a) La courbe admet
1
trois tangentes horizontales.
O
b) La fonction dérivée
de f est positive sur
[0 ; 1,6].
c) Pour tout nombre x de I, –2 < f(x) < 3,5.
1
x
2. f et g sont deux fonctions dérivables en 2 avec :
l f(2) = 0 l f’(2) = 3 l g(2) = –4 l g’(2) = –1
a) (f + g)’ (2) = 2.
b) (f × g)’ (2) = –3.
c) (f/g)’ (2) = –12.
d) (f 2)’ (2) = 0.
3. f est la fonction définie sur par :
f(x) = ax3 + bx2 – ax + c (a > 0).
a) f’(x) = 3ax2 + 2bx – a.
b) f’ change de signe.
c) f n’admet aucun extremum local.
d) f’ est monotone.
Voir les corrigés p. 366
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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101
EXERCICES
Apprendre à chercher
19 Comparaison de fonctions
Les fonctions f et g sont définies sur par f(x) = x4 – 3x + 1
et g(x) = 2x3 – 3x – 1.
Objectif Comparer ces fonctions.
1. Pour se faire une idée, on peut observer les représentations graphiques de f et g à l’aide d’une calculatrice ou
de GeoGebra.
20 Minimiser une distance
Dans un repère orthonormé (O ; I, J), 3 est la parabole
d’équation y = x2. M est un point quelconque de 3
d’abscisse x, et A est le point de coordonnées (0 ; 1).
x2
M
A J
O
I x
activités de recherche
Objectif Trouver la position du point M telle que la
distance AM soit minimale.
1. Pour se faire une idée, on peut construire la figure
avec GeoGebra et déplacer le point M.
Quelle conjecture faites-vous ?
Quelle conjecture faites-vous ?
2. Comparer f et g signifie trouver l’ensemble des
nombres x tels que f(x) > g(x) et l’ensemble des nombres
x tels que f(x) g(x). En général le plus simple est
d’introduire la fonction « différence » d définie sur par
d(x) = f(x) – g(x) puis d’étudier le signe de d(x).
Trouvez et simplifiez d(x) = f(x) – g(x).
3. Le signe de d(x) n’est pas évident. On pense alors à
étudier, par dérivation, les variations de la fonction d
définie sur par d(x) = f(x) – g(x).
a) Vérifiez que d est dérivable sur et calculez, pour
tout nombre x de , d’(x).
b) Étudiez le signe de d’(x).
c) Dressez le tableau de variation de d.
d) Le tableau laisse apparaître un minimum. Quelle
est sa valeur ? Que peut-on en déduire quant au signe
de d(x) ?
e) Concluez.
Commentaire
On a pu conclure facilement car, pour tout x de , d(x) > 0. Cela aurait
été aussi le cas si d avait eu un maximum négatif (d(x) < 0).
En dehors de ces deux cas, établir le signe de f(x) à partir du tableau de
variations de d est plus difficile : il faut faire apparaître les antécédents
de zéro par d, c’est-à-dire être capable de résoudre l’équation d(x) = 0, ce
que l’on ne sait pas toujours faire.
102
2. On admet que « il existe un point M tel que AM est
minimal » équivaut à « il existe un point M tel que AM2
est minimal ».
Connaissant A(0 ; 1) et M(x ; x2), on calcule AM2 en fonction de x.
Démontrez que AM2 = x4 – x2 + 1.
3. La parabole admet l’axe des ordonnées pour axe de
symétrie, il suffit donc d’étudier les variations de la fonction f définie par f(x) = x4 – x2 + 1 sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
a) Calculez f’(x) et étudiez son signe.
b) Dressez le tableau de variation de f sur [0 ; + ∞[.
c) Déduisez de ce qui précède qu’il existe deux points M
pour lesquels la distance AM est minimale. Calculez
cette distance.
4. Pour obtenir les points M qui répondent au problème
posé, on utilise le fait que leurs abscisses sont des
nombres remarquables, liés à une configuration classique : le carré.
a) Construisez le carré OIKJ de centre W.
b) Le cercle de centre O passant par W coupe l’axe des
abscisses en deux point, L1 et L2.
Préciser les abscisses de L1 et de L2.
c) Déduisez de ce qui précède, la construction des
points M de la parabole pour lesquels la distance AM
est minimale.
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous
devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas
permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé
de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.
22 Un triangle d’aire minimale
1. Que pensez-vous de l’affirmation suivante :
« De tous les rectangles d’aire 16 cm2, le carré est celui
de périmètre minimal » ?
D
x
C
16 cm2
A
y
B
2. Plus généralement, l’affirmation précédente est-elle
encore vraie si l’aire du rectangle est égale à a, avec
a > 0 ?
Eux aussi,avant
erché
ils ont chro
t
de uver !
– 200
ANTIQUITÉ
Dans un repère orthoN
A
normé (O ; I, J), on donne
2
le point A(3 ; 2).
J
M
M est un point de coorO I
3
données (x ; 0), avec x > 3.
La droite (AM) coupe l’axe des ordonnées en N. Après
avoir démontré que :
x2
aire (OMN) =
,
x–3
trouvez la position exacte de M pour laquelle l’aire du
triangle OMN est minimale.
Chercheurs d’hier
Voici quelques mathématiciens importants
qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.
al-Khuwārizmī
Chap. 1
800
1600
MOYEN ÂGE
Gottfried Leibniz Leonhard Euler
Chap. 3
Chap. 2
1700
1800
ÉPOQUE MODERNE
1900
ÉPOQUE CONTEMPORAINE
Archimède
Chap. 5
Benoît Mandelbrot
Chap. 6
Isaac Newton
(1643-1727)
activités de recherche
21 Un rectangle de périmètre minimal
EXERCICES
Narration de recherche
Newton est considéré au même titre que Leibniz
comme le fondateur du calcul différentiel.
Ses travaux sur les fonctions et les courbes
sont de première importance.
Il est aussi célèbre pour ses travaux
sur la gravitation (la pomme…).
Il prétendait que l’on peut comprendre tout l’Univers
grâce à de simples lois mathématiques.
ur le Web http:/www.astrofiles.net/astronomieS
isaac-newton
Un œuvre majeure
dans l’histoire des sciences.
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
103
EXERCICES
Utiliser GeoGebra
Pour résoudre un problème d’optimisation
TP 23 Recherche d’une aire minimale
Compétences
Mathématiques
TICE
activités de recherche
Construire une figure
Utiliser l’affichage des grandeurs pour conjecturer un résultat
Construire le point solution
Calculer l’aire d’une figure
Utiliser le théorème de Thalès
Transformer une écriture algébrique
Étudier les variations d’une fonction
ABCD est un carré de côté 10.
M est un point du segment [AB]. On pose AM = x.
Les segments [DM] et [AC] se coupent en E.
On note !(x) l’aire de la figure formée par les deux triangles
AEM et DEC (surface colorée sur le dessin).
Le but de l’exercice est de déterminer pour quelle position
de M sur [AB] l’aire !(x) est minimale.
1. Réaliser la figure
outil 1
a) Construisez le segment [AB] de longueur 10
(icône ), puis construisez le carré ABCD.
b) Placez le point M sur [AB]. Construisez les
segments [DM] et [AC], puis créez le point E.
c) Créez les triangles AEM et DCE. Leurs aires
s’affichent dans la fenêtre Algèbre : poly2 et poly3.
Aide
Pour créer le carré ABCD, sélectionnez l’icône , cliquez sur
A puis sur B, et indiquez 4 pour le nombre de points.
l Pour créer le triangle AEM par exemple, sélectionnez l’icône
, cliquez sur les points A, E et M, puis de nouveau sur A.
l
2. Conjecturer avec GeoGebra
a) Définissez l’aire !(x) dans la zone de saisie.
b) Déplacez le point M sur [AB] et observez les variations de l’aire dans la fenêtre Algèbre.
Conjecturez la position du point M pour laquelle l’aire !(x) est minimale et une valeur approchée de
cette aire.
3. Démontrer
La perpendiculaire à (AB) passant par E coupe [AB] en H et [CD] en H’.
On note h la longueur EH.
h
x
= .
10 – h 10
10x
5x2 + 500
.
d) Montrez que !(x) =
.
c) Déduisez-en que h =
10 + x
x + 10
e) Étudiez les variations de la fonction ! et répondez au problème posé.
a) Démontrez que AHEM est un carré.
b) Justifiez l’égalité :
4. Construire le point solution
Tracez le cercle de centre C et de rayon 10 cm qui coupe [AC] en un point F. Puis
tracez le cercle de centre A et de rayon AF. Démontrez que ce dernier cercle
coupe le segment [AB] en un point qui répond au problème posé.
104
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Pour résoudre un problème d’optimisation
TP 24 Recherche d’un volume maximal
EXERCICES
Utiliser GeoGebra
Compétences
TICE
Mathématiques
Construire une figure à l’aide d’un logiciel de
géométrie dynamique
Utiliser l’affichage des grandeurs pour conjecturer un résultat
Calculer la dérivée d’une fonction
Étudier les variations d’une fonction et déterminer un maximum
Il constate que son problème peut se réduire à la recherche d’un rectangle ABCD d’aire maximale,
comme l’indique la figure ci-contre, le sommet A étant un point de la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; 10] par f(x) = 21x.
1. Conjecturer avec GeoGebra
a) Créez la courbe et un point A sur cette courbe.
b) Créez la droite d’équation x = 10, puis les droites perpendiculaires
aux axes passant par A.
Aide
Pour la courbe, saisissez f(x) = 2 sqrt(x).
c) Créez les points d’intersection B, C et D et enfin le rectangle ABCD dont l’aire, « poly1 », s’affiche dans
la fenêtre Algèbre.
activités de recherche
Un artisan envisage de construire, sous un hangar dont la base est un carré
de vingt mètres de côté, une salle ayant la forme d’un parallélépipède rectangle. Il souhaite obtenir un volume maximal.
d) Déplacez le point A sur la courbe et observez l’évolution du nombre « poly1 ».
Conjecturez la position de A pour laquelle le nombre « poly1 » est maximal.
2. Démontrer
On note x l’abscisse du point A.
a) Prouvez que l’aire (en m2) du rectangle ABCD est égale à 2(10 – x) 1x.
b) Notons g la fonction définie sur ]0 ; 10] par g(x) = 2(10 – x) 1x.
Justifiez la dérivabilité de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; 10] puis exprimez g’(x).
c) Déduisez de ce qui précède les variations de la fonction g.
Pour quelle valeur de x l’aire du rectangle ABCD est-elle maximale ?
d) Concluez en donnant les dimensions pour lesquelles le volume de la salle est maximal, puis calculez
ce volume à 1 m3 près.
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
105
EXERCICES
Entraînement
de tête
Dérivées et tangentes
25 La fonction f est définie sur par :
f(x) =
1 3 1 2
x + x + x + 1. Calculez f’(x).
3
2
26 est la courbe représentative de la fonction f
définie sur par f(x) = 3x4 + 4x3 + 5x + 1.
Quel est le coefficient directeur de la tangente à au
point d’abscisse 1 ?
27 Quel est le sens de variation de la fonction f
définie sur par f(x) = x3 + 3x ?
28 La fonction f définie sur par f(x) =
elle décroissante sur [–1 ; 1] ?
1 3
x – x est3
29 La fonction f est définie sur par f(x) = x3 + x.
Lorsque x appartient à l’intervalle [–2 ; 0], à quel intervalle appartient f(x) ?
Pour les exercices 39 à 41
Déterminez une équation de la tangente à la courbe
représentative de la fonction f au point d’abscisse a.
x+3
et a = –1.
1 – 2x
1
f(x) = x2 + 1 – 2
et a = 0.
x +1
39 f(x) =
40
41 f(x) = (4x + 8)1x et a = 4.
3x
.
+1
1. Pourquoi f est-elle dérivable sur ? Calculez f’(x).
42 La fonction f est définie sur par f(x) =
2. Déterminez une équation de la tangente à la courbe
représentative de f au point d’abscisse a, où a est un
nombre quelconque.
43 La fonction g est définie sur par :
30 La fonction f est définie sur par f(x) = –x2 + 2x.
Si x appartient à l’intervalle [0 ; 3], à quel intervalle
appartient f(x) ?
Opérations sur les fonctions
dérivées
Pour les exercices 31 à 37
Calculez f’(x) sur l’intervalle I indiqué.
1
31 f(x) = – x4 + 3x3 – 2x2 + 4x + 1 et I = .
32
4
f(x) = (3x – 1)(x + 1)2 et I = .
33 f(x) = (1x + 1)2 et I = ]0 ; + ∞[.
3 2x
–
et I = ]0 ; + ∞[.
4x 5
1
1
et I =
; + ∞ .
35 f(x) =
(1 – 2x)2
2
x2 – 2x + 3
et I = ]– ∞ ; 4[.
36 f(x) =
4–x
1
et I = ]– ∞ ; 3[.
37 f(x) = 2x –1 +
3–x
38 f et g sont deux fonctions définies sur – {2} par
4x + 1
9
f(x) =
et g(x) =
.
x–2
x–2
1. a) Prouvez que f et g sont dérivables sur ]– ∞ ; 2[ et
sur ]2 ; + ∞[.
x2
g(x) =
1. Calculez g’(x).
x3
5
+ x2 – 8.
3
2
2. Démontrez que la courbe représentative de g admet
deux tangentes horizontales. Précisez les abscisses des
points correspondants.
44 La fonction f est définie sur par f(x) = 2x4 – 8x2 + 6.
Démontrez que la tangente à la courbe représentative
de f au point d’abscisse –1 passe par le point A(0 ; 8).
45 La courbe ci-dessous est
une partie de la courbe représentative de la fonction f définie
sur par :
1
1
f(x) = x4 + x3 + x2.
4
2
y
1
O
1 x
34 f(x) =
4
106
3
1. En combien de points la courbe semble-t-elle avoir
une tangente parallèle à l’axe des abscisses ?
2. Par le calcul, trouvez la valeur exacte des abscisses de
ces points.
46 f est la fonction définie sur – {–1} par f(x) =
et est sa courbe représentative.
2x
,
x+1
1. a) Démontrez que f est dérivable sur chacun des
intervalles ]– ∞ ; –1[ et ]–1 ; + ∞[.
b) Calculez f’(x).
b) Calculez f’(x) et g’(x). Que remarquez-vous ?
2. Quels sont les points de en lesquels la tangente à
est parallèle à la droite d’équation y = 4x ?
2. Calculez f(x) – g(x). Justifiez alors la remarque de la
question 1.
3. Existe-t-il des tangentes à passant par le point
A(0 ; 1) ?
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
1. La courbe admet-elle des tangentes parallèles à
l’axe des abscisses ?
5. La propriété établie est-elle vérifiée par la fonction
h : x 6x + 1 + 2x + 1 ?
x3
2x2
2. La courbe admet-elle des tangentes parallèles à la
droite d’équation y = 3x –5 ?
Si oui, précisez en quels points.
48 Avec GeoGebra, on a obtenu la courbe représentant la fonction f définie sur par :
f(x) = –x4 + 2x2 + x
et la tangente T à cette courbe au point A(–1 ; 0).
EXERCICES
f(x) = +
+ 3x + 1
est sa courbe représentative.
b) Déterminez l’équation réduite de la tangente de la
courbe P représentative de P au point d’abscisse 0.
Énoncez la propriété établie.
47 f est la fonction définie sur par :
Positions relatives
d’une courbe et d’une
de ses tangentes
51 La fonction f est définie sur par f(x) = x3 + x2 – x.
On appelle sa courbe représentative. Le but de
l’exercice est d’étudier la position de la courbe par
rapport à sa tangente T au point d’abscisse 1.
1. Donnez l’équation réduite de T.
2. On considère la fonction g définie par :
g(x) = f(x) – (4x – 3).
a) Étudiez les variations de g et dressez son tableau de
variation.
Cette droite T semble être tangente à la courbe en un
second point. Démontrez-le.
49 f est la fonction définie sur par :
f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 4
et est sa courbe représentative.
1. Déterminez les points de en lesquels la tangente a
pour coefficient directeur 3.
T1
2. On a tracé ci-contre une par5
T2
tie de la courbe représentative de la fonction f.
4
Il semble que par le point A(0 ; 4)
on puisse mener à deux tangentes. Démontrez-le.
50 1. On considère la fonction polynôme f définie
sur par f(x) = x3 – 3x2 + 5x + 1.
a) Donnez l’expression de f’(x).
b) Déterminez l’équation réduite de la tangente à la
courbe f représentative de f, au point d’abscisse 0.
Vérifiez à l’aide de votre calculatrice.
2. Faites de même avec la fonction polynôme :
g : x x3 – 2x2 – 3x + 2.
3. Que remarquez-vous concernant l’équation réduite
de la tangente au point (0 ; g(0)) ? Éventuellement,
recommencez avec une ou plusieurs fonctions polynômes de votre choix.
4. a, b, c et d sont quatre nombres réels (a ≠ 0). P est la
fonction polynome définie sur par :
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
a) Calculez P(0) et P’(0).
b) Calculez g(–3). Placez –3 et g(–3) dans le tableau de
variation.
c) Déduisez-en le signe de g(x) suivant les valeurs de x
et concluez.
52 Avec la calculatrice
À l’aide d’une calculatrice, on a obtenu la droite d’équa5
tion y = x – 4 et la courbe représentant la fonction f
3
définie sur par f(x) = x2 – 4x + 4.
La droite semble tangente à la courbe.
Est-ce bien le cas ?
53 Avec la calculatrice
Sur l’écran de la calculatrice sont affichées (en partie) les
représentations graphiques des fonctions :
1
2
l f : x x – x + 1 ; l g : x
.
1+x
1. Distinguez l’arc de parabole lié à f de l’arc d’hyperbole lié à g.
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
107
EXERCICES
2. a) Quelle conjecture pouvez-vous faire en ce qui
concerne d’éventuels points communs à ces deux
courbes ?
y
1
y
a
b) Démontrez-le par le calcul.
b) Démontrez-le par le calcul ?
1
–1 1
3. a) Quelle conjecture pouvez-vous faire en ce qui
concerne les tangentes à chacune de ces courbes en un
point commun ?
x
–1 O 1 2
O 1 2
y
2
y
b
Sens de variation
O 1 2
O 1 2
55 f(x) =
57
58
59
f(x) =
1
x
f’(x)
1
O
2
f
x
– ∞ –2
+
0
–1
–
0
–
0
+
1
5
+ ∞
0
–
2
–1
3. Esquissez une courbe possible pour f.
64 f est la fonction définie sur par :
1
x
3
1
x
62 Les courbes suivantes représentent trois fonctions
(courbes 1 , 2 , 3 ) et leurs fonctions dérivées (courbes
a , b , c ) dans un ordre arbitraire.
Observez attentivement ces courbes et associez à
chaque fonction sa fonction dérivée.
108
O 1 2
1 3
x – x + 2.
3
1. Dressez le tableau de variation de f sur .
f(x) =
2. Déterminez un encadrement de f(x) sur les intervalles :
l [0 ; 1] l [0 ; 3] l [–3 ; 0] l [–3 ; 3].
1
O
1
2. f possède-t-elle des extremums locaux ?
y
3
–1
1. Quel est l’ensemble de définition de f ? Quel est celui
de f’ ?
y 2
O
1
x
x
1
x
2
fonction f :
2x2 – 4x + 4
et I = .
x2 – 2x + 6
1
y
c
63 On donne le tableau suivant concernant une
61 La figure ci-contre est la
y 1
représentation graphique d’une
fonction f dérivable sur ]0 ; + ∞[.
O 1
Parmi les trois courbes ci-dessous,
quelle est celle qui est susceptible
de représenter la fonction dérivée f’ de f ?
y
–1 O 1
60 f(x) = (3 – x)1x et I = ]0 ; 9].
1
x
y
3
2 3 5
x + x – 5 et I = .
3
6
x2
f(x) = 2x4 – 3x3 +
+ 3 et I = .
2
x2 + 2x + 4
f(x) =
et I = [–6 ; 0[.
x2
1
f(x) = 1 – x –
et I = ]1 ; + ∞[.
x–1
x
–1 1
Pour les exercices 54 à 60
Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle I
indiqué, où elle est définie et dérivable.
56
1
–1
54 f(x) = –x3 + 3x2 – 4 et I = .
x
65 « Pour tout » et « Il existe »
LOGIQUE
Les phrases suivantes permettent-elles d’affirmer
que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I ? Justifiez votre réponse. Si la réponse est
négative, trouvez un contre-exemple.
1. Il existe un nombre x appartenant à I tel que f’(x) > 0.
2. Pour tout nombre x de I, f’(x) > 0.
3. Pour tout nombre x de I, f’(x) > 0.
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
1. Calculez f”(x) et étudiez son signe.
2. Déduisez-en les variations de f’.
3. Calculez f’(1), puis déduisez des questions précédentes le signe de f’(x) suivant les valeurs de x.
4. Étudiez enfin les variations de f.
Extremums locaux.
Encadrements
67 a) Étudiez les variations de la fonction f définie sur
1
.
x
b) Démontrez que, quel que soit le nombre x strictement postif, la somme de x et de son inverse est supérieure ou égale à 2.
l’intervalle ]0 ; + ∞[ par f(x) = x +
68 Avec la calculatrice
À l’aide d’une calculatrice, on a obtenu la courbe représentant la fonction f définie sur par :
x2 + 2x + 3
f(x) =
.
4x2 + 1
h
EXERCICES
71 La hauteur d’un cône
de révolution mesure 24 cm,
et le rayon de la base, 8 cm.
On veut inscrire, dans ce
cône, un cylindre de révolution dont le volume V soit le
plus grand possible.
24 cm
Note f” se lit « f seconde ».
Optimisation
1. Démontrez que h = 3(8 – r).
r 8 cm
2. a) Déduisez-en que le
volume V est défini sur [0 ; 8]
par V(r) = 3pr2(8 – r).
b) Étudiez les variations de V puis déduisez-en la valeur
de r pour laquelle V(r) est maximal. Quelle est alors la
hauteur h ?
72 Dans une sphère de
centre O et de rayon 4 centimètres, on inscrit un cône de
révolution de hauteur h. On
note r le rayon de base du cône.
1. Utilisez le théorème de
Pythagore dans le triangle BOH
pour démontrer que :
r = 9h(8 – h).
A
h
O
4
66 Avec la dérivée de la dérivée
La fonction f est définie sur par :
f(x) = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 5.
On note f’ la dérivée de f et f” la dérivée de f’.
B
H
C
r
2. On note V(h) le volume du cône. Démontrez que :
1
V(h) = p (8h2 – h3).
3
3. a) Étudiez les variations de V sur l’intervalle [0 ; 8].
b) Déduisez la valeur de h pour laquelle le volume est
maximal.
Elle semble atteindre un maximum local en zéro.
Est-ce bien le cas ?
73 Un enclos
69 f est la fonction définie sur par :
f(x) = x4 – 8x2 + 2.
1. Étudiez les variations de f et dressez son tableau de
variation.
2. Précisez les extremums locaux de f.
3. Dans chaque cas, donnez un encadrement de f(x)
lorsque x vérifie la condition donnée :
a) x ∈ [–2 ; 1] ;
b) 0 x 3 ;
c) x ∈ [–2 ; 2].
70
f est la fonction définie sur par :
f(x) = –2x2 + 4x – 3.
1. Étudiez les variations de f.
2. Déduisez-en le minimum sur de la fonction g
1
définie sur par g(x) =
.
f(x)
Contre le mur de sa grange un fermier veut construire
un enclos grillagé rectangulaire.
Il dispose pour cela de quarante mètres de grillage pour
clore trois côtés du rectangle (le 4e côté étant une partie
du mur).
Démontrez que la surface de l’enclos est maximale
lorsque la longueur est égale au double de la largeur.
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
109
EXERCICES
75 Éclairement
On utilise dans cet exercice la propriété physique
suivante :
« Lorsqu’un point M est situé à une distance d d’une
source lumineuse de puissance p, l’intensité de l’éclairep
ment en M est égale à 2 . »
d
A et B sont deux sources lumineuses de puissances
respectives p et 8p. M est un point de [AB], distinct de A
et B. On pose AB = , et AM = x avec 0 < x < ,.
77 Volume d’une bouée
Une bouée a la forme d’un double-cône de génératrice
3 dm. On désigne par h (en dm) la hauteur du cône et
par r (en dm) le rayon de sa base. On souhaite déterminer
h et r pour que le volume de la bouée soit maximal.
1. Exprimez le volume V de la bouée
en fonction de r et h.
2. Justifiez que ce volume peut s’écrire
2
sous la forme V(h) = p(9h – h3),
3
h ∈ [0 ; 3].
m
3d
74 Un autre enclos
Le fermier de l’exercice 73 envisage de construire, le
long du mur de sa grange, un second enclos rectangulaire grillagé.
Il souhaite que l’aire de l’enclos soit de 200 m2.
Pour clore trois côtés du rectangle (le 4e étant le mur), il
veut utiliser le minimum de grillage.
Pouvez-vous l’aider à choisir les dimensions de l’enclos ?
h
r
3. a) Étudiez les variations de la fonction V qui à h associe V(h).
b) Déduisez-en que V admet un
maximum V0 pour un nombre h0
dont on donnera la valeur exacte.
4. a) Calculez une valeur approchée, en dm3, de V0 à
10–3 près.
b) Exprimez en fonction de h0 le rayon r0 de la base
correspondant à ce volume maximal.
M
A
B
1. Démontrez que l’intensité de l’éclairement en M est
p
8p
.
égale à 2 +
x
(, – x)2
2. Où faut-il choisir M sur [AB] pour que l’intensité soit
minimale ?
