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Exercice 7 feuille loi normale X suit la loi normale N(200,625) 625=25² −∝ p(200−∝< 𝑿 < 𝟐𝟎𝟎+∝) = 𝟎, 𝟖 équivaut à p(−∝< 𝑋 − 200 <∝) = 0,8 soit à p( 𝟐𝟓 < 2)Y= 𝑿−𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟓 −∝ 3) p( 25 < 𝑋−200 ∝ < 𝟐𝟓) =0,8 25 ∝ −∝ ∝ ∝ < 25) =0,8 équivaut à p ( 25 < 𝑌 < 25 ) =0,8 soit 2 p (𝑌 < 25) − 1 = 0,8 ∝ 𝟏,𝟖 𝟐 ∝ = 𝟎, 𝟗 𝟐𝟓 = InvNcd(0,9)~1,28 −𝑎 5) p ( −𝑎 ≤ 𝑋 − 200 ≤ 𝑎) = 0,9 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑢𝑡 à 𝑝( 25 ≤ 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑝( 𝑎 𝟐𝟓 suit la loi normale centrée réduite 4) 𝑠𝑜𝑖𝑡 p (𝒀 < 𝟐𝟓) = 25 𝑿−𝟐𝟎𝟎 donc ∝ ~𝟏, 𝟐𝟖 × 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐 𝑋−200 25 𝑎 ≤ 25) = 0.9 −𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ≤ 𝑌 ≤ ) = 0.9 2 𝑝( 𝑌 ≤ ) − 1 = 0,9 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑝(𝑌 ≤ ) = 0,95 25 25 25 25 = InvNCD( 0,95)~1.645 donc a ~ 41,12 6) p (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 240) = 0,25 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑢𝑡 à p ( X ≤ 240) − 𝑝 ( 𝑋 ≤ 𝑎) = 0,25 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑝 ( 𝑋 ≤ 𝑎) = p ( X ≤ 240) − 0,25= 0,5 + p (200 ≤ 𝑋 ≤ 240) − 0,25~ 0,25+0,445=0,695 donc a= Inv Ncd( 0,695,25,200)~𝟐𝟏𝟐, 𝟕𝟓 7) ) p (150 ≤ 𝑋 ≤ 𝑎) = 0,4 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑢𝑡 à p ( X ≤ 𝑎) − 𝑝 ( 𝑋 ≤ 150) = 0,4 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑝 ( 𝑋 ≤ 𝑎) = p ( X ≤ 150) + 0,4 = 0,5 - p (150 ≤ 𝑋 ≤ 200) + 0,4~ 0,423 donc a= Inv Ncd( 0,423,25,200)~𝟏𝟗𝟓, 𝟏𝟒 Exercice 95 X représente le nombre d’article A vendu dans une journée . Sur les 150 personnes vent au magasin de manière indépendante ,chacune a le choix soit d’acheter l’article A avec une probabilité de 0.4 soit de ne pas l’acheter avec une probabilité de 0.6 :épreuve de Bernoulli X suit la loi binomiale de paramètres n=150 et p=0.4 E ( X) = np = 150×0.4= 60 et 𝝈(X)= √𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)= √𝟏𝟓𝟎 × 𝟎. 𝟒 × 𝟎𝟔= 6 2) On admet que la loi de la variable aléatoire Zn = 𝑿−𝟔𝟎 𝟔 peut-être approchée par la loi normale centrée réduite Z ceci est basé sur le théorème de Moivre Laplace n≥30 np≥ 𝟓 np(1-p)≥5 Théorème : Soit p un réel de l’intervalle ]0 ;1[, soit n un entier naturel non nul X n est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p Z n est la variable aléatoire définie par Zn = 𝑋𝑛 −𝐸(𝑋𝑛 ) 𝜎(𝑋𝑛 ) = 𝑋𝑛 −𝑛𝑝 √𝑛𝑝(1−𝑝) Alors pour tous réels a et b tels que a < b on a 3) p( 0≤X≤72) ~ p ( −𝟔𝟎 𝟔 ≤Z≤ 𝟕𝟐−𝟔𝟎 𝟔 ) = p ( -10≤Z ≤ 2) = 0.9772 P(X≥69) =p( 69 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟓𝟎) = p ( 𝟔𝟗−𝟔𝟎 𝟔 ≤𝒁≤ P ( 69≤ X ≤ 72 ) ~ p ( 1.5 ≤ Z ≤ 2) = 0.044 𝟏𝟓𝟎−𝟔𝟎 𝟔 ) = p ( 1.5≤ 𝒁 ≤ 𝟏𝟓) =0.067
