Lois de probabilité

Lois de probabilité
I Loi à densité sur un intervalle borné
f est une fonction définie sur un intervalle I de R.
Définition 1
On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f continue et positive sur I telle que :
Z
f (t)dt = 1
I
Exemple
La fonction f définie sur I = [0, 1[ par f (x) = 3x2 est une densité de probabilité sur I car
• f est continue et positive sur I.
Z 1
1
•
3t2 dt = t3 0 = 1.
0
Définition 2
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de probabilité de densité f sur I, si pour tout
intervalle J inclus dans I :
Z
f (t)dt.
P (X ∈ J) =
J
Propriété 1
Soit X une variable aleatoire suivant une loi de probabilité à densité f sur I.
1. P (X ∈ J) = 1
2. Pour tout x0 dans R, P (X = x0 ) =
Z
x0
f (t)dt = 0.
x0
3. P (X ∈ [a, b]) = P (X ∈]a, b]) = P (X ∈ [a, b[) = P (X ∈]a, b[).
I.1 Loi uniforme sur [a; b]
1
I. LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE BORNÉ
Définition 3
• La loi uniforme sur [a, b] modélise le choix au hasard d’un nombre dans l’intervalle [a, b].
• La loi uniforme sur [a, b] est la loi qui admet la fonction f définie sur [a, b] par f (t) =
pour densité.
1
b−a
Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi unforme sur [a, b].
d−c
.
1. si a 6 c 6 d 6 b alors P (X ∈ [c, d]) =
b−a
Z b
a+b
tf (t)dt =
2. L’espérance de X vaut : E(X) =
2
a
I.2 Loi exponentielle
Définition 4 (propriété)
La loi exponentielle de paramètre λ > 0 est la loi qui admet pour densité la fonction f suivante :
f est définie sur I = [0; +∞[ par f (t) = λe−λt .
Remarque
f est continue
et positive sur [0; +∞[, de plus
Z x
x
−λt
lim
λe dt = lim −e−λt 0 = lim −e−λx + 1 = 1.
x→+∞
x→+∞
0
x→+∞
Ainsi, f est bien une densité sur [0; +∞[.
Exemple
Soit P la probabilité associé à la loi exponentielle de paramètre 3.
Calculer P ([1; 2]) et P ([2; +∞[).
Z 2
2
P ([1; 2]) =
3e−3t dt = [−e−3t]1 = e−3 − e−6 .
1
Z 2
2
3e−3t dt = 1 − −e−3t 0 = e−6 .
P ([2; +∞[) = 1 −
0
Théorème 1 (admis)
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
1. Pour tout réel t > 0, P (X < t) =∈t0 λe−λt dt = 1 − e−λt et P (X > t) = e−λt .
2. E(X) = λ1 , V (X) =
1
λ2
et σ(X) = λ1 .
Exemple
Un matériel informatique a une durée de vie moyenne de 4000 heures.
Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie du matériel.
1) Déterminer λ.
2) Calculer la probabilité pour que ce matériel soit encore en fonctionnement au bout de
8000 heures.
Propriété 3
Pour tous réels positifs x et h, on a
P(X≥x) (X ≥ x + h) = P (X ≥ h).
Cette propriété signifie qu’un élément cesse de "vivre" au cours d’un intervalle de temps donné,
dépend seulement de la longueur de cet intervalle , et pas de "l’âge" de l’élément au début de la
période.
2
I. LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE BORNÉ
Preuve :
R x+h −λt
1− 0
λe dt
P ((X ≥ x) ∩ (X ≥ x + h))
P (X ≥ x + h)
Rx
P(X≥x) (X ≥ x + h) =
=
=
=
P (X ≥ x)
P (X ≥ x)
1 − 0 λe−λt dt
e−λ(x+h)
= e−λh = P (X ≥ h) e−λx
3