Aide
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).
76 On considère le demi-cercle de diamètre [AB],
(AB = 6). H est un point du segment [AB] distinct de A et
de B. On note x la longueur AH. La perpendiculaire en H
à (AB) coupe en M. K est le pied de la hauteur issue de
H dans le triangle MHB.
M
78 Avec un bout de ficelle
À l’aide d’un bout de ficelle d’un mètre de long, on
réalise un carré de côté c et un triangle équilatéral de
côté a.
1m
c
K
A
H
B
x
L’objectif de cet exercice est de déterminer pour
quelle(s) position(s) de H sur ]AB[, le segment [HK] a une
longueur maximale. On note HK = f(x).
1. a) En exprimant cos(jBAM) de deux manières différentes, prouvez que AM = 46x.
b) Justifiez le parallélisme de (HK) et de (AM) et dédui16
sez-en que f(x) =
(6 – x)1x.
6
2. a) f est définie et dérivable sur ]0 ; 6[. Exprimez f’(x).
b) Déduisez-en les variations de f et concluez.
110
c
c
c
c
c
c
a
a
a
a
a
On se pose la question suivante :
Comment effectuer le découpage de ce bout de ficelle
pour que la somme des aires du carré et du triangle soit
minimale ?
1 – 3a
1. Démontrez que c =
.
4
2. a) Calculez, en fonction de a, l’aire du carré et celle
du triangle.
b) Déduisez-en que la somme S(a) des aires est égale à :
1
319 + 413 2a2 – 6a + 14.
16
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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79 Signe du taux
d’accroissement
A L G O R IT
H M IQ U E
On considère la fonction F1 définie sur l’intervalle
1 3
1
; par F1(x) = x + .
;
I=
2 2
x
L’algorithme suivant, écrit avec AlgoBox, a pour objectif
de déterminer le signe du taux d’accroissement de f
1
entre deux valeurs de x distantes de h, avec h = et
n
où n est choisi par l’utilisateur.
3
8
12
x
4
h
0,5
80 Un cube
Dans une pièce de bois parallélépipédique de longueur
12, de largeur 8 et d’épaisseur x (en cm), on extrait un
cube d’arête x.
EXERCICES
3. a) Déduisez-en la valeur de a pour laquelle S(a) est
minimale.
a
b) Vérifiez que, dans ce cas, = 13.
c
h
h
1,5
x
x
Comment choisir x pour que le volume restant soit
maximal ?
81 Une distance minimale
1. f est la fonction définie sur par :
f(x) = x4 – x2 + 1.
a) Calculez, pour tout nombre x de , f’(x).
b) Étudiez les variations de f et dressez son tableau de
variation.
2. Dans un repère orthonormé (O ; I, J), 3 est la parabole
d’équation y = 1 – x2.
J
M
O
x
I
M est un point de 3 d’abscisse x.
a) Démontrez que OM2 = f(x).
b) On admet que « il existe un point M tel que la distance OM est minimale » équivaut à « il existe un point
M tel que la valeur de OM2 est minimale ».
Quelles sont les coordonnées des points de la parabole 3 qui sont les plus près de l’origine O ?
82 L’aire du trapèze
On note f la fonction définie sur par :
f(x) = (x + 3)2 (3 – x).
1. Dressez le tableau de variation de F1 sur l’intervalle I.
2. a) Pour n = 10, l’affichage est - - - - - + + + + +.
Est-ce en accord avec votre tableau de variation ?
b) Pour n = 100, l’affichage est : 50 signes « – » et
49 signes « + », séparés par le nombre 1. Sur quel
intervalle peut-on affirmer que le taux est strictement
inférieur à 0,01 (ligne 14) ?
1. a) Calculez f’(x).
b) Étudiez les variations de f et dressez son tableau de
variation.
c) Lorsque x décrit l’intervalle [0 ; 3], donnez un encadrement de f(x).
2. Application
Un fabricant d’accessoires de tuning veut produire
des autocollants pour le capot de certains modèles de
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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111
EXERCICES
voitures. Il souhaite que l’image, trapézoïdale, ait la plus
grande surface possible.
N
d) Étudiez les variations de la fonction f définie sur ]0 ; 2]
(x2 + 4)2
par f(x) =
.
4x
e) Déduisez-en la valeur exacte de m pour laquelle l’aire
du triangle est minimale. Le résultat est-il conforme à
votre conjecture ?
M
1
B
O
1
x
A
Dans un repère orthonormé, est la parabole d’équa9 – x2
tion y =
.
2
A et B sont les points de 3 de coordonnées respectives
(3 ; 0) et (–3 ; 0).
M et N sont les points de 3 d’abscisses respectives x et
–x, avec 0 x 3.
Déterminez la valeur de x pour laquelle l’aire du trapèze
AMNB est maximale.
Avec les tice
83 Une aire minimale
Dans un repère orthonormé, la parabole a pour
équation y = 4 – x2.
M est un point de d’abscisse m tel que m appartient
à ]0 ; 2].
La tangente en M à coupe les axes de coordonnées
en A et B.
On s’intéresse à l’aire du triangle OAB lorsque m décrit
l’intervalle ]0 ; 2].
1. Conjecturer avec GeoGebra
a) Créez la parabole en saisissant y = 4 – x2, puis créez
le point M sur .
b) Créez la tangente en M à , puis les points A et B.
c) Créez le triangle OAB. Son aire (poly1) s’affiche dans
la fenêtre Algèbre.
d) Déplacez M sur et conjecturez l’abscisse de M pour
laquelle l’aire du triangle OAB est minimale.
2. Démontrer
a) Trouvez en fonction de m une équation de la tangente
en M à .
b) Déduisez-en les coordonnées de A et B.
c) Démontrez que l’aire !(m) du triangle OAB est égale
(m2 + 4)2
.
à
4m
112
ROC
Restitution organisée
de connaissances
84 Dérivées de u2 et de u3
Prérequis :
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I,
alors la fonction uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’.
1. Démonstration
Démontrez que si u est une fonction dérivable sur I,
alors :
a) u2 est dérivable sur I et (u2)’ = 2uu’.
b) u3 est dérivable sur I et (u3)’ = 3u2u’.
2. Application
Justifiez que les fonctions suivantes sont dérivables
sur R. Calculez l’expression de leurs dérivées.
a) f(x) = (3x – 1)2.
3
x
+3 .
b) g(x) =
2
1
2
Prendre toutes
les initiatives
85 La droite d’équation y = 7x + 9 peut-elle être
tangente à la courbe d’équation y = x3 + 4x + 11 ?
Si oui, précisez en quel(s) point(s) ?
86 f est la fonction définie sur par :
f(x) = 8x4 – 8x2 + 1.
Démontrez que :
f(x) ∈ [–1 ; 1] équivaut à x ∈ [–1 ; 1].
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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87 Une fonction f est définie sur ]0 ; + ∞[ par :
c
f(x) = ax + b + ,
x
où a, b et c sont des nombres.
On connaît son tableau de variation :
x
f’(x)
0
1
+
f(x)
3
0
–5
+ ∞
–
–9
5
88 f est une fonction définie sur par :
–2
f’(x)
+
0
0
–
0
+ ∞
+
5
f(x)
x
–2
f’(x)
0
–1
–
0
–
0
+ ∞
+
1. Donnez les variations de f.
2. Si –1 < a < b < 0, comparez f(a) et f(b).
4. Si a = –2 et b = 0, peut-on comparer les nombres f(a)
et f(b) ?
On sait de plus que f peut s’écrire sous la forme :
x2 + mx + n
x
,
x+p
où m, n et p sont des nombres, p étant non nul, et que
f(0) = –1 ;
Trouvez la fonction f satisfaisant aux propriétés précédentes.
90 Avec la calculatrice
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d,
où a, b, c et d sont des nombres.
On connaît son tableau de variation :
– ∞
le signe de sa dérivée est donné par le tableau suivant :
3. Si –1 < a < b < 2, peut-on comparer les nombres f(a)
et f(b) ?
1. À l’aide des renseignements portés dans ce tableau,
montrez que a, b et c sont solutions du système :
c = 9a
a + b + c = –9
c
3a + b + = –5
3
2. Résolvez ce système et déduisez-en f(x).
x
l
EXERCICES
Approfondissement
1
1. a) À l’aide des renseignements portés dans ce tableau,
montrez que a, b, c et d sont solutions du système :
d = 1
c = 0
12a – 4b + c = 0
–8a + 4b – 2c + d = 5
5
b) Déduisez-en f(x).
2. a) Déterminez une équation de la tangente T à la
courbe # représentative de f au point d’abscisse 1.
b) Quel est le point de # en lequel la tangente est
parallèle à T ?
3. a) La proposition suivante est-elle vraie :
« si x –3, alors f(x) > 0 » ?
b) La réciproque de cette proposition est fausse. Trouvez
un contre-exemple.
89 On considère une fonction f dont on ne connaît
que quelques propriétés :
l f est définie sur l’ensemble
D = [–2 ; –1[ ∪ ]–1 ; + ∞[ ;
l f est dérivable sur chacun des intervalles de D ;
l sa dérivée f’ s’annule en –2 et en 0 ;
La fonction f est définie sur par :
f(x) = –x2 + 7x – 4.
La fonction g est définie sur ]– ∞ ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[ par :
x+4
g(x) =
.
x–1
On appelle #f et #g leurs courbes représentatives
respectives dans un repère orthogonal.
1. Faites afficher à l’écran de votre calculatrice les
courbes #f et #g.
Conjecturez leur position relative.
2. Dressez, en justifiant, le tableau de variation de la
fonction f.
3. a) Justifiez que la fonction g est dérivable sur ]– ∞ ; 1[
et sur ]1 ; + ∞[.
b) Calculez g’(x) et dressez le tableau de variation de g.
4. Calculez la différence g(x) – f(x) et étudiez son signe.
Déduisez-en la position relative des courbes #f et #g.
91 Une entreprise souhaite fabriquer une boîte
parallélépipédique à base carrée de 128 cm3 de volume.
Le fond et le couvercle lui reviennent à 0,04 e le cm2,
les faces latérales à 0,02 e le cm2. En centimètres, on
désigne par x le côté de la base et par h la hauteur,
exprimés en centimètres.
1. Exprimez h en fonction de x.
2. Déduisez-en que le prix de revient est, en centimes
1 024
d’euros, p(x) = 8x2 +
.
x
3. Étudiez les variations de p.
4. Pour quelles dimensions le prix de revient est-il
minimal ?
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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113
EXERCICES
92 En économie
Une entreprise fabrique et vend un produit imperméabilisé pour vêtements et équipements de randonnée. La
quantité hebdomadaire produite x (en litres) varie entre
0 et 1 000.
4. Contrôlez la réponse à la question précédente en
affichant à l’écran de votre calculatrice les courbes des
fonctions Cm et CM.
Vous prendrez comme fenêtre 0 < x < 90 et 0 < y < 5 000.
Remarque
Ce résultat se généralise : le coût moyen atteint sa valeur minimale
lorsqu’il est égal au coût marginal.
94 En pharmacologie
Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit
solide conditionné sous la forme d’un petit parallélépipède rectangle dont le volume est 576 mm3.
On note y la hauteur ; ses autres dimensions sont x et 2x
(x et y sont en mm).
1. Calculez y en fonction de x.
Le coût de fabrication, en euros, de x litres est donné
par :
x3
x2
C(x) =
–
+ 40x + 5 000.
1 000 20
La recette, en euros, est donnée par R(x) = –0,2x2 + 640x.
1. On appelle B(x) le bénéfice réalisé par l’entreprise
lorsqu’elle fabrique et vend x litres de produit. Exprimez
B(x) en fonction de x et étudiez les variations de la
fonction B sur [0 ; 1 000].
2. Quelle quantité doit fabriquer l’entreprise pour que
son bénéfice soit maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?
93 En économie
Une entreprise fabrique des articles de maroquinerie.
Le coût de fabrication, en euros, de x articles a été
modélisé, pour x ∈ [0 ; 90], par la fonction :
C(x) = x3 – 90x2 + 2 700x + 8 836.
l Le coût marginal est le coût de fabrication d’une unité
supplémentaire. On considère que le coût marginal est
égal à la dérivée du coût total. On le note Cm.
l Le coût moyen est le coût d’un article. On le note C .
M
l
1. Donnez les expressions de Cm(x) et CM(x) pour x ≠ 0.
2. Démontrez que la dérivée du coût moyen est égale à :
(x – 47)(2x2 + 4x + 188)
.
C’M(x) =
x2
3. Étudiez les variations de CM et vérifiez que le coût
moyen est minimal lorsqu’il est égal au coût marginal.
114
2. Calculez la surface totale S(x), en mm2, de ce parallélépipède rectangle en fonction de x.
3. x est nécessairement compris entre 3 et 12 mm. Étudiez le sens de variation de S sur l’intervalle [3 ; 12] et
déduisez-en la valeur de x pour laquelle S(x) est minimale.
Aide
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).
Commentaire
La vitesse avec laquelle un comprimé soluble, de volume donné, se
dissout, augmente avec sa surface. Ceci explique pourquoi les fabricants
de médicaments se posent parfois des problèmes de recherche
d’extremums.
95 Les proportions d’une casserole économique
Vous êtes-vous demandé
x
pourquoi la hauteur d’une
casserole est approximatih
vement égale à son rayon
quelle que soit sa contenance ?
Pour répondre à cette question, on se propose de
résoudre le problème suivant :
Comment fabriquer une casserole de volume v donné
avec le moins de métal possible ?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend
pas des dimensions de la casserole.
L’unité est le centimètre. On note x le rayon du cercle du
fond, h la hauteur et 6 l’aire totale, égale à l’aire latérale
plus l’aire du fond.
v
1. a) Démontrez que h = 2 .
px
2v
.
b) Démontrez que 6(x) = px2 +
x
2. a) Étudiez sur ]0 ; + ∞[ les variations de la fonction :
2v
.
6 : x px2 +
x
b) Concluez en montrant que h = x.
Aide Vous pouvez utiliser l’égalité v = px2h.
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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3. Déduisez-en que f est dérivable sur [0 ; + ∞[.
2. Démontrez
4. La phrase « Si u et v sont deux fonctions dérivables
sur I, alors la fonction u × v est dérivable sur I » est une
implication.
a) Calculez f’(x), puis f”(x) où f” est la fonction dérivée de
la fonction f’.
LOGIQUE
f est la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = x1x.
f(h) – f(0)
avec h > 0.
1. a) Calculez
h
b) Déduisez-en que f est dérivable en 0. Précisez f’(0).
2. a) Justifiez que f est dérivable sur ]0 ; + ∞[.
a) Énoncez l’implication réciproque.
b) Prouvez que cette implication réciproque est
fausse en fournissant un contre-exemple.
97 Utile en statistiques
x1, x2 et x3 sont trois nombres.
f est la fonction définie sur par :
f(x) = (x – x1)2 + (x – x2)2 + (x – x3)2.
Démontrez que f admet un minimum atteint pour x = wx,
où wx désigne la moyenne arithmétique des nombres x1,
x2 et x3.
Prolongement : Refaites cette démonstration en prenant n nombres x1, x2, …, xn au lieu de trois.
Note
f ( x )
Le nombre nx , utilisé en statistiques, est appelé la variance des
nombres x1, x2, …, xn.
l
b) Étudiez le signe de f“(x) et déduisez-en les variations
de f’. Pour quelle valeur de a la fonction f’ atteint-elle
son minimum ?
Prendre toutes
les initiatives
99 Existe-t-il une fonction polynôme du troisième
degré dont la courbe représentative passe par les
points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; 1) et admette en
ces points des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ?
100 Cylindre inscrit dans une sphère
Dans une sphère de rayon 4 cm, on inscrit un cylindre
de hauteur h. Les deux bases du cylindre sont des
disques de rayon r.
98 Positions de la tangente
est la courbe représentative de la fonction f définie
x3
sur par f(x) =
– x2 + x – 1.
6
A est un point de .
On s’intéresse au comportement de la tangente en A
lorsque A parcourt .
1. Expérimenter avec GeoGebra
a) Créez la courbe et un curseur a (– 5 < a < 5).
b) Créez le point A = (a, f(a)), puis la tangente en A à la
courbe .
c) Choisissez a négatif et observez la position de la tangente par rapport à la courbe dans un « voisinage » du
point A. Par exemple pour a = –2, la tangente est audessus de la courbe.
EXERCICES
b) Calculez f’(x), pour tout x de ]0 ; + ∞[.
Faites varier a de –2 à 4. Qu’observez-vous ? Pour
quelle valeur de a la tangente semble-t-elle traverser la
courbe en A ?
l Dans la fenêtre Algèbre, choisissez, pour la tangente,
l’équation réduite et observez les variations du coefficient directeur, c’est-à-dire de f’(a). Quel lien établissez-vous entre le minimum de f’(a) et la position de la
tangente ?
96 Implication réciproque
h
r
Pour quelle valeur de h le volume est-il maximal ?
101 Dans une verrerie d’art
située sur l’île de Murano,
on fabrique des vases sphériques en verre soufflé.
Pour le transport et la commercialisation de ces pièces,
on souhaite fabriquer un
emballage original conique,
tout en minimisant les coûts.
S est une sphère de centre O et de
A
rayon 6 cm.
On souhaite inscrire cette sphère
dans un cône de révolution dont le
volume v est le plus petit possible.
Quelles doivent être les dimensions
O r
de ce cône ?
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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115
EXERCICES
Travail en autonomie
L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes
de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme,
en utilisant si besoin les coups de pouce
page 381.
A Calculatrice
1
1
f est la fonction définie sur par : f(x) = x3 – x2.
3
est sa courbe représentative.
Déterminez les points de en lesquels la tangente à
est parallèle à la droite d d’équation y = 3x + 5.
B Une tangente commune
f est la fonction définie sur par f(x) =
est sa courbe représentative.
–x4
+
2x2
+ x.
1. Déterminez les points de en lesquels la tangente a
pour coefficient directeur 1. 2
2. Démontrez que, pour deux de ces points, la tangente
est commune.
C Vrai ou faux ?
3
1
3
f est la fonction définie sur par f(x) = – x3 + x2 + 2.
2
2
est sa courbe représentative.
Justifiez chacune des affirmations suivantes :
3
2
3. 4 est un maximum local de f.
D D’une implication à sa réciproque
O
1
4
4
E À la recherche d’une fonction
Dans un repère orthonormé (O ; I, J) on donne les points :
A(1 ; 0), B(–1 ; –2) et C(2 ; 4).
f est la fonction définie sur :
ax + 1
I = ]– ∞ ; 3[ par f(x) =
.
bx + c
est sa courbe représentative.
–1 O
B
116
S
2x
f est la fonction définie sur par f(x) = –x3 + 2x2 + 4.
4
alors f(x) ∈ [4 ; 7].
1. Démontrez que si x ∈ –1 ;
3
2. La réciproque de cette proposition est-elle vraie ?
J
Une pyramide régulière de base carrée et de hauteur h
(en cm) est telle que SA = 12 cm.
1
4. Si f(x) ∈ [2 ; 4] alors x ∈ [–1 ; 3].
C
4
F Une pyramide au volume maximal
y
2. La tangente à au point d’abscisse 2 est horizontale.
3
5
A
I 2
–2
h
12
1. La parabole ci-contre est la
courbe représentative de la fonction f’ dérivée de f.
1. a) Démontrez que la courbe passe par les points A,
B, C si et seulement si a, b, c sont solutions du système :
a+1
=0
b+c
2a + 1
=4
(S) 2b + c
1–a
= –2 5
c–b
b) Déduisez-en a puis b et c. 6
Vérifiez que la fonction f est définie sur ]– ∞ ; 3[ par :
4(1 – x)
f(x) =
.
x–3
2. Démontrez que la tangente en A à est parallèle
à (BC). 7
D
A
C
O
B
1. Calculez AB en fonction de h.
8
2. a) Démontrez que le volume de la pyramide est
défini par :
2
(h) = – h3 + 96h avec 0 < h < 12. 9
3
b) Pour quelle valeur de h le volume est-il maximal ?
10
c) Déduisez-en la valeur du volume correspondant.
G La réciproque est-elle vraie ?
f est la fonction définie sur par :
f(x) = ax3 + bx2 – ax
avec a réel non nul et b réel.
1. Démontrez que f admet pour tout a ≠ 0 et tout b,
deux extremums locaux. 11
2. Dans cette question on suppose a = b = 1. 12
a) Étudiez les variations de f et dressez le tableau de
variation.
b) Démontrez que si x ∈ [–1 ; 1] alors f(x) ∈ [–1 ; 1].
La réciproque est-elle vraie ?
Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications
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CHAPITRE
Suites.
Suites arithmétiques.
Suites géométriques
D’un siècle
à un autre
Quel est le point commun entre le film Avatar
(photographie ci-dessus) et Archimède,
savant du iiie siècle avant J.-C. ?
Les suites !
Les images de synthèse et les effets spéciaux utilisent
en effet massivement cet outil mathématique
extrêmement puissant… dont l’un des premiers
utilisateurs fut Archimède.
En savoir plus sur
Archimède
Chercheurs d’hier p. 129
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Rappels
& Questions-tests
Notation puissance
1 On sait que b2 = 2,89 et b5 = 14,198 57.
a et b sont des nombres non nuls, m et p sont
des nombres entiers.
l
a0 = 1
l
a–m =
l
am ¥ ap = am+p
1
am
l
a1 = a
l
am
= am–p
ap
l
ba 2
n
=
Sans calculer b, déterminez b3 et b7.
23 54
2 Simplifiez l’écriture du produit 2 ¥ 5 .
5
2
3 m et p sont des nombres entiers, simplifiez l’écriture
2m
3p–2
du produit p+1 ¥ m–3 .
3
2
4 q est un nombre non nul ; a = 5q7 et b = 5q10.
Complétez : b = a ¥ … et a ¥ b = …
an
bn
Calculs algébriques
De l’identité remarquable (1 – a)(1 + a) = 1 – a2,
1 – a2
= 1 + a.
on déduit que si a ≠ 1, alors
1–a
5 Calculez (1 – a)(1 + a + a2) et (1 – a)(1 + a + a2 + a3).
Déduisez-en, pour a ≠ 1,
1 – a3 1 – a4
et
.
1–a
1–a
Voir les corrigés p. 363
Activité 1
Dénombrement
Le but de cette activité est d’apprendre à dénombrer
des éléments.
Sur cette photographie, prise sur l’Île de Pâques,
on compte sept statues et six intervalles.
l
Dans un livre, le chapitre qui commence à la page 27
et se termine à la page 42 est constitué de seize pages :
l
16 = 42 – 26 = 42 – (27 – 1) = 42 – 27 + 1
1
2
3
26
26 27 28
41 42
42 – 26
D’une manière générale, la liste des nombres entiers de m à p : m, m + 1, m + 2, … (p – 1), p est constituée
de (p – m + 1) nombres.
1 a) Au départ d’une course pédestre, une équipe reçoit les dossards 142 à 158.
Combien de coureurs composent cette équipe ?
b) Une équipe de vingt coureurs reçoit le lot de dossards suivant (le 1er dossard du lot est le 159).
Précisez les dossards reçus par cette équipe.
2 Quel est le dernier nombre de la liste de trente-cinq nombres entiers consécutifs commençant à 12 ?
3 Combien d’années couvrent la période du 1/1/2011 au 31/12/2022 ?
4 a) Combien l’intervalle [5 ; 65], de longueur 60, contient-il de multiples de 5 ?
b) Même question pour l’intervalle [142 ; 217].
5 Dans une rue, du côté pair, combien y a-t-il de maisons numérotées de 26 à 84 ?
118
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
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ACTIVITÉS
Activité 2
Et ainsi de suite…
On envisage d’étudier un ensemble de points définis de la manière suivante :
on place deux points distincts A et B ;
puis le point C, milieu du segment [AB] ;
l puis le point D, milieu du segment [BC] ;
l puis le point E, milieu du segment [CD] ;
l et ainsi de suite…
l
l
A
C
E
D
B
Habituellement, on attribue une lettre à chaque point d’une figure. Ici, les lettres de l’alphabet vont vite
s’avérer insuffisantes.
Nous allons attribuer à chacun une lettre (la même pour tous) et un numéro (celui qui correspond à l’ordre
d’arrivée). Ainsi, le 1er sera nommé A1 (lire « A indice 1 »), le second A2 (à la place de B), et ainsi de suite…
1 Construisez un segment [A1A2], de longueur 10 cm, et les cinq points suivants (de A3 à A7), construits
comme précédemment : A3 est le milieu de [A1A2], A4 est le milieu de [A2A3], et ainsi de suite…
En centimètres, les distances A1A2, A2A3, etc. s’expriment avec les nombres d1, d2, etc.
2 Sachant que d1 = 10, calculez, sous forme fractionnaire, les nombres dn, avec 2 < n < 10.
3 Conjecturez une relation entre deux nombres consécutifs dn et dn+1.
Activité 3
Construction de suites à l’aide du tableur
TICE
1 Ouvrez une feuille de calcul et saisissez 1 dans la cellule A1 et 3 dans la cellule A2.
2 Sélectionnez les deux cellules, puis recopiez vers le bas jusqu’à la cellule A2100.
3 Vérifiez que le contenu de la cellule A90 est 179.
4 Quel est le contenu de la cellule A2011 ?
5 Quelle relation pouvez-vous établir entre les contenus de A5 et A6 ?
Cette relation vous semble-t-elle vérifiée par les contenus de deux cellules consécutives ?
6 Recommencez en modifiant les nombres de départ. Quel point commun ont les suites ainsi construites ?
Problème ouvert
Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?
