Lois de probabilités discrètes 1 Loi équirépartie 2 Loi de

Chapitre 5d
Lois de probabilités discrètes
On s’intéresse ici aux lois de variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs.
1 Loi équirépartie
Soit X une variable aléatoire prenant n valeurs x 1 , x 2 , . . . , x n .
On dit que X suit une loi équirépartie lorsque X prend ces n valeurs avec la même probabilité
1
.
n
P(X = x 1 ) = P(X = x 2 ) = . . . = P(X = x n )
2 Loi de B ERNOULLI
Définition : loi de B ERNOULLI
Une épreuve de B ERNOULLI est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès de probabilité p, l’autre appelée échec de probabilité 1 − p.
La loi de probabilité ci-dessous est appelée loi de B ERNOULLI de paramètre p.
issue
probabilité
succès (s)
p
échec (e)
1−p
Exemple :
On lance une fois une pièce équilibrée. On appelle succès l’événement « obtenir Pile ». On obtient la loi de B ERNOULLI de
paramètre 21 .
Exemple :
On lance une fois un dé équilibré à 6 faces. On appelle succès l’événement « obtenir la face 1 ». On obtient la loi de B ER1
NOULLI de paramètre 6 .
Remarques :
Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que
– P(X = 1) = p ;
– P(X = 0) = 1 − p.
On dit que X est une variable de B ERNOULLI de paramètre p ou que X suit une loi de B ERNOULLI (on le note «X suit B(p)»).
k
P(x = k)
1
p
0
1-p
Propriété :
La loi de B ERNOULLI de paramètre p a pour :
P
– espérance mathématique E(X) = p (rappel : E(X) = p i x i ) ;
P
– variance V(X) = p(1 − p) (rappel : V(X) = p i (x i − x)2 ).
3 Loi binomiale
Définition : Shéma de B ERNOULLI
Un shéma de B ERNOULLI est la répétition d’épreuves de B ERNOULLI identiques dans des conditions d’indépendance.
Exemple :
On lance n dés (n > 1). On note A l’événement "obtenir au moins un 6 (sur l’ensemble des n lancers)".
1. Décrire l’événement A à l’aide d’une phrase.
2. Faire un arbre et calculer p(A) dans le cas où n = 3.
3. Dans cette question, on suppose n quelconque. Exprimer p(A) en fonction de n.
4. Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d’obtenir au moins un six soit supérieure à
3
?
4
Définition : loi binomiale
Un shéma de B ERNOULLI est constitué de n épreuves indépendantes. X est la variable aléatoire qui, à chaque liste de n
résultats, associe le nombre de succès.
Alors pour tout entier k, avec 0 6 k 6 n,
à !
n k
p (1 − p)n−k .
P(X = k) =
k
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est notée B(n; p).
Démonstration :
Chaque liste formée de k succès et donc de n − k échecs, a pour probabilité : p k (1 − p)n−k . Le nombre
de telles listes est égal
¡ ¢
au nombre de façons différentes de choisir la position des k succès parmi les n résultats. Il y a nk telles listes.
¡ ¢
Donc P(X = k) = nk p k (1 − p)n−k .
Propriété :
La loi binomiale de paramètres n et p a pour :
– espérance mathématique : E(X) = np ;
– variance : V(X) = np(1
p − p) ;
– écart-type : σ(X) = np(1 − p).
Exercice :
Un élève répond au hasard aux 10 questions d’un Q.C.M. Pour chaque question, 5 réponses sont proposées dont une seule
est exacte. X est la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses.
1. Montrer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale.
2. Calculer la probabilité d’avoir au moins 5 bonnes réponses.
3. Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses.
Remarque :
Chaque question est une épreuve de B ERNOULLI où le succès est « la réponse est exacte » ; alors p =
répétition de 10 épreuves identiques et indépendantes ; il correspond alors à un schéma de B ERNOULLI.
1
. Le Q.C.M. est la
5
Le nombre X de bonnes réponses au Q.C.M. est une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres 10 et
1
.
5