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HLMA406
Examen 2ème session
Calculatrice et tous documents autorisés. Durée : 2 heures.
Exercice 1. Soit X une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
f (x) =
cos(x)
11[0,π/2] (x).
k
1) Déterminer k.
2) Représenter la fonction de répartition de X.
3) Calculer l’espérance puis la variance de X.
Exercice 2. Soit X une variable aléatoire de loi binomiale B(72, 1/3).
1) Pour quelles valeurs de a et b peut-on dire que X−a
suit approximativement la loi N (0, 1) ?
b
2) En déduire une approximation de P(X ≤ 30).
3) Quelle est la loi de Y = 72 − X ?
Exercice 3. Soit X une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
f (x) = θx−(1+θ) 11[1,+∞[ (x),
où θ est un réel strictement supérieur à 2.
1) Calculer l’espérance de X et vérifier qu’elle est bien supérieure à 1.
2) Calculer la variance de X et vérifier qu’elle est bien positive.
3) Soit X1 , · · · , Xn un échantillon issu de cette densité.
a) Montrer que l’estimateur des moments de θ est
θ̃ = 1 +
1
.
X̄ − 1
b) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
4) On suppose maintenant que θ = 3 et n = 100. Quelle est la loi suivie approximativement par X̄ ?
En déduire la probabilité que l’écart entre θ̃ et θ soit inférieur à 1/2.
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