Vérifiez que les nombres de points associés aux figures ci-dessous, appelés nombres triangulaires, sont :
1, 3, 6, 10 et 15.
On suppose que le processus de construction se
poursuit de la même manière. Combien de points
sont associés à la figure 8 ? à la figure 17 ? à la
figure 1 figure 2 figure 3
figure 4
figure 5
figure 2011 ?
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
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119
COURS
Dans la vie courante, on utilise fréquemment des listes ordonnées de nombres. Par exemple, pour
étudier l’évolution du prix d’un produit, on peut noter p0 le prix initial, p1 le prix au bout d’un mois,
pn le prix au bout de n mois. Ainsi, à chaque mois on associe un prix : n pn.
En mathématiques, les listes – appelées suites – contiennent un nombre infini de termes.
1
Définitions
1.1 Définition et notation
Définition
1 Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels (ou sur l’ensemble
privé des premiers entiers : 0, 1, 2, …, k).
Exemples
l
La suite u associe à tout entier naturel n son double, 2n.
n
0
1
2
3
…
7
8
9
…
u(n)
0
2
4
6
…
14
16
18
…
L’image de 3 par u est notée u3 au lieu de u(3). On lit « u indice 3 ».
Ainsi, u3 = 2 × 3 = 6 et, plus généralement, u(n), image de n par u, est notée un.
un est le terme d’indice n de la suite u. La suite u est aussi notée (un) ou (un)n ∈ .
La suite v associe à tout entier n (n 7) le nombre 7n – 7. Elle n’est définie que pour n 7 ; on dit
aussi « à partir du rang 7 ». Par exemple, v7 = 0, v8 = 11, v9 = 12.
l
n
0
1
2
3
…
v(n)
7
8
9
…
n
…
0
1
12
…
7n – 7
…
1.2 Définir une suite par une formule explicite
La donnée d’une formule explicite, qui permet de calculer directement chacun des termes de la
suite, détermine une suite.
Exemples.l sn = (–1)n
l
wn = 5n + 3
alors s2011 = (–1)2011 = –1.
alors w6 = 5 × 6 + 3 = 33. Ici, wn = f(n) avec f(x) = 5x + 3.
Cas particulier. Si f est une fonction définie sur un intervalle I = [a ; + ∞[, avec a 0, on définit
une suite (un) en posant, pour tout nombre entier n (n a), un = f(n).
1.3 Définir une suite par récurrence
La donnée du premier terme et d’une relation, dite de récurrence, qui permet de calculer un terme
à partir du précédent, détermine une suite. Dans ce cas, on ne peut pas calculer directement un à
partir de n. Il faut calculer tous les termes qui le précèdent.
Exemple. u0 = 5 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un – 2, soit un+1 = g(un) avec g(x) = 3x – 2.
Ces données permettent de calculer de proche en proche les termes de la suite :
u1 = 3 × u0 – 2 = 3 × 5 – 2 = 13 ;
u2 = 3 × u1 – 2 = 3 × 13 – 2 = 37 ; etc.
Cas particulier. Si g est une fonction définie sur un intervalle I tel que pour tout x de I, g(x) ∈ I,
on définit une suite (un) en prenant u0 dans I et en posant, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).
120
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
COURS
2
Suites arithmétiques
2.1 Définition
Définition
2 Dire qu’une suite (un) est arithmétique signifie qu’il existe un nombre r tel que, pour tout entier
naturel n, un+1 = un + r. Le nombre r est appelé la raison de la suite (un).
Une suite est arithmétique
Autrement dit
lorsque l’on passe d’un terme au suivant en
ajoutant toujours le même nombre r.
+r +r +r +r +r +r
u0
u1
u2
u3
u4
u5
u6
Exemples
l
la suite des entiers naturels 0, 1, 2, 3, …, de premier terme 0 et de raison 1 ;
l
la suite des nombres pairs 0, 2, 4, 6, …, de premier terme 0 et de raison 2 ;
l la suite définie pour tout entier naturel n par u = 5n + 3, qui est une suite arithmétique de
n
raison 5. En effet, un+1 = 5(n + 1) + 3 = 5n + 5 + 3 = un + 5.
La définition par récurrence impose, pour calculer un terme, de connaître le précédent. Le théorème
suivant permet de passer de la définition par récurrence à la définition par une formule explicite.
Théorème
1 (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r.
Alors, pour tout entier naturel n, un = u0 + nr.
Illustration
u1 = u0 + r
u2 = u1 + r
On additionne membre
à membre ces égalités,
puis on simplifie.
un = un–1 + r
nr
+r +r +r +r
u0
u1
u2
+r +r
un-1 un
u3
un = u0 + nr
Exemple. (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 2 et de raison 3.
Alors u2011 = 2 + 2 011 × 3 = 6 035.
Remarques
(m – p)r
Si le premier terme est u1, alors, pour tout n 1,
un = u1 + (n – 1)r.
l
l
Pour tous nombres m et p, um = up + (m – p)r.
+r +r
+r +r
um-1 um
up up+1
2.2 Somme des entiers de 1 à n
Théorème
Exercice
résolu D
➜ p. 126
Exercice 119,
Roc ➜ p. 136
2
La somme des entiers de 1 à n s’exprime sous la forme : 1 + 2 + 3 + … + n =
Illustration. On écrit sur une ligne la somme des termes dans l’ordre croissant, de 1 à n, puis
sur une seconde ligne on écrit cette somme dans l’ordre décroissant, de n à 1.
●
●
n(n + 1)
.
2
On additionne
membre à membre
les deux égalités.
S =
S =
1
n
+ 2 + 3 + … +(n – 1) +
+(n – 1) +(n – 2) + … + 2 +
n
1
2S =(n + 1)+(n + 1)+(n + 1)+ … +(n + 1)+(n + 1)
n(n + 1)
.
2S = n(n + 1) d’où le résultat : S =
2
Somme de n
termes égaux
à (n + 1).
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
121
COURS
3
Suites géométriques
3.1 Définition
Définition
3 Dire qu’une suite (un) est géométrique signifie
qu’il existe un nombre q non nul tel que, pour
tout entier naturel n, un+1 = q × un. Le nombre
q est appelé la raison de la suite (un).
Une suite est géométrique
Autrement dit
lorsque l’on passe d’un terme au suivant en
multipliant toujours par un même nombre
(non nul).
q=2
0
u0
u1
u2
u3
u2
u1
u0
q = 1/2
0
u3
Exemples
l
La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
La suite (sn) de terme général sn = (–1)n est la suite géométrique de premier terme 1 (s0 = 1) et de
raison (–1). La liste des termes est 1, –1, 1, –1, etc.
l
La suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 2 × 3n est une suite géométrique de
premier terme 2 (u0 = 2) et de raison 3. En effet, un+1 = 2 × 3n+1 = 2 × 3n × 3 = (2 × 3n) × 3 = 3 × un.
l
Théorème
3 (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
Alors, pour tout entier naturel n, un = qn × u0.
u1 = q × u0
Illustration. (u0 ≠ 0)
u2 = q × u1
un = q × un–1
On multiplie membre
à membre ces égalités,
puis on simplifie.
u1 × u2 × … × un–1 × un = qn × u0 × u1 × u2 × … × un–1
un = qn × u0
Remarques. l Si le premier terme est u1, alors, pour tout n 1, un = qn–1 × u1.
l
Pour tous nombres m et p, um = qm–n × up.
3.2 Somme des puissances successives
Théorème
4 La somme des puissances successives d’un nombre q (q ≠ 1) s’exprime sous la forme :
1 + q + q2 + … + qn =
1– qn+1 .
1–q
Illustration. Notons S la somme de ces puissances q0, q1, q2, …, qn.
Exercice
résolu D
➜ p. 126
Exercice 120,
Roc ➜ p. 136
●
●
On soustrait membre
à membre les deux
égalités.
S
qS
= 1 +q + q2 + q3 + … + qn–1+ qn,
=
q + q2 + q3 + … + qn–1+ qn + qn+1
S – qS = 1 – qn+1
S(1 – q) = 1 – qn+1
Or 1 – q ≠ 0, donc S =
122
1 – qn+1
.
1–q
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Objectif
1
Déterminer la nature d’une suite
EXERCICES
Application
Dire qu’une suite (un) est arithmétique signifie qu’il existe un nombre r (la raison) tel que, pour
tout entier naturel n, un+1 = un + r. exercice résolu A
l
Dire qu’une suite (un) est géométrique signifie qu’il existe un nombre q non nul (la raison), tel que,
pour tout entier naturel n, un+1 = q × un. exercice résolu B
l
Exercice résolu A
Reconnaître une suite arithmétique
Les suites proposées sont définies pour tout entier naturel n.
Précisez si elles sont arithmétiques. Indiquez alors le 1er terme et la raison.
1. un = 5n – 2
2. vn = n2 + n
Méthode
Solution
1. On calcule la différence un+1 – un.
1. Calculons la différence entre deux termes
consécutifs quelconques :
un+1 – un = 5(n + 1) – 2 – (5n – 2)
= 5n + 5 – 2 – 5n + 2 = 5.
Cette différence est constante. La suite (un)
est arithmétique de raison 5.
Le premier terme de la suite est :
u0 = 5 × 0 – 2 = –2.
2. 1 En calculant vn+1 – vn
Selon l’expression de cette différence,
on conclut.
l On calcule le premier terme de la suite.
l
2. 1 De même, on calcule la différence :
vn+1 – vn.
l
On conclut.
2 On calcule la différence entre
les premiers termes : v1 – v0 et v2 – v1.
l On obtient un contre-exemple qui permet
de conclure.
vn+1 – vn = [(n + 1)2 + (n + 1)] – (n2 + n)
= n2 + 2n + 1 + n + 1 – n2 – n
= 2n + 2.
La différence n’est pas constante puisqu’elle
varie avec l’indice n :
la suite (vn) n’est pas arithmétique.
2 En calculant des différences
Calculons v1 – v0 et v2 – v1 :
v1 – v0 = 2 – 0 = 2 et v2 – v1 = 6 – 2 = 4.
Les deux différences ne sont pas égales :
la suite (vn) n’est pas arithmétique.
Mise en pratique
Pour les exercices 1 à 6
Précisez si les suites proposées, définies pour
tout entier naturel n, sont arithmétiques ou
non. Si oui, précisez le 1er terme et la raison.
1 a) un = 2n + 3
2
3n + 1
a) un =
2
b) un = n2 – n
n+2
b) un =
n+1
u0 = –1
u0 = 2
b)
1
un+1 = un + 1 un+1 = –2 + un
2
3 a)
5
5
4 un = n + (–1)n
5 (un) est la suite des multiples non nuls de 7.
6 (un) est la suite dont les termes sont engendrés par l’algorithme suivant :
Saisir n
u reçoit 5
Pour i de 1 à n
u reçoit u – 3
Afficher u
FinPour
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
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123
EXERCICES
Exercice résolu B
Reconnaître une suite géométrique
2
1. Prouvez que la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = n est géométrique.
3
Précisez sa raison.
2. Chaque carré a une aire égale à la moitié de l’aire du carré précédent.
c1
c2
La suite des aires est donc géométrique de raison
Qu’en est-il de la suite (cn) des mesures des côtés ?
c3 c4 c5
…
1
.
2
3. La suite (vn) est définie par v0 = 6 et, pour tout entier naturel n, vn+1 = 3vn + 4.
Prouvez que la suite (wn) définie par wn = vn + 2 est géométrique. Calculez w0.
Solution
Méthode
1. Pour tout entier naturel n,
2
2
1
2
1
un+1 = n+1 =
=
× n = un.
3 × 3n
3
3
3
3
La suite de terme général un
1
est géométrique de raison .
3
1 2
2
2. Pour tout n, c n+1 = cn .
2
Tous les termes cn sont positifs, donc :
1
c .
cn+1 =
12 n
1
La suite (cn) est géométrique de raison
.
12
3. wn+1= vn+1 + 2 = (3vn + 4) + 2
= 3vn + 6 = 3(vn + 2) = 3wn.
1. On s’efforce de transformer l’écriture
de un+1 de manière à faire apparaître
le produit q × un.
2. On traduit la propriété des aires.
l On en déduit une relation entre deux
termes consécutifs.
l
On conclut.
3. On cherche à établir une relation du type
wn+1 = q wn entre deux termes consécutifs
quelconques. Pour cela, on exprime wn+1
en fonction de vn+1, puis de vn.
l On conclut.
l On calcule le premier terme de (w ).
n
La suite (wn) est géométrique de raison 3.
Son premier terme est :
w0 = v0 + 2 = 6 + 2 = 8.
Mise en pratique
10 (un) est la suite dont
Pour les exercices 7 à 10
Précisez si les suites (un), définies pour tout les termes sont engenentier naturel n, sont géométriques ou non. Si drés par l’algorithme cicontre.
oui, précisez leur raison.
7 a) un = 5n+3
8 a) un =
2n + 5
3
u = 2
b) un =
2
3n+1
b) un = 3n + 3n
u = –1
0
9 a) 0
b)
5 un+1 = 4un 5 5un+1 – 2un = 1
124
Saisir n
u reçoit 4
Pour i de 1 à n
u reçoit 2u – 3
Afficher u
FinPour
11 La suite (un) est définie par u0 = 3 et par la
relation un+1 = 2un – 5, pour tout entier naturel n.
Prouvez que la suite (vn) définie pour tout entier
naturel n par vn = un – 5 est géométrique. Donnez
sa raison et calculez v0.
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
2
Calculer des termes et des sommes de termes
(un) est une suite arithmétique de premier
terme u0 et de raison r.
Pour tous les entiers naturels n, m et p :
l u = u + nr (théorème 1).
n
0
l
l
um = up + (m – p)r. exercice résolu C
l
La somme des entiers de 1 à n s’exprime sous
n(n + 1)
.
la forme 1 + 2 + 3 + … + n =
2
l
exercice résolu D
Exercice résolu C
l (u ) est une suite géométrique de premier
n
terme u0 et de raison q, q ≠ 0.
Pour tous les entiers naturels n, m et p :
n
l u = q × u (théorème 3). exercice résolu C
n
0
um = qm–p × up EXERCICES
Objectif
exercice résolu D
Si q est un nombre différent de 1, alors :
1– qn+1
1 + q + q2 + … + qn =
.
1–q
l
exercice résolu D
Calculer des termes
1. Les suites (un) et (vn) sont arithmétiques de raison r.
a) u0 = 3 et r = 5. Calculez u25, u48. b) v27 = 6 et v39 = 10. Calculez v7 et v75.
2. La suite (wn) est géométrique de raison q.
w0 = 6 et q = –2. Calculez w5 et w7.
Méthode
Solution
1. a) Connaissant le 1er terme u0 et la
raison r, on peut calculer directement (th. 1)
tous les termes de la suite :
un = u0 + nr.
b) On ne connaît ni v0 ni la raison r.
Cependant, pour obtenir v39 à partir de v27,
on ajoute douze fois la raison (12 = 39 – 27).
On peut donc calculer la raison.
On pourrait calculer v0, mais la formule :
vm = vp + (m – p)r
nous permet d’obtenir directement v7 et v75.
l
2. Connaissant le 1er terme w0 et la raison q,
on peut calculer directement (th. 3) tous
les termes de la suite :
wn = qn × w0.
1. a) La suite (un) est arithmétique, u0 = 3
et r = 5, donc :
u25 = u0 + 25 × r = 3 + 25 × 5 = 128.
De même, u48 = 3 + 48 × 5 = 243.
b) Puisque la suite est arithmétique,
on peut calculer la raison r en utilisant
la formule vm = vp + (m – p)r.
Ici, v39 = v27 + (39 – 27)r.
1
Donc, 10 = 6 + 12r et r = .
3
1
2
=– .
l v = v + (7 – 27)r = 6 – 20 ×
7
27
3
3
1
v75 = v39 + (75 – 39)r = 10 + 36 ×
= 22.
3
2. La suite (wn) est géométrique, w0 = 6
et q = –2, donc :
w5 = q5 × w0 = (–2)5 × 6 = –32 × 6 = –192.
De même, w7 = (–2)7 × 6 = –128 × 6 = –768.
Mise en pratique
Pour les exercices 12 à 15
Les suites sont arithmétiques de raison r.
12 u0 = 1 et u10 = 31. Calculez r puis u2011.
13 u0 = 5 et u100 = –45. Calculez u20 et u200.
14 u17 = 24 et u40 = 70. Calculez u10 et u20.
15 u10000 = 1 et u2000 = –79.
Calculez u3857 et u5000.
Pour les exercices 16 à 18
Les suites sont géométriques de raison q.
16 u0 = 4 et q = 5.
Exprimez un en fonction de n et calculez u5 et u8.
1
17 u0 = et q = –2.
3
Exprimez un en fonction de n et calculez u4 et u10.
18 u5 = 8,64 et q = 1,2. Calculez u3 et u10.
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
125
EXERCICES
Exercice résolu D
Calculer des sommes de termes
1. La suite (un) est arithmétique de 1er terme u0 = 5, et de raison 4.
Calculez u12, u25 et la somme S de tous les termes de u12 à u25.
2. La suite (vn) est géométrique de raison 2 et v5 = 1.
Calculez v7 et la somme S de tous les termes de v7 à v15.
Méthode
Solution
1. Connaissant le 1er terme u0 et la raison r,
on peut calculer directement (th. 2) tous
les termes de la suite : un = u0 + nr.
Comme dans la démonstration
du théorème 2 :
l On écrit la somme S de deux manières
différentes :
S = u12 + u13 + … + u24 + u25
S = u25 + u24 + … + u13 + u12
l On ajoute membre à membre.
Le nombre de termes de la somme étant
déterminé, on conclut.
1. La suite est arithmétique, u0 = 5 et r = 4
donc :
u12 = u0 + 12 × r = 5 + 12 × 4 = 53.
De même, u25 = 5 + 25 × 4 = 105.
2. On calcule v7.
2. La suite est géométrique, v5 = 1 et q = 2,
donc v7 = q7–5 × v5 = 22 × 1 = 4.
S = v7 + 2v7 + 22v7 + … + 2(15–7)v7.
S est la somme de quatorze termes
(25 – 12 + 1 = 14).
S = 53 + (53 + 4) + (53 + 8) + … + 105
S = 105 + (105 – 4) + (105 – 8) + … + 53
En ajoutant membre à membre :
2S = 14 × (53 + 105)
158
S = 14 ×
= 1 106.
2
l Les termes v qui suivent v peuvent
p
7
s’écrire qp–7v7. On écrit la somme des termes
de v7 à v15.
l Le facteur v est commun à tous les termes
7
de la somme. On factorise.
l On utilise le théorème 4 pour calculer
la somme des puissances de 2.
S = v7(1 + 2 + 22 + … + 28).
1 – 29
Or 1 + 2 + 22 + … + 28 =
= 29 – 1.
1–2
Finalement,
S = 4 × (29 – 1) = 4 × 511 = 2 044.
Mise en pratique
Pour les exercices 19 à 21
Les suites sont arithmétiques de raison r.
23 t10 = 100 et q = 10.
Calculez la somme t4 + t5 + … + t10.
19 u0 = 5 et u100 = –95. Calculez r et u20, puis la Le calcul peut être fait mentalement.
somme S des termes de u0 à u20.
24 Le premier disque a un rayon de quatre
centimètres.
Les rayons des cinq disques suivants
20 u17 = 24 et u40 = 70. Calculez r et u100, puis la
sont
obtenus
en divisant par deux le rayon du
somme S des termes de u40 à u100.
précédent. Les aires sont donc successivement
21 u10000 = 1 et u2000 = –79. Calculez la somme S divisées par quatre. Quelle est l’aire totale des six
des termes de u2000 à u10000.
disques ?
Pour les exercices 22 et 23
Les suites sont géométriques de raison q.
1
22 w3 = 27 et q = .
3
Calculez, sous la forme d’une fraction, la somme :
w5 + w6 + … + w9.
126
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
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Po u r
25 Questions sur le cours
Complétez les propositions suivantes.
1. La suite (un) est telle que pour tout entier
naturel n, un+1 = un + r.
a) La suite (un) est ……
b) Le réel r est appelé ……
c) Pour tous entiers naturels m et p, um – up = ……
2. La suite (vn) est telle que pour tout entier
naturel n, vn+1 = q × vn avec q ≠ 0.
a) La suite (vn) est ……
b) Le réel q est appelé ……
c) Pour tous entiers naturels m et p, um = up × ……
EXERCICES
se tester
26 Vrai ou faux
Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ?
Justifiez votre réponse.
a) 47 est un des termes de la suite définie par
un = 3n – 1.
b) La suite définie par un = 3 + 2n est arithmétique.
c) La suite définie par un = 3 + n2 est arithmétique.
d) La suite définie par un = 3 + n2 est géométrique.
e) Si un, un+1 et un+2 sont trois termes consécutifs
d’une suite géométrique, alors le produit un × un+2
est égal au carré de un+1.
1
f) 12,
et 12 + 2 sont trois termes consécutifs
12 – 1
d’une suite arithmétique.
27 QCM Une seule réponse exacte
Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse.
1. La suite définie pour tout entier naturel n non nul
2n + 1
est :
par un =
n
a) arithmétique
b) géométrique
c) ni arithmétique ni géométrique
2. La suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier
2
naturel n non nul, par un+1 = un + un est :
3
a) arithmétique
b) géométrique
c) ni arithmétique ni géométrique
3. (un) est une suite définie par la donnée de u0 (u0 = 1)
et par la relation un+1 = 2un + 3 avec n ∈ .
(vn) est la suite définie pour tout entier naturel n par
vn = un + 3. Concernant les suites (un) et (vn) :
a) elles sont géométriques b) une est arithmétique c) une seule est géométrique
4. x3 × x5 × x7 × … × x17 × x19 est égal à :
a) x100
b) x99
c) x101
28 QCM Au moins une réponse exacte
Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.
1. f est la fonction définie sur l’in1
; + ∞ par f(x) = 82x – 1
tervalle
2
et (un) est la suite définie pour tout
entier naturel n non nul par un = f(n).
3
3
a) u17 > u16 b) u13 ∈
c) 4 est un terme de la suite (un)
2. La suite (un) est définie pour tout
1
entier naturel n par un = 2
.
n +1
1
+1
a) un+1 = 2
n +1
1
b) un+1 = 2
n + 2n + 2
1
c) un+1 =
(n + 1)2 + 1
3. La suite (un) est définie pour tout
entier naturel n par un+1 = un + 3,
avec u0 = 1.
La suite (vn) est définie pour tout
entier naturel n par vn = 3n – 1.
Les suites (un) et (vn) :
a) sont arithmétiques
b) ont même raison c) u9 = v10
Voir les corrigés p. 366
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127
EXERCICES
Apprendre à chercher
29 Calculer le nombre de termes
(un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 2
et de raison r = 5.
On ajoute les « premiers » termes de la suite afin
d’obtenir une somme S supérieure à 750.
Objectif Trouver le plus petit nombre N de termes
de la somme S qui permet de dépasser 750.
activités de recherche
1. La suite (un) étant arithmétique, chacun des N termes
de la somme S s’exprime en fonction de u0 et de la
raison r. D’autre part, le premier indice étant 0, le N-ième
terme est uN–1 et S = u0 + u1 + … + uN–1.
Exprimez la somme S en fonction de u0, de la raison r et
de N (regroupez les termes « en u0 » et ceux « en r »).
2. Il en résulte que dans l’expression de S, en
comptabilisant les termes « en r », on a fait apparaître la
somme 1 + 2 + 3 + … + (N – 1), somme que l’on peut
calculer en utilisant le théorème 2. Nous pouvons alors
exprimer S en fonction de l’inconnue N.
Vérifiez que S =
5 2 1
N – N.
2
2
3. Par hypothèse, S > 750. L’objectif est donc maintenant
de résoudre, dans l’ensemble des entiers naturels ,
une inéquation du second degré d’inconnue N.
5 2 1
N – N > 750 et concluez.
2
2
b) L’algorithme suivant, écrit avec AlboBox, a pour but
de répondre au problème posé.
On calcule pas à pas la somme S et on incrémente « tant
que » S ne dépasse pas 750.
Complétez cet algorithme.
a) Résolvez l’inéquation
30 Une suite arithmétique
Les nombres a, b et c sont trois termes consécutifs d’une
suite arithmétique. Leur somme est 21 et la somme de
leurs carrés est 197.
Objectif Trouver ces trois nombres.
a, b et c sont trois nombres consécutifs d’une suite
arithmétique et, dans ce cas, lorsqu’on connaît un terme
et la raison r, on connaît tous les termes. Choisissons
donc un terme. Dans ce genre de situation, il est souvent
commode de choisir le terme central, ici b.
r
a
b
r
c
1. Exprimez alors a et c en fonction de b et de r.
2. Ecrivez un système qui permet de trouver les valeurs
de b et de r, et résolvez-le.
3. Déduisez-en a et c.
31 Utiliser une suite auxiliaire
La suite (un) est définie par :
u0 = 1
un+1 = 3un – 1
5
Objectif Exprimer de manière explicite les termes
de la suite (un) définie par récurrence.
1. L’intérêt de ce passage de la définition par récurrence
à la définition explicite est de permettre le calcul
direct d’un terme sans avoir à connaître ceux qui le
précèdent. Cette transformation est aisée pour une
suite arithmétique ou géométrique.
Vérifiez que la suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique.
2. On introduit alors la suite (vn) définie pour tout entier
1
naturel n par vn = un – .
2
Une étude graphique comme celle de l’exercice 35
p. 130 peut permettre de justifier ce choix.
a) Calculez les premiers termes de la suite (vn) définie
1
pour tout entier naturel n par vn = un – .
