probabilité soit -partie -des -donne

Intervalle de Fluctuation asymptotique au seuil de 95 %
Théorème : Intervalle asymptotique au seuil de 95 %
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n ∈ IN et p ∈ [0 ; 1].


p(1 – p)
X
p(1 – p)
lim P – 1,96
+ p ≤ ≤ 1,96
+ p  ≈ 0,95
n
n
n

n→+∞ 
Autrement dit, lim P
n→+∞
( Xn ∈ [ p – 1,96
p(1 – p)
p(1 – p)
; p + 1,96
+p
n
n
] ) ≈ 0,95.
Démonstration :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n ∈ IN et p ∈ [0 ; 1].
D’après le théorème (admis) de Moivre – Laplace , pour tout réels a et b, on a :
X – np
≤ b  = P( a ≤ Z ≤ b) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite (donc de
lim
P a ≤
np(1 – p)


n→+∞
paramètres µ = 0 et σ = 1).
Objectif :
X
X
Déterminer un intervalle I n, auquel appartient tel que la probabilité P  ∈ I n soit le plus proche possible
n
n

de 1.
Méthode :
Lorsque les inégalités sont ÉQUIVALENTES, les évènements correspondants ont exactement la même
probabilité.
On part donc de la double inégalité a ≤
A≤
X – np
≤ b pour arriver à une double inégalité de la forme
np(1 – p)
X
≤ B où A et B sont deux réels à déterminer.
n
lim
n→+∞
P a ≤

X – np
≤ b  = P( a ≤ Z ≤ b)
np(1 – p)

⇔ lim P ( a × np(1 – p) ≤ X – np ≤ b × np(1 – p) ) = P( a ≤ Z ≤ b)
n→+∞
{ on a multiplié par
⇔ lim P (a np(1 – p) + np ≤ X ≤ b np(1 – p) + np ) = P( a ≤ Z ≤ b)
n→+∞
 a np(1 – p) + np X b np(1 – p) + np 
⇔ lim P 
≤ ≤
 = P( a ≤ Z ≤ b)
n
n
n

n→+∞ 

np(1 – p) np X
np(1 – p) np 
+
≤ ≤b
+
⇔ lim P  a
 = P( a ≤ Z ≤ b)
n
n
n
n
n 
n→+∞ 
np(1 – p) }
{ on a ajouté np }
{ on a divisé par n }
 n× p(1 – p)

X
n× p(1 – p)
⇔ lim P a
+p≤ ≤b
+ p = P( a ≤ Z ≤ b)
n
n
n

n→+∞ 
 p(1 – p)

X
p(1 – p)
⇔ lim P a
+p≤ ≤b
+ p  = P( a ≤ Z ≤ b)
n
n
n

n→+∞ 
Ainsi, la probabilité que
X
∈
n
[ p+a
vers + ∞.
p(1 – p)
p(1 – p)
;p+b
n
n
{ car nn =
n
1
=
n× n
n
}
] tend vers P( a ≤ Z ≤ b) lorsque n tend
Avec a = – 1,96 et b = 1,96 on a donc :


p(1 – p)
X
p(1 – p)
lim P – 1,96
+ p ≤ ≤ 1,96
+ p = P(– 1,96 ≤ Z ≤ 1,96 )
n
n
n

n→+∞ 


X
p(1 – p)
p(1 – p)
+ p ≤ ≤ 1,96
+ p  ≈ 0,95
⇔ lim P – 1,96
n
n
n

n→+∞ 
Ou
lim P
n→+∞
(
X
∈
n
[ p – 1,96
p(1 – p)
p(1 – p)
; p + 1,96
+p
n
n
] )≈ 0,95
Remarques :
•
L’intervalle obtenu est symétrique par rapport à p ;
•
Pour n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 – p) ≥ 5, il est pertinent d’approcher
P – 1,96 p(1 – p) + p ≤ Xn ≤ 1,96 p(1 – p) + p par sa limite en + ∞, à savoir 0,95 ;
n
n


•
On peut aussi obtenir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99 % avec a = – 2,58 et b =
2,58.
On a alors


p(1 – p)
X
p(1 – p)
lim P – 2,58
+ p ≤ ≤ 2,58
+ p  ≈ 0,99.
n
n
n

n→+∞ 
Intervalle de confiance au seuil de 95 %
Nous allons déterminer d’abord un intervalle qui contient
Ainsi, la probabilité que
[ p – 1,96
p(1 – p)
p(1 – p)
; p + 1,96
+p
n
n
].
X
soit dans ce nouvel intervalle sera supérieur à 95 %.
n
On en déduira ensuite un intervalle dans lequel le paramètre p à plus de 95 % de chances d’appartenir.
1
(on étudie sur [0 ;1], le polynôme du 2nd degré f définie par f( p) = p(1 – p) ).
4
1
1
On a donc p(1 – p) ≤ ⇔ p(1 – p) ≤
4
4
* Pour p ∈ [0 ; 1], p(1 – p) ≤
⇔
p(1 – p) ≤
1
2
⇔ 1,96 p(1 – p) ≤
1,96
2
⇒ 1,96 p(1 – p) ≤ 1 (attention ! il n’y a plus d’équivalence).
p(1 – p) 1
p(1 – p)
1
≤
⇔ p + 1,96
≤p+
(1).
n
n
n
n
⇔ 1,96
D’autre part, 1,96
1
p(1 – p) 1
p(1 – p)
≤
⇔ – 1,96
≥–
n
n
n
n
⇔ p – 1,96
Grâce à (1) et à (2), on a donc : p –
Ainsi, l’intervalle
* D’où P
Ainsi,
[ p – 1,96
( Xn ∈[ p – 1,96
1
p(1 – p)
≥ p–
(2)
n
n
1
1
p(1 – p)
p(1 – p)
≤ p – 1,96
≤ p + 1,96
≤p+
n
n
n
n
p(1 – p)
p(1 – p)
; p + 1,96
n
n
p(1 – p)
p(1 – p)
; p + 1,96
n
n
( Xn ∈[ p – 1,96
lim P
n→+∞
] est contenu dans l’intervalle [p – 1n ; p + 1n ]
] ) ≤ P ( Xn [p – 1n ; p + 1n ])
p(1 – p)
p(1 – p)
; p + 1,96
n
n
]) ≤ n →lim+ ∞P ( Xn ∈[p – 1n ; p + 1n ])
⇔ 0,95 ≤
Il existe donc un entier naturel N tel que pour n ≥ N, P
*
[
X
1
1
∈ p–
;p+
n
n
n
⇔–
⇔
D’où P
1
1
;p+
n
n
])
]) ≥ 0,95.
1 X
1
≤ –p≤
n
n
n
X 1
X 1
–
≤–p≤– +
n
n
n
n
X 1
X 1
+
≥p≥ –
(chaque membre de la double inégalité a été multiplié par – 1)
n
n
n
n
( Xn ∈ [p –
( p∈ [Xn –
1
1
;p+
n
n
( Xn ∈[p –
] ⇔ p – 1n ≤ Xn ≤ p + 1n
⇔–
* On a enfin, P
( Xn ∈ [p –
lim P
n→+∞
1
1
;p+
n
n
1 X 1
; +
n n
n
]) = P ( p∈ [Xn – 1n ; Xn + 1n ]).
]) ≥ 0,95.