loi normale

5 La Loi de Laplace Gauss
ou loi Normale
1)Définition:
• a)On appelle loi normale
d’espérance mathématique m et
d’écart type , notée m,),
la loi de probabilité d’une
variable aléatoire continue
telle que X()= et dont la
densité de probabilité f est
1
f(x)
e
 2
(xm)2
2 2
b)Cas particulier de N(0,1)
d’espérance mathématique 0 et
d’écart type 1:
• La loi normale centrée réduite N(0,1) a pour
densité f telle que
f ( x) 
1
2
 e
x
2
2
2)Relation entre N(m,) et
N(0,1) :
• Si la v.a. continue X suit une loi normale
X  m suit
N(m,) alors la v.a.
T

• la loi normale centrée réduite N(0,1)
3)Utilisation de la table de la
fonction de répartition de
N(0,1) :
• Fonction de répartition
F (t )   (t )  P(T  t )   f ( x) dx
t
P( a  T  b )  (b)(a)
 (t )  1   (t )
Remarque :
• Si X suit N(m,) et k > 0 alors
•
T
X m

suit N(0,1) et
P(mk  X mk)2[(k)]1
4)Opérations sur les lois
normales:
  Si la v.a. continue X suit (m,) alors
Z = a X + b suit une loi Normale telle que
• E(Z) = E(a X + b) = a E(X) + b
2
2
2
• V(Z) = V(a X + b) = a V(X) = a 
  Si X v.a. continue suit (m,) et si Y
v.a. continue suit (m’,’) avec X et Y
indépendantes alors Z = a X + b Y suit une
loi normale telle que:
• E(Z) = E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y)
• V(Z) = V(a X + b Y ) = a2 V(X) + b2 V(Y) =
+ a 2  2 b 2 car
 '2 X et Y indépendantes
5)Approximation de la loi
Binomiale par la loi Normale:
• Si n  30 et n p  15 et n p q > 5
• Alors on peut remplacer
• la loi binomiale B(n,p)
• par la loi Normale N (np, npq )