2
b) Que pouvez-vous conjecturer concernant la nature
de cette suite ?
Démontrez-le.
c) Exprimez vn en fonction de n.
d) Concluez en exprimant un en fonction de n.
128
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
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EXERCICES
Narration de recherche
L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous
devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas
permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé
de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.
32 À partir de la somme des termes
34 Les deux rectangles
(un) est une suite telle que pour tout entier naturel n non
nul u1 + u2 + … + un = 3n2 + 5n. Calculez u2011.
33 À la découverte de suites
Que vous inspire le tableau ci-dessous ?
Imaginez les nombres de la
ligne 7 (en tenant compte
des erreurs d’arrondi).
– 200
ANTIQUITÉ
a
c
b) On suppose maintenant que ces quatre nombres
sont, dans cet ordre, quatre termes consécutifs d’une
suite arithmétique de raison 5 (cm).
Comparez les périmètres et les aires des deux rectangles.
Chercheurs d’hier
Voici quelques mathématiciens importants
qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.
1600
MOYEN ÂGE
Isaac Newton Leonhard Euler
Chap. 4
Chap. 2
1700
1800
ÉPOQUE MODERNE
1900
ÉPOQUE CONTEMPORAINE
Gottfried Leibniz
Chap. 3
Benoît Mandelbrot
Chap. 6
Archimède
(iiie s. avant J.-C.)
activités de recherche
À votre tour créez une suite, proposez les premiers termes à votre voisin
afin qu’il découvre le terme suivant.
al-Khuwārizmī
Chap. 1
800
d
b
Travail en groupe
Eux aussi,avant
erché
ils ont chro
t
de uver !
a) Les nombres a, b, c et d sont, dans
cet ordre, quatre termes consécutifs d’une suite géométrique.
Comparez les aires des deux rectangles.
Archimède fut avec Euclide (287 av. J.-C. – 212 av. J.-C.)
l’un des plus grands mathématiciens de l’Antiquité.
Son œuvre mathématique concerne la géométrie
et l’arithmétique.
Sa célébrité résulte surtout de sa contribution
à la physique (en statique et en hydrostatique)
et de son fameux « principe d’Archimède ».
ur le Web http://therese.eveilleau.pagespersoS
orange.fr/pages/hist_mat/textes/mirliton.htm
Extrait de son ouvrage
Quatre livres sur les coniques,
édition de 1675.
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
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129
EXERCICES
Utiliser GeoGebra
our représenter les termes d’une suite (un)
P
lorsque un+1 = f(un)
TP 35 Étude graphique d’une suite définie par une relation de récurrence
Compétences
Mathématiques
TICE
Créer et utiliser des curseurs
Animer une configuration
Émettre et tester des conjectures
Interpréter un graphique
Lire des coordonnées
Caractériser une suite
a et b sont deux nombres. (un) est la suite définie,
pour tout entier naturel n, par :
u0 donné
un+1 = aun + b
activités de recherche
5
L’objectif est de représenter graphiquement les premiers termes de la suite (un) et d’observer l’influence
des nombres a, b et u0 sur la nature de la suite.
1. Réaliser la figure
a) Créez trois curseurs a, b et u0 (saisissez u_0). Dans un premier temps, choisissez, comme sur la
vue d’écran ci-contre, u0 = 2, a = 0,6 et b = 0,1 (pour
l’intervalle des trois curseurs, on prendra min : –5 ; max : 5 ; incrément : 0,1).
b) Créez la fonction f définie par f(x) = ax + b et la droite d’équation y = x.
u0 donné
La suite (un) est définie par :
un+1 = f(un)
5
outil 1
outil 3
c) Créez dans l’ordre, comme sur la vue d’écran, le point A de coordonnées (u0 ; 0) (saisissez (u_0,0)), puis
les points B, C, D, E, F, G, H, I en utilisant les touches :
pour tracer une perpendiculaire ;
Aide
pour définir un point d’intersection ;
Après avoir construit les points, masquez les droites perpendiculaires à
un des axes en décochant
. La figure sera plus lisible.
pour créer un segment.
d) Sachant que toutes les droites tracées sont perpendiculaires à un des axes, justifiez que les
coordonnées du point B sont (u0 ; u1) et que celles de C sont (u1 ; u1) (rappel, A est le point d’abscisse u0).
Déduisez-en les coordonnées des points D, E, F, G, H, I.
e) Créez alors les points de l’axe des abscisses correspondants aux nombres u1, u2, u3 et u4. Pensez à
, intersection entre deux objets.
utiliser la touche
2. Conjecturer avec GeoGebra et démontrer
a) l Les curseurs étant toujours ceux de la vue d’écran, pourquoi pouvez-vous conjecturer que la
suite (un) n’est pas arithmétique ?
l À l’aide du curseur, faites varier u . Cela modifie-t-il votre conjecture ?
0
b) l Mettez les trois curseurs à 1. Que constatez-vous ? Conjecturez la nature de la suite, puis démontrez-le.
l Faites varier b, en prenant éventuellement des valeurs négatives. Cela semble-t-il changer la nature
de la suite ? Que représente b lorsque a = 1 ? Démontrez-le.
c) Choisissez u0 = 1 et b = 0. Faites varier a (a non nul). Conjecturez la nature de la suite lorsque b = 0.
Démontrez-le.
130
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
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EXERCICES
Utiliser les outils de calcul
Pour calculer des termes d’une suite
TP 36 Évaluer le terme d’indice n d’une suite définie par récurrence
Le calcul du terme d’indice n d’une suite définie par récurrence nécessite la connaissance de tous les
termes qui le précède.
L’utilisation des outils de calculs (tableur, calculatrice, etc.) est alors indiquée, mais il faut rester prudent
sur les conclusions (danger des valeurs approchées – voir l’exercice 143 p. 139).
La suite étudiée est définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 5.
L’objectif est donc de déterminer le terme un (pour un indice « raisonnable », compte tenu des limites
des outils de calcul).
1. Avec le tableur
Saisissez le contenu des cellules A1-B3 comme indiqué ci-contre.
Recopiez vers le bas jusqu’à la valeur de n souhaitée.
L’algorithme suivant permet de programmer le calcul du terme d’indice n :
i : le compteur.
u : le terme de rang i.
n : l’indice du
terme cherché.
outil 14
Variables
u , i
entrée
n
Traitement
u = 1
Pour i de 1 à jusque n faire
u reçoit 2 × u + 5
FinPour
Sortie
Afficher « u » n « = » u
la formule de
récurrence.
a) Testez avec l’outil de votre choix, le programme qui en découle.
Avec une TI
Avec une Casio
Avec AlboBox
activités de recherche
2. Avec la calculatrice programmable ou avec AlgoBox
3. Applications
Déterminez, avec l’outil de votre choix, une valeur éventuellement approchée :
u
du terme u10 de la suite définie par : u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, par un+1 = 5 + n ;
2
3
l du terme v
100 de la suite définie par : v0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par vn+1 = 2 vn – 1.
l
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
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131
EXERCICES
Entraînement
de tête
38 u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2n – 3.
Pour les exercices 52 et 53
La suite (un) est définie par la donnée explicite du
terme un pour tout entier naturel n.
Exprimez en fonction de n les termes un–1, un+1, u2n,
u2n+1 de la suite (un).
39 Les nombres suivants sont-ils, dans cet ordre,
52 a) un = 3n2 – 1
37 un = n2 – 3n + 1. Calculez u1, u2, u3, u4, u5.
u
Calculez u1 et u2.
trois termes consécutifs d’une suite arithmétique ?
1 5 4
a) 12 ; 25 ; 38
b) ; ;
2 6 3
40 (un) est une suite arithmétique de raison r = 2
et u5 = 6. Calculez u0, u10.
41 (un) est une suite arithmétique. u3 = 11 et u11 = 3.
Calculez u0, u14.
42 Calculez 1 + 2 + … + 20.
43 (un) est une suite arithmétique de raison r = 2
et u0 = 0. Calculez u8 + u9 + … + u15.
44 Les nombres suivants sont-ils, dans cet ordre,
trois termes consécutifs d’une suite géométrique ?
1
a) 12 ; 24 ; 36
b) ; –2 ; 12
3
45 (un) est une suite géométrique de raison q = 0,2
et u5 = 1,6. Calculez u0, u8.
46 (un) est une suite géométrique de raison q > 0.
u3 = 8 et u5 = 2. Calculez u4, u8.
Pour les exercices 47 à 49
Trouvez la fonction f telle que, pour tout entier naturel n, un = f(n), et calculez les termes de u0 à u5.
n2 – 1
n+2
47 a) un = 2n + 5
b) un =
48 a) un = n2 + 2n – 5
b) un = |3 – 2n|
n
7n + 1
b) un = n2 – 1n + 1
Pour les exercices 50 et 51
Trouvez la fonction f telle que, pour tout entier naturel n, un+1 = f(un), et calculez les termes de u1 à u5.
5
u0 = 5
5
u0 = 2
51 a)
132
5
u0 = –1
b)
2un
un+1 =
un+1 = (un + 1)2
un + 1
50 a)
2n – 1
n+1
b) un =
(–1)n+1
2(n + 1)
Pour les exercices 54 à 56
La suite (un) est définie par la donnée de son premier
terme et d’une relation de récurrence. Calculez les
termes, de u1 à u5, puis conjecturez une formule
explicite du terme général un = f(n).
À partir de la formule obtenue, retrouvez u0 et la
relation donnée entre un+1 et un.
1
54 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2 un.
55 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + 5.
56 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n :
un+1 = 1 –
1
.
1 + un
57 (un) est définie pour tout entier naturel n, par :
un = n3 – 3n2 + 2n + 1.
a) Calculez u0, u1 et u2.
Tous les termes de la suite sont-ils égaux ?
Définir une suite
49 a) un =
n2 + n + 1
53 a) un = 2n + 1 b) un =
5
u0 = 1
b)
un – 1
un+1 =
un+1 = un(un + 1)
un
b) Factorisez (un – 1). Combien de termes de la suite
sont égaux à 1 ?
58 f est la fonction définie pour tout x ≠ 0 par :
1
.
x
1. On note (un) la suite définie pour tout entier naturel n
non nul par un = f(n). Calculez u1, u2, u3, u4, u5, u50, u100.
1
2. On note (vn) la suite définie par v0 =
et, pour tout
2
entier naturel n, vn+1 = f(vn).
Calculez v1, v2, v3, v4.
f(x) = x –
59 À partir d’un carré de côté
u0 = 5, on construit les carrés de
côtés u1, u2, u3, …, un, un+1 en
utilisant des segments de
longueur 1 comme indiqué sur
la figure ci-contre.
a) Calculez les valeurs exactes
de u1 et u2.
u n+1
un
1
1
b) Exprimez un+1 en fonction de un.
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
1
1
1
u0 = 2, u1 = 1 + , u2 = 1 +
2
1
1+
1
2
, u3 = 1 +
1
.
1
1+
1+
a) Calculez u1, u2, u3.
1
2
b) Conjecturez l’expression de un+1 en fonction de un.
c) Calculez u4, u5, u6 et représentez les premiers termes
sur un axe gradué.
61 Obtenir des termes choisis
A L G O R IT
H M IQ U E
1. Qu’obtenez-vous pour n = 7 et p = 15 à l’aide de
l’algorithme suivant ?
exercice résolu A, page 123.
b) un = 2n
b) un = 7n – 1 (n ≠ 0)
u = –1
u =2
0
a)
b)u = 0
64
5 un+1 = 2un – 1 n 5 un+1 – un = 2
Pour les exercices 65 et 66
La suite (un) est arithmétique de raison r. Exprimez un
en fonction de n.
exercice résolu C, page 125.
1
65 a) u0 = –3 et r = – 2 1
1
66 a) u5 = – 3 et r = 2 Pour les exercices 70 à 73
(un) est une suite arithmétique. Calculez u0 et la
raison r.
70 u2 + u3 + u4 = 36 et u9 = 48.
71 u5 + u6 + u7 = –27 et u9 = –15.
75 On aperçoit, dans la colonne A ci-dessous,
quelques termes d’une suite.
Pour les exercices 62 à 64
Précisez si la suite est arithmétique ou non. Si oui,
donnez sa raison.
2n + 1
5
69 u3 = 12 et u5 = 18. Calculez u10.
74 Déterminez cinq nombres impairs consécutifs
dont la somme est 55.
Suites arithmétiques
63 a) un =
68 u2000 = 74 et u2010 = 33. Calculez u10000.
73 u1 + u2 + u3 + … + u8 = 176 et u3 = 7.
2. (un) est la suite définie pour tout entier naturel n
par :
3
un = n + 4.
2
En vous inspirant de l’algorithme précédent, écrivez
un algorithme permettant d’obtenir les dix termes
qui suivent le terme d’indice n (n n’étant pas fixé).
5
67 u5 = 27 et u10 = 33. Calculez u20.
72 u10 + u12 + u14 = 33 et u100 = 55.
Variables
i, u, n, p
entrées
n, p
Traitement
Pour i de n jusque p faire
u reçoit 3×i – 2
Afficher « u » i « = » u
FinPour
62 a) un = 3 n – 1
Pour les exercices 67 à 69
La suite (un) est arithmétique de raison r.
EXERCICES
60 On donne :
b) u1 = 5 et r =
1
10
b) u10 = 0 et r = –3
a) Pourquoi est-il raisonnable d’imaginer que la suite est arithmétique ?
b) Son premier terme est dans la
cellule A1. Quel est-il ?
76 Les nombres ci-contre sont
des termes consécutifs d’une suite
arithmétique construite avec un
tableur.
Déterminez le contenu des cellules A30 et A100.
77 La suite (un) est arithmétique de raison 3 et de
premier terme u0 = 1.
a) Pour tout entier naturel n, on pose :
1
vn = un + 2.
2
Prouvez que la suite (vn) est arithmétique.
b) Pour tout entier naturel n, on pose :
wn = 2un + 3vn.
Prouvez que la suite (wn) est arithmétique.
78 (un) est une suite arithmétique de raison r.
Prouvez que les suites (vn) et (wn) définies, pour tout
entier naturel n, respectivement par vn = 2un + 5 et
wn = u3n – 1 sont arithmétiques et donnez leur raison.
79 La suite (un) est définie par u0 = 1 et, pour tout
un
.
1 + 2un
a) Calculez u1, u2, u3, u4, u5.
1
b) Si un ≠ 0, on pose vn =
.
un
Calculez v0, v1, v2, v3, v4, v5.
entier naturel n, un+1 =
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
133
EXERCICES
c) Prouvez que la suite (vn) est arithmétique.
Exprimez vn puis un en fonction de n.
Pour les exercices 85 à 90
(un) est une suite géométrique de raison q.
80 La figure ci-contre indique
le début de la construction de
zones colorées que l’on peut
prolonger indéfiniment.
Tous les triangles de la figure sont
équilatéraux.
exercice résolu C, page 125.
u1
u2
u3
u4
u5
0 1 2 3 4 5
a) Prouvez que la suite (un) des aires définies par la
figure est arithmétique. Quelle est sa raison ?
b) La suite (vn) des périmètres est-elle arithmétique ?
81 an et pn sont respective-
ment l’aire et le périmètre du
domaine en vert sur la figure
ci-contre dans un repère orthonormé.
a) Calculez an et pn en fonction
de n.
1 x+3
y= 3
j
Oi
n n+1
b) Vérifiez que les suites (an) et (pn) sont arithmétiques.
LOGIQUE
82 Démonstration par
un contre-exemple
La suite (un) est arithmétique de raison r ce qui
signifie que la différence de deux termes consécutifs
quelconques de la suite est constante et égale à r, r
étant, par exemple, la différence u1 – u0.
Ceci se traduit par la proposition (P) :
pour tout entier naturel n, un+1 – un = u1 – u0.
1. Exprimez la négation de la proposition (P).
Il suffit donc, pour prouver qu’une suite n’est pas
arithmétique, de trouver un contre-exemple, c’est-àdire ici une différence de termes consécutifs qui ne
soit pas égale à la première, u1 – u0.
2. Application : pour chacune des suites suivantes,
précisez si elle est arithmétique ou pas.
5
w0 = π
3n – 1
un = n2 – 2n
lv =
l
n
n+1
wn+1 = wn + 1
l
Suites géométriques
Pour les exercices 83 et 84
Précisez si la suite est géométrique ou non. Si oui,
donnez sa raison.
exercice résolu B, page 124.
2n+3
b) un = 5n – n
83 a) un = n+2 3
u = 3
5
u = –2
5
0
0
u
un
b)
84 a)
un+1 =
un+1 – un = n 134
2
n+1
85 u0 = 3, q = 5. Calculez u3 et u10.
1
86 u0 = 2, q = – 2 . Calculez u3 et u10.
87 u5 = 486, u7 = 4 374 ; q > 0.
Calculez u0 et u10.
88 u2 = –1,92, u4 = –1,228 8 ; q > 0.
Calculez u0 et u5.
89 Pour tout naturel un+2 = un+1 + un.
Tous les termes sont non nuls et sa raison q est positive.
Trouvez q.
90 (un) n’est pas constante. De plus, u0 = 5 et
2u2 = 3u1 – u0. Trouvez sa raison q.
91 On aperçoit, dans la colonne A ci-dessous,
quelques termes d’une suite.
a) Pourquoi est-il raisonnable
d’imaginer que la suite est géométrique ?
b) Son premier terme est dans la
cellule A1. Quel est-il ?
92 Les nombres suivants sont
des termes consécutifs d’une suite
géométrique « construite » avec
un tableur.
Déterminez le contenu des cellules A8 et A9.
93 a et c sont deux nombres strictement positifs.
Déterminez en fonction de a et de c le nombre positif b
tel que a, b et c soient dans cet ordre, trois termes
consécutifs d’une suite géométrique.
94 (un) est une suite géométrique. un–1 = 45 et
un+1 = 2 205. Déterminez un.
95 Boule de neige
Sur une grille à mailles
carrées d’un centimètre de
côté, on place une boule de
neige de dix centimètres de
diamètre. Elle fond, et son
volume est divisé par huit à
chaque heure écoulée.
On fait une observation toutes les heures. Dans
combien de temps constaterons-nous que ce qui reste
de la boule n’est plus retenu par la grille ?
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
a) Exprimez en fonction de son prix initial, son prix au
bout de cinq ans.
b) Exprimez en pourcentage l’augmentation de p0 à p5.
97 Quelle somme doit-on placer avec un taux
d’intérêt de 5 % l’an afin de détenir une somme de
10 000 � au bout de dix ans :
a) lorsque les intérêts sont capitalisés ;
b) lorsque les intérêts ne sont pas capitalisés.
Somme de termes
Pour les exercices 102 à 118
Voir l’exercice résolu D, page 126.
102 a) Démontrez que la somme 1 + 3 + 5 + … + 99
est le carré d’un entier naturel.
Aide
EXERCICES
96 Le prix d’un article augmente tous les ans de 3 %.
On note p0 son prix initial, p1 son prix un an après, pn son
prix au bout de n années (n est un entier naturel).
Voir le principe de démonstration du théorème 2 p. 121.
b) Calculez, en fonction de n, la somme des n premiers
entiers naturels impairs.
S = 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1).
103 (un) est une suite géométrique de raison q = 4 et
u4 = 12. Calculez u4 + u5 + … + u9.
Aide
Dire que les intérêts sont capitalisés signifie que chaque année ils sont
ajoutés au capital et produisent, à leur tour, des intérêts.
104 (un) est une suite arithmétique telle que :
u1 + u2 + u3 = 9
u10 + u11 = 40
5
a) Prouvez que u0 et la raison r sont tels que :
u0 + 2r = 3
2u0 + 21r = 40
Calculez alors u0 et r.
5
b) Calculez la somme S = u0 + u1 +… + u30.
105 (un) est une suite arithmétique.
u10 = –12 et u20 = –32.
a) Calculez u0 et la raison r.
b) Calculez u10 + u20 + … + u100.
Dénombrement
98 On considère l’intervalle I = [15 ; 54].
Combien I contient-il :
a) de nombres entiers ?
b) de nombres pairs ?
99 On considère l’intervalle I = [28 ; 113].
Combien I contient-il :
a) de multiples de 3 ?
b) de multiples de 7 ?
100 Déterminez le nombre de termes de la somme :
a) 1 + 3 + 5 + … + 57 ;
b) 9 + 12 + 15 + … + 123 + 126 ;
1
1
1
+
+…+ n.
c) 1 +
2
4
2
101 La suite (un) est géométrique.
Indiquez le nombre de termes proposés :
a) q5, q6, q7, …, q14
b) 1, 2, 22, 23, …, 223
c) 37, 39, 311, …, 347
Pour les exercices 106 à 108
La suite (un) est arithmétique de raison r et de
premier terme u1.
On note Sn = u1 +… + un.
106 u17 = 105 et r = –2. Calculez u1 et S17.
107 r = –7 et S33 = 0. Calculez u1 et u33.
108 un = 14, r = 7 et Sn = –1 176. Calculez n et u1.
109 a) Calculez la somme de tous les entiers naturels
multiples de 3 inférieurs à 1 000.
b) Calculez la somme de tous les entiers naturels
multiples de 5 inférieurs à 9 999.
110 Un épargnant décide de bloquer (sans intérêts),
sur un compte, de l’argent chaque mois.
Il commence le 1er janvier 2010 avec 10 �.
Le 1er de chaque mois, il dépose 10 � de plus que le
mois précédent.
Combien aura-t-il sur son compte le 2 juin 2011 ?
1
1
1
1
1
1
1
111 Calculez S = 4 + 8 + 16 + … + 1 048 576 .
1
112 Calculez S = 3 – 9 + 27 – … – 6 561 .
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
135
EXERCICES
b) Calculez la somme des volumes des dix premiers
cubes (à 1 mm3 près).
113 Un cycliste a effectué cinq tours de piste en
2 minutes et 40 secondes.
Sachant qu’à chaque tour
il a mis une seconde de
plus qu’au précédent,
donnez le temps mis pour
chaque tour.
118 1. Vérifiez que la suite (wn) définie pour tout entier
naturel n par wn = 2n – 2n + 2 n’est ni arithmétique ni
géométrique.
2. Prouvez que la suite (un) définie pour n entier non nul
par un = –2n + 2 est arithmétique ;
et que la suite (vn) définie pour n entier non nul par
vn = 2n est géométrique.
3. Calculez la somme w1 + w2 + … + w10.
114 On construit, à l’aide d’une
ficelle, la figure suivante :
On note x1 la longueur du 1er segment
(x1 = 50 cm), x2 celle du deuxième et
ainsi de suite.
Calculez la longueur totale des sept
premiers segments.
115 Calcul d’une somme ROC
50
Restitution organisée
de connaissances
119 Somme des termes d’une suite arithmétique
12,5
25
A L G O R IT
H M IQ U E
a) Quelle est la nature de la suite utilisée dans cet
algorithme ?
b) Précisez l’objectif de cet algorithme écrit avec
AlgoBox.
Prérequis :
La somme des entiers de 1 à n s’exprime sous la forme :
n(n + 1)
1+2+3+…+n=
.
2
1. Démonstration
Démontrez que la somme des n premiers entiers
3n(n + 1)
naturels non nuls multiples de 3 est .
2
2. Application
Utilisez le résultat précédent pour calculer la somme
1 + 4 + 7 + 10 + … + 301.
120 Somme des termes d’une suite géométrique
116 Calcul d’une autre somme
A L G O R IT
H M IQ U E
Écrivez un algorithme permettant de calculer la
somme des n premiers termes de la suite arithmé1
tique de premier terme 2 et de raison (le nombre n
2
étant choisi par l’utilisateur).
117 Avec des cubes
Sur un cube de dix centimètres de
côté, on empile des cubes de plus
en plus petits : le volume d’un cube
(autre que le premier) est égal à la
moitié du volume du cube précédent.
a) Calculez le volume du huitième cube.
136
Prérequis :
1 – qn+1
Pour q ≠ 1, 1 + q + q2 + … + qn =
.
1–q
1. Démonstration
(un) est une suite géométrique de raison q ≠ 1.
Démontrez que :
1 – qn+1
u0 + u1 + u2 + … + un = u0 ×
.
1–q
2. Application
Utilisez le résultat précédent pour calculer la somme :
9 + 27 + … + 310.
Prendre toutes
les initiatives
121 Calculez la somme de tous les nombres entiers
naturels inférieurs à 2 154 ayant 3 pour chiffre des
unités.
122 Les mesures des côtés d’un triangle rectangle
peuvent-elles être trois termes consécutifs d’une
suite arithmétique ?
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
123 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n,
par :
u0 = 1
5
un – 1
3un + 1
a) Calculez les cinq premiers termes de la suite.
Que pouvez-vous conjecturer ?
un+1 =
b) Démontrez que pour tout entier naturel n, un+3 = un.
Vocabulaire (un) est dite périodique de période 3.
1
1
1
,
et
sont-ils des
1 + 15 4
3 + 15
termes consécutifs d’une suite arithmétique ?
124 Les nombres
Pour les exercices 125 et 126
Trouvez trois nombres a, b et c, termes consécutifs
d’une suite arithmétique, qui remplissent les conditions données.
exercice 30, Apprendre à chercher, page 128.
125 Les nombres a, b et c sont tels que :
a + b + c = 39
a2 + b2 + c2 = 525
5
126 Les nombres a, b et c sont tels que :
a + b + c = –15
a2 + b2 + c2 = 107
5
127 Trouvez cinq nombres a, b, c, d et e, termes
consécutifs d’une suite arithmétique tels que :
a + b + c + d + e = 55
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 695
5
exercice 30, Apprendre à chercher, page 128.
a) Prouvez que la suite (vn) définie, pour tout entier
naturel n, par :
vn = un2 est arithmétique.
b) Exprimez vn puis un en fonction de n.
