3 Loi de Bernoulli 4 Loi binomiale

VARIABLES ALEATOIRES FINIES
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V Lois usuelles
Loi de Bernoulli
Définition
Soit p ∈ [0 , 1]. Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, ce que l’on note X ,→ B(p) si :
• X(Ω) = {0, 1}.
• P (X = 1) = p (et donc P (X = 0) =
)
Situation modèle : l’indicateur de succès
• On considère une expérience aléatoire à deux issues possibles : succès avec probabilité p et échec avec
probabilité 1 − p.
• Si X est la variable aléatoire valant 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, alors X ,→ B(p).
• Exemple typique. On lance une pièce truquée donnant Pile avec probabilité p.
On note X la variable aléatoire valant 1 si l’on obtient Pile et 0 si l’on obtient Face. Alors X ,→ B(p).
Proposition : Espérance et variance
Si X ,→ B(p), alors
E(X) =
V (X) =
Exercice 1 — Démontrer la proposition précédente.
• Remarque (et définition). Soit A ⊂ Ω un événement. On appelle variable indicatrice de l’événement A la
variable, notée 1A , qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon. Alors 1A suit une loi de Bernoulli de paramètre p =
En effet
Dans l’exemple typique A =
4
Loi binomiale
Définition
Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0 , 1]. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, ce
que l’on note X ,→ B(n, p) si :
• X(Ω) = ~0 , n.
• ∀k ∈ ~0 , n, P (X = k) = nk pk (1 − p)n−k
• Remarque. Il s’agit bien d’une loi de probabilité car
n
P
P (X = k) =
k=0
n
P
k=0
n k
n−k
k p (1 − p)
=
Situation modèle : le compteur de succès
• On considère une expérience aléatoire à deux issues possibles : succès avec probabilité p ou échec avec
probabilité 1 − p.
• On effectue n répétitions indépendantes de cette expérience.
• Si X est la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus lors de ces n répétitions, alors X ,→ B(n, p).
En effet, si on considère une telle expérience :
1. On constate que X(Ω) =
2. Pour k ∈ ~0 , n, l’événement [X = k] est la réunion de tous les événements réalisant k succès et n − k échecs :
• Le nombre de tels événements est le nombre de façons de choisir k succès parmi les n répétitions. En tout :
• Pour chacune de ces façons, la probabilité de l’événement correspondant est :
ceci car il y a indépendance des répétitions.
• Les événements qui composent [X = k] étant deux à deux incompatibles : P (X = k) =
• Exemple typique. On lance n fois, de manière indépendante, une pièce donnant Pile avec probabilité p. On
note X la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenues. Alors X ,→ B(n, p).
Proposition : Espérance et variance
Si X ,→ B(n, p), alors
E(X) =
Exercice 2 — 1. Pour tout x ∈ R, on pose f (x) =
V (X) =
n
P
k=0
n k
n−k .
k x (1 − p)
Montrer que E(X) = pf 0 (p).
2. Pour x ∈ R, calculer la somme définissant f (x) puis montrer ensuite que f 0 (x) = n(x + 1 − p)n−1 .
3. En déduire que E(X) = np.