Examen session 2 juin 2011 (durée 2 heures, une feuille de résumé

L3
PSIN
Université de Rennes I
Examen session 2 juin 2011 (durée 2 heures, une feuille de résumé du cours
autorisée)
Exercice 1 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme
sur l'intervalle [0, 1] (on rappelle que dans ce cas, la densité de X est donnée par fX (x) =
1[0,1] (x)).
1. Quelle est la loi de la somme X + Y ?
2. Calculer la probabilité P (|X − Y | > 0.5).
Exercice 2 Un nombre X de voitures arrivent à un croisement. Elles peuvent ensuite aller
sur leur droite (route A) ou sur leur gauche (route B ). On suppose que indépendamment les
unes des autres, les voitures empruntent chacune la route A avec probabilité p ∈]0, 1[ et la
route B avec probabilité 1 − p. De plus, on suppose que X est une variable aléatoire suivant
suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Un observateur situé sur la route A compte alors
Y voitures passant sur cette route.
1. Justier que la loi conditionnelle de Y |X = n est une loi binomiale de paramètres n et
p.
2. Calculer la loi de Y puis la loi de X|Y = m.
3. Quelle variable aléatoire permet de prévoir X à partir de Y ?
Exercice 3 Soit (X, Y ) un vecteur Gaussien de moyenne (1, −1) et de variance
Γ=
1
−0.5
.
−0.5
1
1. Quelle est la loi de la somme X + Y ?
2. Donner la loi conditionnelle de X|Y = y .
Exercice 4 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de loi de densité f : R2 → R
donnée par
2
f (x, y) = 2xye−xy 1x>0,y>1 .
1. Donner les densités de X et de Y .
1
2. Calculer E XY
.
1