131 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n,
par :
1
u0 =
2
un
un+1 =
.
1 + 2un
On admet que, pour tout entier naturel n, un > 0.
5
a) La suite (un) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ?
b) La suite (vn) est définie, pour tout entier naturel n,
par :
1
vn =
+ 1.
un
Calculez les premiers termes de la suite (vn).
Que pouvez-vous conjecturer concernant la nature de
cette suite ? Démontrez-le.
c) Exprimez vn puis un en fonction de n.
132 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n,
par :
u0 = 1
1
1
un+1 = un +
2
4
5
a) Calculez u1, u2, u3, u4 et u5. La suite (un) est-elle
arithmétique ? géométrique ?
1
.
b) On pose, pout tout entier naturel n, vn = un –
2
Prouvez que la suite (vn) est géométrique.
c) Exprimez vn puis un en fonction de n.
128 a, b, c, dans cet ordre, sont trois termes consécutifs
d’une suite arithmétique de raison non nulle. b, c, a,
dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite
géométrique. De plus a + b + c = 18. Calculez a, b et c.
133 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n,
par :
u0 = 3
u
un+1 = n + 3
4
129 (un) est une suite géométrique de premier
terme u0 différent de 0, et de raison q différente de –1.
On pose : vn = un + un+1 et wn = un × un+1.
a) Calculez u1, u2, u3, u4 et u5.
La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ?
a) Prouvez que, pour tout n, vn est non nul.
wn
est
vn
une suite géométrique dont vous préciserez le premier
terme et la raison.
5
b) On pose, pour tout entier naturel n, vn = un – 4.
Prouvez que la suite (vn) est géométrique.
b) Démontrez que la suite (tn) de terme général
c) Exprimez vn puis un en fonction de n.
130 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n,
par :
u0 = 0
134 Déterminer la nature d’une suite TICE
La suite (un) est définie par :
u0 = –1
4un
un+1 =
.
4 – un
On admet que pour tout entier naturel n, un existe (c’està-dire qu’aucun terme de la suite ne prend la valeur 4).
5
un+1 = 91 + un2
EXERCICES
Approfondissement
5
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
137
EXERCICES
1. Utilisez un tableur pour calculer les vingt premiers termes de
la suite.
b) On prolonge la figure de quatre nouveaux arcs,
ajoutés aux cinq arcs déjà dessinés. Quelle est la
longueur de la spirale ainsi obtenue ?
La suite (un) vous semble-t-elle arithmétique ? géométrique ? Démontrez-le.
137 Dans le demi-disque
2. Supposons qu’il existe un entier naturel n tel que
un = 0. Exprimez alors un–1, un–2, etc.
3. On considère maintenant la suite (vn) définie, pour
tout entier naturel n, par :
3un + 2
vn =
.
un
Utilisez de nouveau le tableur pour calculer les vingt
premiers termes de la suite.
Que pouvez-vous conjecturer concernant la nature de
cette suite ?
Démontrez-le.
4. a) Exprimez vn en fonction de n.
b) Après avoir justifié que, pour tout entier naturel n,
2
vn – 3 est non nul, démontrez que un =
.
vn – 3
Exprimez alors un en fonction de n.
135 Dans la figure cicontre tous les triangles
sont équilatéraux.
a) Justifiez que déterminer la demi-vie de l’uranium 234
revient à déterminer l’entier naturel n à partir duquel
0,999 724n < 0,5. Utilisez la calculatrice ou le tableur
pour résoudre ce problème.
b) Le thorium 230 est lui-même instable et se désintègre
en radium 226. Sa demi-vie est de 76 000 ans. À l’aide
de la calculatrice (ou d’un tableur), déterminez le taux
d’atomes de thorium 230 désintégrés par siècle.
c) Que devient le thorium 230 après 152 000 ans ?
Note
Pour la question b) et la question c), on part du principe que le thorium
a été séparé de l’uranium, c’est-à-dire qu’aucun atome de thorium ne se
forme pendant la désintégration en radium 226.
136 Une spirale
La spirale représentée ci-dessous est composée de
quarts de cercles dont les centres sont successivement
les sommets du carré ABCD de côté 1 cm.
C
On note u1 la longueur du quart de cercle DE de centre A,
C
u2 la longueur du quart de cercle EF de centre B, et ainsi
de suite…
u5
u4
140 En économie
Un employeur propose deux plans de rémunération
mensuelle à un nouveau salarié : Le salaire sera de
1 900 � au départ avec deux options possibles :
B. Chaque année, une augmentation de 4 %.
B
F
139 Isolation phonique
Une plaque d’isolant phonique absorbe 45 % du son
qui la traverse. Combien doit-on superposer de plaques
pour que l’intensité du son soit inférieure à 1 % de sa
valeur initiale ?
A. Chaque année, une augmentation de 100 � ;
C
u3
a) Quelle est la nature de la suite (un) ?
138
L’uranium 234 est un corps radioactif qui se désintègre
en thorium 230, en émettant des particules a.
Le taux d’atomes d’uranium 234 désintégrés en thorium
230 est de 0,027 6 % par siècle. On appelle « demivie » d’un corps radioactif le temps nécessaire à la
désintégration de la moitié de ses atomes.
Pour résoudre, à la calculatrice, l’équation X760 = 0,5, on calcule 0,51/760.
b) Prouvez que la suite des
aires des triangles est géométrique.
E A
u2
La désintégration de l’uranium 234
138
Aide
a) Prouvez que la suite des
aires des disques est géométrique.
u1 D
de diamètre [AB], de centre O
et de longueur dix centimètres, on enlève cinq demi- A
O
B
disques dont les diamètres
sont de plus en plus petits, chacun d’eux étant la moitié
du précédent. Quelle aire reste-t-il ?
1. Quelle est l’option la plus intéressante pour le salarié
au bout d’un an ?
2. Cette option est-elle la plus intéressante quelle que
soit l’ancienneté ?
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
EXERCICES
144 Dénombrement
On place sur un cercle n points distincts et on s’intéresse
au nombre pn de segments ayant pour extrémités deux
de ces points.
141 En biologie
Un biologiste souhaite
étudier l’évolution d’une
population de bactéries.
Il a effectué les relevés suivants :
heure
10 h
10 h 20
10 h 40
11 h
11 h 20
nombre
1 000
2 100
4 000
7 900
16 000
a) On note p0 la population à 10 heures, p1 la population
à 10 h 20 et ainsi de suite.
Comment notez-vous la population à 12 heures ? à
14 heures ?
b) Pour pouvoir faire des prévisions, le biologiste doit
modéliser l’évolution.
Remarquez que celle-ci est assez régulière.
Quelle modélisation de l’évolution préconisez-vous ?
Exprimez alors pn en fonction de n.
c) Utilisez cette modélisation pour prévoir la population
à 20 heures.
142 Deux placements
Enzo choisit un placement à intérêts capitalisés. Il place
une somme de 1 000 � le premier janvier 2011, au taux
annuel de 2,5 %.
Valentin place le même jour une somme de 900 �, au
taux annuel de 3 %. Les intérêts de ce placement sont
également capitalisés.
a) Calculez les sommes dont ils disposeront un an plus
tard.
b) On note un le capital dont disposera Enzo et vn celui
dont disposera Valentin le 1er janvier de l’année 2011 + n.
Quelle est la nature des suites (un) et (vn) ?
a) Indiquez les valeurs de p2, p3, p4 et p5.
b) n points étant placés et les pn segments étant tracés,
on ajoute un nouveau point, distinct des précédents.
Combien de nouveaux segments pouvez-vous tracer ?
c) Déduisez de ce qui précède une relation de récurrence entre pn+1 et pn, puis utilisez cette relation pour
exprimer pn en fonction de n.
Prendre toutes
les initiatives
145 Trouvez trois nombres a, b et c, termes
consécutifs d’une suite géométrique, tels que :
a + b + c = 21
2a + b – c = 27
5
146 Exprimez de deux manières différentes le
nombre 11,111 111 1 comme somme de termes
consécutifs d’une suite géométrique.
147 Les mesures des côtés d’un trapèze rectangle
peuvent-elles être quatre termes consécutifs d’une
suite géométrique ?
c2
c) De quelles sommes disposeront-ils le 1er janvier 2017 ?
d) En quel début d’année le capital de Valentin
dépassera-t-il celui d’Enzo ?
Aide
Dire que les intérêts sont capitalisés signifie que chaque année ils sont
ajoutés au capital et produisent, à leur tour, des intérêts.
Se méfier de la calculatrice
143
La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n, par :
1
u0 =
7
un+1 = 8un – 1
c3
c1
c4
148 Nombres pentagonaux
Les nombres de points 1, 5, 12, 22 sont associés aux
figures ci-dessous.
On suppose que le processus de construction se
poursuit ainsi.
Combien de points sont associés à la figure 8 ? à la
figure 2011 ?
5
a) Calculez, « à la main », les termes u1, u2, u3, u4, u5. Que
vous permettent de conjecturer ces quelques calculs ?
b) Déterminez un avec la calculatrice pour n de 1 à 20.
Que constatez-vous ?
figure 1
figure 2
figure 3
figure 4
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
139
EXERCICES
Travail en autonomie
L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes
de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme,
en utilisant si besoin les coups de pouce
page 381.
A Choisir son taux
D Réduire au même numérateur
1
À quel taux annuel doit-on placer une somme de 1 000 e
pour obtenir au bout de 15 ans un capital de 1 800 e (à
un euro près) sachant que les intérêts sont capitalisés
annuellement.
B Un peu d’Histoire
2
Un ouvrage d’Histoire est consacré aux Trois Glorieuses.
Quel est le nombre de pages de cet ouvrage sachant
que la somme des numéros des pages correspond à
l’année du thème du livre ?
La suite (un) est définie par :
u0 = 4
5
2un
2 – un
On admet que la suite est définie pour tout entier
naturel n, c’est-à-dire qu’aucun terme n’est égal à 2.
un+1 =
a) Calculez u1, u2, u3, u4, u5.
b) Conjecturez la valeur de u100.
4
E Un triangle rectangle particulier
5
Les mesures des côtés d’un C
triangle rectangle peuvent-elles être trois termes
consécutifs d’une suite x
géométrique de raison q ?
q2x
qx
A
F Somme de sommes
B
6
L’objectif est de calculer la somme des nombres contenus dans le tableau suivant.
Amédée Bourgeois (1798-1837), Attaque de l’Hôtel de Ville de Paris
et combat du pont d’Arcole, 28 juillet 1830, huile sur toile,
Musée du Château de Versailles
C Une spirale
On construit la courbe ci-dessous de la manière suivante :
Le triangle ABC est équiI
latéral de côté 1 cm. Tous
F
les arcs de cercle, qui correspondent à des tiers de
C
cercle, sont centrés en un
G D
B
des sommets A, B ou C. Le
A
C
premier arc, CD, est centré
C
E
en A, le second arc, DE, est
centré en B, le troisième
H
C
arc, EF, est centré en C, etc.
a) Quelle est la nature de la suite des rayons ?
b) Quelle est la longueur de la courbe obtenue en
effectuant cinq tours (seuls deux tours sont représentés
ici) ? 3
140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9
10
11
12
13
14
15
16
17
a) Pour les trois premières lignes, calculez la somme des
nombres.
b) Déduisez-en la somme de tous les nombres.
G Une suite récurrente
7
Le programme ci-dessous est destiné à calculer le terme
de rang P (non nul) d’une suite.
Avec une TI
Avec une Casio
a) La suite est-elle arithmétique ?
b) La suite est-elle géométrique ?
Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
CHAPITRE
Comportement
d’une suite
D’un siècle
à un autre
Le néologisme « fractale » (du latin fractus : brisé)
est créé en 1974 par Benoît Mandelbrot,
alors qu’il étudie des objets étranges,
invariants lors de changements d’échelle.
Des algorithmes de construction permettent
de construire des « figures limites » qui sont fractales.
Leur surface peut tendre vers une limite finie alors
que leur périmètre tend vers une limite non finie.
En savoir plus sur
Benoît Mandelbrot
Chercheurs d’hier p. 155
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Rappels
& Questions-tests
Comparer des nombres
Pour comparer deux nombres a et b, on peut
étudier le signe de leur différence.
l
a b équivaut à a – b 0.
l
a > b équivaut à a – b > 0.
1 n est un entier naturel. Comparez les nombres A et B :
A = n2 – n + 1 et B = 3n – 3.
2 n est un entier naturel (n > 2).
Comparez
n
n+1
et
.
n–1
n
Sens de variation d’une fonction
f est une fonction strictement croissante
(resp. strictement décroissante) sur l’intervalle I
signifie que, pour a et b appartenant à I :
si a < b, alors f(a) < f(b) (resp. f(a) > f(b)).
l
l Si f est dérivable sur l’intervalle I, et si pour
tout nombre x de I, f’(x) > 0 (resp. f’(x) < 0), alors
f est strictement croissante (resp. strictement
décroissante) sur l’intervalle I.
l u est une fonction définie sur un intervalle I
telle que pour tout nombre x de I, u(x) > 0.
Les fonctions u et 1u ont le même sens
de variation sur l’intervalle I.
3 On considère la fonction trinôme f définie pour tout
nombre x par f(x) = x2 – 3x + 1. n est un entier naturel,
n > 2.
Comparez f(n) et f(n + 1).
4 a) Justifiez que la fonction f définie sur I = [1 ; + ∞[
par f(x) = 2x3 – 3x2 est croissante sur I.
b) n étant un entier naturel non nul, comparez alors f(n)
et f(n + 1).
5 a) Justifiez que la fonction f définie sur I = ]1 ; + ∞[
x+1
est strictement décroissante sur I.
x–1
b) n étant un entier naturel, n > 2, comparez f(n)
et f(n + 1).
par f(x) =
6 a) Étudiez les variations de la fonction f définie sur
l’intervalle [–3 ; + ∞[ par f(x) = 7x + 3.
b) n est un entier naturel. Comparez f(n) et f(n + 1).
Algorithmique
l Une boucle conditionnelle s’arrête lorsque
la condition imposée n’est plus remplie.
Tant que condition faire
tâche
FinTant
L’algorithme suivant permet de déterminer
le plus petit entier naturel n tel que :
2
< 0,01.
n2
l
Variable
i entier positif
Algorithme
i reçoit 1,
Tant que 2/i^2 > 0,01 faire
i reçoit i+1
FinTant
Afficher i
7 a) Quel est le but de cet algorithme ?
b) Qu’obtiendra-t-on à l’affichage ?
Variable
i, u
Algorithme
i reçoit 0
u reçoit 5
Tant que u > 0,001 faire
u reçoit u*0.2
i reçoit i+1
FinTant
Afficher « u » i « = » u
8 (un) est la suite définie pour tout entier naturel n, par :
u0 = 1
1
un+1 = un
2
Écrivez un algorithme permettant de déterminer
le 11e terme de la suite (un).
5
Voir les corrigés p. 363
142
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
ACTIVITÉS
Activité 1
Des « flocons »
Les polygones ci-dessous sont construits successivement en utilisant le processus
suivant : chaque segment est remplacé par la ligne brisée obtenue comme l’indique
le schéma ci-contre (à partir du partage en quatre segments de même longueur). Le
premier polygone est un carré de côté 4 cm.
Maths
et nature Les fractales
1 Justifiez que l’aire de ces polygones est constante.
2 On s’intéresse dans cette question aux périmètres de ces
Les fractales désignent des objets dont la
structure est invariante par changement
d’échelle.
Dans la nature, on rencontre de nombreuses formes fractales approximatives,
telles ce chou romanesco.
polygones. On note p1, p2, p3 les périmètres des trois premiers
polygones.
a) Calculez p1, p2 et p3.
b) Quelle est la nature de la suite (pn) ? Justifiez.
c) Est-il possible d’obtenir, avec ce mode de construction,
un polygone dont l’aire est 16 cm2 et dont le périmètre est
supérieur à 15 m ? à 100 m ?
3 Le second polygone est, par construction, plus « large » que le
premier (+2 cm). Le troisième est plus « large » que le second
1
+ cm , le quatrième est plus « large » que le troisième
2
1
+ cm , etc.
8
Cette « largeur » peut-elle dépasser 7 cm ? Justifiez.
1
1
2
2
Activité 2
Les triangles de Sierpinski
Les figures ci-contre sont construites successivement en
utilisant le processus suivant : à chaque étape, on construit
dans chaque triangle non coloré un triangle coloré dont les
sommets sont les milieux de ses côtés. Le premier triangle est
équilatéral de côté 5 cm.
Étape 1
Étape 2
1 Justifiez que, quelle que soit la figure, l’aire de chaque surface colorée ne dépasse pas
Étape 3
2513
cm2.
4
2 On s’intéresse dans cette question au périmètre des surfaces colorées.
a) Calculez les périmètres p1, p2 et p3 des trois premières surfaces.
b) Est-il possible d’obtenir avec ce mode de construction une surface colorée dont le périmètre est
supérieur à 15 m ?
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
143
ACTIVITÉS
Activité 3
Variations d’une suite
TICE
1
(un) est la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + 3.
2
1
f : x x + 3 est la fonction affine telle que un+1 = f(un).
2
L’objectif est de conjecturer le comportement des termes de la suite
à partir d’une représentation graphique.
outil 1
la droite ∆ d’équation y = x et la Note
x
droite d d’équation y =
+ 3, Vous pouvez utiliser le fichier établi
2
dans l’exercice 35 du chapitre 5.
qui représente la fonction f.
b) Déterminez les coordonnées du point Ω, intersection de d
et ∆.
c) Créez, dans l’ordre, comme sur la vue d’écran, le point A de
coordonnées (u0 ; 0) (saisissez A=(1,0)), puis les points B, C, D, E,
F, G, H et I en utilisant les icônes :
1 a) À l’aide de GeoGebra, créez
pour tracer une perpendiculaire ;
pour définir un point d’intersection ;
pour créer un segment.
Aide
Après avoir construit les points, masquez les droites
perpendiculaires à un des axes en décochant
.
La figure sera plus lisible.
d) Sachant que toutes les droites tracées sont perpendiculaires à un des axes, justifiez que les
coordonnées du point B sont (u0 ; u1) et que celles du point C sont (u1 ; u1).
Rappel : A est le point d’abscisse u0.
Déduisez-en les coordonnées des points D, E, F, G, H et I.
e) Créez alors les points de l’axe des abscisses correspondants aux nombres u1, u2, u3, u4.
Pensez à utiliser l’icône
, intersection entre deux objets.
2 Quelle conjecture pouvez-vous émettre concernant le comportement des termes de la suite ?
3 a) On admet que pour tout entier naturel n, un < 6.
un
.
2
b) Déduisez-en que pour tout entier naturel n, un+1 – un > 0.
c) Comparez deux termes consécutifs quelconques de la suite.
Démontrez que pour tout entier naturel n, un+1 – un = 3 –
Problème ouvert
Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?
Antoine, Boris et Camille font du calcul mental.
Chacun choisit un nombre entier et lui applique le petit programme de calcul suivant : « Ajouter 10 à la
moitié du nombre choisi ». Puis, chacun fait subir le même traitement au nombre obtenu, et ceci six fois
de suite.
Antoine constate qu’il obtient des nombres de plus en plus grands. Pour Boris, au contraire, les nombres
sont de plus en plus petits. Quant à Camille, il affirme que ses observations ne correspondent ni à celles
d’Antoine ni à celles de Boris. Quel nombre a choisi Camille au départ ?
144
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
COURS
1
Sens de variation d’une suite
1.1 Définition
Définition
1 (un) est une suite définie pour tout entier naturel n.
l
Dire que (un) est strictement croissante signifie que, pour tout entier naturel n, un < un+1.
l
Dire que (un) est strictement décroissante signifie que, pour tout entier naturel n, un > un+1.
l
Dire que (un) est constante signifie que, pour tout entier naturel n, un = un+1.
On définit de même une suite croissante ou décroissante en utilisant des inégalités au sens large.
Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.
Exemples
La suite (arithmétique) des nombres impairs 1, 3, 5, 7, … est strictement croissante.
1 1 1 1
1
l La suite (géométrique) 1,
, , ,
, … de raison est strictement décroissante.
2 4 8 16
2
l
Remarque. Dans certaines situations, on étudiera la monotonie d’une suite pour des valeurs
de n supérieures ou égales à une valeur donnée entière m.
Exercice résolu A, page 149.
Attention. Il existe des suites non monotones. Par exemple, la suite définie pour tout entier
naturel n par un = (–1)n, qui est la suite 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; … n’est ni croissante ni décroissante.
1.2 Étude du sens de variation
Pour étudier le sens de variation d’une suite (un), on compare, pour tout entier naturel n, un+1 et un :
l
soit en étudiant le signe de la différence un+1 – un ;
u
soit, lorsque tous les termes un sont strictement positifs, en comparant n+1 et 1.
un
u
u –u
u
En effet, n+1 – 1 = n+1 n . Étant donné que un > 0, n+1 – 1 et un+1 – un sont de même signe ;
un
un
un
l soit, lorsque la suite (u ) est définie par (u ) = f(n), en étudiant les variations de la fonction f.
n
n
l
Cas particulier des suites arithmétiques
(un) est une suite arithmétique de raison r. Alors, pour tout entier naturel n, un+1 – un = r.
Le sens de variation dépend donc du signe de r :
l
si r > 0, alors (un) est strictement croissante ;
l
si r < 0, alors (un) est strictement décroissante ;
l
si r = 0, alors (un) est constante.
Cas particulier des suites géométriques
(un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 (avec q > 0 et u0 > 0).
u
Alors, pour tout entier naturel n, un = qnu0, donc un > 0 et n+1 = q.
un
Le sens de variation dépend donc de la place de q par rapport à 1 :
l
si 0 < q < 1, alors (un) est strictement décroissante ;
l
si 1 < q, alors (un) est strictement croissante ;
l
si q = 1, alors (un) est constante.
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
145
COURS
1.3 Cas des suites définies par un = f(n)
Théorème
1 La suite (un) est définie par un = f(n), où f est une fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
l
Si f est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, alors la suite (un) est strictement croissante.
l
Si f est strictement décroissante sur [0 ; + ∞[, alors la suite (un) est strictement décroissante.
Le théorème est encore vrai pour une fonction croissante ou décroissante.
Démonstration
Pour tout entier naturel n, n < n + 1. La fonction f est strictement croissante, donc f(n) < f(n + 1).
Ainsi, un < un+1 : la suite (un) est strictement croissante.
l
Pour tout entier naturel n, f étant strictement décroissante, n < n + 1 entraîne f(n) > f(n + 1) et
un > un+1 : la suite (un) est strictement décroissante.
l
x
+ 3 est strictement crois2
sante sur [0 ; + ∞[ ; la suite définie pour tout entier naturel n par :
n
un = + 3
2
est du type un = f(n). Elle est donc strictement croissante.
Exemple. La fonction affine f : x
Attention. Le théorème 1 ne s’applique pas aux suites
définies par récurrence. Par exemple, les suites définies
pour tout entier naturel n par :
u0 = 8 v0 = 1
u
v
et
un+1 = n + 3
vn+1 = n + 3
2
2
sont telles que un+1 = f(un), où f est la fonction affine
x
f : x + 3, qui est strictement croissante sur [0 ; + ∞[.
2
Cependant, la suite (un) est strictement décroissante alors
que la suite (vn) est strictement croissante.
2
5
u7
u6
u5
u4
u3
u2
u1
u0
un
1
n
O
1 2 3 4 5 6 7
v1
v2 v3 v4 u3 u2 u1 u0
7
6
5
4
3
2
1
0
v0
1
2
3
4
5
6
7
8
Approche de la notion de limite
Que deviennent les nombres un lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes, vers « plus
l’infini » ? Des exemples nous permettent de conjecturer diverses situations.
un
un
un
O
un
n
O
O
Les termes
s’accumulent près
d’un nombre fixé.
146
n
O
n
Les termes deviennent La suite tend vers – ∞.
de plus en plus
« grands » vers + ∞.
Les termes se
dispersent.
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
n
COURS
2.1 Exemples d’une accumulation
1
Observons les termes de la suite (un) définie pour tout entier naturel n, n ≠ 0, par un = :
n
1 1
1
1
1
1
1
1 ; ; ; … ;
; … ;
; … ;
; … ; 8 ; … ; 20 ; …
2 3
10
100
2 011
10
10
1 1
6 4
1
100
0
1
10
1
5
1
3
1
2
1
Les termes finissent par s’accumuler près de zéro.
Les termes un étant tous strictement positifs, plaçons-nous, par
exemple, dans l’intervalle I = ]0 ; 10–3[.
La suite (un) est strictement décroissante. Il en résulte que si un
des termes de la suite se trouve dans l’intervalle I, alors tous
ceux qui le « suivent », c’est-à-dire d’indice supérieur, appartiennent aussi à l’intervalle I.
1
1
Dans notre exemple,
n’appartient pas à I, mais
est
1 000
1 001
élément de I et entraîne ainsi tous les termes suivants…
1
1002
1
1
1003
1 001
0
1
1000
Ce phénomène est vérifié quelle que soit la longueur de l’intervalle I, aussi petite soit-elle. On dit alors que la suite (un) a
pour limite 0 quand n tend vers + ∞.
On note : lim un = 0.
n→+∞
Observons les termes de la suite (vn) définie pour tout entier naturel n non nul, par vn =
1
1 1
1
1
1
1
; … ; – ; … ; 6 ; …
–1 ; ; – ; ; – ; … ;
2
3 4
5
100
225
10
–1
–1
3
0
1
4
1
2
(–1)n
.
n
1
Les termes finissent par s’accumuler près de zéro.
