Association des amoureux des Mathématiques Compétition de

Association des amoureux des Mathématiques
Compétition de Mathématiques
pour les classes SUP
14-05-2013
Durée : 3 heures
Répondre par vrai ou faux en donnant une preuve concise ou un contre-exemple.
1. Si la somme de deux fonctions réelles est continue, alors chacune d’elles est continue.
2. Soit a; b 2 N; pgcd (a; b) = 1: Il existe n0 2 N tel que
8n
n0 =) n 2 aN + bN
3. Soit f et g deux fonctions périodiques de R dans R: Alors la fonction f + g est périodique.
4. Soit f : [0; 1] ! R une fonction continue. Alors
Z 1
n
1 P
k
f (t) dt
lim
f
=
n !1 n k=1
n
0
5. Soit f : [0; 1] ! R une fonction continue. Alors
n
n
1 P
( 1)k f
!1 n k=1
lim
k
n
=0
6. Soit A 2 M2 (C) : Il existe B 2 M2 (C) telle que A = B 2 :
7. Si f : R ! R est continue, l’image par f d’une partie bornée est une partie bornée.
8. Soit I; J et K des intervalles de R; f : I ! J; g : J ! K: Si g f est continue, alors
f et g sont continues.
9. Si P 2 R[X] véri…e P (t)
0 8t 2 R; alors toute racine réelle de P est d’ordre pair.
10. Soit f : R ! R une fonction continue et bornée et a > 0: Il existe une suite (xn ) telle
que
lim xn = +1; et
lim [f (xn + a) f (xn )] = 0
n !1
n !1
11. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.
12. Soit A; B 2 Mn (R) et M =
A 0
0 B
alors
rg M = rg A + rg B
13. Soit A; B 2 Mn (K) telles que ker A \ ker B = f0g ; alors rg (A + B) = rg A + rg B:
14. Soit f : R+ ! [0; 1] continue et véri…ant :
xn ! 1 et f (xn ) ! ` =) f (xn + a) ! ` 8a > 0
Alors f admet une limite en 1:
15. Soit f : R ! R et a 2 R: Si pour toute suite (xn ) convergente vers a; la suite f (xn )
converge, alors f est continue en a:
16. Soit n 2 et A; B 2 Mn (R) avec rg A = rg B: Alors il existe une matrice inversible
P telle que A = P B:
17. Soit E un espace vectoriel de dimension …nie et f un endomorphisme de E: Si
E = ker (f
Id) + ker (f + Id)
alors f est une symétrie.
18. Si f est
R x continue de R dans R; alors toute primitive de f sur R est de la forme
x 7 ! a f (t) dt; où a 2 R:
19. Soit x1 ; :::; x2013 dans Z: Alors il existe p 2 f1; :::; 2013g tel que x1 +:::+xp soit divisible
par 2013:
20. Soit A = f1=n : n 2 N g [ f0g : Il existe une fonction f : R ! R discontinue en tout
point de A et continue en tout point de R A:
Khaled taou…k AmmarHamza
1. 4 (mal rédigé)
4
2. 0
3. 4
4. 4
4
5. 2 a revoir
6. ..
7. 4
8. 4
9. 4 à voir en détail
10. ..
11. 4
12. ..
13. ..
14. ..
15. 2 ou 1 à revoir
16. ..
17. à revoir
18. 4
19. 4
20. bonne idée, à recti…er