Exercices de manipulation des tables

Faculté de psychologie et Institut de Statistique
Université Catholique de Louvain
LPSP1209 : STATISTIQUE II
INFERENCE SUR UNE OU DEUX VARIABLES
Syllabus d’exercices
Correctif étudiant
(Diffusé TP par TP)
Auteurs :
Bernadette Govaerts
Cedric Taverne
Titulaire : Bernadette Govaerts
Exercices de manipulation des tables
1. Probabilité sur une variable aléatoire normale réduite
a) P (Z ≤ 1.29) = 0.9015
b) P (Z < 1.29) = 0.9015
A l’inverse des variables discrètes les signes « plus petit ou égal » et « plus petit » ne font pas de différence, de
même que les signes « plus grand ou égal » et « plus grand ».
c) P (Z = 1.29) = 0
Nous sommes dans le cas d’une variable continue qui peut prendre une infinité de valeurs, donc la probabilité de
tomber exactement sur une valeur est nulle.
d) P (Z ≥ 1.29) = 1- P (Z ≤ 1.29) = 0.0985
e) P (Z ≥ - 1.29) = P (Z ≤ 1.29) = 0.9015
f) P (-1.29 ≤ Z ≤ 1.29) = P (Z ≤ 1.29)- P (Z ≤ -1.29) = P (Z ≤ 1.29) - (1- P (Z ≤1.29)) = 0.90151+0.9015 = 0.803
2. Quantile de la variable aléatoire normale réduite
a) P (Z ≤ z) = 0.975 pour un z = 1.96
b) P (Z ≥ z) = 0.95. On retourne la probabilité : P (Z ≤ z) = 0.05 pour un z = -1.6449
c) P (-z ≤ Z ≤ z ) = 0.95. On en déduit que P (Z ≥ z) + P (Z ≤ - z) = 0.05
Autrement dit, puisqu’il y a symétrie autour de 0, P (Z ≥ z) = 0.025 et P (Z ≤ - z) = 0.025
Pour P (Z ≥ z), on doit encore retourner la probabilité : P (Z ≥ z) = 1 - P (Z ≤ z) = 0.025 ; soit : P (Z
≤ z) = - 0.025 +1 = 0.975. Avec la table des quantiles, on trouve ensuite que : z = 1.96 et –z = -1.96
d) P(Z ≤ z) = 0.1 pour un z = -1.2816
e) P(Z > z) = 0.01 pour un z = 2.3263 en appliquant la même démarche qu’au b.
3. Probabilité sur une variable aléatoire normale générale
Soit X une v.a. N (100, 225) qui correspond à la distribution du QI dans la population.
Pour le calcul d’une variable Normale générale, il faut tout d’abord standardiser cette variable pour
obtenir une Normale réduite et avoir accès aux probabilités des tables. Ensuite, il faut s’arranger
pour avoir une écriture de type P (X ≤ x).
a) P (X = 89) = 0 pour le même raison qu’au 1. c)
b) P (X > 130) = P (Z > (130-100)/15) = P (Z > 2) = 1- P (Z ≤ 2) = 1- 0.9772 = 0.0228
c) P (X < 95) = P ( Z < (95-100)/15) = P (Z ≤ -0.33) = 1- P (Z ≤ 0.33) = 1-0.6293 = 0.3707
d) P (X ≤ 95) = 0.3707
e) P (85 < X < 115) = P (-1 < Z < 1) = P (Z ≤ 1)- P (Z ≤ -1) = P (Z ≤ 1) - (1- P (Z ≤1)) = 0.84131+0.8413 = 0.6826
4. Probabilité sur une variable aléatoire binomiale à l’aide de la table
Soit X une v.a. Bi (n, p) ici (25 ; 0.4)
-
le 25 veut dire que l’on répète 25 fois une expérience aléatoire de Bernoulli dont les
résultats possibles sont soit réussi soit échoué
le 0.4 signifie que pour chaque expérience aléatoire de Bernoulli, la probabilité de réussir
est de 0.4
X compte le nombre de réussite à l’expérience de Bernouilli parmi les 25 essais. X peut
donc prendre des valeurs entières comprises entre 0 et 25, ces valeurs y compris.
Exemple : un questionnaire de 25 questions indépendantes (les résultats à une questions
n’influencent pas les résultats à une autres questions) dont la probabilité de réussite est toujours la
même (ici 0.4). Il faut se référer aux tables de la binomiale pour effectuer les calculs.
Lorsque l’on travaille avec des variables des lois classiques comme la binomiale, il faut toujours
s’arranger pour avoir une écriture de type P (X ≤ x) car c’est la forme sous laquelle les probabilités
sont présentées dans les tables.
a) P (X < 8) = P (X ≤ 7) = 0.1536
Attention, la binomiale est une variable discrète donc le signe < est différent de ≤ et le signe > est
différent de ≥ , puisque dans les variables discrète les chiffres sont entiers.
0 …5 6 7 8 9 10 11 12 …. 25
La double flèche représente la probabilité totale sur l’ensemble des résultats. Si nous voulons la
probabilité que le résultat soit strictement plus petit que 8, nous devons calculer la probabilité qu’il
soit plus petit ou égal à 7.
b) P (X = 11) = P (X ≤ 11) – P (X ≤ 10) = 0.7323-0.5858 = 0.1465
0…
10
11
12
13….25
c) P (X > 8) = P ( X ≥ 9) = 1- P (X ≤ 8) = 1-0.2735 = 0.7265
d) P (X ≥ 8) = 1 – P(X ≤ 7) = 1-0.1536 = 0.8464
e) P (10 < X < 13) = P(X≤12) – P(X≤10) = 0.8462 - 0.5858 = 0.2604
Dans cet exercice, il faut être particulièrement attentif au fait que la binomiale est une variable
discrète.
0…
10
11
12
13….25
5. Probabilité sur une variable aléatoire binomiale à l’aide de la méthode exacte
Si X est une variable aléatoire Bi(23;0,2) :
a) = 4 = 1 − = 0.2 1 − 0.2 = 8855 × 0.0016 × 0.0144 =
0.2042
b) ≥ 1 = 1 − = 0 = 1 − 0.2 1 − 0.2 = 1 − 1 × 1 × 0.0059 = 0.9941