Plaçons-nous, par exemple, dans l’intervalle J de
centre 0 et de rayon 10–3, soit J = ]–10–3 ; 10–3[.
Pour tout entier n, non nul, si n > 1 000, alors
1
1
1
1
0< <
et – < – < 0.
n 1 000
1 000
n
1
1
et – sont dans l’interLes deux nombres
n
n
valle J :
vn est dans l’intervalle J.
On peut donc affirmer que tous les termes d’indice n supérieur à 1 000 appartiennent à l’intervalle J.
Ce phénomène est vérifié quel que soit le rayon
de l’intervalle I, aussi petit soit-il. On dit alors que
la suite (vn) a pour limite 0 quand n tend vers + ∞.
Exemples
– 1
– 1
1003
1001
1
1 004
1
1002
0
– 1
1000
1
1000
On note : lim vn = 0.
n→+∞
1
1
et vn =
(n entier, n > 1) ont pour limite 0 quand n tend vers + ∞.
n2
1n
1
l La suite définie par t = 2 +
(n entier, n > 1) a pour limite 2 quand n tend vers + ∞.
n
n
l
Les suites définies par un =
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
147
COURS
2.2 Exemples d’une limite « infinie »
Observons les termes de la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 3n + 1 :
1 ; 4 ; 7 ; 10 ; … ; 3 001 ; 1 071 844 ; … ; 3 000 001 ; …
Les termes deviennent de plus en plus grands.
Considérons, par exemple, le nombre N = 106 (un million). La suite (un), arithmétique et de raison 3,
est strictement croissante. Il en résulte que si un des termes est supérieur à N, alors tous ceux qui
le suivent (d’indice supérieur) seront aussi supérieurs à N.
Or, 3n + 1 > 106 équivaut à 3n > 999 999 et à n > 333 333.
À partir de u333333, tous les termes de la suite, sauf un nombre fini (les 333 333 premiers…), sont
dans l’intervalle [N ; + ∞[. Et ceci est vrai quel que soit le nombre N choisi. On dit alors que la suite
(un) a pour limite + ∞ quand n tend vers + ∞.
On note : lim u = + ∞.
n→+∞
n
Observons les termes de la suite (vn) définie par v0 = –1 et pour tout entier naturel n, n > 1,
vn+1 = 2vn. Il s’agit de la suite géométrique de premier terme –1 et de raison 2.
Ainsi, vn = v0qn soit vn = –2n.
–1 ; –2 ; –4 ; –8 ; … ; –1 024 ; … ; –220 ; …
Les termes de la suite sont tous négatifs et deviennent de plus en plus grands en valeur absolue.
Considérons, par exemple, le nombre M = –106.
La suite (vn) est strictement décroissante car pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn soit vn+1 – vn = vn,
donc vn+1 – vn < 0.
Il en résulte que si un des termes est inférieur à M, alors tous ceux qui le suivent (d’indice supérieur)
seront aussi inférieurs à M.
–2n < –106 équivaut à 2n > 106. Or 220 = 1 048 576 donc –220 < –106, soit v20 < M.
En remarquant que v19 > M, on peut donc affirmer que tous les termes de la suite, sauf un nombre
fini (les 20 premiers…), sont dans l’intervalle ]– ∞ ; –106].
Ceci est vrai quel que soit le nombre M choisi.
On dit alors que la suite (vn) a pour limite – ∞ quand n tend vers + ∞.
On note : lim vn = – ∞.
n→+∞
Exemples
Les suites définies par un = 2n + 3, vn = n2 et wn = 1n (n entier) ont pour limite + ∞ quand n tend
vers + ∞.
l
Les suites définies par un = –2n + 3 et vn = –2 × 3n (n entier) ont pour limite – ∞ quand n tend vers
+ ∞.
l
2.3 Exemple d’une « dispersion »
Observons les termes de la suite (un) définie par un = (–1)nn et dont les
premiers termes sont 0, –1, 2, –3, 4, –5, …
l
Deux termes consécutifs de la suite sont de signes contraires.
l
Les termes de rang pair sont de plus en plus « grands » et tendent vers + ∞.
un
1
1
O
Les termes de rang impair sont tous négatifs et deviennent de plus en
plus grands en valeur absolue.
l
On dit alors que la suite n’a pas de limite quand n tend vers + ∞.
148
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
n
Objectif
1
Étudier le sens de variation d’une suite
EXERCICES
Application
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut :
l étudier le signe de u
n+1 – un ;
l étudier le sens de variation de f pour les suites définies par u = f(n) (voir théorème 1) ;
n
un+1
l étudier la place du quotient
par rapport à 1 (lorsque tous les termes sont strictement positifs).
un
Exercice résolu A
Étudier la monotonie d’une suite (éventuellement à partir d’un certain rang)
Étudiez le sens de variation des suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par :
n
3n – 1
1. un =
2. vn = n
n+2
2
Méthode
Solution
1. On reconnaît en un l’image de l’entier n
par une fonction homographique définie
sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
l On étudie le sens de variation de f.
l
1. Pour tout entier naturel n, un = f(n) où
3x – 1
f:x
est définie sur I = [0 ; + ∞[.
x+2
f est dérivable sur I et pour tout x 0,
3(x + 2) – (3x – 1)
7
=
,
f’(x) =
(x + 2)2
(x + 2)2
donc f’(x) >0. Il en résulte que f est
strictement croissante sur I.
l La suite (u ) est donc strictement croissante.
n
l
On applique le théorème 1.
2. 1 Avec le signe de la différence
l
2. 1 On étudie le signe de vn+1 – vn.
n+1
n
n + 1 – 2n 1 – n
vn+1 – vn = n+1 – n =
= n+1 .
2
2
2n+1
2
l Or, 1 – n < 0 équivaut à n > 1 donc pour
tout entier naturel n 2, vn+1 – vn < 0 :
la suite est strictement décroissante à partir
du terme d’indice 2.
On conclut.
2 En comparant le quotient à 1
Les termes vn , d’indice n non nul, étant tous
v
strictement positifs, on compare n+1 à 1.
vn
l
On conclut.
2 Autre méthode
Pour tout entier n, n > 1, vn > 0 et :
vn+1
n + 1 2n
n+1
1–n
– 1 = n+1 × – 1 =
–1=
.
vn
2
n
2n
2n
vn+1
l Donc
–1 < 0 pour n > 1 soit n 2,
vn
ce qui nous amène à la même conclusion.
Mise en pratique
Pour les exercices 1 à 4
Étudiez le sens de variation de la suite (un).
1 a) un = 1n.
b) un =
1
n – 2.
5
2 a) u0 = 2 et, pour tout entier n non nul :
3n – 2
.
b) un =
n+1
un+1 = un – n.
3n
3 a) un = 22n .
3
b) un = (n – 5)2.
4 Pour tout entier naturel n 1 :
un =
3n
.
n
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
149
EXERCICES
Exercice résolu B
Exploiter une représentation graphique
3
et, pour tout entier naturel n, un+1 = un2.
4
1. Représentez sur l’intervalle I = ]0 ; 1[ la fonction f telle que un+1 = f(un) et construisez les points
A(u0 ; u1), B(u1 ; u1), C(u1 ; u2), D(u2 ; u2) et E(u2 ; u3).
La suite (un) est définie par u0 =
2. Conjecturez le sens de variation de la suite.
3. Justifiez que pour tout nombre x de I, f(x) appartient à I, puis prouvez votre conjecture.
4. Conjecturez le comportement de la suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes.
Méthode
Solution
1. On représente la fonction f sur l’intervalle I,
puis on construit les points A, B, C, D et E.
1. La fonction f est la fonction carré ;
sa restriction à l’intervalle ]0 ; 1[ est l’arc de
parabole (en rouge) ci-dessous.
Aide
1
Comme u1 = f(u0), le point A(u0 ; u1) appartient à l’arc de
parabole précédemment tracé.
Le point B(u1 ; u1) appartient à la droite d’équation y = x,
droite qui permet de reporter le nombre u1 sur l’axe des
abscisses, et de même les nombres u2, u3, etc.
B
u1
u2
D
u3
E
u2
O u3
A
C
u1 u0
1
2. u0 > u1 > u2 > u3 … À la lecture du
graphique, on peut conjecturer que la suite
est strictement décroissante.
3. Si 0 < x < 1, alors 0 < x2 < x < 1,
donc si x ∈ I, alors f(x) ∈ I.
Ainsi, pour tout entier naturel n, 0 < un < 1
entraîne 0 < un2 < un < 1 et donc un+1 < un.
2. On lit sur les axes les premières valeurs.
3. On vérifie que si un appartient à
l’intervalle I, un+1 appartient aussi à
l’intervalle I.
Aide
On utilise une propriété de la fonction carré pour
ordonner un nombre et son carré.
l
On conclut.
La suite (un) est donc bien strictement
décroissante.
4. Graphiquement, on peut conjecturer que
lim un = 0.
l
4. On observe sur le graphique
une accumulation des abscisses un des points
construits vers 0.
n→+∞
Mise en pratique
Pour les exercices
5 à 9
6 u0 = 9 et, pour tout entier naturel n,
1. Représentez la fonction f telle que un+1 = f(un).
un2
.
10
2. Utilisez cette représentation et la droite
d’équation y = x pour déterminer graphiquement les premiers termes de la suite.
7 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
3. Conjecturez le sens de variation et le comportement de la suite lorsque n tend vers + ∞.
8 u0 = 2 et, pour tout entier naturel n,
5 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
1
un+1 = un + 1.
2
150
un+1 =
4
un+1 = 4un.
1
.
un
u0 = 6 et, pour tout entier naturel n,
1
un+1 = – un + 2.
2
un+1 =
9
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
2
Étudier des comportements de suites à l’infini
Dans le cas d’une accumulation (en L), on montre qu’à partir d’un certain indice, tous les termes
de la suite appartiennent à un intervalle de centre L et de rayon choisi aussi petit que l’on veut.
l Dans le cas d’une limite infinie, on montre qu’à partir d’un certain indice, tous les termes de la
suite : l dépassent un nombre choisi aussi grand que l’on veut lorsque la limite est + ∞ ;
l ne dépassent pas un nombre choisi aussi « petit » que l’on veut lorsque la limite est – ∞.
l
Exercice résolu C
EXERCICES
Objectif
Cas d’une accumulation
La suite (un) est définie pour tout entier naturel non nul par un =
1
3
+
.
2 2n
1
.
2
2. Prouvez qu’à partir d’un certain entier m, que vous préciserez, tous les termes d’indice n avec
n > m, sont dans l’intervalle I = ]0,49 ; 0,51[.
1. Démontrez que la suite (un) est décroissante et que pour tout entier n non nul, un >
Méthode
Solution
1. un = f(n) où f est la fonction
1
3
f:x +
définie et dérivable
2 2x
sur ]0 ; + ∞[.
3
Pour tout x > 0, f’(x) = – 2 donc f’(x) < 0.
2x
l f est donc décroissante sur ]0 ; + ∞[
et la suite (un) est aussi décroissante.
1
3
l Pour tout entier n, n > 0, u –
=
.
n
2 2n
1
1
On a donc un – > 0 soit un > .
2
2
1
3
2. 0,49 < +
< 0,51 équivaut à
2 2m
1
3
1
– <
<
. Comme m > 0, pour que
100 2m 100
ces conditions soient vérifiées, il suffit que
3
< 100, soit m > 150. Ainsi m = 151 est
2m
solution et tous les termes d’indice n, avec
n > 151 sont dans l’intervalle I.
1. On étudie le sens de variation
de la suite (un).
Remarque
l
Les trois méthodes conviennent.
On applique le théorème 1.
1
On compare un et en étudiant le signe
2
de leur différence.
l
2. On cherche le plus petit indice m tel que :
0,49 < um < 0,51.
Aide
La suite étant décroissante
et tous les termes étant
supérieurs à 0,5, on détermine le premier terme de
la suite appartenant à l’intervalle I, et les « suivants »
seront aussi dans I.
u152 u
151 u
150
0,49
0,5
0,51
Mise en pratique
Pour les exercices 10 à 15
La suite (un) a pour limite L quand n tend vers + ∞.
Trouvez (éventuellement à la calculatrice) un
indice m tel que, lorsque n > m, les termes un
appartiennent à l’intervalle I proposé.
1
10 un = , L = 0 et I = ]0 ; 10–4[.
1n
11 un =
1
, L = 0 et I = ]0 ; 10–5[.
n+5
12 un = 22 , L = 0 et I = ]0 ; 10–6[.
n
–5
, L = 0 et I = ]–10–4 ; 0[.
2n + 1
14 un = –1n , L = 0 et I = ]–10–6 ; 10–6[.
3
15 un = 3 + 1 , L = 3 et I = ]3 – 10–4 ; 3 + 10–4[.
n
16 On passe d’un carré
à l’autre en divisant la longueur du côté par 2. Le
premier carré étant d’aire
25 cm2, combien mesure le côté du premier carré
dont l’aire est inférieure à 1 mm2 ?
13 un =
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
151
EXERCICES
Exercice résolu D
Cas d’une limite infinie
(un) est la suite définie pour tout entier naturel n par un = 82n + 1.
1. Démontrez que pour tout n, un > 0 et que la suite (un) est croissante.
2. a) Quel est le plus petit entier m tel que um > 105 ?
b) Déduisez-en que pour tout nombre entier n, n > m, un ∈ [105 ; + ∞[.
3. Reprenez la question 2 en remplaçant 105 par un nombre positif quelconque A.
Méthode
Solution
1. On démontre que pour tout n, un > 0.
1. Pour tout n, 2n + 1 > 0, donc un > 0.
1
La fonction f : x 82x + 1 avec x > – 2
est associée à la suite (un).
La fonction g : x 2x + 1 est croissante
sur [0 ; + ∞[, il en est donc de même de la
fonction f. Il en résulte que la suite (un) est
croissante.
2. a) 82m + 1 > 105 équivaut à
1
2m + 1 > 1010 et à m > 5 × 109 – .
2
Le plus petit entier solution est m = 5 × 109.
b) La suite (un) est croissante donc pour
tout n > m, un > um > 105. Il en résulte que
un ∈ [105 ; + ∞[.
A2 – 1
3. 82m + 1 > A équivaut à m >
.
2
On choisit pour m le premier entier
A2 – 1
supérieur ou égal à
.
2
De plus, la suite est croissante ; ainsi, pour
tout entier n, tel que n m, un um A,
donc un ∈ [A ; + ∞[.
On utilise le sens de variation
de la fonction associée (théorème 1).
l
l
2. a) On est ramené à résoudre
une inéquation.
b) On exploite les résultats de la question 1.
3. On reprend la question 2.
Mise en pratique
17 (un) est la suite définie pour tout entier
18 Dans chacun des cas suivants :
démontrez que (un) est strictement croissante ;
trouvez un indice m tel que, lorsque n m, les
termes un appartiennent à l’intervalle I proposé.
2
a) un = n2 et I = [106 ; + ∞[.
3
b) Démontrez que la suite (un) est décroissante.
5n
b) un = n+1 et I = [105 ; + ∞[.
2
2. a) Quel est le plus petit entier m pour lequel
5
um < –10 ?
19 (un) est la suite définie pour tout n de par
b) Déduisez-en que pour tout entier n, n > m,
un = –2 × 5n.
un ∈ ]– ∞ ; –105].
1. Démontrez que pour tout n de , u < 0 et que
naturel n par :
2–n
un =
.
3
1. a) Démontrez que :
pour tout n > 3, un < 0.
3. Est-il vrai que pour tout nombre A négatif aussi
grand soit-il en valeur absolue, l’intervalle ]– ∞ ; A]
contient tous les termes de la suite à partir d’un
certain indice ?
152
l
l
la suite (un) est décroissante.
n
2. Trouvez un indice m tel que, pour tout entier n
tel que n > m, les termes un appartiennent à l’intervalle ]– ∞ ; –106].
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Po u r
20 Questions sur le cours
Complétez les propositions suivantes.
a) Dire qu’une suite (un) est croissante signifie que
pour tout entier naturel n, un+1 – un est ……
b) Une suite (un) telle que, pour tout entier naturel n, un+1 = un est une suite ……
c) La suite (vn) est telle que, pour tout entier naturel n, vn = f(n), avec f décroissante sur +.
La suite (vn) est ……
d) Tous les termes de la suite (un) sont strictement
u
positifs. Si, pour tout entier naturel n, n+1 > 1,
un
alors la suite (un) est ……
EXERCICES
se tester
21 Vrai ou faux
Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse.
a) La suite définie pour tout entier naturel n par
un = 3n – 1 est croissante.
b) La suite définie pour tout entier naturel n, n ≠ 0,
(–1)n
par un = 2 est monotone.
n
c) Si une suite est strictement croissante, alors ses
termes finissent par être supérieurs à n’importe
quel nombre choisi.
d) Si f est une fonction croissante sur +, alors la
suite définie par un = f(n), n ∈ N, est croissante.
2x
e) f est la fonction définie sur par f(x) =
+ 1.
3
La suite définie par u0 = 5 et, pour tout n, par
un+1 = f(un) est croissante.
22 QCM Une seule réponse exacte
Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse.
1. La suite définie pour tout entier naturel n non nul
2n – 1
par un =
est :
n
a) croissante
b) décroissante
c) constante
d) non monotone
2. La suite définie pour tout entier naturel n non nul
par u0 = 1 et un+1 = –2un + 5 est :
a) croissante
b) décroissante
c) constante
d) non monotone
3. (un) est une suite croissante et (vn) est la suite définie pour tout entier n par vn = un – 3.
La suite (vn) est :
a) croissante
b) décroissante
c) constante
d) non monotone
4. (un) est une suite décroissante et (vn) est définie
pour tout entier n par vn = 2un + 7. La suite (vn) est :
a) croissante
b) décroissante
c) constante
d) non monotone
5. La suite (un) est définie pour tout entier naturel n
par un = 1 + 2 + 3 + … + n.
u
n+2
a) (un) est décroissante. b) n+1 =
un
n+1
c) Pour tout entier n > 63, un > 2 011.
23 QCM Au moins une réponse exacte
Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.
1. La suite définie pour tout entier
naturel n non nul par :
un = n2 – 5n + 8 est :
a) croissante
b) décroissante
c) croissante à partir d’un certain
rang
d) non monotone
2. La suite (un) est définie pour tout
1
entier naturel n par un = 2
.
n +1
a) (un) est décroissante.
b) Pour tout n > 10, un ∈ ]0 ; 0,01[.
c) Il existe n > 10 tel que un > 0,01.
3. La suite (un) est strictement
croissante et u0 = 1. La suite (vn) est
définie pour tout entier naturel n
par vn = u0 + u1 + u2 + … + un.
a) Pour tout n, un > 0.
b) Pour tout n, vn > n.
c) (vn) est strictement croissante.
d) lim vn = + ∞.
n→+∞
Voir les corrigés p. 366
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
153
EXERCICES
Apprendre à chercher
24 Étude d’une suite définie par récurrence
La suite (un) est définie par u0 = 4 et pour tout entier
1
naturel n, un+1 = un + 1.
2
Objectif Étudier la suite (un), c’est-à-dire son sens
de variation et son comportement lorsque n devient
très grand.
Dans l’étude d’une suite définie par récurrence, il
est souvent utile de représenter graphiquement les
premiers termes. Cela est fait sur la figure ci-après. La
1
fonction f : x x + 1 est la fonction affine associée à
2
la suite (un) : un+1 = f(un).
activités de recherche
activité 3, page 144, et exercice résolu B, page 150.
y
y=
x
y=
f (x)
1
O
1
2 u2 u1
u0
x
Les droites passant par le point O font, deux à deux,
p
des angles de , et la mesure OA0 est égale à 4.
3
A1
A2
A3
/
3
O
A4
A0
4
Objectif Étudier l’évolution de la longueur de la
ligne brisée A0A1A2…An lorsque n devient très grand.
1. Tirons des conséquences immédiates de la figure.
Chacun des segments [AnAn+1] forme avec le point O un
demi-triangle équilatéral.
Pour simplifier la rédaction, on note dn la distance
AnAn+1.
a) Précisez les propriétés communes à ces triangles et
1
déduisez-en que dn+1 = dn.
2
b) Quelle est la nature de la suite (dn) ?
Cette figure permet de conjecturer que la suite (un) est
décroissante et que les termes semblent s’accumuler
vers 2. D’où l’idée d’étudier la suite (vn) définie pour tout
entier naturel n par vn = un – 2.
c) Calculez d0, et pour tout entier naturel n, exprimez dn
en fonction de n.
1. a) Calculez v0 et prouvez que, pour tout entier natu1
rel n, vn+1 = vn. Quelle est la nature de la suite (vn) ?
2
b) Exprimez vn en fonction de n.
2. Notons un la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An.
Pour tout n, un = d0 + d1 + … + dn–1.
Le problème est donc d’étudier le comportement de la
suite (un) lorsque n devient très grand.
c) Quel est le sens de variation de (vn) ? Justifiez votre
réponse.
a) Quel est le sens de variation de la suite (un) ?
2. a) Déduisez des questions précédentes le sens de
variation de (un) et l’expression de un en fonction de n.
b) Pourquoi peut-on affirmer que pour tout entier
naturel n, un > 2 ?
c) Déterminez un entier naturel m tel que, pour tout
entier naturel n m, un ∈ ]2 ; 2,000 1[.
Commentaire
On considère les suites récurrentes définies sur N par :
un+1 = aun + b (a ≠ 0 et a ≠ 1).
Elles sont du type un+1 = f(un), où f est la fonction affine x ax + b.
Pour étudier ces suites, on utilise la suite auxiliaire définie par vn = un – a,
où a est l’abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x
et y = f(x).
154
25 Étude d’une ligne brisée
b) Vérifiez que un peut s’écrire :
1
1
1
un = d0 1 + + 2 + … + n–1 .
2
2
2
c) Déduisez-en, pour tout entier naturel n, une expression de un en fonction de n.
1
2
3. Cette expression du terme un contient une partie
1
variable : n . On admet que cette expression peut être
2
1
rendue aussi proche que l’on veut de 0 : lim n = 0.
n→+∞ 2
a) Justifiez que, pour tout entier naturel n, un < 413.
b) Comment se comporte la longueur un lorsque n
devient très grand ? Concluez.
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous
devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas
permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé
de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.
non nul par :
3 + 5 + 7 + … + (2n + 1)
.
un =
n
Étudiez ses variations et son comportement quand n
devient de plus en plus grand.
Eux aussi,avant
erché
ils ont chro
de t uver !
Archimède
Chap. 5
– 200
800
ANTIQUITÉ
MOYEN ÂGE
27 (un) est la suite définie pour tout entier naturel n
par :
1+n
.
1 + n + n2 + n3
Étudiez ses variations et son comportement quand n
devient de plus en plus grand.
un =
Chercheurs d’hier
Voici quelques mathématiciens importants
qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.
1600
Isaac Newton Leonhard Euler
Chap. 4
Chap. 2
1700
1800
ÉPOQUE MODERNE
al-Khuwārizmī
Chap. 1
1900
ÉPOQUE CONTEMPORAINE
Gottfried Leibniz
Chap. 3
Benoît Mandelbrot
(1924-2010)
Ayant quitté avec sa famille la Pologne en 1936,
il s’installe en France et est initié aux mathématiques
par un oncle professeur au Collège de France, à Paris.
Ce mathématicien est surtout connu pour ses travaux
sur les fractales, figures géométriques qui
se reproduisent « à l’infini ».
Installé aux États-Unis après la guerre, il utilise l’outil
informatique pour obtenir à l’aide des fractales
des images spectaculaires.
Cette technique est utilisée dans la production
cinématographique pour réaliser des effets spéciaux.
ur le Web http://www.ted.com/talks/benoit_
S
mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.htm
activités de recherche
26 (un) est la suite définie pour tout entier naturel n
EXERCICES
Narration de recherche
Sa création emblématique :
l’ensemble de Mandelbrot.
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
155
EXERCICES
Utiliser les outils de calcul
Pour étudier le comportement d’une suite
TP 28 Une approche du nombre d’or
1. On considère la suite (un), dite de Fibonacci, définie par
u0 = 1, u1 = 1, u2 = u1 + u0 = 2, u3 = u2 + u1 = 3, et pour tout
entier naturel n, par un+2 = un+1 + un.
a) Calculez u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10.
b) Conjecturez le sens de variation de la suite (un) et son
comportement pour les grandes valeurs de n.
activités de recherche
2. On considère maintenant la suite (vn) définie pour tout
u
entier naturel n par vn = n+1 .
un
a) Calculez v0, v1, v2, v3, v4, v5 et placez sur une droite graduée
(unité 5 cm) les points ayant pour abscisses les premières
valeurs v0, v1, etc.
b) Conjecturez le comportement de la suite (vn).
Histoire
des Maths Fibonacci
Né à Pise, fils d’un
commerçant toscan, ce mathématicien italien émigre
en Algérie, voyage
en Égypte, Sicile,
Grèce et Syrie.
Deux ans après son
retour en Italie vers
Léonard de Pise (env. 1200, il introduit
1180-env. 1250), dit une suite, qui gardera son nom, pour
Fibonacci.
résoudre un problème de reproduction de lapins.
3. Utiliser un tableur
a) l Renseignez les cellules A2 à A4. Recopiez la formule de la cellule
A4=A2+A3 vers le bas pour obtenir les premiers termes de la suite (un).
l Dans la cellule B2, entrez : =A3/A2, et étirez cette formule vers le bas pour
obtenir les premiers termes de la suite (vn).
Note
Paramétrez le nombre maximal de décimales à l’affichage
(menu Format ; menu Cellules… ; onglet Nombres).
b) Vos conjectures sont-elles confirmées ?
4. Utiliser sa calculatrice
L’algorithme suivant a pour objectif de déterminer les valeurs
des n premiers termes de la suite (vn).
a) Complétez le tableau suivant indiquant les valeurs des
variables a, b, c et v suivant les premières valeurs de i.
i
a
b
1
1
c
v
1
1
2
3
b) Quel est l’objectif des quatre lignes encadrées ?
c) Utilisez cet algorithme pour programmer votre calculatrice.
Note
Variable
i, n, a, b, c, v
Algorithme
Saisir n
a reçoit 1
b reçoit 1
v reçoit 1
Pour i de 1 jusqu’à n
c
a
b
v
reçoit
reçoit
reçoit
reçoit
a + b
b
c
b/a
AFFICHER « v » i « = » v
Fin Pour
1 + 15
, appelé nombre
2
d’or, lorsque n tend vers + ∞. Le nombre d’or est une grandeur à laquelle on a
attribué, au cours des siècles, des propriétés esthétiques voire mystiques. On l’a
ainsi « cherché » dans des domaines aussi variés que l’architecture, la peinture, la
musique, mais aussi dans des éléments naturels comme la fleur de tournesol ou le
nautile.
On peut démontrer que la suite (vn) tend vers le nombre
156
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
EXERCICES
Utiliser Algobox
Pour étudier le comportement d’une suite
TP 29 Au voisinage de la limite
Dans de nombreuses situations, on est amené à conjecturer que les termes d’une suite sont de plus en
plus près d’un nombre fixé (que l’on appellera limite de la suite).
L’algorithme ci-dessous a pour objectif de déterminer à partir de quel indice n les termes d’une suite
monotone de limite L sont dans l’intervalle ]L – r ; L + r[, où r est un nombre strictement positif choisi
par l’utilisateur.
un–1 un un+1
L
L–r
r
r
L+r
u0 = 1
La suite (un) est définie pour tout entier naturel n, par : u = 2un + 1
n+1
3
On admet que cette suite est croissante et tend vers L = 3 quand n tend vers + ∞ (vous pouvez le vérifier
graphiquement).
L’algorithme ci-dessous a été écrit avec AlgoBox.
outil 14
a) À quelle ligne précise-t-on la valeur du premier terme u0 ?
b) Quel est le rôle de la fonction qui apparaît à la ligne 22 ?
activités de recherche
c) Les lignes 11 à 15 correspondent à une boucle conditionnelle. Quel est le test qui conditionne le
fonctionnement de cette boucle ?
d) À quelles actions correspondent les lignes 13 et 14 ?
e) Utilisez cet algorithme avec AlgoBox ou programmez-le sur votre calculatrice afin de préciser à partir
de quel indice n, un appartient à l’intervalle : l ]2,99 ; 3,01[ ; l ]2,999 8 ; 3,000 2[ ; l ]3 – 10–6 ; 3 + 10–6[.
Aide
Dans chacun des cas, commencez par indiquer r.
f) Comment modifier cet algorithme pour faire une étude équivalente avec la suite définie, pour tout
entier naturel n, par :
u0 = 6
u
un+1 = n + 2
2
On admet que cette suite est décroissante et tend vers 4 quand n tend vers + ∞ (vous pouvez le vérifier
graphiquement).
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
157
EXERCICES
Entraînement
de tête
Pour les exercices 30 à 33
Calculez les cinq premiers termes de la suite. Quelle
conjecture concernant son sens de variation pouvez-vous émettre ?
30 un = 5 + n.
31 un = 1 – 2n.
1
(avec n > 0).
2n
u0 = –2 et pour tout n, un+1 = –2un.
32 un =
33
Pour les exercices 34 à 37
Conjecturez le comportement de la suite (un) lorsque
n tend vers + ∞.
1
.
n+1
1
un = 1 + (avec n > 0).
n
1
un = 3 – (avec n > 0).
n
un = 1 – 2n.
34 un =
35
36
37
Pour les exercices 38 et 39
Donnez un indice m à partir duquel tous les termes
de la suite (un) sont dans l’intervalle I (on ne demande
pas le plus petit indice m).
1
et I = ]0 ; 0,001[.
5n
un = n2 + n et I = [10 000 ; + ∞[.
38 un =
39
42 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n,
par :
un = 2n3 – 30n2 + 54n.
1. Étudiez les variations de la fonction f définie sur par
f(x) = 2x3 – 30x2 + 54x.
2. Déduisez-en que la suite (un) est strictement croissante à partir de l’indice 9.
43 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n
non nul, par :
2
un = 3 + 2 .
n
1. Étudiez les variations de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :
2
f(x) = 3 + 2 .
x
2. Déduisez-en le sens de variation de la suite (un).
44 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n
non nul, par :
1,1n .
n2
1. Calculez u1, u2, u3, u4. Que remarquez-vous ?
un =
2. Calculez un+1 – un et déduisez-en le sens de variation
de la suite (un) pour n 21.
45 Implication réciproque
LOGIQUE
f est une fonction définie sur [0 ; + ∞[.
(un) est la suite définie pour tout entier naturel n par
(un) = f(n). D’après le théorème 1 page 146 :
Si f est croissante, alors (un) est croissante.
1. Énoncez l’implication réciproque.
2. À l’aide d’un graphique, vérifiez qu’elle est fausse.
46 Avec la calculatrice
Sens de variation
40 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n,
par :
un = n2 –9n –20.
1. Calculez u0, u1, u2, u3, u4. Que remarquez-vous ?
2. Étudiez le sens de variation de la suite (un) :
a) en utilisant le signe de un+1 – un pour n > 4 ;
b) en étudiant les variations de la fonction définie sur
[0 ; + ∞[ par f(x) = x2 – 9x –20.
41 La suite (vn) est définie pour tout entier n 5 par :
vn = n2 – 10n + 26.
Exprimez vn+1 – vn en fonction de n. Démontrez que la
suite (vn) est strictement croissante.
158
1. Choisissez un nombre a strictement supérieur à 1.
À l’aide de votre calculatrice, calculez les premiers
termes de la suite définie pour tout entier naturel n par :
u0 = a
un+1 = 4un
Que pouvez-vous conjecturer ?
2. Recommencez avec un nombre a tel que 0 < a < 1.
Que constatez-vous ?
Comportements de suites
47 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n,
par un = 1 + 2 + 3 + … + n.
1. Précisez le sens de variation de la suite (un).
2. Existe-t-il des termes de la suite supérieurs à 2 011 ?
à 1 000 000 ?
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
A L G O R IT
H M IQ U E
On lâche une balle d’une hauteur de deux mètres.
À chaque rebond, la balle perd 10 % de sa hauteur.
Complétez l’algorithme suivant, écrit avec AlgoBox,
afin de déterminer le nombre (minimum) de rebonds
à l’issue desquels la hauteur du rebond de la balle
sera inférieure à dix centimètres.
Pour les exercices 55 à 57
Vérifiez que la suite (un) est monotone et que tous
les termes de la suite appartiennent à l’intervalle I
proposé.
55 un =
2
et I = ]0 ; 2].
n+1
56 un =
1 – 3n2
(avec n > 0) et I = ]–3 ; –2].
n2
EXERCICES
48 La balle aux bonds
1
57 un = 5 – 2 (avec n 1) et I = [4 ; 5[.
n
58 Les suites (vn) et (wn) sont définies, pour tout
entier naturel n, respectivement par vn = n2 et wn = 10n.
1. Calculez les cinq premiers termes de chacune de ces
suites. Que conjecturez-vous ? Démontrez-le.
2. À partir de quel indice N1, a-t-on vn > 10 000 ?
À partir de quel indice N2, a-t-on wn > 10 000 ?
49 Vrai ou faux ?
La suite (un) est définie pour tout entier n, n > 0, par :
1
un = 2 – 2 .
n
Est-il vrai que, pour tout entier naturel non nul n,
un < 1,999 999 ? Justifiez votre réponse.
50 Les suites (un) et (vn) sont définies pour tout entier
naturel n par :
2n + 1 .
un = n2 et vn =
n+3
1. Vérifiez que les deux suites sont strictement croissantes.
2. Prouvez qu’à partir d’un certain entier m, que vous
préciserez, tous les termes d’indice n de la suite (un),
avec n m, sont dans l’intervalle I = [10 000 ; + ∞[.
3. Prouvez que tous les termes de la suite (vn) sont inférieurs à 2.
Pour les exercices 51 à 54
La suite (un) a pour limite + ∞ ou – ∞ quand n tend
vers + ∞.
Trouvez (éventuellement à la calculatrice) un indice
m tel que, lorsque n m, les termes un appartiennent
à l’intervalle I proposé.
3n2
; limite : + ∞ ; I = [108 ; + ∞[.
2
3n
un = n+1 ; limite : + ∞ ; I = [105 ; + ∞[.
2
1–n
un =
; limite : – ∞ ; I = ]– ∞ ; –103].
5
51 un =
52
53
54 un = 92n + 1 ; limite : + ∞ ; I = [104 ; + ∞[.
3. N1 étant inférieur à N2, on peut traduire cela par l’expression suivante : la suite (vn) atteint « la première » le
nombre 10 000.
Est-ce encore vrai pour le nombre 1 000 000 ? pour tout
nombre supérieur à 10p, p étant un entier naturel ?
59 Verre teinté
Une plaque de verre teinté atténue
de 15 % l’intensité lumineuse d’un
rayon qui la traverse.
On note i0 l’intensité d’un rayon
lumineux à l’entrée de la plaque et
i1 son intensité à la sortie.
1. Exprimez i1 en fonction de i0.
2. On superpose cinq plaques identiques. On note i5 l’intensité d’un
rayon à la sortie.
Exprimez i5 en fonction de i0.
3. Combien de plaques doit-on
superposer (au minimum) pour que
l’intensité soit atténuée de 90 % ?
60 Mathématiques et gourmandise
Stéphane adore la galette. Il en achète une et, arrivé
chez lui, il en prend une bonne part (la moitié). Après
s’être régalé, il ne résiste pas à l’envie d’en reprendre une
part (la moitié de ce qui reste).
Et la gourmandise aidant, il répète ceci plusieurs fois.
Il est aussi friand de mathématiques et, en présence
d’une toute petite part restante de galette, il note :
1
1
1
1
1
1
+ + +
+
+
= 1,
2
4
8
16 32 32
ce qui correspond aux cinq parts qu’il a mangées et à la
1
part qui reste et qui représente
de la galette initiale.
32
Il résume la situation en notant :
31
En cinq passages, j’ai mangé
de la galette.
32
1
2
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
159
EXERCICES
1. Quelle fraction de la galette mangerait-il en dix passages ? en quinze passages ?
On note un la fraction correspondant à n passages, n
étant un entier naturel non nul.
2. Exprimez un en fonction de n.
3. Quel est le sens de variation de la suite (un) ?
4. Pourquoi les termes de cette suite ne dépasseront-ils
jamais 1 ?
5. Déterminez le nombre de passages (virtuels) à effectuer pour que le reste soit inférieur à 1/1 000 000 de la
galette initiale.
61 Construction d’un aéroport
La population d’une ville est de 100 000 habitants en
2011. Suite à la création d’un aéroport sur une zone très
proche de la ville, on émet l’hypothèse que la population
de cette ville va régulièrement diminuer de 5 % par an.
On note u1 la population en 2011, u2 la population en
2012, etc.
63 Deux entreprises
1. La production annuelle
d’une entreprise spécialisée dans la fabrication
de phares de plongée
augmente régulièrement
d’une même quantité. On
note Pn la production de la
n-ième année.
La production P6 de la
6e année est de 14 000 unités, et la somme des productions des six premières
années est de 66 000 unités.
a) Calculez P1 ainsi que l’augmentation annuelle de la
production.
b) Quelle est la nature de la suite (Pn) ?
c) Si la politique de production reste la même, au bout
de combien d’années la production dépassera-t-elle le
double de la production P1 ?
2. Dans une seconde entreprise, la production de la
1re année a été de 50 000 unités. La production augmente régulièrement de 10 % par an.
On note Qn la production de la n-ième année.
a) Calculez Q5.
b) Si la politique de production reste la même, au bout
de combien d’années la production annuelle dépasserat-elle le double de la production Q1 ?
64 Deux placements
Valentine et Léonie ont
ouvert, chacune, un Livret
Jeune pour y placer leurs
économies. Les intérêts
annuels de 5 % sont ajoutés au capital et produisent
à leur tour des intérêts.
1. Valentine a placé une
somme u0.
On note un le capital qu’elle
obtiendra après n années.
Elle a calculé qu’au bout de cinq ans, son capital u5 sera,
au centime près, de 510,51 �.
1. Exprimez u2 en fonction de u1.
a) Quel était le capital u0 placé au départ ?
2. Quelle est la nature de la suite (un) ?
b) Combien d’années doit-elle laisser son argent sur son
livret afin que le capital initial soit doublé ?
3. À l’aide de votre calculatrice, déterminez en quelle
année la population de cette ville sera inférieure, pour
la première fois, à 50 000 habitants.
62 La population d’une ville augmente de 10 % par
an. En combien d’années double-t-elle ? Peut-on envisager que, sous cette hypothèse, elle soit un jour multipliée par dix ?
160
2. Léonie a versé 100 � en janvier 2010. Elle verse ensuite
tous les ans, en janvier, 30 � sur son livret.
On note vn le capital qu’elle obtiendra après n années.
a) Justifiez que pour tout entier n, vn+1 = vn × 1,05 + 30.
b) Quel sera son capital en janvier 2015 ?
c) À quelle date son capital dépassera-t-il 500 � ?
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
2. Démontrer
a) Démontrez la propriété conjecturée à la question b).
EXERCICES
c) Observez les premières décimales de chacun des
termes. Quelle propriété semble avoir la suite des troncatures à 0,001 près des termes de (un) ? On note (vn)
cette suite.
65 En biologie
b) Exprimez la suite (vn) en fonction de n et faites afficher
les trente premiers termes dans la colonne C.
3. Reprenez l’exercice avec un = 1,002n.
4. Sans outil de calcul, donnez une valeur approchée de
1,00415 à 0,01 près.
ROC
Une étude du processus d’élimination du principe actif
d’un médicament a permis d’observer qu’à chaque
heure écoulée, la quantité de principe actif encore présente dans le sang du patient est réduite de moitié.
On injecte dans le sang d’un patient une dose de
médicament contenant 4 milligrammes de principe
actif.
On note q0 la quantité initiale de principe actif et qn la
quantité encore présente au bout de n heures.
1. Exprimez qn en fonction de n.
2. Calculez le nombre d’heures nécessaires à l’élimination de 99 % du principe actif du médicament.
66 La suite (un) est définie pour tout entier naturel
non nul n, par :
u1 = 0
5 u
n+1
1. Calculez u2, u3, u4.
=
1 .
2 – un
2. Quelle conjecture faites-vous pour un ?
3. On suppose que cette conjecture est vérifiée jusqu’à
l’indice n.
Est-elle encore vraie à l’indice n + 1 ?
Avec les tice
67 Une approximation « rapide »
1. Expérimenter
a) À l’aide d’un tableur, calculez (avec six décimales) les
trente premiers termes de la suite (un) définie pour tout
entier naturel n par un = 1,001n.
b) Conjecturez le sens de variation de la suite (un).
Restitution organisée
de connaissances
68 Monotonie d’une suite
Prérequis :
Dire qu’une suite (un) est strictement croissante signifie
que, pour tout entier naturel n, un+1 > un.
1. Démonstration
(un) est une suite à termes strictement positifs. Prouvez
u
que si pour tout entier n, n+1 –1 > 0, alors la suite (un)
un
est strictement croissante.
2. Application
a) Énoncez la propriété pour une suite strictement
décroissante.
b) Étudiez le sens de variation des suites (un) et (vn)
définies respectivement, pour tout entier naturel n, par :
2n+2
n
l u = 2 ; l v =
.
n
n
3n
Prendre toutes
les initiatives
69 Que peut-on conjecturer pour la suite définie
pour tout entier naturel n non nul par :
u1 = 1
1
un+1 =
?
1
1+
un
5
70 Une ligne brisée est constituée
de segments. Chacun d’eux a pour
longueur le tiers de la longueur du
segment précédent. Le premier
mesure 90 centimètres.
1. Quelle longueur, au micromètre
près, est nécessaire à la construction,
de cette manière, d’une ligne brisée
constituée de dix segments ?
90
30
10
2. Peut-on atteindre une longueur supérieure à
1,5 mètre ?
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
161
EXERCICES
Approfondissement
71 Proches de zéro
A L G O R IT
H M IQ U E
1. Montrez que la suite (un) définie, pour tout entier
1
naturel n, par un = n est décroissante.
2
2. On conjecture aisément que les nombres positifs
1
s’approchent aussi près que l’on veut du nombre 0.
2n
Pour conforter cette intuition, créez un algorithme
(en vous inspirant de celui de l’exercice 29 ) pour
déterminer l’indice du premier terme de la suite (un)
qui appartient à un intervalle de la forme ]0 ; r[ où r
est un nombre positif que l’on choisira (de plus en
plus petit).
3. Programmez ainsi votre calculatrice afin de déter1
miner l’indice n à partir duquel n < 10–8.
2
72 Les suites (un) et (vn) sont définies respectivement,
pour tout entier naturel n, par :
3n – 1 v0 = 1
un =
et
2
vn+1 = vn + 1
n+1
3
1. Calculez les cinq premiers termes de chaque suite.
Que pouvez-vous conjecturer concernant leur sens de
variation ?
5
2. On admet que pour des valeurs de n de plus en
plus grandes, un et vn sont de plus en plus proches du
nombre 3.
Remarque
Vous pouvez le vérifier à l’aide d’un tableur ou de représentations
graphiques.
On veut comparer les « façons » d’approcher le nombre 3
par chacune des suites.
Pour cela on note, pour tout entier naturel n :
Un = 3 – un et Vn = 3 – vn.
Les nombres Un et Vn sont les « distances » respectivement de un et vn au nombre 3.
a) Exprimez Un en fonction de n.
b) Exprimez Vn+1 en fonction de Vn. Déduisez-en la
nature de la suite (Vn) puis exprimez Vn en fonction de n.
c) Pour chacune des suites (Un) et (Vn), déterminez l’indice
du premier terme qui appartient à l’intervalle ]0 ; 10–6[.
Aide
Utilisez votre calculatrice ou un tableur pour la suite (Vn).
d) Reprenez la question précédente avec l’intervalle
]0 ; 10–10[. Que constatez-vous ? Quelle conjecture faitesvous concernant la « vitesse d’approche » du nombre 3
de ces deux suites ?
Aide
L’algorithme de l’exercice 29 a pour objectif d’étudier la façon
d’approcher le nombre 3 par la suite (un).
162
73 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n,
par :
u0 = 2
u –3.
un+1 = n
un + 1
1. Calculez u1, u2, u3.
5
2. Que pouvez-vous conjecturer à propos des variations
de la suite (un) ?
3. Exprimez un+3 en fonction de un. Concluez.
74 ABC est un triangle rectangle isocèle.
AB = AC = 2 cm. On construit des carrés de la manière
suivante :
C
A
C
B
A
C
B
A
B
1re étape : on construit un premier carré dont trois
sommets sont les milieux des côtés du triangle.
l
2e étape : dans les triangles isocèles « restants », on
construit des carrés selon le même principe.
On note un l’aire, en cm2, de l’ensemble des carrés verts
que l’on vient de construire pendant cette n-ième étape.
l
1. Quelle est la nature de la suite (un) ?
2. Expliquez pourquoi la suite (vn) définie pour tout
entier naturel n non nul par :
vn = u1 + u2 + … + un
est croissante, et pourquoi, quel que soit n, vn < 2.
3. Au bout de combien d’étapes l’aire de la partie
orangée sera-t-elle inférieure à 0,1 mm2 ?
75 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n,
par un = 2n – 40n –20.
1. a) Démontrez que la suite est croissante à partir du
rang 6.
b) Déduisez-en que pour tout entier naturel n, si n 9,
alors un > 0.
2. On note (vn) la suite définie par vn = 2n – 20n2.
a) Démontrez que vn+1 – vn = un.
b) Déduisez-en le sens de variation de (vn).
c) À partir de quel rang a-t-on vn 0 ?
76 Datation au carbone 14
Le but de l’exercice est l’étude de la désintégration d’un
corps radioactif : le carbone 14.
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
a) Exprimez N1 en fonction de N0, puis Nk en fonction
de Nk–1.
b) Déduisez-en la nature de la suite (Nn) et exprimez Nn
en fonction de N0 et de n.
Avec les tice
78 Méthode de Héron TICE
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par :
u0 = 1
1
2
un+1 = un +
2
un
5
1
EXERCICES
1. Soit N0 le nombre d’atomes de carbone 14 à l’instant
t = 0, N1 le nombre d’atomes de carbone 14 un siècle
après, Nk le nombre d’atomes de carbone 14 après
k siècles (k entier).
On sait que le nombre d’atomes de carbone 14 diminue
très lentement au cours du temps, d’environ 1,24 % par
siècle.
2
1. a) À l’aide d’un tableur ou de votre calculatrice,
calculez les vingt premiers termes de la suite (un) (faites
afficher le maximum de décimales).
c) Donnez, en le justifiant, le sens de variation de la suite
(Nn).
2. Le carbone 14 est renouvelé constamment chez les
êtres vivants : à la mort de ceux-ci, l’assimilation cesse et
le carbone 14 présent se désintègre.
Des archéologues ont trouvé des fragments d’os dont
la teneur en carbone 14 est 40 % de celle d’un fragment
d’os actuel de la même masse, pris comme témoin.
À l’aide de la calculatrice (ou d’un tableur), calculez l’âge
de ces fragments.
On arrondira au siècle près.
b) Que pouvez-vous conjecturer ?
2. Modifiez le contenu de la cellule A2 afin d’obtenir
les premiers termes de la suite définie, pour tout entier
naturel n, par :
u0 = 1
1
3 .
un+1 = un +
2
un
5
1
2
a) Que pouvez-vous conjecturer ?
b) Remplacez u0 par un nombre strictement positif
autre que 1. Cela modifie-t-il le comportement des suites
précédemment étudiées ?
3. Quelle modification devez-vous effectuer pour obtenir une suite de nombres qui tendent vers 15 ?
Prendre toutes
les initiatives
79 Les suites (un), (vn) et (wn) sont définies pour
tout entier naturel n non nul, par :
1
2n + 5
lu =
l vn = 2
l wn = 3un
n
n
n +n+1
a) Comparez, suivant les valeurs de n, les termes un,
vn et wn.
77 Vers l’infini
AL
IQ U E
G O R IT H M
a) Montrez que la suite (un) définie, pour tout entier
naturel n, par un = 2n – n est croissante.
b) On conjecture aisément que les nombres positifs
2n – n deviennent de plus en plus « grands » et finissent par être supérieurs à n’importe quel nombre
choisi, aussi « grand » soit-il.
Pour conforter cette intuition, créez un algorithme
pour déterminer l’indice du premier terme de la suite
(un) qui appartient à un intervalle de la forme [A ; + ∞[
où A est un nombre que l’on choisira (de plus en plus
« grand »).
Aide Vous pouvez vous inspirer de l’algorithme de l’exercice 29 .
b) Quelle conjecture pouvez-vous émettre concernant le comportement de la suite (vn) lorsque n tend
vers + ∞ ?
80 La suite (un) est définie pour tout entier natu-
rel n, par : un = 1 + 2 + 3 + … + n.
À l’aide d’un tableur ou de votre calculatrice, trouvez
deux entiers naturels m et p tels que :
um = 10p et um < 108.
81 Sur la figure ci-contre,
tous les triangles sont équilatéraux.
Le cercle est de rayon 3 cm.
Combien de triangles ainsi
construits ont une aire supérieure à 0,1 mm2 ?
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
163
EXERCICES
Travail en autonomie
L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes
de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme,
en utilisant si besoin les coups de pouce
page 381.
A Conjecturer et démontrer
c1
La suite (un) est définie pour tout entier naturel non nul n
1
2 n
.
par un = +
n
3
1. Calculez u1, u2, u3, u4. 1
1 2
2. a) Calculez un+1 – un en fonction de n.
c2
c3
2
c4
b) Déduisez-en que la suite (un) est strictement décroissante. 3
B Conjecturer uniquement
On pose n = c1 + … + cn.
4
Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe
représentative de la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f(x) = 21x et la droite d d’équation y = x. On note (un) la
suite définie pour tout entier naturel n par :
un+1 = 23un et u0 = 1.
y
…
1. a) Exprimez cn et n enfonction de n.
8
b) Justifiez l’affirmation suivante :
pour tout entier n 1, n < 8. 9
2. Déterminez un entier naturel m tel que pour tout
entier n, n m, n ∈ ]8 – 10–5 ; 8[. 10
E Une somme de différences
d
Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on a tracé, pour
x 1, les courbes représentatives des fonctions :
1
1
.
f : x et g : x
x
x+1
1
O1
x
1. Reproduisez la figure ci-dessus.
J
f
N
2. Conjecturez le comportement de la suite lorsque n
prend des valeurs de plus en plus grandes.
C De la variation à un encadrement
La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
3n2 + 1 .
un = 2
n +3
1. a) Étudiez les variations de la fonction f définie sur
3x2 + 1
[0 ; + ∞[ par f(x) = 2
. 5
x +3
b) Déduisez-en que la suite (un) est strictement croissante.
2. a) Démontrez que pour tout entier naturel n :
un < 3. 6
b) Déterminez un entier naturel m tel que pour tout
entier n, n m, un ∈ ]2,999 9 ; 3[. 7
D Jusqu’où cette suite de carrés ?
n carrés sont disposés comme l’indique la figure ciaprès. Le côté d’un carré est égal à la moitié du côté
du carré qui le précède. Le premier carré a pour côté
c1 = 4 cm.
164
g
O
I
M
n
n+1 n+2
1. a) Pourquoi f est-elle au-dessus de g pour tout
nombre x, x 1 ? 11
b) À tout entier naturel n, on associe MN.
1
1
Justifiez que MN = –
.
n n+1
2. La suite (un) est définie pour tout entier naturel n,
1
1
n 1 par un = –
.
n n+1
a) Calculez un+1 en fonction de n.
u
n
b) Démontrez que n+1 =
.
un
n+2
c) Déduisez-en le sens de variation de (un). 12
1
3. a) Vérifiez que n = u1 + u2 + … + un = 1 –
. 13
n+1
b) Pourquoi n < 1 pour tout entier n, n 1 ?
c) Déterminez un entier m tel que pour tout entier n,
n m, n ∈ ]1 – 10–4 ; 1[. 14
Chapitre 6 ● Comportement d’une suite
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
CHAPITRE
Vecteurs.
Colinéarité
D’un siècle
à un autre
Le Français Antoine Albeau est multiple champion
du monde de planche à voile et a remporté plusieurs
courses longue distance.
Si la navigation en mer est un art complexe et
physique, elle mobilise également les facultés
intellectuelles et utilise notamment le calcul vectoriel.
Pour obtenir la route réellement suivie par exemple
(vitesse fond), on calcule la somme vectorielle du cap
choisi (vitesse surface) et de la dérive (courant).
On doit la notion de vecteur du plan telle qu’on l’utilise
aujourd’hui à l’Italien Giusto Bellavitis.
En savoir plus sur
Giusto Bellavitis
Chercheurs d’hier p. 179
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Rappels
& Questions-tests
Égalité de vecteurs
Dire que YAB = UCD équivaut à dire que ABDC est un
parallélogramme (éventuellement aplati).
1 ABC est un triangle. Placez les points D et E tels que :
UBD = YAC et YAE = YBA.
Quelle est la nature du quadrilatère ADCE ?
Somme de vecteurs
Relation de Chasles l Règle du parallélogramme
YAB + YBC = YAC
YAB + YAC = UAD
l
A
u
u+v
B
u
v
A
C
B
D
u+v
v
C
2 ABC est un triangle.
a) Construisez les points D, E et F tels que :
UAD = YAB + YAC ;
YAE = YBA + YAC ;
YBF = YBA – UAC.
b) Démontrez que C est le milieu de [DE].
Vecteurs colinéaires
l Deux vecteurs non nuls YAB et UCD sont
colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD)
sont parallèles.
l Dire que deux vecteurs non nuls YAB et UCD
sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe
un nombre k non nul tel que UCD = kYAB.
3 M
A
B
N
C P
Sur la droite ci-dessus les divisions sont régulières.
Complétez les égalités suivantes :
UAM = … YAB ;
UAN = … YAC ;
YCP = … YCB.
Coordonnées d’un vecteur
(O ; I, J) est un repère. au et av sont deux vecteurs
de coordonnées respectives (x ; y) et (x’ ; y’). k est
un nombre quelconque.
1. au + av a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’).
kau a pour coordonnées (kx ; ky).
au = av équivaut à x = x’ et y = y’.
2. Si les points A et B ont pour coordonnées
respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur YAB
a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA).
4 Dans un repère (O ; I, J) on donne les points A(–3 ; 3)
et B(5 ; –1). M est un point de coordonnées (x ; y).
a) Calculez en fonction de x et y les coordonnées de UMA
et UMB.
b) Calculez les coordonnées de 3UMB.
c) Déduisez-en les coordonnées de M telles que :
UMA = 3UMB.
5 Dans un repère (O ; I, J) on donne les points A(–2 ; 2),
B(1 ; –3), C(9 ; –1) et D(6 ; 4).
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Équations de droites
Dans un repère toute droite d a une équation
de la forme :
y = mx + p si d n’est pas parallèle à l’axe des
ordonnées. (m est le coefficient directeur de d.)
l
l
x = c si d est parallèle à l’axe des ordonnées.
l Si A(x ; y ) et B(x ; y ) sont deux points de d tels
A A
B B
que xA ≠ xB alors :
y –y
m= B A .
xB – xA
6 Placez dans un repère (O ; I, J) les points A(–2 ; 1),
B(4 ; 2), C(–2 ; –1) et D(–1 ; 2).
Trouvez une équation pour les droites (AB), (AC) et (BD).
7 Dans un repère (O ; I, J),
a) construisez la droite d passant par le point A(3 ; –2) et
de coefficient directeur m = 3 ;
4
b) trouvez une équation de cette droite.
Voir les corrigés p. 363
166
Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
ACTIVITÉS
Activité 1
condition de colinéarité
TICE
Avec GeoGebra
outil 1
1 a) Affichez la grille et créez les points A(–3 ; 3), B(1 ; 5) et C(1 ; 1).
outil 7
Puis créez un point D quelconque. Créez les vecteurs au = YAB et av = UCD.
b) Ouvrez le tableur de GeoGebra puis saisissez les coordonnées de au et av de la manière suivante :
A1 = x(u) ;
B1 = y(u) ;
A2 = x(v) ;
B2 = y(v).
outil 4
Puis dans C3, saisissez : C3=A1*B2–A2*B1.
2 a) Déplacez D en (3 ; 2).
Qu’obtient-on dans la case C3 ? Que peut-on dire des vecteurs YAB et UCD ?
b) Trouvez d’autres positions de D pour lesquelles on obtient encore la valeur 0 dans C3. Que peut-on
dire chaque fois des vecteurs YAB et UCD ?
3 On donne les vecteurs au(X ; Y) et av(X’ ; Y’). Proposez une relation entre les coordonnées traduisant
la colinéarité de ces vecteurs.
Activité 2
Une propriété fondamentale des vecteurs
Avec GeoGebra
TICE
outil 1
1 a) Créez les points A(0 ; 0), B(5 ; 0) et C(1 ; 3). Effacez les axes et affichez la grille.
b) Créez les vecteurs au = YAB et av = UAC. Les vecteurs au et av sont-ils colinéaires ?
outil 7
c ) Créez deux curseurs a et b allant de –5 à +5 (incrément : 0,01). Dans les propriétés du curseur,
modifiez la valeur de la largeur à 500. Puis créez le vecteur rw = aau + bav (saisie w = a*u + b*v).
outil 3
2 a) Créez les points D(3 ; 4), E(–3 ; 6), F(–3 ; –3), G(7 ; –6).
b) Trouvez les valeurs des curseurs pour lesquelles rw = aau + bav = UAD. Exprimez UAD en fonction
des vecteurs YAB et UAC. Recommencez avec les vecteurs UAE, UAF et UAG.
3 Complétez la conjecture :
« YAB et UAC sont des vecteurs non colinéaires. Pour tout point M, il existe … ».
Problème ouvert
L
D
Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?
C
K
ABCD est un rectangle. Sur les segments [AB] et [AD], les divisions
sont régulières. Le point K est le milieu du segment [CB]. Les droites
(IJ) et (LK) sont parallèles.
Les droites (IK), (JL) et (AC) sont-elles concourantes ?
I
A
J
B
Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
167
COURS
1
Vecteurs colinéaires
1.1 Définition et conséquence
Définition
1 Dire que deux vecteurs non nuls YAB et UCD sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD)
sont parallèles.
u
B
C
D
A
Théorème
v
1 Dire que deux vecteurs non nuls au = UAB et av = UCD sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un
nombre k (k ≠ 0) tel que av = kau ou UCD = kYAB.
Convention. Le vecteur nul a0 est colinéaire à tout vecteur au 10au = a02.
En résumé, les trois propositions suivantes sont équivalentes.
(AB) et (CD) sont
⇔ des droites parallèles.
UAB et UCD sont ⇔ colinéaires.
Il existe un nombre k non
nul tel que UCD = kUAB.
Conséquence pour l’alignement. Dire que les trois points A, B, C distincts deux à deux sont
alignés équivaut à dire qu’il existe un nombre k non nul tel que UAC = kUAB.
1.2 Expression de la colinéarité par les coordonnées
Théorème
2 Dans un repère, dire que les vecteurs au(X ; Y) et av(X’ ; Y’) sont colinéaires équivaut à dire que
XY’ – X’Y = 0.
LOGIQUE
Démonstration
par équivalence
➜ p. 346
Démonstration
1 l Supposons au et av colinéaires et démontrons que XY’ – X’Y = 0.
Il existe un nombre k tel que av = kau donc X’ = kX et Y’ = kY.
On en déduit que XY’ – X’Y = X(kY) – (kX)Y = 0.
On a prouvé que si au et av sont colinéaires, alors XY’ – X’Y = 0.
2 l Supposons que XY’ – X’Y = 0 et démontrons que au et av sont colinéaires.
Si au = a0 alors au est colinéaire à av.
Si au ≠ a0 l’une de ses coordonnées, par exemple X, est non nulle. Donc :
Y’ = X’ Y. Posons X’ = k, il en résulte que X’ = kX et Y’ = kY, donc av = kau.
X
X
Ainsi au et av sont colinéaires (si Y ≠ 0, on conclut de même en posant Y’ = k).
Y
On a prouvé que si XY’ – X’Y = 0 alors au et av sont colinéaires.
Les propositions « au et av colinéaires » et « XY’ – X’Y = 0 » sont équivalentes.
Remarque. Lorsque au et av sont colinéaires, X’ = kX et Y’ = kY. Autrement dit les coordonnées
de ces vecteurs sont proportionnelles. Le tableau
168
Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité
X
X’
Y
Y’
est un tableau de proportionnalité.
×k
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
COURS
2
Décomposition d’un vecteur
2.1 Trois types de repères
En classe de seconde, on a rencontré les repères suivants, notés (O ; I, J).
Repère orthonormé
l
J
Repère orthogonal
(OI) ⊥ (OJ).
OI = OJ, unité de
longueur choisie
dans le plan.
l
J
l
O
I
O
Repère quelconque
(OI) ^ (OJ).
I
J
O
I
On pose YOI = ai et UOJ = aj. Les vecteurs ai et aj ne sont pas colinéaires.
Désormais choisir un repère, c’est :
l
choisir un point appelé origine du repère (ici le point O) ;
l
choisir un couple de vecteurs non colinéaires (ici 1ai ; aj 2).
On notera donc le repère 1O ; ai, aj 2 ou 1O ; ROI, YOJ2.
Théorème
3 Dire que le point M a pour coordonnées (x ; y)
y
dans le repère 1O ; ai, aj 2 signifie que :
IOM = xai + yaj .
M
w
j
O
x
i
Par définition, les coordonnées d’un vecteur rw dans le repère 1O ; ai, aj 2 sont celles du point M tel que
IOM = rw.
Conséquence
Dire que rw a pour coordonnées (x ; y) signifie que rw = xai + yaj .
2.2 Expression d’un vecteur en fonction de deux vecteurs non
colinéaires
On admettra les deux théorèmes suivants.
Théorème
4 A, B et C sont trois points non alignés du plan. Alors, pour tout point M, il existe un couple
unique de nombres (x ; y) tels que IAM = xYAB + yUAC . Ce couple est celui des coordonnées de UAM
(et du point M) dans le repère 1A ; UAB, UAC2.
Théorème
5 au et av sont deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur rw, il existe un couple unique de
nombres (x ; y) tels que rw = xau + yav .
Exemple. D’après la relation de Chasles :
C
IMN = UMA + UAN soit IMN = UAN – IAM = 3 UAC – 1 UAB.
4
3
Il en résulte que, dans le repère 1A ; YAB, UAC2, le vecteur IMN a pour
coordonnées – 1 ; 3 .
3 4
A
1
2
N
M
Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
B
169
COURS
3
Équation cartésienne d’une droite
3.1 Vecteur directeur d’une droite
Définition
2 Un vecteur directeur d’une droite d est un vecteur
B
d
A
au non nul, dont la direction est celle de d.
u
Conséquences. l La donnée d’un point A et d’un vecteur au non nul définit une droite d unique.
Théorème
l
Si A et B sont deux points distincts de d, alors YAB est un vecteur directeur de d.
l
Si au est un vecteur directeur de d, alors kau (k ≠ 0) est aussi un vecteur directeur de d.
6 d et d’ sont deux droites de vecteurs directeurs au et au’.
Dire que d et d’ sont parallèles équivaut à dire que au et au’ sont colinéaires.
3.2 Équation cartésienne d’une droite
Théorème
7 Dans un repère :
1. Toute droite a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 avec a ≠ 0 ou b ≠ 0.
Le vecteur au(–b ; a) est alors un vecteur directeur de d.
2. a, b, c sont trois nombres tels que a ≠ 0 ou b ≠ 0. L’ensemble des points M(x ; y) dont les coordonnées sont telles que ax + by + c = 0 est une droite. Une équation de la forme ax + by + c = 0
(a ≠ 0 ou b ≠ 0) est appelée équation cartésienne de la droite d.
Démonstration
Exercice
résolu D
➜ p. 174
●
1.
Choisissons un point A(x0 ; y0) sur la droite d et notons au(p ; q) un vecteur directeur de d.
Par définition au est non nul donc p ≠ 0 ou q ≠ 0. « M(x ; y) est un point de d » équivaut à « IAM et
au sont colinéaires ». IAM a pour coordonnées (x – x0 ; y – y0). Donc d’après le théorème 2 la
colinéarité de IAM et au équivaut à (x – x0)q – (y – y0)p = 0 soit qx – py – qx0 + py0 = 0.
Si on pose a = q, b = – p et c = py0 – qx0 cette condition de colinéarité s’écrit ax + by + c = 0 avec
a ≠ 0 ou b ≠ 0.
Finalement dire que M(x ; y) est un point de d équivaut à dire qu’il existe trois nombres a, b, c
avec a ≠ 0 ou b ≠ 0 tels que ax + by + c = 0. Ainsi d a une équation de la forme ax + by + c = 0. Un
vecteur directeur est au(p ; q) c’est-à-dire au(– b ; a).
2. Cherchons l’ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0).
a x – c .
l Si b ≠ 0, ax + by + c = 0 équivaut à y = – b
b
Cette équation est de la forme y = mx + p. Ainsi l’ensemble cherché est une droite.
c . L’ensemble cherché est la droite
l Si b = 0, alors a ≠ 0 ; ax + by + c = 0 équivaut à x = – a
d’équation x = – c parallèle à l’axe des ordonnées.
a
Cette équation est
Lien entre vecteur directeur et coefficient directeur
appelée équation
réduite de d.
Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p.
Une équation cartésienne s’écrit mx – y + p = 0 et au(1 ; m) est un vecteur directeur de d.
Ainsi « m est le coefficient directeur de d » équivaut à « au(1 ; m) est un vecteur directeur de d ».
170
Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
Objectif
1
Savoir utiliser la colinéarité
l
Dans un repère, au(X ; Y) et av(X’ ; Y’) sont colinéaires équivaut à XY’ – X’Y = 0.
l
« Les droites (AB) et (CD) sont parallèles » équivaut à « YAB et YCD sont colinéaires ».
l
« A, B, C, distincts deux à deux, sont alignés » équivaut à « YAB et YAC sont colinéaires ».
Exercice résolu A
EXERCICES
Application
Utiliser la colinéarité en géométrie repérée
Dans le répère 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(–2 ; 3), B(4 ; 7) et C(3 ; 2).
1. Démontrez que les droites (AB) et (OC) sont parallèles.
2. M(x ; 0) est un point de l’axe des abscisses. Calculez x pour que A, B, M soient alignés.
Solution
Méthode
l
On fait une figure.
B
7
A
2
M
x
3
C
j
–2 O i
3 4
1. On démontre que les vecteurs YAB et UOC
sont colinéaires.
Pour cela, on calcule leurs coordonnées.
l On conclut.
1. YAB a pour coordonnées (6 ; 4) et UOC(3 ; 2).
Ainsi YAB = 2UOC.
Les vecteurs YAB et UOC sont colinéaires, donc
les droites (AB) et (OC) sont parallèles.
2. A, B, M alignés équivaut à YAB et UAM
colinéaires. On applique la condition de
colinéarité :
XY’ – X’Y = 0.
l On conclut.
2. UAM a pour coordonnées (x + 2 ; –3) et
YAB(6 ; 4).
La colinéarité de UAM et YAB se traduit par :
(x + 2) × 4 – (–3) × 6 = 0 d’où 4x = –26 et x = –6,5.
M a pour coordonnées (–6,5 ; 0).
Mise en pratique Pour tous les exercices, on se place dans un repère 1O ; ai, aj 2.
1 On donne les points A(–2 ; –1), B(0 ; 4),
C(2 ; –3) et D(6 ; –1).
1. M(x ; 0) est un point de l’axe des abscisses.
Pour quelle valeur de x les points A, B, M sont-ils
alignés ?
2. Démontrez alors que (CM)//(BD).
2 On donne les points A(–3 ; 2) et B(–1 ; 7).
11
Le point M –6 ; – est-il un point de (AB) ?
2
1
4 On donne la figure suivante.
A
3
–2 j
O i
–3
2
3 On donne les points A(3 ; 2), B(7 ; 3), C(–3 ; y)
B
5
2
5
D
y
C
–4
et D(1 ; –3).
Calculez y pour que les droites (AB) et (CD) soient Pour quelle valeur de y les vecteurs YAB et YCD
parallèles.
sont-ils colinéaires ?
Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
171
EXERCICES
Exercice résolu B
Utiliser la colinéarité en géométrie non repérée
ABC est un triangle, D le point tel que UAD = 3YAB – 2YAC.
1. Exprimez YBC et YBD en fonction de YAB et YAC.
2. Déduisez-en que les points B, C et D sont alignés.
Méthode
l
Solution
On fait une figure.
A
D
B
C
1. On utilise la relation de Chasles.
l On exploite la définition du point D.
1. YBC = YBA + YAC = –YAB + YAC.
YBD = YBA + YAD = –YAB + 13YAB – 2YAC2
YBD = 2YAB – 2YAC.
2. On montre qu’il existe un nombre k tel
que YBD = kYBC.
2. La comparaison de YBD et YBC incite à
mettre « –2 en facteur ».
YBD = 2YAB – 2YAC = –21–YAB + YAC2 = –21YBA + YAC2.
YBD = –2YBC.
Les vecteurs YBD et YBC sont colinéaires, donc
les points B, C et D sont alignés.
l
On conclut.
Mise en pratique
5 A et B sont deux points distincts. On se 8 ABCD et AEGF sont deux parallélogrammes
tels que YBE = 2YAB et YAF = 3YAD.
propose de construire le point M tel que :
F
G
UMA + 2UMB = YAB.
1. À l’aide de la relation de Chasles, démontrez
que 3UAM = YAB.
2. Pourquoi M est-il un point de la droite (AB) ?
Construisez-le.
6 ABC est un triangle.
1. Construisez le point D tel que :
5YAD = 3YAB + 2YAC.
D
A
C
B
E
Démontrez que les points A, C, G sont alignés.
9 ABC est un triangle. Le point I est le milieu
3
2. a) À l’aide de la relation de Chasles, démontrez du segment [AB]. RBJ = 5 YBC et RAL = 3YAC.
2
que YBD = 1YAC – YAB2.
5
L
b) Déduisez-en que les points B, C, D sont alignés.
7 ABC est un triangle.
1. Construisez les points I et J tels que :
RAI = YAB + 2YAC et YAJ = 2YAB + YAC.
C
J
A
I
B
2. a) Exprimez PIJ en fonction de RAI et RAJ puis en
1. Exprimez PIJ et PIL en fonction de YBC et YBA.
fonction de YAB et YAC.
b) Déduisez-en que (IJ) et (BC) sont parallèles.
172
2. Déduisez-en que les points I, J, L sont alignés.
Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité
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2
Équation cartésienne d’une droite et parallélisme
1. Dans un repère :
Toute droite a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0).
Le vecteur au(–b ; a) est un vecteur directeur de d.
l
l
EXERCICES
Objectif
ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0) est l’équation d’une droite de vecteur directeur au(–b ; a).
2. Si deux droites d et d’ ont pour vecteurs directeurs au et au’.
« d parallèle à d’ » équivaut à « au et au’ colinéaires ».
exercice résolu E
Exercice résolu C
Déterminer une équation cartésienne
Dans un repère 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(1 ; 5), B(–3 ; 2) et C(5 ; –1).
1. Trouvez une équation cartésienne de la droite d passant par A et de vecteur directeur au(3 ; 1).
2. Trouvez une équation cartésienne de la droite d’ passant par A et parallèle à (BC).
Méthode
Solution
1. au(3 ; 1) est un vecteur directeur de d, donc
d a une équation de la forme x – 3y + c = 0.
1. l On connaît un vecteur directeur de d,
on peut donc en déduire une forme de
l’équation.
l On utilise le fait que A est un point de d.
l
Les coordonnées (1 ; 5) de A vérifient
l’équation de d :
1 – 3 × 5 + c = 0 d’où 1 – 15 + c = 0 et c = 14.
d a pour équation cartésienne x – 3y + 14 = 0.
On conclut.
2. On justifie que YBC est un vecteur
directeur de d’.
Puis on procède comme pour le 1.
l
On conclut.
2. (BC) et d’ sont parallèles donc YBC est
un vecteur directeur de d’. YBC a pour
coordonnées (8 ; –3) donc d a une équation
de la forme –3x – 8y + c = 0.
A(1 ; 5) est un point de d’ donc
–3 × 1 – 8 × 5 + c = 0
soit –3 – 40 + c = 0 et c = 43.
d’ a pour équation cartésienne :
–3x – 8y + 43 = 0 ou 3x + 8y – 43 = 0.
Mise en pratique Pour tous les exercices, on se place dans un repère 1O ; ai, aj 2.
10 Dans chacun des cas suivants, trouvez une 13 Représentez graphiquement chacune des
équation cartésienne de la droite d.
droites suivantes.
a) A(–2 ; 5) est un point de d et au = 2ai + 3aj un a) d1 passe par A(1 ; 2) et a pour vecteur directeur
vecteur directeur de d.
au = ai – 3aj.
b) d passe par A(–5 ; 3) et a pour coefficient b) d a pour équation 5x – 4y – 9 = 0.
2
2
directeur m = .
c)
d
3
3 passe par B(2 ; 4) et a pour coefficient
1
11 On donne les points A(1 ; –1) et B(3 ; 2).
directeur .
2
Trouvez une équation cartésienne de la droite
d passant par le point C(–4 ; 6) et de vecteur 14 Trouvez une équation cartésienne de la
droite d d’équation :
directeur YAB.
2
1
y = x – .
3
5
12 d a pour équation 2x – 3y + 5 = 0. Trouvez une
équation de ∆, parallèle à d passant par A(–1 ; 2). Le vecteur au(3 ; 2) est-il un vecteur directeur de d ?
Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité
« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »
173
EXERCICES
Exercice résolu D
Utiliser la condition de colinéarité pour déterminer une équation cartésienne
y
Dans un repère 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(2 ; 3), B(4 ; 5),
C(2 ; –2) et D(–3 ; 2).
B
5
1. Trouvez une équation cartésienne de la droite (AB).
2. Trouvez une équation cartésienne de la droite ∆ passant
par A et parallèle à la droite (CD).
M
D
A
3
2
j
–3
O i
–2
Méthode
4
x
Δ
C
Solution
1. M(x ; y) est un point quelconque de
la droite (AB).
Dire que « M appartient à la droite (AB) »
équivaut à dire que « UAM et YAB sont
colinéaires ».
UAM a pour coordonnées (x – 2 ; y – 3) et
YAB(2 ; 2).
La condition de colinéarité se traduit par :
2(x – 2) – 2(y – 3) = 0 soit 2x – 2y + 2 = 0.
La droite (AB) a pour équation cartésienne :
x – y + 1 = 0.
1. On définit une droite par un point et un
vecteur directeur.
On traduit l’appartenance de M par la relation
de colinéarité.
l
2
On simplifie et on conclut.
2. YCD est un vecteur directeur de ∆.
On reprend la méthode de la question 1.
2. Dire que « M(x ; y) est un point de ∆ »
équivaut à dire que « les vecteurs UAM et YCD »
sont colinéaires.
UAM a pour coordonnées (x – 2 ; y – 3) et
YCD(–5 ; 4).
La colinéarité de UAM et YCD se traduit par :
4(x – 2) + 5(y – 3) = 0 soit 4x + 5y – 23 = 0.
La droite ∆ a pour équation cartésienne :
4x + 5y – 23 = 0.
Remarque
Pour chacune des questions, on peut se ramener aux
conditions du résolu C en définissant la droite par un point
et un vecteur directeur.
Mise en pratique Pour tous les exercices, on se place dans un repère 1O ; ai, aj 2.
15 En tenant compte des renseignements b) d passe par A 7 ; 8 et est parallèle à la
14 52
portés sur la figure ci-après, trouvez une équation
cartésienne :
b) de la droite ∆ passant
par C et parallèle à (AO).
B
5
a) de la droite (AB) ;
A
3
j
O i
C
nées respectives (4 ; 3), (–2 ; 1) et (5 ; 2).
Dans chacun des cas suivants, trouvez une équation cartésienne de la droite d.
a) d passe par A et est parallèle à (BC).
2 3
b) d passe par A et le milieu I de [BC].
droite d dans chacun
